9.9 Representación de funciones en series de potencia Hallar una serie geométrica de potencia que representa una función. Construir una serie de potencia aplicando operaciones de series.
• •
Parte de las contribuciones acerca de la representación de funciones mediante series de potencia se deben al matemático francés Joseph Fourier. El trabajo de Fourier es importante en la historia del cál cálcul culo o en par parte te po porqu rque e ob oblig ligó ó a mat matemá emátic ticos os del sig siglo lo !"# !"### ## a cue cuesti stiona onarr el est estrec recho ho concepto de función que pre$alec%a entonces. Cauch& & 'irichlet fueron moti$ados por el trabajo de Fourier sobre series & en ()*+ 'irichlet publicó la definición general de una función que se usa actualmente.
Series geométricas de potencia En esta sección & en la pró,ima se estudiarán $arias técnicas para hallar una serie de potencia que represente una función dada. Considerar la función dada por
f ( ( x ) =1 /( 1− x ) .
-a forma de
f
se parece mucho a la suma de
una serie geométrica ∞
ar ∑ = n 0
n
= a ,|r|<1. 1 −r
En otros términos si se toma
a =1
una serie de potencia centrada en 1 1 − x
0,
una representación de
1 /( 1− x ) ,
en forma de
es
∞
=∑ x n=1 + x + x 2 + x 3+ … ,| x|< 1. n=0
aturalment aturalmente e esta serie representa representa a que
r = x
&
f
f ( ( x ) =1 /( 1− x )
sólo sólo en el inter$a inter$alo lo
(−1,1 ) mientras
está definida para todo como se muestra en la figura /.00. Para representar
f
en otro
inter$alo se debe desarrollar otra serie diferente. Por ejemplo para obtener la serie de potencia centrada en
−1 se podr%a escribir
1 1 − x
=
1 2−( x + 1)
=
1/ 2
[
1− ( x + 1 )/ 2
a =1 / 2 &
lo cual implica que ∞
1 1 − x
=∑
n=0
]
=
a 1 −r
r =( x + 1)/ 2. 1s% para
| x + 1|< 2,
se tiene
( )( ) 1 x + 1 2 2
n
[
2
( x + 1) ( x + 1 ) 1 ¿ 1+ + 2 2 4
+
( x + 1 )3 8
]
+ … ,| x + 1|< 2
la cual con$erge en el inter$alo
(−3,1 )
Figura 9.22 EJEMPLO 1 Hallar una serie geométrica de potencia centrada en 0 Hallar una serie de potencia para
f ( ( x )=
4
x + 2
,
centrada en
0.
Solución Escribiendo f ( ( x ) en la forma a / (1−r ) se obtiene 4 2 + x
2
=
1−(
− x 2
= )
a 1 −r
lo cual implica que 4 2 + x
∞
=∑ a r n
¿∑ 2 n= 0
∞
n= 0
( ) − x 2
n
a =2 &
r =− x / 2. Por tanto la serie de potencia para
f ( ( x ) es
(
x x
2
x
3
¿ 2 1− + − + … 2
4
8
)
Esta serie de potencia con$erge cuando
| |< − x 2
1
lo cual implica que el inter$alo de con$ergencia es
(− 2,2 ) .
2tra manera de determinar una serie de potencia para una función racional como la del ejemplo ( es usar la di$isión larga. Por ejemplo di$idiendo 2 + x en 3 se obtiene el resultado mostrado a la i4quierda.
EJEMPLO 2 Hallar una serie geométrica de potencia centrada en 1 1
Hallar una serie de potencia para
f ( x )= , x centrada en
1.
Solución Escribiendo f ( x ) en la forma a /(1−r ) se obtiene 1
x
1
=
1−(− x + 1 )
=
a 1− r
lo cual implica que 1
x
∞
=∑ a r n n=0
∞
¿ ∑ [ −( x −1 ) ] n=0
n
a =1
&
r =1 − x =−( x −1 )
Por tanto la serie de potencia para
f ( x )
es
∞
¿ ∑ (−1 )n( x −1)n n=0
¿ 1−( x −1 ) + ( x −1 )2−( x −1 )3 + … Esta serie de potencia con$erge cuando
| x −1|<1 lo cual implica que el inter$alo de con$ergencia es
( 0, 2 ) .
