9.6 El criterio del cociente y el criterio de la raíz Usar el criterio del cociente para determinar si una serie converge o diverge. Usar el criterio de la raíz para determinar si una serie converge o diverge. Revisar los criterios de la convergencia y divergencia de una serie infinita.
• • • •
El criterio del cociente Esta sección empieza con un criterio de convergencia absoluta: el criterio del cociente.
TEOREMA 9.17 CRITERIO DEL COCIENTE
∑a
Sea
1.
∑a
lim n →∞
2.
n →∞
es absolutamente convergente si
n
| | an+ 1 an
∑a
lim
una serie con términos distintos de cero.
n
<1
es divergente si
n
| | an+ 1 an
> 1 o lim n →∞
| | an + 1
=∞
an
. El criterio del cociente no es concluyente si lim n →∞
| | an+ 1 an
=1
DEMO!TRACI"N Para demostrar la propiedad ! asumir "ue lim n →∞
| | an+ 1 an
= r< 1
R
y elegir un N > 0
tal "ue
0 ≤ r < R < 1.
tal "ue
| | an+ 1 an
< R
para todo
siguientes.
|a N + |<|a N | R 1
|a N + |<|a N + | R <|a N | R 2
2
1
|a + |<|a + | R <|a + | R <|a | R 2
N 3
N 2
N 1
N
Por la definición en el límite de una sucesión! e#iste un
3
n > N .
Por tanto! se pueden escribir las desigualdades
⋮
$a serie geométrica
∑|a | R =|a | R +|a | R +… +|a | R +… 2
n
N
N
n
N
N
converge converge!! y así! por el criterio criterio de la
comparación directa! la serie ∞
∑ |a + |=|a + |+|a + |+ … +|a + |+ .. = N 1
N n
N 2
N n
n 1
tambié también n conve converge rge.. Esto Esto implic implica a a su vez "ue "ue la serie
n
converge! por"ue suprimir un
( n = N −1 ) no afecta la convergencia. Por consiguiente! por el
n%me n%mero ro fini finito to de térm términ inos os
∑a
teorema &.'! la serie
∑|a |
n
es absolutamente convergente. $a demostración de la propiedad (
es similar y se de)a como e)ercicio *ver e)ercicio &&+.
NOTA El ,ec,o de "ue el criterio del cociente no sea concluyente cuando 1/ n
verse verse comparan comparando do las dos series series
(¿ ) ∑¿
1/ n
y
| | an+ 1 an
→1
puede
2
(¿ ) ∑¿
$a primer primera a serie serie diverg diverge e y la segund segunda a
converge! pero en ambos casos lim n →∞
| | an+ 1 an
=1
-un"ue el criterio del cociente no es una panacea como criterio de convergencia! es particularmente %til para series "ue convergen rápidamente. Series "ue involucran factoriales o e#ponenciales frecuentemente son de este tipo.
EJEMPLO 1 A#licaci$n del criterio del cociente eterminar la convergencia o divergencia de ∞
∑ = n
0
n
2 n!
2
n
!ol%ci$n /omo an = n ! se puede escribir lo siguiente.
lim n →∞
| | [ an+ 1
¿ lim n →∞
an
[
¿
n +1
n→ ∞
2
n+ 1
(n + 1)!
lim 2 n→∞
= lim
∙
2
n+ 1
÷
2
n
( n + 1 )! n !
n! n
2
]
]
⋮
$a serie geométrica
∑|a | R =|a | R +|a | R +… +|a | R +… 2
n
N
N
n
N
N
converge converge!! y así! por el criterio criterio de la
comparación directa! la serie ∞
∑ |a + |=|a + |+|a + |+ … +|a + |+ .. = N 1
N n
N 2
N n
n 1
tambié también n conve converge rge.. Esto Esto implic implica a a su vez "ue "ue la serie
n
converge! por"ue suprimir un
( n = N −1 ) no afecta la convergencia. Por consiguiente! por el
n%me n%mero ro fini finito to de térm términ inos os
∑a
teorema &.'! la serie
∑|a |
n
es absolutamente convergente. $a demostración de la propiedad (
es similar y se de)a como e)ercicio *ver e)ercicio &&+.
