UTILID UTILIDAD AD DE LAS SERIES SERIES DE POTENC POTENCIAS IAS ´ EN EL CALCULO ALCU LO DE UNA INTEGRAL DEFINIDA DEFINIDA Ruben Gerardo Medina Garc´ Garc´ ıa
Estudiante de Pregrado en Matem´aticas, aticas, Universidad de Antioquia
[email protected] 19 de octubre de 2007
Resumen
El c´ alculo de una integral definida utilizando series de potencias, puede resultar en ocaalculo siones, m´ as sencillo que la utilizaci´ as on on de otros m´ etodos etodos de integraci´ integr aci´ on. on. Se ilustrar´ a un caso particular de esta aplicaci´ on on y se emplear´ a un programa inform´ atico para resaltar sus venatico tajas. ta jas. Tambi´ en en se emplear´ empl ear´a el recurso de aproximar la suma total de una serie de potencias, por medio de sumas parciales controlando el error.
Cuando al operar una serie de potencias (mediante integraci´on, por ejemplo) se obtiene una nueva serie de potencias, es posible calcular una integral definida de una manera pr´actica y en ocasiones m´as as sencilla que la utilizaci´on on de otros m´ etodos etodos de integraci´on. on. Una suma total S , de una serie de potencias se puede aproximar utilizando una suma parcial, S n , involucrando un error, que es el residuo Rn = S − S − S n . Ilustraremos las ventajas que trae el uso de estimaciones, controlando el error. Comparando el c´alculo alculo de la integral 0,2
1 dx 1 + x4
0
a seis lugares decimales, utilizando una serie de potencias y utilizando Matlab se pueden verificar los beneficios que trae este recurso. Expresando el integrando para una serie geom´etrica etrica
1 1+x 1+x4
como la suma de una serie de potencias p otencias as´ as´ı: usando la ecuaci´on ∞
x
n
=
n=0
1 1−x
tenemos que ∞
∞
1 1 = = (−x4 )n = (−1)n x4n = 1 − x4 + x8 − · · · 4 4 1+x 1 − (−x ) n=0 n=0 Ahora Ahor a integrand integ rando o t´ermino ermi no a t´ermino, ermi no,
1
0,2
0
1 dx = 1 + x4
0,2
∞
(−1) x 0
n 4n
n=0
4n+1 n x 4n + 1
∞
(−1)
=
dx
n=0
0,2
0
esta serie converge para | − x| < 1, es decir para |x| < 1. Sin importar la antiderivada utilizada, se eval´ ua la integral, 0,2
0
1 dx = 1 + x4 =
1/5
x5 x9 x13 x− + − +··· 5 9 13 0 1 1 1 1 (−1)n − + − + · · · + + ··· 5 5(55 ) 9(59 ) 13(513 ) (4n + 1)(54n+1 )
Esta serie infinita es el valor exacto de la integral definida, pero como es una serie alternante, se puede aproximar la suma mediante el teorema de la estimaci´on de las series alternantes (Si ∞
(−1) S =
n−1
bn es la suma de una serie alternante que satisface
n=0
a. 0 < b n+1 ≤ bn b. l´ım bn = 0 n→∞
entonces |Rn | = |S − S n | ≤ bn+1 ). As´ı, se cumple que 0<
1 1 < (4n + 2)54n+2 (4n + 1)54n+1
y
l´ım
n→∞
1 =0 (4n + 1)54n+1
Tomando unos cuantos de los primeros t´erminos de la serie S =
1 1 1 − + −··· 5 5(55 ) 9(59 )
Aqu´ı, b0 = 1/5 = 0,2 b1 = 1/15625 = 0,000064 b2 = 1/17578125 = 0,0000000568889 b3 = 1/(1,586914063 × 1010 ) = 0,000000000063 como b2 = 1/17578125 < 1/16666667 = 0,00000006 y S 1 = 15 − 5(51 ) ≈ 0,199936 por teorema de la estimaci´on de las series alternantes, sabemos que |S − S 1 | ≤ b2 < 0,00000006, este error es menor que 6(10 8 ) y no afecta al sexto n´umero decimal; as´ı que S ≈ 0,199936 Por tanto 0,2 1 dx = 0,199936 1 + x4 0 5
−
2
es correcto para seis lugares decimales. Teniendo en cuenta que, S 1 = 15 − 5(51 ) , podemos pensar en un polinomio x5 P 1(x) = x − 5 As´ı, 1 1 1/5 P 1(x)|0,2 = − = 0,199936 0 = P 1(x)|0 5 5(55 ) 5
As´ı, Rn (residuo, que es el error involucrado utilizando la suma parcial S n como aproximaci´on a la suma total S ); con Rn = S − S n ; el tama˜no del error es menor que bn+1 que es el valor absoluto del primer t´ermino omitido, esto es |Rn | = |S − S n | ≤ bn+1 Utilizando un software como Matlab, se puede distinguir la brevedad del c´odigo de las ´ordenes para calcular esta integral, asignando valores a n y a x (en este caso n = 6 y x = 15 ). Otra herramienta inform´atica , como lo es Coolmath’s Graphing Calculador, nos ayuda con la gr´afica 1 de la funci´on donde se resalta el ´area A (´area de la regi´on acotada por la gr´afica de y = 1+x , el eje x y las gr´aficas de x = 0 y x = 0,2) 4
Algoritmo (en Matlab) que calcula la serie de potencia ∞
(−1)
n
0
n=input (’ingrese n:’); x=input (’ingrese x:’); i=0; SUM=0; TER=0; while i
3
x4n+1 4n + 1
SUM=SUM+TER; POT=4*i+1; TER=((x^POT)/POT)*((-1)^i); i=i+1; end disp(’la suma es:’),disp(SUM);
con x =
1 5
= 0,2 y n = 6 la integral da 0,1999.
Como conclusiones, podemos resaltar: • Donde convergen las series de potencia, ´estas se pueden manipular como polinomios y se pueden diferenciar e integrar t´ermino a t´ermino con propiedades definidas. • Al realizar operaciones sobre una serie de potencias, podemos obtener series infinitas m´as sencillas para realizar c´alculos de integrales definidas (´o ´areas entre curvas). • Expresar una funci´on como la suma de una serie de potencias es una alternativa muy pr´ actica a la hora de realizar estimaciones con error controlado. • El uso de la series de potencias es muy diverso; por ejemplo, para calcular el logaritmo natural de un n´ umero real (mayor que cero), o verificar la regla de L‘H`opital, o analizar f´ ormulas de mec´anica cu´antica.
Referencias
4
