SECUENCIA DIDÁCTICA: ÁREA Y PERÍMETRO
CURSO: 6° AÑO EPB
OBJETIVO: Provocar y promover la reflexión de los los alumnos en torno a las diferencias y relaciones relaciones entre perímetro y área.
TIEMPO ESTIMADO: 15 días aproximadamente
EVALUACIÓN: Algunas de de las actividades actividades propuestas propuestas podrán ser autoevaluadas por los alumnos en el proceso de resolución. En otras el docente participará como como observador observador externo e intervendrá en aquellas instancias instancias en que sea pertinente pertinente y necesaria su participación participación directa. Durante todo el proceso el docente irá modificando y/o introduciendo variables didácticas, de acuerdo a los resultados que vaya observando.
ANÁLISIS DIDÁCTICO: Esta secuencia didáctica está enfocada al reconocimiento de las diferencias y relaciones entre perímetro y área. •
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Conocimientos Conocimien tos previos : concepto de medida, figuras geométricas, geométri cas, elementos de las figuras geométricas, concepto de perímetro y concepto de área. Contenidos: Contenidos : perímetro y área.
Actividades: Objetivos: •
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Resolver problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales. Calcular áreas a través de la composición y descomposición de figuras. Reconocer la independencia entre la medida del área y la forma de la figura. Reconocer la independencia entre el área y el perímetro de una figura. Determinar relaciones entre los conceptos métricos de área y perímetro llegando a conclusiones acerca de la conservación o variación de las magnitudes a través de: la manipulación,el manejo intuitivo de semejanzas y congruencias y de movimientos de figuras en el plano.
JUGANDO CON FIGURAS Intenciones didácticas: •
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La docente propone situaciones que permiten a los alumnos desplegar diferentes recursos para medir y comparar perímetros. La docente propone situaciones que permiten medir y comparar el área de figuras. La docente realiza las siguientes preguntas a la clase: – ¿Las figuras de igual área tienen siempre el mismo perímetro? – ¿A mayor perímetro hay mayor área? – ¿Las figuras de igual área tienen siempre la misma forma? La docente propone situaciones que permiten la comprensión de que la medida de un objeto cambia con la unidad de medida elegida sin que cambie el objeto.
Tratamiento del error: Ante los posibles errores la docente intervendrá repreguntando o planteando variables didácticas.
SECUENCIA DIDÁCTICA: PERÍMETRO Y ÁREA JUGAR CON FIGURAS 1) Calquen y corten esta figuras en cartulina. Necesitan 15 cuadrados, 15 rectángulos y 15 triángulos.
a) Armen 3 figuras distintas usando 5 cuadrados en cada una, sin superponerlos. b) Si deben colocar una cinta en el borde de cada figura, ¿necesitan la misma cantidad de cinta para todas? ¿Cómo pueden decirlo sin medir las figuras? c) Armen dos figuras de diferente perímetro usando 5 rectángulos en cada una, sin superponerlos. Expliquen, sin medir, por qué saben que los perímetros son diferentes. d) Usen como unidad de medida uno de los cuadrados. ¿Cuánto mide el área de cada figura que armaron en c. 1) a- Alejandro dice: “El área de cualquiera de las figuras que armo en el problema 1.a es la mitad del área de cualquiera de las figuras que armo en el problema 1.c. ¿Es correcto lo que dice Ale? ¿Por qué? b- Flor dice: “El perímetro de cualquiera de las figuras que armo en el problema 1.a es la mitad del perímetro de cualquiera de las figuras que armo en el problema 1.c. ¿Es correcto lo que dice Flor? ¿Por qué? 2) Armen una figura que tenga menor perímetro que esta, usando dos de los triángulos, uno de los cuadrados y uno de los rectángulos, sin superponerlos. Expliquen, sin medir, por qué están seguros de qu el perímetro es menor.
3) Armen una figura que tenga mayor perímetro que la dibujada, usando tres de los cuadrados, uno de los rectángulos y uno de los triángulos, sin superponerlos. Expliquen sin medir, por qué están seguros de que tiene más perímetro.
4) Usen los cuadrados como unidad de medida y calculen el área del triángulo. 5) a- Consideren el cuadrado como unidad de medida. ¿Cuánto mide el área de las figuras de los problemas 3 y 4? b-¿Qué sucede con las áreas de las figuras de cada problema?
MÁS ACTIVIDADES : cálculo de perímetros 1) ¿Será cierto que las figuras que se presentan tienen el mismo perímetro?
2) Calculen el perímetro de cada figura. Usen regla.
¿Es cierto que hay dos figuras que tienen el mismo perímetro? 3) ¿Es posible dibujar dos rectángulos diferentes, que tengan perímetro de 12 cm? Si es posible, expliquen cómo lo harían. Si creen que no se puede expliquen por qué. 4) El siguiente rectángulo tiene 10 cm de perímetro. ¿Es cierto que si se aumenta 1 cm en cada lado de 3 cm y se disminuye en 1 cm cada lado de 2 cm, se obtiene otro rectángulo que también tiene 10 cm de perímetro? Expliquen por qué.