Operaciones con series de potencia -a $ersatilidad de las series geométricas de potencia se mostrará más adelante en esta sección después de una discusión acerca de las operaciones con series de potencia. Estas operaciones usadas con la deri$ación & la integración proporcionan un medio para desarrollar series de potencia para una gran $ariedad de funciones elementales. 5Por simplicidad las propiedades siguientes se enuncian para una serie centrada en
0.
6
OPER!"O#ES !O# SER"ES $E PO%E#!" 7ea
f ( x )=
∑ a x y g ( x )=∑ b x n
n
n
n
.
∞
1. f ( kx )=
a k x ∑ = n
n
n
n 0
2. f ( x
N
∞
)=∑ an x nN n=0
a (¿ ¿ n ±b n) x n ∞
3. f ( x ) ± g ( x )=
∑= ¿ n 0
-as operaciones descritas pueden modificar el inter$alo de con$ergencia de la serie resultante. Por ejemplo en la suma siguiente el inter$alo de con$ergencia de la suma es la intersección de los inter$alos de con$ergencia de las dos series originales. x + ∑ ( ) =∑ ∑ 2 = = = ∞
∞
n
n 0
n 0
x
n
∞
n 0
( ) 1+
1
n
2
x
n
EJEMPLO 3 Suma de dos series de potencia
Hallar una serie de potencia centrada en
0,
para
f ( x )=
3 x −1 2
x −1
.
Solución 8sando las fracciones parciales se puede escribir f ( x ) como 3 x −1 2
x −1
=
2
1
+
x + 1 x −1
7umando las dos series geométricas de potencia
−1 ¿n xn ¿ 2¿ 2
x + 1
=
2 1−(− x )
∞
=∑ ¿ n= 0
9 ∞ −1 = =−∑ x n ,| x|<1 x − 1 1− x n= 0
1
se obtiene la serie de potencia siguiente.
− 1 ¿ n− 1 n 2 ¿ x ¿ ¿ ∞ 3 x −1 =∑ ¿ 2 x −1 n=0 El inter$alo de con$ergencia para esta serie de potencia es
(−1, 1 ) .
EJEMPLO 4 Hallar una serie de potencia mediante integración Hallar una serie de potencia para
f ( x )= ln x centrada en (.
Solución Por el ejemplo 0 se sabe que 1
x
∞
=∑ (−1 ) ( x −1 )n Intervalo de convergencia : ( 0, 2) n
n= 0
#ntegrando esta serie se obtiene
∫ x1 dx + C
ln x =
( x −1)n +1 ¿ C + ∑ (−1 ) n+ 1 n=0 ∞
n
C =0. Por consiguiente
Haciendo x =1, se conclu&e que
( x −1)n +1 ln x =∑ (−1 ) n +1 n= 0 ∞
n
( x −1 ) ( x −1 )2 ( x −1 )3 ( x −1 )4 ¿ − + − + … Intervalode convergencia : ¿ 1
2
3
4
x =2. Esto es consistente con la obser$ación hecha en la
otar que la serie con$erge en
sección precedente de que la integración de una serie de potencia puede alterar la con$ergencia en los puntos terminales del inter$alo de con$ergencia.
%E!#O&O'( En la sección /.+ el polinomio de :a&lor de cuarto grado para la función logar%tmica natural
( x −1 )2 ( x −1 )3 ( x −1 )4 + − ln x ≈ ( x −1)− 2
3
fue usado para apro,imar
4
ln ( 1.1 ) .
( 0.1 )2 ( 0.1 )3 ( 0.1 ) 4 + − ln ( 1.1 ) ≈ ( 0.1 )− ≈ 0.0953083 2
3
4
7e sabe ahora por el ejemplo 3 que este polinomio representa los primeros cuatro términos de la serie de potencia para ln x . Es más usando el resto de la serie alternada o alternante puede determinarse que el error en esta apro,imación es menor que
| R |<|a | 4
5
1 5
¿ ( 0.1 )5 ¿ 0.000002 . En los siglos !"## & !"### se calcularon tablas matemáticas para los logaritmos & para $alores de otras funciones trascendentes. :ales técnicas numéricas están lejos de ser obsoletas porque es precisamente con estos medios que las modernas herramientas de graficación están programadas para e$aluar funciones trascendentes.