NOTA El ,ec,o de "ue el criterio del cociente no sea concluyente cuando 1/ n
verse verse comparan comparando do las dos series series
(¿ ) ∑¿
1/ n
y
| | an+ 1 an
→1
puede
2
(¿ ) ∑¿
$a primer primera a serie serie diverg diverge e y la segund segunda a
converge! pero en ambos casos lim n →∞
| | an+ 1 an
=1
-un"ue el criterio del cociente no es una panacea como criterio de convergencia! es particularmente %til para series "ue convergen rápidamente. Series "ue involucran factoriales o e#ponenciales frecuentemente son de este tipo.
EJEMPLO 1 A#licaci$n del criterio del cociente eterminar la convergencia o divergencia de ∞
∑ = n
0
n
2 n!
2
n
!ol%ci$n /omo an = n ! se puede escribir lo siguiente.
lim n →∞
| | [ an+ 1
¿ lim n →∞
an
[
¿
n +1
n→ ∞
2
n+ 1
(n + 1)!
lim 2 n→∞
= lim
∙
2
n+ 1
÷
2
n
( n + 1 )! n !
n! n
2
]
]
¿ 0 <1
$a serie converge por"ue el límite de
| | an+ 1
es menor "ue .
an
A&'DA DE E!T'DIO Un paso frecuente en la aplicación del criterio del cociente es simplificar cocientes o factoriales. -sí! en el e)emplo notar "ue n!
n!
=
( n +1 ) ! ( n + 1 ) n !
=
1
n +1
EJEMPLO 2 A#licaci$n del criterio del cociente eterminar si cada serie converge o diverge. ∞
a¿
2
n 2
∑ =
n+ 1
b¿
n
3
n 0
∞
∑ = n 1
n
n n!
!ol%ci$n a( Esta serie converge por"ue el límite de
lim n →∞
| | an+ 1 an
es menor "ue .
| | [ ( ) ( )] a n+ 1 an
2
= lim ( n +1 ) n→ ∞
n+2
2
n+1
3
n
∙
3
2
n+ 1
n 2
2
lim 2 ( n+ 1)
¿ n→∞
3n
2
2 3
¿ <1
b( Esta serie diverge por"ue el límite de
lim n →∞
| | [
¿ lim n →∞
¿ lim n →∞
an+ 1 an
[
= lim
n→ ∞
( n + 1 )n+1 1 ∙ ( n + 1 ) nn
(+)
¿ e> 1
( n + 1 )n+ 1 n ! ∙ ( n + 1) ! n n
1
1
n
n
]
]
| | a n+ 1 an
es mayor "ue .
EJEMPLO 3 'n ca)o en *%e el criterio del cociente no decide eterminar la convergencia o divergencia de ∞
(−1 ) ∑ =
n
√ n n +1
n 0
!ol%ci$n El límite de
lim n →∞
| | a n+ 1 an
es igual a .
| | [( ) ( √ )] an + 1
¿ lim n →∞
an
n +1 = lim √ n +2 n→ ∞
∙
n +1 n
[ √ ( )] n +1 n +1 ∙ n n +2
¿ √ 1 ( 1 )=1
Por tanto! el criterio del cociente no es concluyente. Para determinar si la serie converge se necesita recurrir a un criterio diferente. En este caso! se puede aplicar el criterio de la serie alternada. Para demostrar "ue an +1 ≤ an sea f ( ( x )=
√ x x x + 1
Entonces la derivada es 2 x + 1 ¿ 2 √ x x ¿ − x + 1 f ' ( x )= ¿ /omo la derivada es negativa para x > 1 se sabe "ue f es una función decreciente. 0ambién! por la regla de $123pital! lim √ x x lim 1 /( 2 √ x x ) n→∞ n→ ∞ = x + 1 1 lim 1
¿
n→ ∞
2 √ x x
¿0
Por consiguiente! por el criterio de la serie alternada o alternante! la serie converge.
NOTA Para toda serie p, el criterio del cociente no es concluyente.
