9.8Series de potencia Comprender la definición de una serie de potencia. Calcular el radio y el intervalo de convergencia de una serie de potencia. Determinar la convergencia en los puntos terminales de una serie de potencia. Derivar e integrar una serie de potencia.
• • • •
EXPLORACIÓN Razonamie Razonamiento nto gráfico gráfico Usar una herramienta de graficación para aproximar la gráfica de cada seri serie e de pote potenc ncia ia cerc cerca a de x =0. (Usar los primeros términos de cada serie.) Cada serie
representa una función muy conocida. ¿Cuál es la función ∞
a¿
∑ =
(−1)n x n n!
n 0
∞
(−1)n x 2 n b¿∑ (2 n ) ! n= 0 (−1 )n x 2 n+ 1 c ¿∑ n =0 ( 2 n + 1 ) ! ∞
(−1 )n x 2 n+ 1 d ¿∑ 2 n +1 n= 0 ∞
∞
e¿
∑ = n 0
n
2 x
n
n!
Series de potencia !n la sección ".# se presentó el concepto de aproximación de las funciones por medio de x polinomios de $aylor. %or e&emplo' la función f ( ( x )=e puede ser aproximada por sus polinomios de aclaurin como sigue. x
e ≈ 1 + x Polinomio de grado 1.
x
e ≈ 1 + x +
x
2
2!
Polinomi Polinomio o degrad de grado o 2.
2
3
2!
3!
x x e ≈ 1 + x + + Polinomi Polinomio o de grado grado 3. x
x
e ≈ 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
Polino Polinomio mio de grado grado 4.
x
e ≈ 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+
x
5
5!
Polinom Polinomio io de grado grado 5.
!n esa sección se vio ue la aproximación es me&or cuanto mayor es el grado del polinomio. !n ésta y las próximas dos secciones se verá ue varios tipos importantes de funciones' incluyendo x f ( ( x ) =e
seri riee de pued pueden en ser ser repr repres esen enta tada dass exac por medi medio o de una una seri serie e infi infini nita ta llam llamad ada a se exactam tamen ente te por x potencia. %or e&emplo' la representación de serie de potencia para e es x
2
x
n
3
x e =1 + x + + + … + + … 2! 3 ! n! x
%ara %ara cada cada n*me n*mero ro real real x
puede mostrarse ue la serie infinita a la derecha converge al
x
e .
n*me n*mero ro +in em,argo' antes de hacer esto se tratan algunos resultados preliminares relacionados con series de potencias' empe-ando con la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE SERIES DE POTENCIA +i x es una varia,le' entonces una serie infinita de la forma ∞
a x = a + a x + a x + a x + … + a x + … ∑ = n
n
2
0
1
2
n
3
3
n
n 0
se llama serie de potencia. De manera más general' una serie infinita de la forma ∞
a ( x −c ) =a + a ( x −c )+ a ( x −c ) + a ( x −c ) + … + a ( x −c ) + … ∑ = 2
n
n
0
1
2
3
3
n
n
n 0
se llama serie de potencia centrada en c , donde c es una constante.
NOTA %ara simplificar la notación para series de potencia' se esta,lece ue cuando x =c . EJEMPLO 1 Series de potencia a) a serie de potencia siguiente está centrada en ∞
n
2
0.
3
x =1 + x + x + x + … 2! 3 ! n= 0 n !
∑
b) a serie de potencia siguiente está centrada en
−1.
( x −c )0=1,
aun
x
e ≈ 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+
x
5
5!
Polinom Polinomio io de grado grado 5.
!n esa sección se vio ue la aproximación es me&or cuanto mayor es el grado del polinomio. !n ésta y las próximas dos secciones se verá ue varios tipos importantes de funciones' incluyendo x f ( ( x ) =e
seri riee de pued pueden en ser ser repr repres esen enta tada dass exac por medi medio o de una una seri serie e infi infini nita ta llam llamad ada a se exactam tamen ente te por x potencia. %or e&emplo' la representación de serie de potencia para e es x
2
x
n
3
x e =1 + x + + + … + + … 2! 3 ! n! x
%ara %ara cada cada n*me n*mero ro real real x
puede mostrarse ue la serie infinita a la derecha converge al
x
e .
n*me n*mero ro +in em,argo' antes de hacer esto se tratan algunos resultados preliminares relacionados con series de potencias' empe-ando con la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE SERIES DE POTENCIA +i x es una varia,le' entonces una serie infinita de la forma ∞
a x = a + a x + a x + a x + … + a x + … ∑ = n
n
2
0
1
2
n
3
3
n
n 0
se llama serie de potencia. De manera más general' una serie infinita de la forma ∞
a ( x −c ) =a + a ( x −c )+ a ( x −c ) + a ( x −c ) + … + a ( x −c ) + … ∑ = 2
n
n
0
1
2
3
3
n
n
n 0
se llama serie de potencia centrada en c , donde c es una constante.