-as series que pueden usarse para apro,imar
π han interesado a matemáticos durante los
;ltimos *<< a=os. 8na serie interesante para apro,imar
1 / π
la descubrió el matemático hind;
7rini$asa >amanujan en (/(3 5$er ejercicio ?+6. Cada término sucesi$o de la serie de >amanujan / agrega apro,imadamente ocho d%gitos más al $alor de 1 π . Para más información sobre el trabajo de >amanujan $er el art%culo @>amanujan and PiAde Jonathan B. orDein & Peter . orDein en Scientific American. EJEMPLO 5 Hallar una serie de potencia mediante integración Hallar una serie de potencia para
g ( x ) = arctan x centrado en
Solución Como D x [ arctan x ] =1 /( 1 + x ) , puede usarse la serie 2
f ( x )=
∞
1 1 + x
=∑ (−1 ) x n . Intervalode convergencia :(−1, 1) n
n =0
7ustitu&endo x f ( x )=
1
2
1 + x
2
para x
se obtiene
∞
n 2n = − 1 x . ( ) ∑ 2 n= 0
Por ;ltimo integrando se obtiene
∫ 1 +1 x
arctan x =
∞
2
dx + C
2 n+1
¿ C + (−1 ) x 2 n +1 n=0
∑
n
0.
∞
2 n +1
¿ (−1 ) x Sea x = 0, entoncesC = 0. 2n + 1 n=0
∑
n
x
3
x
5
¿ x − + − 3
5
x
7
7
+… Intervalode convergencia : (−1, 1)
Puede mostrarse que la serie de potencia desarrollada para en el ejemplo también con$erge (a arctan x ) para x =± 1. Por ejemplo cuando x =1, puede escribirse 1 3
1 5
1 7
a arctan x =1 − + − + …
π
¿ . 4
7in embargo esta serie 5desarrollada por James regor& en (?+(6 no proporciona una manera práctica de apro,imar π debido a que con$erge tan lentamente que se necesitar%an cientos de términos para obtener una precisión ra4onable. El ejemplo ? muestra cómo usar dos series diferentes de arctangente para obtener una apro,imación mu& buena de π usando unos cuantos términos. Esta apro,imación fue desarrollada por John Bachin en (+
1 1 π −arctan = 5 239 4
para apro,imar el n;mero
π
G$er ejercicio
Solución 1l usar sólo cinco términos de cada una de las series para el arctan (1 / 239) , se obtiene
(
4 4arctan
arctan ( 1 / 5 )
&
)
1 1 −arctan ≈ 3,1415926 5 239
lo cual coincide con el $alor e,acto de
π con un error menor que
0.000001 .
9.9 E*ercicios En los e*ercicios 1 a +, calcular una serie geométrica de potencia para la función, centrada en 0, a- mediante la técnica mostrada en los e*emplos 1 2, b- mediante la di/isión larga.
1
1. f ( x ) =
4 − x
7oluciónI
2. f ( x )=
1 2 + x
7oluciónI
3. f ( x )=
7oluciónI
3 4 + x
2
4. f ( x )=
5− x
7oluciónI
En los e*ercicios a 1, allar una serie de potencia para la función, centrada en c , determinar el inter/alo de con/ergencia. 5. f ( x ) =
1 3 − x
, c =1
7oluciónI
6. f ( x )=
4 5 − x
7oluciónI
, c =−3
7. f ( x ) =
1 1 − x
, c =0
7oluciónI 8. ( x ) =
1 , c =0 1 −5 x
7oluciónI 9. g ( x ) =
5 2 x − 3
, c =−3
7oluciónI
10. f ( x ) =
7oluciónI
3 2 x − 1
, c= 2
11. f ( x ) =
2 2 x + 3
, c =0
7oluciónI 12. f ( x ) =
4 3 x + 2
, c =2
7oluciónI
13. g ( x )=
4 x 2
x + 2 x −3
, c =0
7oluciónI 14. g ( x )=
7oluciónI
3 x −8 2
3 x
+5 x −2
,c =0
2
15. f ( x ) =