5) a) Observen las figuras siguientes.
b) ¿Es cierto que tienen el mismo perímetro? ¿Por qué? c) Dibujen una figura que tenga un perímetro menor que la figura A y una figura que tenga un perímetro mayor que la figura B. 6) a) Dibujen un cuadrado de 12 cm de perímetro. b) ¿Es cierto que si se duplican las medidas de sus lados, se duplica la medida de su perímetro? ¿Por qué? c) ¿Qué modificaciones le harían al cuadrado para que se transforme en rectángulo, pero que su perímetro siga siendo de 12 cm? Expliquen cómo lo pensaron.
Intenciones didácticas: Problemas: 1) Este problema pone en evidencia que figuras de diferentes formas pueden tener el mismo perímetro, así como figuras de la misma forma pueden tene diferentes perímetros. 2) Una vez resuelto el problema, en la puesta en común la docente explicará qué es el perímetro y revisará, junto con los alumnos, cómo se calcula. Se concluirá que el perímetro es la suma de las medidas de los lados que bordean la figura. 3) El objetivo de este problema es analizar que el perímetro no determina una figura, es decir que existen diferentes rectángulos que tienen el mismo perímetro. En la puesta en común la docente preguntará cuánto miden los lados de los rectángulos dibujados. Es posible que aparezcan ejemplos cuyos lados midan: 1cm y 5 cm, 2 cm y 4 cm, etc. La docente propondrá rectángulos cuyos lados no midan un número natural, por ejemplo: 1,3 cm y 4,7 cm. Se registrará que hay infinitos rectángulos con perímetro de 12 cm. Para construir uno solo es necesario elegir dos números que sumados den 6. 4) Se pedirá que los alumnos analicen el problema en grupos. Luego se trabajará con toda la clase y la docente mostrará cómo se transforma el rectángulo al sacar 1 cm de un lado y agregarlo a otro. Se concluirá que el razonamiento muestra que los dos rectángulos tienen el mismo perímetro siempre y cuando se aumenten o disminuyan los lados en una misma cantidad.
5) a- En caso que los alumnos no lleguen a una solución correcta, se mostrará que los lados señalados en las dos figuras tienen la misma medida, entonces ambas tienen el mismo perímetro.
b y c- Se concluirá que para aumentar el perímetro hay que cambiar algún segmento por otro de mayor medida. Por ejemplo:
6) a- El lado del cuadrado de 12 cm de perímetro mide 3 cm porque 3+3+3+3=12. Se preguntará si puede haber otro cuadrado distinto con esa medida de perímetro. Se concluirá que si bien hay muchos rectángulos que tienen el mismo perímetro, hay un único cuadrado con un perímetro dado. b- Es posible que los chicos calculen los lados del nuevo cuadrado y luego su perímetro 6+6+6+6=24, y concluyan que el perímetro se duplicó. Se preguntará si eso pasará en cualquier cuadrado. Se registrará: Al duplicar las medidas de los lados de un cuadrado se obtiene el doble de su suma. Luego, el perímetro también se duplica. c- Para transformar un cuadrado en un rectángulo sin cambiar su perímetro puede usarse la conclusión del problema 4, es decir, aumentar un lado y disminuir el otro en la misma medida.
ÁREA DE FIGURAS DE LADOS RECTOS 1) Para cubrir un piso se usarán piezas de madera como esta: ¡Cómo pueden hacer para calcular la cantidad de piezas necesarias para cubrir un piso como este?
2) Las figuras representan un piso rectangular y distintos tipos de baldosas para cubrirlo.
a) ¿Cuántas baldosas como la verde se necesitan para cubrir todo el piso? b) ¿Cuántas baldosas como la naranja se necesitan para cubrir todo el piso? c) Leo dice que se necesitan la misma cantidad de baldosas verdes que violetas. ¿Es cierto? ¿Por qué? 1) Calculen el área de cada figura del problema anterior considerando un cuadradito de 1 cm de lado como unidad de medida. Pueden ayudarse midiendo con regla o utilizando papel de calcar. 2) a) Dada la siguiente unidad de medida: dibujen tres figuras distintas que tengan un área de 5 unidades. b) Dada la siguiente unidad de medida: Dibujen tres figuras distintas que tengan un área de 10 unidades. ¿Es cierto que las figuras del punto a y del punto b tienen la misma área?
3) Estas figuras tienen la misma área. Expliquen por qué ocurre esto.