$a serie del e)emplo 4 es condicionalmente convergente. Esto se sigue del ,ec,o "ue la serie ∞
∑ |a | = n
n 1
diverge por el criterio de comparación en el límite
∑ 1 / √ n
pero la serie
∞
a ∑ =
n
n 1
converge.
TECNOLO+,A Una computadora o ,erramienta de graficación puede reforzar la conclusión de "ue la serie del e)emplo 4 converge condicionalmente. Sumando los primeros 55 términos de la serie! se obtiene una suma de apro#imadamente 65.(. *$a suma de los primeros 55 términos de
∑|a |
la serie
n
es apro#imadamente 7.+
El criterio de la raíz El siguiente criterio para convergencia o divergencia de series es especialmente adecuado para series "ue involucran n8ésimas potencias. $a demostración de este teorema es similar a la dada para el criterio del cociente! y se de)a como e)ercicio *ver e)ercicio 55+.
TEOREMA 9.1- EL CRITERIO DE LA RA,
∑a
Sea
1.
∑a
2.
∑a
n
n
n
una serie. a < 1. converge absolutamente si n →∞ √ | n| lim
n
a < 1 o lim √ |a n|= ∞ diverge si n →∞ √ | n| n→ ∞ lim
n
n
a =1 . El criterio de la raíz no es concluyente si n →∞ √ | n| lim
n
NOTA El criterio de la raíz siempre es no concluyente para toda serie p. EJEMPLO 4 A#licaci$n del criterio de la raíz eterminar la convergencia o divergencia de ∞
∑ = n 1
2n
e n n
!ol%ci$n Se puede aplicar el criterio de la raíz como sigue. lim n →∞
√ |an|=nlim →∞ n
√ n
e
2n
n
n
lim e
2 n/ n
¿ n → ∞ n/ n n
lim e
2
¿ n→∞
n
¿ 0 <1
/omo este límite es menor "ue ! se puede concluir "ue la serie es absolutamente convergente *y por consiguiente converge+. Para ver la utilidad del criterio de la raíz en el caso de la serie del e)emplo 9! tratar de aplicar el criterio del cociente a esa serie. -l ,acer esto! se obtiene lo siguiente. lim n →∞
| | [( a n+ 1 an
2
¿ lim e n →∞
2
¿ lim e n →∞
= lim
n→ ∞
n
e
2( n + 1 )
(n + 1)n +1
) ( )] ÷
e
2n
n
n
n
( n +1 )n+1
( + )( + ) n
n 1
n
1
n 1
¿0
otar "ue este límite no es tan f;cil de evaluar como el límite obtenido con el criterio de la raíz en el e)emplo 9.
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para m;s información sobre la utilidad del criterio de la raíz! ver el artículo
de /,arles /. ?umma @@ en The American Mathematical Monthly . E)trate/ia) #ara analizar la con0er/encia de )erie) 2asta a,ora se ,an estudiado 5 criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie infinita. *Aer el resumen en la tabla en la p;gina '9'.+ $a ,abilidad de elegir y aplicar los criterios sólo se ad"uiere con la pr;ctica. - continuación se da un con)unto de pautas para elegir un criterio apropiado.
E)trate/ia #ara analizar la con0er/encia o di0er/encia de )erie) 1. B0iende a 5 el término n8ésimoC Si no es así! la serie diverge. 2. BEs la serie de alguno de los tipos especiales: geométrica! serie p! telescópica o alternanteC . BSe puede aplicar el criterio de la integral! el de la raíz o el cocienteC . BPuede compararse la serie favorable o f;cilmente con uno de los tipos especialesC En algunos casos puede ,aber m;s de un criterio aplicable. Sin embargo! el ob)etivo debe ser aprender a elegir el criterio m;s eficaz.
EJEMPLO 5 A#licaci$n de la) #a%ta) #ara analizar )erie) eterminar la convergencia o divergencia de cada serie. ∞
a¿
∑ = n 1 ∞
e¿
∞
()
n
∞
∞
n +1 π 1 −n b¿ c¿ ne d ¿ 3 n +1 n= 1 6 n=1 n= 1 3 n + 1
(−1 ) ∑ = n 1
∑
n
3 4 n +1
∞
f ¿
∑
∞
n!