NOTA %ara simplificar la notación para series de potencia' se esta,lece ue cuando x =c . EJEMPLO 1 Series de potencia a) a serie de potencia siguiente está centrada en ∞
n
2
0.
3
x =1 + x + x + x + … 2! 3 ! n= 0 n !
∑
b) a serie de potencia siguiente está centrada en
−1.
( x −c )0=1,
aun
∞
(−1 ) ( x + 1) =1−( x + 1 )+ ( x + 1 ) − ( x x + 1 ) + … ∑ = n
2
n
3
n 0
c ) a serie de potencia siguiente está centrada en ∞
1.
1 ( x −1 ) =( x −1 ) + 1 ( x −1 ) + 1 ( x −1 ) + … ∑ 2 3 = n 2
n
3
n 1
Radio e intera!o de coner"encia Una serie de potencia en x puede verse como una función de x ∞
f ( ( x )=
a ( x −c ) ∑ =
n
n
n 0
dond donde e el domi con&un unto to de toda todass las las x para el ue la serie de potencia domini nio o de f es el con& converge. a determinación del dominio de una serie de potencia es la preocupación primaria en esta sección. Claro está ue cada serie de potencia converge en su centro c porue ∞
f ( ( c )=
∑= a ( c −c )
n
n
n 0
¿ a0 ( 1 )+ 0 + 0 + … +0 + … ¿ a0 .
/s0' c siempre ueda en el dominio de f . !l importante teorema siguiente esta,lece ue el dominio de una serie de potencia puede tomar tres formas ,ásicas1 un solo punto' un intervalo centrado en c , o toda la recta real' como se muestra en la figura ".2#. Una demostración se da en el apéndice /.
!l dominio de una serie de potencia tiene sólo tres formas ,ásicas1 un solo punto' un intervalo centrado en c , o toda la recta real Fi"#ra 9.
%$ TEORE&A 9.'( CONER*ENCIA DE +NA SERIE DE POTENCIA %ara una serie de potencia centrada en verdadera.
$. a serie converge sólo en c . '. !xist !xiste e un n*mero n*mero real real R > 0
c,
exactamente una de las siguientes afirmaciones es
tal ue la serie converge converge a,solutame a,solutamente nte para
| x −c|< R ,
y
diverge para | x −c|> R .
,. a serie converge a,solutamente para todo x . !l n*mero es el radio de coner"encia de la serie de potencia. +i la serie sólo converge en c , el radi radio o de conv conver erge genc ncia ia es R= 0, y si la serie erie conv onverg erge para ara todo todo x , el radio de convergencia es R= ∞ . !l con&unto de todos los valores de x para los cuales la serie de potencia converge es el intera!o de coner"encia de la serie de potencia. EJEMPLO 2 -a!!ar e! radio de coner"encia
3allar el radio de convergencia de ∞
n! x ∑ =
n
.
n 0
So!#cin %ara x =0, se o,tiene ∞
f ( ( x )=
n! 0 =1 + 0 + 0 + … =1. ∑ = n
n 0
n %ara cualuier valor fi&o de x tal ue | x|> 0, sea un= n! x . !ntonces
lim n →∞
| | | an+ 1 an
= lim
n→ ∞
( n + 1 ) ! ( x + 1 )n n! x
n
|
¿| x|lim (n +1 ) n→ ∞
¿∞
%or consiguiente' por el criterio del cociente' la serie diverge para centro' 0. %or tanto' el radio de convergencia es R= 0.
| x|> 0 y sólo converge en su
A/+DA DE EST+DIO %ara determinar el radio de convergencia de una serie de potencia' aplicar el criterio del cociente' como se demuestra en los e&emplos 4' 5 y 6. EJEMPLO 3 -a!!ar e! radio de coner"encia
3allar el radio de convergencia de
∞
3 ( x −2) . ∑ = n
n 0
x ≠ 2,
So!#cin %ara lim n →∞
| | | an+ 1 an
= lim
sea n +1
3 ( x − 2)
n
3 ( x −2 )
n→ ∞
n
un=3 ( x − 2 ) .