2
1 − x
, c =0
7oluciónI 5
16. f ( x ) =
5 + x
2
, c = 0
7oluciónI
En los e*ercicios 13 a 2, usar la serie de potencia 1 1 + x
∞
=∑ (−1 )n x n n= 0
para determinar una serie de potencia, centrada en 0, para la función. "dentificar el inter/alo de con/ergencia. 17. ( x )=
−2 1 1 = + 2 x −1 1 + x 1 − x
7oluciónI
18. ( x )=
7oluciónI
x 2
x −1
=
1 2 (1+ x )
−
1 2 ( 1− x )
19. f ( x ) =
−1 =d 2 ( x + 1 ) dx
[+] 1
1 x
7oluciónI
2
[ ]
1 d = 20. f ( x )= ( x + 1 )3 d x 2 1 + x 2
7oluciónI
∫ x 1+1 dx
21. f ( x )=ln ( x + 1 )=
7oluciónI
22. f ( x )=ln ( 1 − x
2
)=∫
7oluciónI
23. g ( x )=
1 2
x + 1
7oluciónI
24. f ( x )= ln ( x
7oluciónI
2
+1)
1
x + 1
∫ 1−1 x dx
dx −
25. ( x )=
1 4 x
2
+1
7oluciónI
26. f ( x )=arctan2 x
7oluciónI
Análisis gráfico y numérico En los e*ercicios 23 24, sea 2 3 4 n x x x x S n= x − + − + … ± . 2 3 4 n
5sar una erramienta de graficación para confirmar gr6ficamente la desigualdad. $espués completar la ta7la para confirmar numéricamente la desigualdad.
27. S 2 ! ln ( x + 1 ) ! S 3
7oluciónI
28. S 4 ! ln ( x + 1 ) ! S5
7oluciónI
En los e*ercicios 29 80, a- representar gr6ficamente /arias sumas parciales de la serie, ballar la suma de la serie su radio de con/ergencia, c - usar 0 términos de la serie para apro)imar la suma cuando x = 0.5, d - determinar ué representa la apro)imación ué tan 7uena es. ∞
29.
∑=
(−1 )n ( x −1 )n
n 1
n
7oluciónI
(−1 )n x 2 n+1 30. ∑ n=1 ( 2 n + 1 ) " ∞
7oluciónI
En los e*ercicios 81 a 8+, relacionar la apro)imación polinomial de la función con la gr6fica correcta. :&as gr6ficas se etiuetan a-, b-, c - d -.;
31. g ( x )= x
7oluciónI
32. g ( x )= x −
x
3
3
7oluciónI
3
x x 33. g ( x )= x − + 3
7oluciónI
5
5
34. g ( x )= x −
x
3
3
x
5
+ − 5
x
7
7
7oluciónI
En los e*ercicios 8 a 84, usar la serie para # ( x )= arctan x para apro)imar el /alor, usando R N ! 0.001 .
35. arctan
1 4
7oluciónI
3/4
36.
∫ arctan x
2
dx
0
7oluciónI
1 /2
37.
∫
arctan x
0
7oluciónI
x
2
dx
1 /2
38.
∫ x
2
arctan x dx
0
7oluciónI
En los e*ercicios 89 a +2, usar la serie de potencia 1 1 − x
∞
=∑ x n ,| x|< 1. n=0
Hallar la representación por medio de una serie de la función determinar su inter/alo de con/ergencia. 39. f ( x ) =
1
( 1− x )2
7oluciónI
40. f ( x )=
7oluciónI
x
( 1 − x )2
1 + x
41. f ( x )=
(1 − x )2
7oluciónI
42. f ( x )=
x ( 1+ x )
( 1− x )2
7oluciónI
+8. Probabilidad 8na moneda se lan4a repetidamente. -a probabilidad que la primera cara n $ n 1 2 . Cuando este juego se repite muchas $eces el ( ) ( ) = / ocurra en la nésima lan4ada es n;mero medio de lan4adas requerido hasta que la primera cara ocurra es ∞
% ( n )=
∑= n$ (n ) n 1
5Este $alor se llama valor esperado de n.6 8sar los resultados de los ejercicios */ a 30 para encontrar % ( n ) KEs la respuesta lo que se esperabaL KPor qué s% o por qué noL 7oluciónI
++. 8sar los resultados de los ejercicios */ a 30 para encontrar la suma de cada serie.