∑= 10 g ¿ ∑ = n 1
n
∑
2
n 1
(
n+ 1 2n +1
)
n
!ol%ci$n a( En esta serie! el límite del término n8ésimo no es 5
(
1 3
a n → o n → ∞
) . Por tanto! de acuerdo
con el criterio del término n8ésimo! la serie diverge.
b( Esta serie es geométrica. Es m;s! como la razón de los términos el valor absoluto! puede concluirse "ue la serie converge. c ( /omo la función
f ( x )= x e
− x 2
r = π / 6
es menor "ue en
se integra f;cilmente! se puede usar el criterio de la integral
para concluir "ue la serie converge.
d ( El término n8ésimo de esta serie se puede comparar al término n8ésimo de la serie armónica. espués de usar el criterio de comparación en el límite! se puede concluir "ue la serie diverge. e( Dsta es una serie alternada o alternante cuyo término n8ésimo tiende a 5. /omo an + 1 ≤ an se puede usar el criterio de la serie alternada o alternante para concluir "ue la serie converge. f ( El término n8ésimo de esta serie involucra un factorial! lo "ue indica "ue el criterio del cociente puede ser el adecuado. espués de aplicar el criterio del cociente! se puede concluir "ue la serie diverge. g ( El término n8ésimo de esta serie involucra una variable "ue se eleva a la potencia n8ésima "ue indica "ue el criterio de la raíz puede ser el adecuado. espués de aplicar el criterio de la raíz! se puede concluir "ue la serie converge.
Re)%en de criterio) #ara la) )erie)
9.6 E3ercicio) En lo) e3ercicio) 1 a 4 0eri5icar la 5$r%la. 1.
( n + 1 ) ! =(n + 1)( n −1 ) ( n −2 ) !
Solución:
2.
( 2 k − 2 ) ! 1 = ( 2 k )( 2 k −1 ) ( 2 k ) !
Solución:
3.1 ∙ 3 ∙ 5 ∙∙ ∙ ( 2 k −1 )=
Solución:
( 2 k ) ! k
2 k!
4.
1 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙∙ ∙ ( 2 k − 5)
k
=
2 k ! ( 2 k −3 )( 2 k −1 )
( 2 k ) !
,k ≥3
Solución:
En lo) e3ercicio) a 14 a)ociar la )erie con la /r85ica de )% )%ce)i$n de )%a) #arciale). La) /r85ica) )e eti*%etan a(4 b(4 c (4 d (4 e( y f (.:
∞
5.
∑= n 1
()
3 n 4
n
Solución:
∞
6.
∑=
n 1
( )( ) n
3 4
1
n!
Solución:
∞
7.
∑= n 1
( − 3 ) n+ 1 n!
Solución:
( − 1 ) n− 1 4 8. ∑ ( 2 n) ! n =1 ∞
Solución:
∞
9.
∑=
n 1
(
4n 5 n− 3
)
n
Solución:
∞
10.
∑= 4 e−
n
n 0
Solución:
Análii n!"#$ic%& g$áfic% ' anal()ic% En lo) e3ercicio) 11 y 124 a( 0eri5icar *%e la )erie con0er/e. b( ')ar %na ;erraienta de /ra5icaci$n #ara encontrar la )%a #arcial indicada y co#letar la ta#licar la relaci$n entre la) a/nit%de) de lo) t=rino) de la )erie y el rito o 0elocidad a la *%e la )%ce)i$n de la) )%a) #arciale) )e a#ro>ia a la )%a de la )erie.
∞
∑= n
11.
2
n 1
() 5 8
n
Solución:
∞
12.
∑= n 1
2
n +1 n!
Solución:
En lo) e3ercicio) 1 a 4 a#licar el criterio del cociente #ara deterinar la con0er/encia o di0er/encia de la )erie. ∞
13.
∑= 21 n 1
n
Solución: ∞
14.
∑= n1! n 1
Solución: ∞
15.
∑= n3 ! n 1
n
Solución:
∞
16.