!ntonces
|
¿ lim | x −2| n →∞
¿| x −2|
%or el criterio del cociente' la serie converge si
| x −2|< 1
y diverge si
| x −2|>1.
%or
consiguiente' el radio de convergencia de la serie es R=1. EJEMPLO 4 -a!!ar e! radio de coner"encia
3allar el radio de convergencia de
(−1 )n x 2 n+ 1 ∑ n= 0 ( 2 n + 1 ) ! ∞
(−1 )n x 2 n+1 So!#cin %ara un= ( 2 n +1 ) ! !ntonces
lim n →∞
| | a n+ 1 an
= lim
lim x
¿
n→ ∞
| | ( −1 )n +1 x 2 n+3 (2n+ 3) ! (−1 )n x 2 n+1 ( 2 n +1 ) !
2
n→ ∞
( 2 n +3 )( 2 n +2)
.
%ara cualuier valor fijo x , este l0mite es
0.
%or el criterio del cociente' la serie converge para todo x . %or consiguiente' el radio de convergencia es R= ∞ .
Coner"encia en !os p#ntos ter0ina!es
7otar ue para una serie de potencia cuyo radio de convergencia es un n*mero finito R , el teorema ".48 no dice nada so,re la convergencia en los puntos terminales del intervalo de convergencia. Cada punto terminal de,e anali-arse separadamente respecto a convergencia o divergencia. Como resultado' el intervalo de convergencia de una serie de potencia puede tomar cualuiera de las seis formas mostradas en la figura ".29.
:ntervalos de convergencia Fi"#ra 9.$8 EJEMPLO 5 -a!!ar e! intera!o de coner"encia
3allar el intervalo de convergencia de ∞
n
x . n n= 1
∑
n
So!#cin 3aciendo
x un= n
se tiene ue
|| n+ 1
lim n →∞
x + = lim n n1 n→ ∞ x n
| | an + 1 an
| |
¿ lim nx n →∞ n + 1 ¿| x|.
%or tanto' por el criterio del cociente' el radio de convergencia es R=1. ; como la serie es centrada en 0, converge en el intervalo (−1, 1 ) . +in em,argo' este intervalo no es necesariamente el intervalo de convergencia. %ara determinar el intervalo se de,e anali-ar la convergencia en cada uno de sus puntos terminales. Cuando x =1 se o,tiene la serie armónica divergente ∞
1 1 1 1 = + + + … Diverge cuando x=1 ∑ 1 2 3 = n n 1
Cuando x =−1, se o,tiene la serie armónica alternada o alternante convergente
∞
∑ =
(−1 )n n
n 1
=−1 + 1 − 1 + 1 −… Convergecuando x =−1 2
3
4
%or tanto' el intervalo de convergencia para la serie es ".2".
[ −1, 1 ) , como se muestra en la figura
Fi"#ra 9.$9 EJEMPLO 6 -a!!ar e! intera!o de coner"encia
3allar el intervalo de convergencia de ∞
∑ =
(−1 )n( x + 1 )n n
2
n 1
So!#cin 3aciendo un=
lim n →∞
| | an+ 1 an
¿ lim n →∞
|
= lim n→ ∞
n
|
(−1 )n ( x + 1)n
(−1)n +1 ( x + 1 )n+1 n +1
2
(−1 )n ( x + 1 )n n
2
n
2
se o,tiene
|
|
2 ( x + 1 ) 2
n+ 1
| |
¿
x + 1 2
%or el criterio del cociente' la serie converge si
| |< x + 1 2
1
convergencia es R=2. Como la serie está centrada en (−3, 1 ) . /demás' en los puntos terminales se tiene ∞
∑ = n 1
(−1 )n(−2 )n n
2
∞
=∑ n= 1
2
n
2
n
∞
=∑ 1 Diverge cuando x =−3 n= 1
y ∞
∑ = n 1
(−1 )n( 2)n n
2
∞
=∑ (−1 )2 Diverge cuandox =1. n=1
o
| x +1|<2 %or tanto' el radio de x =−1,
converge en el intervalo
am,os divergen. %or tanto' el intervalo de convergencia es figura ".48.