()
∞
1 2 a¿ n 3 n= 1 3
∑
n
∞
( )
1 9 b¿ n 10 n= 1 10
∑
n
!dacci"n En los e*ercicios + a +4, e)plicar cómo usar la serie geométrica g ( x ) =
1 1 − x
∞
=∑ x n ,| x|< 1 n= 0
para encontrar la serie para la función. #o calcular la serie. 7oluciónI
45. f ( x )=
1 1 + x
7oluciónI
46. f ( x )=
1 1− x
2
7oluciónI
47. f ( x )=
5 1 + x
7oluciónI
48. f ( x )= ln ( 1− x )
7oluciónI
+9. 'emostrar que
arctan x + arctan y =arctan
i4quierdo de la ecuación esté entre
x + y xy & 1 siempre que el $alor del lado 1− xy para
−π / 2 & π / 2.
7oluciónI
0. 8sar el resultado del ejercicio 3/ para $erificar cada identidad. a ¿ arctan
120 1 π −arctan = 119 239 4
1 5
b ¿ 4 arctan −arctan
1 π = 239 4
GSugerencia: 8sar el ejercicio 3/ dos $eces para encontrar
1 4 arctan . 5
'espués usar el
apartado a6. 7oluciónI
En los e*ercicios 1 2, a- /erificar la ecuación dada, b- usar la ecuación la serie para el arctangente para apro)imar π para una precisión de dos decimales. 51. arctan
1 1 π − arctan = 2 7 4
7oluciónI
52. arctan
1 1 π + arctan = 2 3 4
7oluciónI
En los e*ercicios 8 a 4, calcular la suma de la serie con/ergente usando una función mu conocida. "dentificar la función e)plicar cómo se o7tu/o la suma.
∞
53.
∑= (−1 ) +
n 1
1 n
2 n
n 1
7oluciónI
∞
54.
∑= (−1 ) +
n 1
1 n
3 n
n 1
7oluciónI
∞
55.
∑= (−1 )
n+ 1
n
2 n
5 n
n 1
7oluciónI
∞
56.
∑= (−1 )
1
n
2 n+1
n 0
7oluciónI
∞
57.
∑= (−1 ) n 0
7oluciónI
1
n n +1
2
( 2 n + 1)
∞
58.
∑= (−1 ) + n 1
1
n 1 2 n− 1
3
( 2 n − 1)
7oluciónI
$esarrollo de conceptos 9. 8sar los resultados de los ejercicios *( a *3 para dar un argumento geométrico del porqué las series para la apro,imación de f ( x )= arctan x tienen sólo potencias impares de x . 7oluciónI
0. 8sar los resultados de los ejercicios *( a *3 para hacer una conjetura sobre los grados de las series para la apro,imación de f ( x )= arctan x que tienen e,tremos relati$os. 7oluciónI
1. 8na de las series en los ejercicios * a ) con$erge a su suma a un ritmo mucho menor que las otras cinco series. KCuál esL E,plicar por qué esta serie con$erge tan lentamente. 8sar una herramienta de graficación para ilustrar el ritmo o $elocidad de con$ergencia. 7oluciónI
2. El radio de con$ergencia de las series de potencia ∞
a x ∑ =
n
n
n 0
es *. KCuál es el radio de con$ergencia de la serie ∞
− na x ∑ =
n 1
n
n 0
E,plicar el ra4onamiento.
7oluciónI
8. -as series de potencia ∞
a x ∑ =
n
n
n 0
con$ergen para
| x + 1|< 4
KMué se puede concluir acerca de la serie n+ 1
∞
x an n +1 n= 0
∑ E,plicar el ra4onamiento. 7oluciónI
Para discusión +. Encon#rar !l !rror 'escribir por qué el enunciado está incorrecto.
∑= x + ∑= ( 5 ) =∑= (1 + 15 ) x ∞
∞
n
n 0
n 0
x
n
∞
n 0
7oluciónI
En los e*ercicios , allar la suma de la serie. ∞
(−1 )n 65. ∑ n n= 0 3 ( 2 n + 1) 7oluciónI
n
(−1)n π 2 n+1 66. ∑ 2 n +1 ( 2 n +1 ) " n= 0 3 ∞
7oluciónI
3. amanu$an y Pi 8sar una herramienta de graficación para demostrar que ∞
√ 8
( 4 n ) " ( 1103 + 26390 n ) 1 = . 4n π ( ) 396 n " 0
∑ 9801 = n
7oluciónI