∑= n 1
n
3 n!
Solución:
∞
()
6 17. n 5 n=1
∑
n
Solución:
∞
( )
10 18. n 9 n=1
∑
Solución: ∞
19.
∑= 4n n 1
n
Solución:
n
∞
20.
3
n
∑= 4 n 1
n
Solución:
∞
21.
n
4
∑= n
2
n 1
Solución:
(−1 )n+ 1 (n + 2) 22. ∑ n ( n + 1) n=1 ∞
Solución:
∞
23.
( − 1 ) n 2n
∑=
n!
n 0
Solución:
3 / 2¿
n
¿ (−1 )n −1 ¿ ¿ ∞
24.
∑= ¿ n 1
Solución:
∞
25.
∑= nn3!
n
n 1
Solución:
∞
26.
∑= ( 2nn ) ! 5
n 1
Solución:
∞
27.
∑= n 0
n
e n!
Solución:
∞
28.
∑= nn ! n 1
n
Solución:
∞
29.
6
n
∑= (n +1 ) n 0
Solución:
∞
( n ! )2 30. ∑ n =0 ( 3 n ) ! Solución:
n
∞
31.
5
n
∑= 2 +1 n 0
n
Solución:
∞
(−1 )n 2 4 n 32. ∑ n =0 ( 2 n + 1 ) !
Solución:
(−1)n +1 n ! 33. ∑ n =0 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ ( 2 n + 1 ) ∞
Solución:
(−1 )n [ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙∙ ∙ ( 2 n ) ] 34. ∑ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ( 3 n− 1 ) n=1 ∞
Solución:
En lo) e3ercicio) a 4 a#licar el criterio de la raíz #ara deterinar la con0er/encia o di0er/encia de la )erie. ∞
35.
∑= 51
n
n 1
Solución: ∞
36.
∑= n1
n
n 1
Solución: ∞
37.
∑= n 1
(
n 2 n +1
Solución:
∞
38.
∑= n 1
( ) 2n n +1
Solución:
n
)
n
∞
39.
∑= n 2
(
2 n +1 n− 1
)
n
Solución:
∞
40.
∑ = n 1
(
4 n + 3 2 n −1
Solución:
∞
(−1 )n 41. ∑ n n= 1 ( ln n ) Solución:
)
n
∞
42.
∑ = n 1
(
−3 n 2 n +1
)
3n
Solución:
∞
43.
( 2 √ n + 1 ) ∑ = n
1
n
Solución:
∞
44.
− e ∑ = n 0
Solución:
3n
n
∞
45.
n ∑ = 4 n 1
n
Solución:
∞
46.
∑ = n 1
( ) n
n
500
Solución:
∞
47.
∑ = n 1
(− ) 1
1
n
n
Solución:
2
n
∞
48.
∑ = n 1
( ) ln n
n
Solución:
∞
49.
n ∑ = ( ln n ) n 2
Solución:
∞
50.
∑= n 1
( n ! )n
( n n )2
Solución:
n
n
En lo) e3ercicio) 1 a 6-4 deterinar la con0er/encia o di0er/encia de la )erie %)ando el criterio a#ro#iado de e)te ca#ít%lo. Identi5icar el criterio a#licado ∞
51.
∑=
(−1 )n+1 5 n
n 0
Solución:
∞
52.
∑= 100 n n 1
Solución:
∞
53.
∑= n 3√ n n 1
Solución:
∞
54.
∑= n 1
( ) 2 π 3
n
Solución:
∞
55.
∑= 2 n5−n 1 n 1
Solución:
∞
56.
∑= 2 nn+1 2
n 1
Solución:
57.
∞
(−1 )n 3 n−2
n 1
2
∑=
n
Solución:
∞
58.
∑= n 1
10 3 √ n
Solución:
3
∞
59.
∑= 10nn2+3 n
n 1
Solución:
∞
60.
n
2
∑= 4 n −1 2
n 1
Solución:
∞
61.
∑= cos3 n n 1
Solución:
n
∞
62.
(−1 )n
∑= n ln n n 2
Solución:
∞
n
n7 63. n= 1 n !