(−3, 1 ) , como se muestra en la
Fi"#ra 9.'( EJEMPLO 7 -a!!ar e! intera!o de coner"encia
3allar el intervalo de convergencia de ∞
n
x . 2 n n= 1
∑
n
x un= 2 n
So!#cin 3aciendo
se o,tiene
| | n+ 1
lim n →∞
| |
an+ 1 = lim an n→ ∞
x ( n + 1 )2 n
x 2 n
| | 2
¿ lim n →∞
n x
( n + 1 )2
¿| x|
%or tanto' el radio de convergencia es R=1. Como la serie es centrada en x =0, converge en el intervalo (−1, 1 ) . Cuando x =1 se o,tiene la serie p convergente ∞
1 1 1 1 1 = + + + + … Converge cuando x =1 ∑ 1 2 3 4 = n 2
2
2
2
2
n 1
Cuando x =−1 se o,tiene la serie alternada convergente ∞
(−1 )n −1 1 1 1 ∑ 2 = 2 + 2 − 2 + 2 − …Converge cuando x =−1 n= 1
n
1
2
3
4
%or consiguiente' el intervalo de convergencia para la serie dada es [ −1, 1 ] .
Uno de los primeros matemáticos ue tra,a&aron con series de potencias fue el escocés
l desarrolló un método de series de potencias para interpolar valores en una ta,la' método ue usó después ?roo@ $aylor en el desarrollo de los polinomios de $aylor y las series de $aylor.
Deriacin e inte"racin de series de potencia a representación de funciones mediante series de potencias ha &ugado un papel importante en el desarrollo del cálculo. De hecho' mucho del tra,a&o de 7eAton con derivación e integración fue reali-ado en el contexto de las series de potencias especialmente su tra,a&o con funciones alge,raicas complicadas y con funciones trascendentes. !uler' agrange' ei,ni- y ?ernoulli usaron ampliamente las series de potencias en cálculo. Una ve- ue se ha definido una función con una serie de potencia' es natural preguntarse cómo se pueden determinar las caracter0sticas de la función. ¿!s continua ¿Deriva,le !l teorema ".42' el cual se esta,lece sin la demostración' contesta estas preguntas.
TEORE&A 9.'$ PROPIEDADES DE LAS F+NCIONES DEFINIDAS &EDIANTE SERIES DE POTENCIA +i la función dada por ∞
f ( x )=
a ( x −c ) =a + a ( x − c )+ a ( x −c ) + a ( x −c ) + … ∑ = 2
n
n
0
1
3
2
3
n 0
tiene un radio de convergencia de R > 0, entonces' en el intervalo ( c − R , c + R ) , f es deriva,le (y por consiguiente continua). /demás' la derivada y la primitiva o antiderivada de sigue. ∞
1. f ' ( x )=
− na ( x −c ) = a + 2 a ( x − c ) + 3 a ( x −c ) + … ∑ = n 1
2
1
n
2
3
n 1
( x − c )n +1 ( x − c )2 ( x − c )3 =C + a0 ( x −c ) + a 1 + a2 +… 2.∫ f ( x ) dx =C + ∑ a n n + 1 2 3 n= 0 ∞
f
son como
!l radio de convergencia de la serie o,tenida mediante la derivación o integración de una serie de potencia es el mismo ue el de la serie de potencia original. +in em,argo' el intervalo de convergencia puede diferir como resultado del comportamiento en los puntos terminales. !l teorema ".42 esta,lece ue' en muchos aspectos' una función definida mediante una serie de potencia se comporta como un polinomio. !s continua en su intervalo de convergencia' y tanto su derivada como su antiderivada o primitiva pueden ser determinadas derivando e integrando cada término de la serie de potencia dada. %or e&emplo' la derivada de la serie de potencia ∞
n
2
3
4
x x x x =1 + x + + + + … f ( x )= 2! 3 ! 4 ! n= 0 n !
∑
!s x
2
3!
f ' ( x )=1 +( 2) +(3 )
¿ 1+ x +
x
2
+
2
x
x
3
2! 3!
+
x
3
+( 4 )
x
4!
+( 5)
x
4
5!
+…
4
4!
+…
¿ f ( x ) f ( x )=f ( x ) '
7ótese ue
¿+e reconoce esta función
EJEMPLO 8 Intera!os de coner"encia de
'
f ( x ) , f ( x ) e
∫ f ( x ) dx
Considerar la función dada por ∞
2
n
3
4
x = x + x + x + x + … f ( x )= 2 3 4 n= 1 n
∑
Calcular los intervalos de convergencia para cada una de las siguientes expresiones. a ¿∫ f ( x ) dx b ¿ f ( x ) c ¿ f ' ( x )
So!#cin %or el teorema ".42' se tiene ∞
'
− x =1 + x + x + x + … ∑ = n 1
f ( x )=
2
3
n 1
; ∞
∫ f ( x ) dx =C +∑ = n 1
2
3
n+ 1
x n (n + 1 ) 4
x x x ¿ C + + + +… 1∙ 2 2 ∙3 3 ∙ 4
%or el criterio del cociente' se puede demostrar ue cada serie tiene un radio de convergencia R=1. Considerando el intervalo (−1, 1 ) , se tiene lo siguiente.