Intenciones didácticas: Problemas: 1 y 2) Se pedirá a los alumnos que resuelvan los problemas. En el intercambio se les pedirá a los alumnos que expliquen cómo lo resolvieron. Se registrará: Como las baldosas están formadas por las mismas “partes” se necesita la misma cantidad para cubrir el mismo patio. Si se usa una baldosa que es la mitad de la anterior, se necesitará el doble para cubrir el patio. 3) Se pedirá que resuelvan el problema. Luego de un intercambio se registrarán las siguientes conclusiones: + Una manera de saber la cantidad de cuadraditos de 1 cm de lado que cubren un rectángulo es encontrar el producto entre la medida de la base ( la cantidad de cuadraditos que entran en la base) y la medida de la altura (la cantidad de cuadraditos que entran en ese lado). 4) No hay una única figura que mida 5 veces una unidad de medida. La forma depende de cómo se ubican esas 5 veces. Si una figura tiene un área de 5 cuadraditos unidad y se considera como unidad de medida uno de los triángulos que determina una de las diagonales del cuadradito, el área será de 10 unidades. El área no cambia, solo cambia su medida al cambiar la unidad. 5)Dos o más figuras tienen igual área si con ellas se puede armar la misma figura. Con todas las figuras es poseble armar el mismo rectángulo recortándolas convenientemente.
COMPARACIÓN DE ÁREAS Y PERÍMETROS 1) ¿Cuál de las dos figuras tiene mayor área? ¿Y mayor perímetro?
Dibujen otra figura que tenga un área menor que las dos dadas.
2) ¿Es cierto que las siguientes figuras tienen perímetros iguales y áreas diferentes? ¿Por qué?
3) ¿Es cierto que las siguientes figuras tienen la misma área? ¿Y el mismo perímetro? ¿Por qué?
4) a- Dibujen 3 rectángulos diferentes que tengan 24 cm de perímetro .
b- Midan las áreas de los rectángulos que dibujaron usando como unidad de medida un cuadradito de 1 cm de lado. 5) Dibujen en una hoja cuadriculada dos figuras que tengan 12 cuadraditos de área y perímetros diferentes. 6) Dibujen en una hoja cuadriculada 3 figuras distintas cuyas áreas midan 5 cuadraditos. ¿Son iguales sus perímetros? ¿Por qué? 7) Dibujen en una hoja cuadriculada y considerando cada cuadradito como la unidad de medida: a- Dos figuras que tengan el mismo perímetro, pero áreas diferentes. b- Dos figuras que tengan la misma área, pero perímetros diferentes.
Intención didáctica: Problemas: 1) Se busca que los alumnos descubran que una de las figuras puede transformarse en la otra, por lo que tienen igual área y perímetro. Si no lo ven en la puesta en común, se les mostrará cortando. 2) En este problema las áreas son diferentes porque para que el rectángulo se transforme en la segunda figura hay que sacarle una parte. 3) 4) En estos problemas reutilizan lo desarrollado en los dos anteriores. Se hará una puesta en común para insistir en la explicaciones. 5,6 y 7) El objetivo de estos problemas es sistematizar que hay figuras con igual área y perímetro, con igual área y distinto perímetro o con igual perímetro y diferente área.
Para aplicar lo aprendido 1) a) b) c) d) e) f)
Completa con siempre, a veces, nunca, según corresponda. Explica la respuesta. Si dos figuras tienen la misma área, …………………………tienen el mismo perímetro. Si dos figuras tienen el mismo perímetro, ………………………….tienen la misma área. Si dos figuras son congruentes, ……………………………. Tienen la misma área. Si dos figuras tienen la misma área, ……………………………….. son congruentes. Si dos figuras tienen el mismo perímetro, …………………………….. son congruentes. Si dos figuras son congruentes, ………………………………………….. tienen el mismo perímetro.
1) Completa la tabla: Longitud del lado de un cuadrado (en cm)
Perímetro (en cm)
3 4 6 12 40
¿Es cierto que si se duplica la longitud del lado de un cuadrado, se duplica su perímetro? ¿Por qué? 2) En la tabla se muestran las medidas de los lados de diferentes rectángulos y sus perímetros. En todos ellos entran 36 cuadraditos. Completen la tabla con medidas de otros rectángulos en los que entren 36 cuadraditos.
Medida de un lado
Medida de otro lado
Perímetro
Cuadraditos que entran
4
9
4+4+9+9=36
4x9=36
3
12
3+3+12+12=36
3x12=36
Anoten lo que pensaron para construir la tabla.
BIBLIOGRAFÍA: DOCENTE: •
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“Enseñar matemática en la Escuela Primaria”,Serie Respuestas, Editorial Tinta Fresca. “Serie cuadernos para el aula”, Segundo Ciclo, Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología. “Diseño curricular para Segundo Ciclo”, DGCyE. “Orientaciones didácticas sobre la enseñanza de la Medida en 2°ciclo ”, abc.gov.ar
ALUMNOS: • • •
“Matemática 5”, Serie Entender, Estrada, 2009. “Matemática 6”, Seri Entender, Estrada, 2009. “Matemática 6”, Ciencia en Foco, Aique,2009.
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“Matematica 6”, Serie Cruz del Sur, Tinta Fresca, 2009. “Matimática 5”, Primaria, Tinta Fresca, 2007. “Matimática 6”, Primaria, Tinta Fresca, 2007.
Capacitación: “Perímetro y área”. Profesora: Graciela Borda Trabajo final realizado por: Moira Alejandra Giuliani Gabriela Boaglio
Fecha de entrega: 02/07/2010.
