PEMBUKTIAN RUMUS KELILING DAN LUAS LINGKARAN
Oleh :
Chairani Ammy 1720070007
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA MEDAN 2017
Menghitung Keliling Lingkaran Rumus Keliling Lingkaran adalah 2 Phi x R Pembuktian Rumus Keliling Lingkaran
Menghitung Luas Lingkaran Rumus luas lingkaran adalah Phi x R x R Pembuktian Rumus Luas Lingkaran
2
Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus : yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam R 1 dan jari-jari luar R 2. Penjumlahan elemen juring
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran. Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ , yaitu;
dengan batasan nilai θ adalah adalah antara 0 dan 3π . Saat θ bernilai bernilai 2π , juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran. Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R 1 dan jari-jari luar , R 2yaitu
di mana untuk R 1 = 0 rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
3
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
Di SMP, pembuktian rumus luas lingkaran l ingkaran dilakukan dengan cara memotong lingkaran dan membentuknya menjadi persegi panjang. Di awal, diketahui bahwa keliling lingkaran adalah
dengan
adalah jari-jari lingkaran.
Bagi 8
Mulai dengan membagi lingkaran menjadi 8 juring sama besar. Lalu, urutkan hingga membentuk sebagai berikut. Perhatikan sisi miring adalah dan panjang sisi vertikalnya .
Lingkaran dibagi 8. Bagi 12
Teruskan dengan membagi lebih banyak lagi.
Lingkaran dibagi 12. Bagi 24
Terus lakukan proses pemotongan dan pengurutan bentuk yang diperoleh.
4
Lingkaran dibagi 24.
Bagi 48
Perhatikan bahwa semakin kecil potongan, sisi miring akan semakin tegak dan sisi horizontalnya semakin rata, membentuk garis lurus.
Lingkaran dibagi 48. Lanjutkan Pembagian
Perhatikan bahwa semakin banyak kita membagi, kita akan memperoleh bentuk garis dengan tinggi . Ketika diurutkan, kita akan memperoleh sebuah persegi panjang dengan panjang dan lebar . Dengan rumus sederhana luas persegi panjang, kita peroleh pembuktian bahwa luas lingkaran adalah .
5
Lingkaran dibagi tak hingga
6
. 7
1. Pendekatan Geometris
Untuk membuktikan rumus luas lingkaran coba sobat perhatikan ilustrasi berikut
Jika kita perhtikan dari ilustrasi di atas maka semakin banyak sisi dari sebuah segi beraturan maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. lingkaran. Sekarang jika kita terus menambah jumlah sisi dari segi banyak beraturan maka area kosong akan semakin mengecil mengecil (warna merah) dan semakin mendekati bentuk lingkaran. Selanjutnya perhatikan perhatikan cara berpikir berikut
Dari segi 8 beraturan di atas, Luas dari daerah segitiga AOB adalah 1/2 x alas x tinggi = 1/2 x panjang sisi x jari-jari. Karena dari segi 8 tersebut ada 8 buah segitiga serupa jadi luas segi 8 total adalah = 1/2 r x 8s Perhatikan bahwa 8s itu mewakili panjang sisi dari segi delapan tersebut. Kembali ke atas, tadi sudah disebutkan bahwa semakin banyak sisi dari segi-n beraturan maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. lingkaran. Jadi panjang sisi segi-n beraturan akan mendektai panjang sisi lingkaran (keliling lingkaran). Jadi kita bisa menggatikan 8s dengan 2 Π r Luas Segi 8 = 1/2 r x 8s Luas Lingkaran = 1/2 r x 2 Π r Luas Lingkaran = Π r2 Itulah pembuktian sederhana dari rumus luas lingkaran.