∫ f ( x ) dx ,
a) %ara
la serie ∞
∑ = n 1
n +1
x Inervalo de convergencia : [−1, 1 ] . n ( n + 1)
converge para x = 1, y su intervalo de convergencia es [ −1, 1 ] . Ber figura ".42 a. f ( x )
b) %ara
la serie ∞
n
x Inervalode convergencia : [− 1,1 ] . n=1 n
∑
converge para x =−1 y diverge para −1, 1 ) . Ber figura ".42 b. f ( x ) , '
c ) %ara
x =1.
%or tanto' su intervalo de convergencia es
la serie
∞
− x Inervalo de convergencia : (−1, 1 ) . ∑ = n 1
n 1
diverge para x = 1, y su intervalo de convergencia es (−1,1 ) Ber figura ".42 c
Fi"#ra 9.'$ !n el e&emplo 9 parece ue de las tres series' la de la derivada' f ' ( x ) es la ue tiene menor posi,ilidad de converger en los puntos terminales. De hecho' puede mostrarse ue si la serie de f ' ( x ) converge en los puntos terminales x =c R , la serie de f ( x ) tam,ién converge en ellos.
9.8 E1ercicios En !os e1ercicios $ a 23 esta4!ecer dnde est5 centrada !a serie de potencia. ∞
1.
∑= n x
n
n 0
+olución1
∞
2.
∑=
(−1 )n 1 ∙ 3 ∙ ∙ ∙ ( 2 n−1 ) n
2 n!
n 1
x
n
+olución1 ∞
3.
∑= n 1
( x −2)n n
3
+olución1 ∞
(−1)n ( x −" )2 n 4. ∑ (2 n)! n =0 +olución1
En !os e1ercicios 6 a $(3 7a!!ar e! radio de coner"encia de !a serie de potencia. ∞
n
(−1) x 5. n +1 n =0
∑
n
+olución1
∞
6.
∑= ( 4 x )
n
n 0
+olución1
∞
7.
∑= n 1
( 4 x )n n
+olución1
2
∞
8.
∑=
(−1 )n xn 5
n 0
n
+olución1
∞
2n
x 9. n=0 ( 2 n ) !
∑
+olución1
∞
10.
∑=
( 2 n ) ! x2 n n!
n 0
+olución1
En !os e1ercicios $$ a ,23 7a!!ar e! intera!o de coner"encia de !a serie de potencia. Ase"#rarse de inc!#ir #n an5!isis de !a coner"encia en !os p#ntos ter0ina!es de! intera!o.) ∞
∑=
11.
n 0
() x
n
4
+olución1
∞
12.
∑= n 0
() x
7
+olución1
n
∞
13.
∑=
(−1 )n x n n
n 1
+olución1
∞
14.
∑= (−1 ) + ( n + 1) x n 1
n 0
+olución1
∞
5n
x 15. n =0 n !
∑
+olución1
∞
( 3 x )n 16. ∑ n =0 ( 2 n ) !
n
+olución1
∞
17.
∑= ( 2 n ) ! n 0
()
n
x
3
+olución1
∞
(−1 )n x n 18. ∑ n =0 ( n + 1 )( n + 2 )
+olución1
19.
∞
(−1 )n+1 x n
n 1
4
∑=
n
+olución1
∞
20.
∑=
(−1 )n n! ( x −5 )n
n 1
+olución1
n
3
21.
∞
(−1 )n+1 ( x − 4 )n
n 1
n9
∑=
n
+olución1
( x −3) n+1 22. ∑ n +1 n=1 ( n + 1 ) 4 ∞
+olución1
(−1 )n+1 ( x − 4 )n+ 1 23. ∑ n +1 n=1 ∞
+olución1
24.
∞
(−1 )n+1 ( x −2 )n
n 1
n2
∑=
n
+olución1
∞
25.