∑
Solución:
∞
64.
∑= lnn n 2
n 1
Solución:
∞
65.
∑=
(−1 )n 3 n−1 n!
1
n
Solución:
∞
66.
∑=
(−1 )n 3 n
n 1
n
n2
Solución:
∞
(−3 )n 67. ∑ n= 1 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ ( 2 n + 1 )
Solución:
∞
68.
∑= 318∙ 5 ∙( 27n∙ (−2 n1 +) n1!) n
n 1
Solución:
En lo) e3ercicio) 69 a 724 identi5icar la) do) )erie) *%e )on id=ntica). ∞
∞
n +1
∞
( n +1 )5 n5 n5 69. a ¿ b¿ c ¿ n= 1 n ! n= 0 ( n + 1 ) ! n= 0 ( n + 1) !
∑
n
n
∑
∑
Solución:
∞
()
3 70. a ¿ n 4 n =4
∑
∞
n
b¿
(n +1 ) ∑ = n 0
() 3 4
n
∞
()
3 c¿ n 4 n= 1
∑
n− 1
Solución:
∞ ∞ (−1 )n ( − 1 ) n− 1 ( − 1 ) n− 1 71. a ¿ ∑ b¿∑ c¿∑ n =0 ( 2 n + 1 ) ! n= 1 ( 2 n− 1 ) ! n= 1 ( 2 n + 1 ) ! ∞
Solución: ∞ (−1 )n (−1 )n+ 1 ∞ (−1 )n + 1 72. a ¿ ∑ b ¿ ∑ c ¿ ∑ n−1 n− 1 n − n 1 2 n 2 ( ) ( ) n =0 n=0 n= 0 ( n + 1 ) 2 ∞
Solución:
En lo) e3ercicio) 7 y 74 e)cri
73.
∑= 7n n 1
n
Solución:
∞
74.
9
n
∑= ( n −2 ) ! n 1
Solución:
En lo) e3ercicio) 7 y 764 a( deterinar el n?ero de t=rino) re*%erido #ara a#ro>iar la )%a de la )erie con %n error enor *%e .14 y b( %)ar %na ;erraienta de /ra5icaci$n #ara a#ro>iar la )%a de la )erie con %n error enor *%e .1. ∞
75.
(−3 )k
∑= 2 k ! k 1
Solución:
k
∞
(−3 )k 76. ∑ k =0 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ ( 2 k + 1 )
Solución:
En lo) e3ercicio) 77 a -24 lo) t=rino) de %na )erie
∑a
n
)e de5inen #or rec%rrencia.
Deterinar la con0er/encia o di0er/encia de la )erie. E>#licar el razonaiento. 1 4 n −1 77. a1= , an + 1= a n 2 3 n+2
Solución:
78. a1=2, an +1=
2 n +1 a n 5 n −4
Solución:
79. a1=1, an +1=
Solución:
senn + 1
√ n
an
1 cos n + 1 80. a1= , a n+ 1= an 5 n
Solución:
( )
1 1 81. a1= , a n+ 1= 1 + an 3 n
Solución:
1 n 82. a1= , a n+ 1=√ an 4
Solución:
En lo) e3ercicio) - a -64 a#licar el criterio del cociente o el de la raíz #ara deterinar la con0er/encia o di0er/encia de la )erie. 83.1+
1 ∙2 1∙ 2∙ 3 1 ∙ 2∙ 3 ∙ 4 + + +… 1 ∙3 1∙ 3 ∙5 1∙ 3 ∙5 ∙ 7
Solución:
84.1+
2 3 4 5 6 + 2 + 3 + 4 + 5+… 3 3 3 3 3
Solución:
3
ln 3 ¿
¿
4 ln ¿
¿ ¿4 ¿
5 ln ¿
¿ ¿5 ¿
6 ln ¿
¿ ¿6 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
85.
1
¿
Solución:
86.1+
1∙ 3 1∙ 3 ∙5 1∙ 3 ∙5 ∙ 7 + + +… 1 ∙2 ∙3 1∙ 2 ∙3 ∙ 4 ∙ 5 1 ∙2 ∙ 3∙ 4 ∙5 ∙ 6 ∙7
Solución:
En lo) e3ercicio) -7 a 924 encontrar lo) 0alore) de * #ara la) c%ale) la )erie con0er/e. ∞
87.