8
Berikut merupakan penjelasan mengenai pembuktian luas lingkaran melalui pendekatan kebeberapa bentuk bangun datar datar : 1. Pembuktian Rumus Luas Daerah Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Daerah Persegi panjang Untuk membentuk persegi panjang, Lingkaran dipotong-potong menjadi 6 atau 8 atau 10 juring. semakin banyak juring maka akan semakin membentuk persegi panjang yang lebih mendekati dengan syarat jumlahnya genap dan jangan lupa salah satu juring dibagi dua sama menurut jari-jari. kemudian disusun secara zigzag ke samping dengan menempelkan sisi jari-jari dari masing-masing juring sehingga mendekati bentuk persegi panjang seperti terlihat pada gambar di bawah :
Perhatikan gambar tersebut, kita dapat melihat bahwa susunan 8 potong juring lingkaran tersebut mendekati bentuk persegi panjang. Sekarang, anggap bangun datar yang telah kita bentuk tadi adalah persegi panjang dengan panjang = ½ keliling lingkaran dan lebar = r . dari data tersebut kita dapat membuktikan luas lingkaran dengan uraian sebagai berikut :
2. Pembuktian Rumus Luas Daerah Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Daerah Segitiga Untuk membentuk segitiga, Lingkaran dipotong-potong menjadi 4 atau 9 at au 16 juring. semakin banyak juring maka akan semakin membentuk membentuk segitiga sama kaki yang lebih mendekati dengan dengan syarat banyaknya juring merupakan bilangan kuadrat . Kemudian juring-juring tersebut disusun menjadi menjadi mendekati bentuk segitiga sama kaki seperti pada gambar dibawah ini:
9
Pada gambar diatas, 16 juring lingkaran di bentuk menjadi segitga sama kaki dengan panjang alas = ¼ keliling lingkaran dan tinggi = 4r. selanjutnya kita akan membuktikan luas lingkaran melalui pendekatan segitiga sama kaki dengan uraian sebagai berikut :
3. Pembuktian Rumus Luas Daerah Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Daerah Belah Ketupat Untuk membentuk Belah ketupat, Lingkaran dipotong-potong menjadi 2 atau 8 atau 18 juring dan seterusnya. semakin banyak juring maka akan semakin membentuk belah ketupat yang lebih mendekati dengan syarat banyaknya juring merupakan dua kali bilangan kuadrat . Kemudian juring -juring tersebut disusun menjadi mendekati bentuk Belah ketupat seperti pada gambar dibawah ini:
Pada gambar diatas, 16 juring lingkaran di bentuk menjadi Belah ketupat dengan panjang diagonal 1 = ¼ keliling lingkaran dan panjang diagonal 2 = 4r. selanjutnya kita akan membuktikan luas lingkaran melalui pendekatan Belah ketupat dengan uraian sebagai berikut :
10
4. Pembuktian Rumus Luas Daerah Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Daerah Jajar Genjang Untuk membentuk jajar genjang, Lingkaran dipotong-potong menjadi 6 atau 8 atau 10 juring. semakin banyak juring maka akan semakin membentuk jajar genjang yang lebih mendekati dengan syarat jumlahnya genap. Hampir sama dengan pada saat membuktikan luas lingkaran dengan pendekatan persegi panjang, namun perbedannya adalah jika pada saat membentuk persegi panjang salah satu juring dibagi dua sama menurut jari-jari, jari -jari, maka ma ka dalam membentuk jajar genjang langkah tersebut tidak perlu dilakukan. dil akukan. Kemudian juring-juring tadi t adi disusun secara seca ra zigzag ke samping dengan menempelkan sisi jari-jari dari masing-masing juring sehingga mendekati bentuk jajar genjang seperti terlihat pada gambar di bawah :
Pada gambar diatas, 16 juring lingkaran di bentuk menjadi jajar genjang dengan panjang alas = ¼ keliling lingkaran dan tinggi = r. selanjutnya kita akan membuktikan luas lingkaran melalui pendekatan jajar genjang dengan uraian sebagai berikut :
5. Pembuktian Rumus Luas Daerah Lingkaran dengan Menurunkan dari Rumus Luas Daerah Trapesium Untuk membentuk trapesium, Lingkaran dipotong-potong menjadi 3 atau 5 atau 7 juring dan seterusnya. semakin banyak juring maka akan semakin membentuk trapesium yang lebih mendekati dengan syarat banyaknya juring merupakan bilangan ganjil yang lebih dari 1 (2n+1). (Banyak juring adalah bilangan ganjil (2n+1) tersebut merupakan syarat untuk membentuk trapesium 1 tingkat, jika ingin membentuk trapesium 2 tingkat maka rumus menjadi 4(2n+1) dan untuk trapesium 3 tingkat maka rumus menjadi 3(2n+3)). Kemudian juring-juring tersebut disusun menjadi mendekati bentuk trapesium seperti pada gambar dibawah ini: 11
Pada gambar diatas, 8 juring lingkaran di bentuk menjadi trapesium 2 tingkat dengan panjang sisi atas = 1/8 keliling lingkaran dan panjang sisi bawah= 3/8 keliling lingkaran sedangkan tinggi = 2r. selanjutnya kita akan membuktikan luas lingkaran melalui pendekatan trapesium sama kaki dengan uraian sebagai berikut :
12