∑=
( x −3 )n−1
n 1
+olución1
n−1
3
(−1 )n x 2 n+1 26. ∑ 2 n +1 n =0 ∞
+olución1
∞
27.
n
∑= n + 1 (−2 x ) n 1
+olución1
n− 1
∞
28.
∑=
(−1 )n x 2 n n!
n 0
+olución1
∞
29.
∑= n 0
3 n+ 1
x ( 3 n +1 ) !
+olución1
∞
30.
∑= n 1
n
n! x ( 2 n) !
+olución1
∞
31.
∑=
2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ ∙ ∙ ( n + 1 ) x
n
n!
n 1
+olución1
∞
32.
∑= n 1
[
]
2 ∙ 4 ∙ 6∙ ∙ ∙ 2 n 2 n+ 1 x 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ ∙∙ ( 2 n + 1 )
+olución1
x −3
¿ ¿ ¿n
(−1)n +1 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙∙ ∙ ( 4 n −1)¿ ¿ ∞
33.
∑= ¿ n 1
+olución1
x + 1 ¿
n
¿
n!¿
¿
∞
34.
∑= ¿ n 1
+olución1
En !os e1ercicios ,6 ,:3 7a!!ar e! radio de coner"encia de !a serie de potencia3 donde c > 0 # es #n entero positio. ∞
30.
∑=
( x −c )n −1
n 1
+olución1
c
n−1
#
n! ¿ x
n
¿ ¿ ¿
∞
36.
∑= ¿ n 0
+olución1
En !os e1ercicios ,% a 2(3 7a!!ar e! intera!o de coner"encia de !a serie de potencia. Ase"#rarse de inc!#ir #n an5!isis de !a coner"encia en !os p#ntos ter0ina!es de! intera!o.) ∞
37.
∑= n 0
() x n
+olución1
n
,# > 0
x − c
¿ ¿ ¿n (−1)n +1 ¿ ¿ ∞
38.
¿ ∑ = n 1
+olución1
∞
39.
∑= n 1
# ( # + 1 ) ( # + 2 ) … ( # + n −1 ) x ,#$1 n!
+olución1
x −c
¿ ¿ ¿n n!¿ ¿ ∞
40.
¿ ∑ = n 1
+olución1
n
En !os e1ercicios 2$ a 223 escri4ir #na serie e;#ia!ente en !a ;#e e!
n
x 41. n= 0 n !
∑
+olución1
∞
42.
(−1 ) + ( n + 1 ) x ∑ = n 1
n
n 0
+olución1
∞
43.
∑ = n 0
2 n+ 1
x ( 2n+ 1) !
+olución1
−1 ¿n x 2 n+ 1 ¿ ¿ ¿ ∞
44.
∑= ¿ n 0
+olución1
En !os e1ercicios 26 a 283 ca!c#!ar !os intera!os de coner"encia de a) f ( x ) b) f ' ( x ) c ) f ' ' ( x )
d )
∫ f ( x ) dx
ter0ina!es de! intera!o.
Inc!#ir #na eri=icacin para !a coner"encia en !os p#ntos
∞
45. f ( x )=
∑ = n 0
() x
2
+olución1
−1 ¿n +1 ( x −5 )n ¿ ¿ ¿ ∞
∑= ¿
46. f ( x ) =
n 1
+olución1
−1 ¿n +1 ( x −1)n +1 ¿ ¿ ¿ ∞
47. f ( x ) =
¿ ∑ = n 0
+olución1
n
−1 ¿n +1 ( x −2)n ¿ ¿ ¿ ∞
∑= ¿
48. f ( x ) =
n 1
+olución1
Redaccin En !os e1ercicios 29 a 6'3 re!acionar !a "r5=ica de !os pri0eros $( t>r0inos de !a
s#cesin de s#0as parcia!es de !a serie ∞
∑=
g ( x ) =
n 0
() x
n
3
con e! a!or indicado de !a =#ncin. ?Las "r5=icas se eti;#etan a)3 b)3 c ) d ).@ Ep!icar c0o e!i"i s# opcin.
49. g ( 1 )
+olución1
50. g ( 2)
+olución1
51. g ( 3.1)
+olución1
52. g (−2 )
+olución1
Redaccin En !os e1ercicios 6, a 6:3 re!acionar !a "r5=ica de !os pri0eros $( t>r0inos de !a
s#cesin de s#0as parcia!es de !a serie ∞
∑= ( 2 x )
g ( x ) =
n
n 0
con e! a!or indicado de !a =#ncin. ?Las "r5=icas se eti;#etan a)3 b)3 c ) d ).@ Ep!icar c0o e!i"i s# opcin.