∑= 2 n 0
() x
n
3
Solución:
∞
88.
∑=
n 0
( ) x + 1
Solución:
4
n
∞
89.
∑=
(−1 )n ( x + 1)n
n 1
n
Solución:
∞
90.
∑= 2 ( x − 1 ) n 0
Solución:
3n
∞
91.
∑= n ! n 0
() x
n
2
Solución:
∞
92.
∑=
( x + 1 )n
n 0
n!
Solución:
De)arrollo de conce#to) 9. Enunciar el criterio del cociente. Solución:
9. Enunciar el criterio de la raíz.
Solución:
9. Se dice "ue los términos de una serie positiva parecen tender a cero r;pidamente cuando n tiende a infinito. e ,ec,o! a7 ≤ 0.0001 . o ,abiendo otra información! Bimplica esto "ue la serie convergeC -poyar la conclusión en e)emplos. Solución:
96. $a gr;fica muestra los primeros 5 términos de la sucesión de sumas parciales de la serie convergente. ∞
∑ = n 1
(
2n 3 n+ 2
)
n
Encontrar una serie tal "ue los términos de su sucesión de sumas parciales sean menores "ue los términos correspondientes de la sucesión en la figura! pero tales "ue la serie diver)a. E#plicar el razonamiento.
Solución:
97. -plicando el criterio del cociente! se determina "ue una serie alternada o alternamente converge. B/onverge la serie condicional o absolutamenteC E#plicar Solución:
@ara di)c%)i$n 9-. Bué se puede concluir acerca de la convergencia o divergencia de de las siguientes condicionesC E#plicar la respuesta.
∑a
n
para cada una
a ¿ lim n→ ∞
c ¿ lim n→∞
| | an+ 1 an
= 0 b ¿ lim
| | a n+ 1 an
n→ ∞
3 2
| | a n+ 1 an
=0
n = d ¿ lim √ |an|= 2 n →∞
e ¿ lim √ |a n|= 1 f ¿ lim
√ |an|=e n →∞
n
n→ ∞
n
Solución:
99. emostrar la propiedad ( del teorema &.7. Solución:
1. emostrar el teorema &.F. * Sugerencia para la propiedad 1: Si el límite es r < 1, eli)a un n%mero real R tal "ue r < R < 1. e acuerdo con las definiciones del límite! e#iste alg%n tal "ue √ |an|< R para n
N > 0
n > N .
+
Solución:
En lo) e3ercicio) 11 a 14 0eri5icar *%e la #r%e
101.
∑= n1/
3 2
n 1
Solución:
∞
102.
∑= n1/
1 2
n 1
Solución:
∞
103.
∑= n1
4
n 1
Solución:
∞
104.
∑= n1 n 1
p
Solución:
1. ?ostrar "ue el criterio de la raíz no es concluyente para la serie p. ∞
1 ∑ = n n 1
p
Solución:
16. ?ostrar "ue el criterio del cociente y de la raíz no son concluyentes para la serie p logarítmica. n ln ¿
¿ ¿ p n¿ ¿ 1
¿
∞
¿ ∑ = n 2
Solución:
17. eterminar la convergencia o divergencia de la serie 2 n!¿ ¿ ¿ ¿ ∞
¿ ∑ = n 1
cuando a+ x =1, b+ x =2, c + x =3, y d + x es un entero positivo. Solución:
1-. ?ostrar "ue si
∑a
n
es absolutamente convergente! entonces
|∑ | ∑| | ∞
n= 1
∞
an ≤
n= 1
an
Solución:
19. Redacci,n $ea el artículo <- ifferentiation 0est for -bsolute /onvergence> de Gaser S. -bu8 ?ostafa en Mathematics Magazine. Escribir después un p;rrafo "ue describa ese criterio. @ncluir e)emplos de series "ue convergen y e)emplos de serie "ue divergen. Solución:
