9.3 Criterio de la integral y series p • •
Emplear el criterio de la integral para determinar si una serie infinita converge o diverge. Usar las propiedades de las series p y de las series armónicas.
•
El criterio de la integral En esta sección y en la siguiente, se estudiarán varios criterios de convergencia que aplican a las series con términos positivos.
TEOREMA 9.10 EL CRITERIO DE LA INTEGRAL Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y an =f ( n ) entonces ∞
∞
( x ) dx a n y ∫ f ( ∑ n= 1
1
o ambas convergen o ambas divergen.
ig!ra 9." DEMO#TRACI$N Comen Comenza zamos mos dividi dividiend endo o el interv intervalo alo [ 1, n ] en n −1 subinterv subintervalos alos de longitud unidad o unitaria, como se muestra en la figura .!. "as áreas totales de los rectángulos inscritos y los rectángulos circunscritos son n
f ( i )= f ( ( 2 ) + f ( ( 3 )+ … + f ( ( n ) Área Área inscrit inscritaa . ∑ = i
2
n− 1
f ( i )= f ( ( 1 ) + f ( ( 2 ) + … + f ( ( n− 1 ) Áreacircun Área circunscrita scrita ∑ i= 1
El área e#acta ba$o la gráfica de f para x =1 a x =n se encuentra entre las áreas inscrita y circunscrita. n
n
n −1
1
1
f ( i ) ≤∫ f ( x ) dx ≤ ∑ f (i ) ∑ i= i= 2
Empleando la n%ésima suma parcial, S n= f ( ( 1 )+ f ( ( 2 ) + … + f ( n ) se puede escribir esta desigualdad como
n
( x ) dx≤S n−1 S n− f ( 1 ) ≤∫ f ( 1
∞
&'ora, suponiendo que que S n− f ( ( 1 ) ≤ L
⟹
1
converge a L se sigue que para n ≥ 1
Sn ≤ L + f ( ( 1 ) .
{ Sn }
(or (or cons consig igui uien ente te,, consiguiente,
∫ f ( x ) dx
∑a
n
es acot acotad ada a y monó monóto tona na,, y por por el teor teorem ema a .) .) conv conver erge ge.. (or (or
converge. (ara la otra dirección de la demostración, asumir que la integral n
improp impropia ia diverg diverge. e. Entonc Entonces es n
S n−1 ≥ ∫ f ( x ) dx implica que 1
∫ f ( x ) dx 1
tien tiende de a infi infini nito to cuand cuando o
n→∞,
y la desigualdad
{ Sn } diverge. &s* pues, ∑ a n diverge.
NOTA +ecordar que la convergencia o divergencia de ∑ a n no se ve afectada al anular los prim primer eros os N términ términos. os. &nálog &nálogame amente nte,, si las condic condicion iones es para para el criter criterio io de la integr integral al se ∞
satisfacen para todo x ≥ N > 1 se puede simplemente usar la integral
∫ f ( x ) dx N
como criterio
de convergencia o divergencia. Esto se ilustra en el e$emplo -. EJEMPLO 1 A%licaci&n del criterio de la integral
&plicar el criterio de la integral a la serie ∞ n . ∑ 2 n= 1 n + 1 2 #ol!ci&n "a función f ( ( x )= x /( x + 1 ) es positiva y continua para x ≥ 1 . (ara determinar si f es decreciente, encontrar la derivada. ( x 2+ 1)( 1 )− x ( 2 x ) − x 2 + 1 ' = 2 2 f ( x x )= ( x 2 + 1 )2 ( x + 1)
&s*, f ' ( x )< 0 pa para x > 1 y se sigu sigue e que que integral. Se puede integrar para obtener ∞ ∞ x 1 ∫ x2 + 1 dx = 2 ∫ x22 x+1 dx 1 1 ¿ 1 lim 2 b →∞
b
∫ x x+ 1 dx 2
1
f satisface las condiciones del criterio de la
n
( x ) dx≤S n−1 S n− f ( 1 ) ≤∫ f ( 1
∞
&'ora, suponiendo que que S n− f ( ( 1 ) ≤ L
⟹
1
converge a L se sigue que para n ≥ 1
Sn ≤ L + f ( ( 1 ) .
{ Sn }
(or (or cons consig igui uien ente te,, consiguiente,
∫ f ( x ) dx
∑a
n
es acot acotad ada a y monó monóto tona na,, y por por el teor teorem ema a .) .) conv conver erge ge.. (or (or
converge. (ara la otra dirección de la demostración, asumir que la integral n
improp impropia ia diverg diverge. e. Entonc Entonces es n
S n−1 ≥ ∫ f ( x ) dx implica que 1
∫ f ( x ) dx 1
tien tiende de a infi infini nito to cuand cuando o
n→∞,
y la desigualdad
{ Sn } diverge. &s* pues, ∑ a n diverge.
NOTA +ecordar que la convergencia o divergencia de ∑ a n no se ve afectada al anular los prim primer eros os N términ términos. os. &nálog &nálogame amente nte,, si las condic condicion iones es para para el criter criterio io de la integr integral al se ∞
satisfacen para todo x ≥ N > 1 se puede simplemente usar la integral
∫ f ( x ) dx N
como criterio
de convergencia o divergencia. Esto se ilustra en el e$emplo -. EJEMPLO 1 A%licaci&n del criterio de la integral
&plicar el criterio de la integral a la serie ∞ n . ∑ 2 n= 1 n + 1 2 #ol!ci&n "a función f ( ( x )= x /( x + 1 ) es positiva y continua para x ≥ 1 . (ara determinar si f es decreciente, encontrar la derivada. ( x 2+ 1)( 1 )− x ( 2 x ) − x 2 + 1 ' = 2 2 f ( x x )= ( x 2 + 1 )2 ( x + 1)
&s*, f ' ( x )< 0 pa para x > 1 y se sigu sigue e que que integral. Se puede integrar para obtener ∞ ∞ x 1 ∫ x2 + 1 dx = 2 ∫ x22 x+1 dx 1 1 ¿ 1 lim 2 b →∞
b
∫ x x+ 1 dx 2
1
f satisface las condiciones del criterio de la
¿
1 x 2+ 1 ) b lim ln ( x 2 b →∞ 1
¿
1 2 lim ln ( b + 1 ) −ln 2 2 b →∞
[
]
[
]
¿∞ (or tanto, la serie diverge. EJEMPLO 2 A%licaci&n del criterio de la integral
&plique el criterio de la integral a la serie ∞
1 ∑ n= n + 1 2
1
2 #ol! #ol!ci ci&n &n Como f ( ( x )=1 /( x +1 ) satisf satisface ace las las condici condicion ones es para el criter criterio io de la integral integral verificar, se puede integrar para obtener
∞
b
1
1 dx ∫ x + 1 dx =blim ∫ →∞ x +1 2
2
1
1
¿ lim [ arctan x ] b
1
b →∞
¿ lim [ arctan b −arctan arctan 1 ] b →∞
π π π ¿ − = . 2
4
4
(or tanto, la serie converge ver la figura ..
Como la integral impropia converge, la serie infinita también converge ig!ra 9.9
TECNOLOG'A En el e$emplo /, el 'ec'o de que la integral impropia conver$a a π
que la serie infinita conver$a a
4
π 4
no implica
. (ara apro#imar la suma de la serie, se puede usar la
desigualdad N
1
∞
1
N
∞
1 +∫ ≤∑ ≤∑ dx . ∑ x +1 n= n + 1 n = n + 1 n= n + 1 2
1
2
1
1
2
1
2
N
0er el e$ercicio 1!. Entre mayor sea el valor N , me$or es la apro#imación. (or e$emplo, usando 1 N =200 se obtiene 1.072 ≤ ∑ 2 ≤ 1.077 . n +1
#eries p y series ar(&nicas En el resto de esta sección se investigará un segundo tipo de serie que admite un criterio aritmético de convergencia o divergencia muy sencillo. Una serie de l a forma ∞
1 = 1 p + 1 p + 1 p + …Serie p . ∑ p 1 2 3 n= n 1
es una serie p donde p es una constante positiva. (ara p=1 la serie ∞
1 1 1 1 = + + + …Serie armónica ∑ n 1 2 3 = n
1
es la serie ar(&nica. Una serie ar(&nica general es de la forma
∑ 1 /( an +b )
En m2sica, las
cuerdas del mismo material, diámetro y tensión cuyas longitudes forman una serie armónica producen tonos armónicos. El criterio de la integral es adecuado para establecer la convergencia o divergencia de las series p. Esto se muestra en la demostración del teorema .33.
#ERIE ARM$NICA (itágoras y sus disc*pulos prestaron minuciosa atención al desarrollo de la m2sica como una ciencia abstracta. Esto llevó al descubrimiento de la relación entre el tono y la longitud de la cuerda vibrante. Se observó que las armon*as musicales más 'ermosas correspond*an a las proporciones más simples de n2meros enteros. 4atemáticos posteriores desarrollaron esta idea en la serie armónica donde los términos de la serie armónica corresponden a los nodos en una cuerda vibrante que produce m2ltiplos de la frecuencia fundamental. (or e$emplo, es el doble de la frecuencia fundamental, es el triple de la frecuencia, y as* sucesivamente. TEOREMA 9.11 CON)ERGENCIA DE #ERIE# p "a serie p ∞
1 1 1 1 1 = p + p + p + p … ∑ p 1 2 3 4 n= n 1
1. converge si p > 1 y *. diverge si 0 < p ≤ 1 . DEMO#TRACI$N "a demostración se sigue del teorema del criterio de la integral y del teorema !.) los cuales establecen que ∞
∫ x1 p dx 1
converge si p >1 y diverge si
0 < p ≤ 1.
EJEMPLO 3 S erie p con+ergente y di+ergente
5iscutir la convergencia o divergencia de a la serie armónica y b la serie p con p=2. #ol!ci&n a, 5el teorema .33, se sigue que la serie armónica ∞
1 1 1 1 = + + + … p =1 ∑ 1 2 3 = n n
1
diverge. b, 5el teorema .33, sigue que la serie p ∞
1 1 1 1 1 = + + + … p= 2 ∑ 1 2 3 4 n= n 2
2
2
2
1
converge. 2 NOTA "a suma de la serie del e$emplo 6 b puede mostrarse que es π / 6 Esto fue demostrado por "eon'ard Euler, pero la demostración es demasiado dif*cil para presentarla aqu*. &segurarse
de ver que el criterio de la integral no dice que la suma de la serie sea igual al valor de la integral. (or e$emplo, la suma de la serie en el e$emplo 6 b es ∞ 2 1 π = ≈ 1.645 ∑ 2 6 n n= 1 pero el valor de la integral impropia correspondiente es ∞
∫ x1 dx =1. 2
1
EJEMPLO 4 An-lisis de la con+ergencia de !na serie
5eterminar si la siguiente serie converge o diverge. ∞
1 ∑ n= n ln n 1
#ol!ci&n Esta serie es similar a la serie armónica divergente. Si sus términos fueran mayores que los de la serie armónica, se esperar*a que fuera divergente. Sin embargo, como sus términos son menores, no se sabe qué esperar. "a función f ( x )=1 /( n ln n ) es positiva y continua para ln x x ¿ x ≥ 2. (ara determinar si f es decreciente, primero se escribe f como y ¿ f ( x )=¿ después se encuentra su derivada. ln x
x ¿
¿
ln x ¿
2
2
¿ f ( x )=(−1 )=¿ x
'
&s*, f ' ( x )< 0 para x > 2 y se sigue que f satisface las condiciones para el criterio integral. ∞
∫ 2
∞
∫ 1ln/ x x dx
1 dx = x ln x
2
x ln ¿ ¿ ¿b
2 ln ¿ ¿ lim ¿ b →∞
¿ lim [ ln ( ln b )− ln ( ln 2 )] = ∞ b →∞
"a serie diverge.
NOTA "a serie infinita en el e$emplo - diverge muy lentamente. (or e$emplo, la suma de los primeros 37 términos es apro#imadamente 3.1!8!31, y la suma de los primeros 377 términos es sólo un poco más grande9 /.6/)7!83. "a suma de los primeros 37 777 términos es
apro#imadamente 6.73)7/387-. Se puede ver que aunque la serie infinita :suma 'acia el infinito;, lo 'ace muy lentamente.
9.3 Eercicios En los eercicios 1 a */ conir(ar !e el criterio de la integral %!ede a%licarse en la serie. Entonces2 !sar el criterio de la integral %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie. ∞
1.
1 ∑ n= n + 3 1
Solución9
∞
2.
2 ∑ n= 3 n + 5 1
Solución9
∞
3.
1 ∑ n n= 2 1
Solución9 ∞
4.
−n 3 ∑ n= 1
Solución9 ∞
5.
∑= e− n
n
1
Solución9
∞
6.
ne−n / ∑ n=
2
1
Solución9
7.
1 1 1 1 1 + + + + +… 2 5 10 17 26
Solución9
8.
1 1 1 1 1 + + + + +… 3 5 7 9 11
Solución9
9.
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 6 + + + + +… 2 3 4 5 6
Solución9
10.
ln 2 ln 3
√ 2
+
√ 3
+
ln 4
√ 4
+
ln 5
√ 5
+
ln 6
√ 6
+…
Solución9
11.
1
+
1
+
1
√ 1 (√ 1 + 1) √ 2 ( √ 2 + 1 ) √ 3 ( √ 3 + 1)
Solución9
+… +
1
√ n ( √ n + 1 )
12.
n 1 2 3 + + +… + 2 +… 4 7 12 n +3
Solución9
∞
13.
∑= √ n1+2 n
1
Solución9
∞
14.
ln n ∑ n= n 3
2
Solución9
∞
15.
ln n ∑ n= n 2
1
Solución9
∞
16.
∑= n √ 1ln n n
2
Solución9
∞
17.
arctan x ∑ n +1 n= 2
1
Solución9
∞
18.
∑= n ln n ln1 (ln n ) n
3
Solución9
∞
19.
∑= ( 2 n1+ 3)
3
n 1
Solución9 ∞
20.
∑= nn ++ 21 n
1
Solución9 ∞
21.
4n ∑ n= 2 n + 1 2
1
Solución9
∞
22.
n ∑ n= n + 1 4
1
Solución9
∞
23.
∑= (4 + 5nn) /
3 2
n 1
Solución9 ∞
24.
n ∑ n= n + 2 n + 1 4
2
1
Solución9
En los eercicios * y *42 a%licar el criterio de la integral %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie donde k es !n entero %ositi+o. ∞
n −1 25. ∑ n=1 n + c
Solución9
∞
26.
n e−n ∑ n= 1
Solución9
En los eercicios *5 a 302 e6%licar %or !7 el criterio de la integral no a%lica a la serie. ∞
(−1 )n 27. ∑ n n=1 Solución9
∞
28.
e−n cos n ∑ n= 1
Solución9
∞
29.
∑= 2 + senn n n
1
Solución9
∑= ( ∞
30.
n 1
senn n
)
2
Solución9
En los eercicios 31 a 3/2 a%licar el criterio de la integral %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie p . ∞
31.
1 ∑ n= n
3
1
Solución9
∞
32.
1 ∑ / n= n
1 3
1
Solución9
∞
33.
1 ∑ / n= n
1 4
1
Solución9
∞
34.
1 ∑ n= n
4
1
Solución9
En los eercicios 3 a /*2 !sar el teore(a 9.11 %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie p . ∞
35.
∑ n= 1
1 5
√ n
Solución9
∞
36.
5 ∑ / n= n
5 3
1
Solución9
37.1 +
1
+
1
+
1
√ 2 √ 3 √ 4
+…
Solución9
38.1 +
1 1 1 1 + + + … 4 9 16 25
Solución9
39.1 +
1 2 √ 2
+
1 3 √ 3
+
1 4 √ 4
+
1 5 √ 5
Solución9
1 1 1 1 +3 … 40.1 + 3 + 3 + 3 √ 4 √ 9 √ 16 √ 25
Solución9
∞
41.
1 ∑ n= n
1.04
1
…
Solución9
∞
42.
1 ∑ π n= n 1
Solución9
En los eercicios /3 a /"2 asignar la serie a la gr-ica de la s!cesi&n de s!s s!(as %arciales. 8Las gr-icas se eti!etan a,2 b,2 c ,2 d ,2 e, y f ,. Deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie.
∞
43.
∑ n= 1
2 4
√ n
Solución9
∞
44.
2 ∑ n= n 1
Solución9
∞
45.
∑ n= 1
2
√ nπ
Solución9
∞
46.
∑ n= 1
2
√ n2 5
Solución9
∞
47.
2 ∑ = n √ n n
1
Solución9
∞
48.
2 ∑ n= n
2
1
Solución9
/9. Análisis numérico !ráfico Usar una 'erramienta de graficación para encontrar la suma parcial indicada S n y completar la tabla. Entonces usar una 'erramienta de graficación para representar los primeros 37 términos de la sucesión de sumas parciales. En cada caso comparar el ritmo o velocidad a la cual la sucesión de las sumas parciales se apro#ima a la suma de la serie.
∞
()
1 a¿ 3 5 n= 1
∑
n −1
∞
2
1 π = 15 b ¿ = 2 4 6 n= 1 n
∑
Solución9
0. "a#onamien$o numérico Como la serie armónica diverge, se sigue que para cualquier n2mero real positivo ! e#iste un entero positivo N tal que la suma parcial N
1 > ! . ∑ n = n
1
a Usar una 'erramienta de graficación para completar la tabla
b Conforme el n2mero real M crece a incrementos iguales, < N crece también a incrementos
iguales= E#plicar Solución9
Desarrollo de conce%tos 1. Enunciar el criterio de la integral y dar un e$emplo de su uso. Solución9
*. 5efinir una serie p y enunciar los requisitos para su convergencia. Solución9
3. Un alumno de la clase de cálculo le dice a un amigo que la serie siguiente converge porque los términos son muy peque>os y se apro#iman a 7 rápidamente.
Solución9
/. En los e$ercicios -6 a -!,
lim an= 0
n →∞
para todas las series pero no todas convergen.
ésta una contradicción del teorema .= <(or qué algunas convergen y otras divergen= E#plicar. Solución9
. Sea f una función positiva, continua y decreciente para x ≥ 1, tal que an =f ( n ) Usar una gráfica para ordenar las cantidades siguientes en orden decreciente. E#plicar su razonamiento. 7
7
6
n= 2
1
n= 1
a ¿ ∑ a n b ¿ ∫ f ( x ) dx c ¿ ∑ a n
Solución9
:ara disc!si&n 4. Usar una gráfica para demostrar que la desigualdad es cierta.
a¿∑ n= 1
1
√ n
∞
>∫ 1
1
√ x
∞
∞
<∫ 12 dx n= 1 n 1 x
dx b ¿ ∑
1
2
Solución9
En los eercicios 5 a 4*2 encontrar los +alores %ositi+os de con+erge. ∞
57.
∑= n ( ln1 n )
p
n 2
Solución9
∞
58.
1 ∑ p n= n 2
Solución9
∞
59.
n ∑ p n= ( 1+ n ) 2
1
Solución9
p
%ara la c!al la serie
∞
60.
n ( 1 +n ) p ∑ n= 2
1
Solución9
∞
61.
1 ∑ n n= p 1
Solución9 ∞
62.
∑ n= 3
1 p
n ln n [ ln ( ln n ) ]
Solución9
En eercicios 43 a 442 !sar el res!ltado del eercicio 5 %ara deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de la serie. ∞
63.
1 ∑ n= n ln n 2
Solución9
∞
64.
∑ n=
2
1
n √ ( ln n )2
Solución9
3
∞
65.
1 ∑ n= n ( ln n )
2
2
Solución9
∞
66.
1 ∑ n= n ln ( n ) 2
2
Solución9
45. Sea f una función positiva, continua y decreciente para 5emuestre que si la serie ∞
an ∑ n= 1
converge a S, entonces el residuo " N = S −S N está acotado por ∞
0 ≤ " N ≤
∫ f ( x ) dx . N
Solución9
x ≥ 1,
tal que
an =f ( n )
4". 4ostrar que el resultado del e$ercicio 18 puede escribirse como N
∞
∞
∞
a n ≤ ∑ a n ≤ ∑ an +∫ f ( x ) dx ∑ = n n= n= 1
1
1
N
Solución9
En los eercicios 49 a 5/2 !sar el res!ltado del eercicio 45 %ara a%ro6i(ar la s!(a de la serie con+ergente !sando el n;(ero indicado de t7r(inos. Incl!ir !na esti(aci&n del error (-6i(o en s! a%ro6i(aci&n. ∞
69.
1 , seis t#rmin$s ∑ n= n 4
1
Solución9
∞
70.
1 , c uatr$ t#rmin$s ∑ n= n 5
1
Solución9
∞
71.
1 ,die%t#rmin$s ∑ n= n + 1 2
1
Solución9
∞
72.
∑ n= ( 1
1 3
n +1 ) [ ln ( n + 1 )]
, die% t#rmin$s
Solución9
∞
73.
∑ n e−n ,cuatr$t#rmin$s n=1
Solución9
2
∞
74.
e−n ,cuatr$t#rmin$s ∑ n= 1
Solución9
En los eercicios 5 a "02 !sar el res!ltado del eercicio 45 %ara encontrar N tal !e " N ≤ 0.001 en las series con+ergentes. ∞
75.
1 ∑ n= n
4
1
Solución9
∞
76.
1 ∑ / n= n
3 2
1
Solución9
∞
77.
∑= e− n
5n
1
Solución9
∞
78.
en / ∑ n=
2
1
Solución9
∞
79.
1 ∑ n= n + 1 2
1
Solución9
∞
80.
2 ∑ n= n + 5 2
1
Solución9
∞
81. a ¿ !$strar&ue
1
∑ n= n 2
∞
c$ner(e y ∑ 1.1
n= 1
1 dier(e . n ln n
b Comparar los primeros cinco términos de cada serie del apartado a.
c @allar n > 3 tal que 1
1
< n1,1 n ln n
Solución9
"*. Se usan diez términos para apro#imar una serie p convergente. (or consiguiente, el resto es una función de p y es ∞
0 ≤ " 10 ( p ) ≤
∫ x1 p dx, p >1. 10
a +ealizar la integración en la desigualdad. b Usar una 'erramienta de graficación para representar gráficamente la desigualdad. c Adentificar cualquier as*ntota de la función error e interpretar su significado.
Solución9
"3. %ons$an$e de Euler Sea n
1
1
1
S n =∑ = 1 + + … + n 2 =1 a 4ostrar que
ln ( n + 1) ≤ S n ≤ 1 + ln n .
{ a n }={ Sn −ln n } es acotada. a c 4ostrar que la sucesión { n } es decreciente. b 4ostrar que la sucesión
an converge a un l*mite ) llamado constante de Euler. a100 . e &pro#imar ) usando d 4ostrar que
Solución9
"/. Encontrar la suma de la serie ∞
( )
1 ln 1− ∑ n n=
2
1
Solución9
". Considerar la serie ∞
x ∑ = n
ln n
2
a 5eterminar la convergencia o divergencia de la serie para x =1.
= / b 5eterminar la convergencia o divergencia de la serie para x 1 e c @allar los valores positivos de x
para la cual la serie converge.
Solución9
"4. "a !nci&n
* ( x )=∑ n− x n=1
converge. Encontrar el dominio de la función. Solución9
"epaso En los eercicios "5 a 9"2 deter(inar la con+ergencia o di+ergencia de las series. ∞
87.
1 ∑ n= 3 n −2 1
Solución9
∞
88.
∑ n=
2
1
n √ n2 −1
Solución9
∞
89.
1 ∑ n= n n 4
√
1
Solución9
∞
90.3
1 ∑ n= n
0.95
1
Solución9
∑= ( ∞
91.
n 0
2 3
Solución9
)
n
∞
92.
( 1.042 )n ∑ n= 0
Solución9
∞
93.
n 2 1 √ n + 1
∑ n=
Solución9
∞
94.
∑ n=
1
(
1
1
− 3 2 n n
Solución9
∑= (1 + n ) ∞
95.
n 1
Solución9
1
n
)
∞
96.
ln n ∑ n= 2
Solución9
ln n ¿
3
¿ n¿ 1
¿
∞
97.
¿ ∑ n= 2
Solución9
∞
98.
ln n ∑ n n= 3
2
Solución9
:RO=ECTO DE TRA>A?O La serie ar(&nica "a serie armónica
∞
1 1 1 1 1 =1 + + + + … + + … ∑ n 2 3 4 n= n 1
es una de las series más importantes en este cap*tulo. &unque sus términos tienden a cero cuando n aumenta, lim 1 n→ ∞
n
=0
la serie armónica diverge. En otras palabras, aunque los términos se van 'aciendo cada vez más y más peque>os, la suma :es infinita;. a Una manera de demostrar que la serie armónica diverge se atribuye a Baob Dernoulli. l agrupó los términos de la serie armónica como sigue 1+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + … + + + …. + + + …+ + … 2 3 4 5 8 9 16 17 32
Escribir un párrafo corto que e#plique cómo se puede usar esta manera de agrupar los términos para mostrar que la serie armónica diverge. b Usar la demostración del criterio de la integral, teorema .37, para mostrar que ln ( n + 1) ≤ 1 +
1 1 1 1 + + + … + ≤ 1 + ln n. 2 3 4 n
c Usar el inciso b para determinar cuántos términos ! se necesitar*an para que !
1 >50. ∑ n= n 1
d 4ostrar que la suma del primer millón de términos de la serie armónica es menor de 3). e 4ostrar que las desigualdades siguientes son válidas. ln
21 1 1 1 20 ≤ + + … + ≤ ln 10 10 11 20 9
ln
201 1 1 1 200 + +…+ ≤ ≤ ln 100 100 101 200 99
f Usar las ideas del inciso e para encontrar el l*mite 2m
lim
1 . ∑ n =
m→∞ n m
Solución9