53. g ( 1 / 8)
+olución1
54. g (−1 / 8 )
+olución1
55. g ( 9 / 16 )
+olución1
56. g ( 3 / 8 )
+olución1
Desarro!!o de conceptos 6%. Definir una serie de potencia centrada en c . +olución1
68. Descri,ir el radio de convergencia de una serie de potencia. Descri,ir el intervalo de convergencia de una serie de potencia. +olución1
69. Descri,ir las tres formas ,ásicas del dominio de una serie de potencia. +olución1 Desarro!!o de conceptos contin!acin)
:(. Descri,ir cómo derivar e integrar una serie de potencia con un radio de convergencia R ¿$endrán las series resultantes de las operaciones de derivación e integración un radio de convergencia diferente !xplicar. +olución1
:$. Dar e&emplos ue demuestren ue la convergencia de una serie de potencia en los puntos terminales de su intervalo de convergencia puede ser condicional o a,soluta. !xplicar su ra-onamiento. +olución1
Para disc#sin :'. !scri,ir una serie de potencia ue tenga el intervalo de la convergencia indicado. !xplicar su ra-onamiento. a ¿ (− 2,2 ) b ¿ ( −1, 0 ] c ¿ (− 1, 0 ) d ¿ ¿
+olución1
:,. +ea −1 ¿n x 2 n+1 ¿ ¿ ( 2 n +1 ) ! ¿ −1 ¿n x 2 n ¿ ¿ ¿ ¿ ∞
f ( x )=
¿ ∑ = n 0
a) 3allar los intervalos de convergencia de b) ostrar ue
f ( x ) = g ( x ) .
c ) ostrar ue
g ( x )=− f ( x ) .
'
'
d ) :dentificar las funciones
+olución1
f
y g .
f
y g .
:2. +ea ∞
n
x f ( x )= n= 0 n !
∑
a) 3allar el intervalo de convergencia de b) Demostrar ue
f ( x )=f ( x ) .
c ) Demostrar ue
f ( 0 ) =1.
f.
'
d ) :dentificar las funciones
f.
+olución1
En !os e1ercicios :6 a %(3 de0ostrar ;#e !a =#ncin representada por !a serie de potencia es #na so!#cin de !a ec#acin di=erencia!. −1 ¿n x 2n +1 ¿ ¿ ( 2 n +1) ! ¿ ¿ ∞
65. % =
¿ ∑ = n 0
+olución1
−1 ¿n x 2 n ¿ ¿ ( 2n ) ! ¿ ¿ ∞
66. % =
¿ ∑ = n 0
+olución1
∞
67. % =
∑ = n 0
2 n+ 1
x '' , % − % =0 ( 2n + 1 ) !
+olución1
∞
68. % =
∑ = n 0
2n
x '' , % − % =0 ( 2n ) !
+olución1
∞
69. % =
x
2n
, % − x % − % = 0 ∑ = 2 n! n 0
n
' '
'
+olución1
−1 ¿n x 4 n ¿
¿ 22 n n ! ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11 ∙∙ ∙ ( 4 n −1 ) ¿ ¿ ∞
70. % =1 +
¿ ∑ = n 1
+olución1
%$. "!ncin de #e$$e% a función de ?essel de orden
0
es
−1 ¿ n x 2 # ¿ ¿ ¿ ∞
∑= ¿
& 0 ( x )=
# 0
a) ostrar ue la serie converge para todo x . b) ostrar ue la serie es una solución de la ecuación diferencial 2 ' ' 2 ' x & 0 + x & 0 + x & 0= 0
c ) Usar una herramienta de graficación para representar el polinomio constituido por los primeros & 0 .
cuatro términos de 1
d ) /proximar
∫ & dx 0
0
a una precisión de dos decimales
+olución1
%'. "!ncin de #e$$e% a función de ?essel de orden 2 es −1 ¿n x 2 # ¿ ¿ ¿ ∞
& 1 ( x )= x
¿ ∑ = # 0
a) Demostrar ue la serie converge para todo x . b) Demostrar ue la serie es una solución de la ecuación diferencial
2
' '
'
2
x & 1 + x & 1+( x −1 ) & 1= 0
c ) Usar una herramienta de graficación para representar el polinomio constituido por los primeros & 1 .
cuatro términos de d ) ostrar ue
+olución1
& 0 ( x ) =−& 1 ( x ) . '
En !os e1ercicios %, a %:3 !a serie representa #na =#ncin 0# conocida. +sar #n siste0a a!"e4raico por co0p#tadora para representar "r5=ica0ente !a s#0a parcia! 10 e identi=icar !a =#ncin a partir de !a "r5=ica. ∞
2n
x 73. f ( x ) = (−1 ) (2 n)! n= 0
∑
n
+olución1
2 n+ 1
∞
x 74. f ( x ) = (−1 ) ( 2 n +1 ) ! n=0
∑
n
+olución1
∞
∑= (−1 ) x n
75. f ( x ) =
n 0
+olución1
n
,−1 < x < 1
∞
2n + 1
x 76. f ( x ) = (−1 ) , −1 ( x ( 1 2 n +1 n=0
∑
n
+olución1
%%. &n'e$tigacin !l intervalo de convergencia de la serie geométrica ∞
x
n
( ) e) (−4, 4 ) ∑ 4 = n 0
a) 3allar la suma de la serie cuando
x =5 / 2.
Usar una herramienta de graficación para representar gráficamente los primeros seis términos de la sucesión de sumas parciales y la recta hori-ontal ue representan la suma de la serie. =−5 / 2. b) epetir el apartado a) para x c ) !scri,ir un párrafo corto comparando el ritmo o velocidad de convergencia de las sumas parciales con la suma de la serie en los apartados a) y b). ¿Cómo difieren las gráficas de las sumas parciales cuando convergen hacia la suma de la serie d ) Dado cualuier n*mero real positivo * , existe un entero positivo + tal ue la suma parcial +
n
( 5 ) > * . n= 0 4
∑
Usar una calculadora para completar la ta,la.
+olución1
%8. &n'e$tigacin !l intervalo de convergencia de la serie ∞
−1 1 ( 3 x ) e) ( , ) ∑ 3 3 = n
n 0
a) 3allar la suma de la serie cuando
x =
1 6
Usar una herramienta de graficación para
representar gráficamente los primeros seis términos de la sucesión de sumas parciales y la recta hori-ontal ue representan la suma de la serie. b) epetir el apartado a) con x =−1 / 6. c ) !scri,ir un párrafo corto comparando el ritmo o velocidad de convergencia de las sumas parciales con la suma de la serie en los apartados a) y b). ¿Cómo difieren las gráficas de las sumas parciales cuando convergen hacia la suma de la serie d ) Dado cualuier n*mero real positivo * , existe un entero positivo + tal ue la suma parcial +
n
2 ( 3 ∙ ) > * . 4 n= 0
∑
Usar una herramienta de graficación para completar la ta,la.
+olución1
()erdadero o fa%$o* En !os e1ercicios %9 a 8'3 deter0inar si !a a=ir0acin es erdadera o
=a!sa. Si es =a!sa3 ep!icar por ;#> o dar #n e1e0p!o ;#e de0#estre s# =a!sedad. ∞
a x ∑ =
%9. +i la serie de potencia
n
n 0
n
converge para x =2, entonces tam,ién converge para
x =−2.
+olución1
8(. !s posi,le encontrar una serie de potencia cuyo intervalo de convergencia es [ 0, ∞ ) . +olución1
∞
8$. +i el intervalo de convergencia de ∞
convergencia de +olución1
a ( x −1 ) ∑ =
n
n
n 0
es ( 0,2 ) .
a x ∑ = n
n 0
n
es
(−1,1 )
entonces el intervalo de
∞
n an x converge para | x|< 2, entonces 8'. +i f ( x )=∑ n=0
1
∞
0
n 0
an
. ∫ f ( x ) dx =∑ = n +1
+olución1
8,. Demostrar ue la serie de potencia ∞ ( n + ) ! n x ∑ n= 0 n ! ( n + - ) ! tiene un radio de convergencia de R= ∞ si y - son enteros positivos. +olución1
82. +ea
g ( x ) =1+ 2 x + x + 2 x + x + … , 2
3
4
donde los coeficientes son
n $ 0.
a) 3allar el intervalo de convergencia de la serie. b) 3allar una fórmula expl0cita para g ( x ) .
+olución1
∞
n cn x donde c n+ 3 = c n para n $ 0. 86. +ea f ( x )=∑ n= 0
a) 3allar el intervalo de convergencia de la serie. b) 3allar una fórmula expl0cita para f ( x ) .
+olución1
c 2 n= 1
y
c 2 n+ 1= 2
para
