11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas Usar coordenadas cilíndricas para representar superficies en el espacio. Usar coordenadas esféricas para representar superficies en el espacio. Coordenadas cilíndricas Ya se ha visto que algunas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Algo semejante ocurre con las superficies en el espacio. En esta sección se estudiarán dos sistemas alternativos de coordenadas espaciales. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una extensión de las coordenadas polares del plano al espacio tridimensional
EL SISTEMA E C!!"E#AAS CIL$#"ICAS En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada ( r ,θ , z ) .
1. (r , θ) es una representación polar de la proyección de P en el plano xy . . %. z es la distancia dirigida de ( r , θ) a . ara convertir coordenadas rectangulares en coordenadas cil!ndricas "o viceversa#, hay que usar las siguientes fórmulas, basadas en las coordenadas polares, como se ilustra en la figura $$.%%.
&i'ura 11.(( Cilíndricas a rectangulares: x =rcosθ, y =rsenθ rsenθ , Z = Z
Rectangulares a cilíndricas: y 2 2 2 r = x + y , tan θ = , Z =Z x
Al punto
(0,0,0)
se le lla llama ma el polo. &omo la representación de un punto en el sistema de
coordenadas polares no es 'nica, la representación en el sistema de las coordenadas cil!ndricas tampoco es 'nica. EJEMPLO 1 Con)ersi*n de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectan'ulares
( r ,θ ,z )= &onvertir el punto
(
4,
5 π 6
,3
)
a coordenadas rectangulares.
Soluci*n (sando las ecuaciones de conversión de cil!ndricas a rectangulares se obtiene cos x = 4 cos
5 π
y = 4 sen
5 π
6
6
=4
( )=−
=4
−√ 3
2 √ 3
2
( )= 1 2
2
z =3
or tanto, en coordenadas rectangulares, el punto
( x , y , z ) =(− =(−2 √ 3 , 2, 3) es como se muestra en la
figura $$.%). $$.%).
&i'ura 11.(7 EJEMPLO 2 Con)ersi*n de coordenadas rectan'ulares a coordenadas cilíndricas &onvertir el punto
( x , y , z ) =( 1, √ 3 , 2 ) a coordenadas cil!ndricas.
Al punto
(0,0,0)
se le lla llama ma el polo. &omo la representación de un punto en el sistema de
coordenadas polares no es 'nica, la representación en el sistema de las coordenadas cil!ndricas tampoco es 'nica. EJEMPLO 1 Con)ersi*n de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectan'ulares
( r ,θ ,z )= &onvertir el punto
(
4,
5 π 6
,3
)
a coordenadas rectangulares.
Soluci*n (sando las ecuaciones de conversión de cil!ndricas a rectangulares se obtiene cos x = 4 cos
5 π
y = 4 sen
5 π
6
6
=4
( )=−
=4
−√ 3
2 √ 3
2
( )= 1 2
2
z =3
or tanto, en coordenadas rectangulares, el punto
( x , y , z ) =(− =(−2 √ 3 , 2, 3) es como se muestra en la
figura $$.%). $$.%).
&i'ura 11.(7 EJEMPLO 2 Con)ersi*n de coordenadas rectan'ulares a coordenadas cilíndricas &onvertir el punto
( x , y , z ) =( 1, √ 3 , 2 ) a coordenadas cil!ndricas.
Soluci*n (sar las ecuaciones de conversión de rectangulares a cil!ndricas. r =± √ 1 + 3=± 2 tan θ =√ 3 ⟹ θ =arctan ( √ 3 ) + nπ =
π 3
+nπ
z =2
&i'ura 11.(+ *ay dos posibilidades para
r
y una cantidad cantidad infinita de posibilidades posibilidades para
θ &omo se muestra
en la figura $$.%+, dos representaciones adecuadas del punto son
(
2,
π 3
(
−2,
)
, 2 r > 0 y θ en elcuad elcuadra rant ntee I .
4 π 3
)
, 2 r < 0 y θ enel cuadr uadran anteII teIIII .
as coordenadas cil!ndricas cil!ndricas son especialmente adecuadas adecuadas para representar superficies cil!ndricas cil!ndricas y superficies de revolución en las que el eje z sea el eje de simetr!a, como se muestra en la figura $$.%-.
&i'ura 11.(, os planos verticales que contienen el eje
z
y los planos horiontales horiontales tambi/n tienen ecuaciones ecuaciones
simples de coordenadas cil!ndricas, como se muestra en la figura $$.)0.
&i'ura 11.7EJEMPLO 3 Con)ersi*n de coordenadas rectan'ulares a coordenadas cilíndricas *allar una ecuación en coordenadas cil!ndricas para la superficie representada por cada ecuación rectangular. 2 2 2 a ¿ x + y =4 z 2
b ¿ y = x
&i'ura 11.71 Soluci*n a 1eg'n la sección anterior, se sabe que la gráfica de es un cono 2de dos hojas3 con su eje a lo 2 2 2 largo del eje z , como se muestra en la figura $$.)$. 1i se sustituye x + y por r , la ecuación en coordenadas cil!ndricas es 2
2
2
x + y =4 z Ecuación rectangular . 2
2
r = 4 z Ecuación cilíndrica .
b a gráfica de la superficie
2
y = x es un cilindro parabólico con rectas generatrices paralelas al
eje z , como se muestra en la figura $$.)4. 1ustituyendo se obtiene la ecuación siguiente en coordenadas cil!ndricas. 2
y = x Ecuación rectangular 2
2
r se n θ =rcos θ Sustituir y por r senθ y x por r cosθ. r ( rsen θ −cos θ )=0 Agrupar térinos y !actorizar . 2
2
rse n θ −cos θ =0 "i#idir cadaladoentre r .
r=
cos θ 2
sen θ
"espe$ar r .
r = cscθ cot θ Ecuación cilíndrica
y
2
por
2
2
r se n θ y
x
por
rcosθ
,
&i'ura 11.7% *ay que observar que esta ecuación comprende un punto en el que pierde al dividir cada lado entre el factor
r = 0, por lo cual nada se
r.
a conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cil!ndricas es más sencilla que la conversión de coordenadas cil!ndricas a coordenadas rectangulares, como se muestra en el ejemplo 5. EJEMPLO 4 Con)ersi*n de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectan'ulares *allar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la ecuación cil!ndrica 2
2
r cos2 θ + z + 1= 0.
Soluci*n 2
2
r cos2 θ + z + 1= 0 Ecuación cilíndrica . r ( cos θ− se n θ ) + z + 1= 0 Identidad trigonoétrica . 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r cos θ−r se n θ + z =−1 2
x − y + z =−1 Sustituya r cosθ por x y r senθ por y . 2
y − x − z =1 Ecuación rectangular.
Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje se encuentra a lo largo del eje y , como se muestra en la figura $$.)6.
&i'ura 11.7/ Coordenadas esféricas En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada7 la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ángulos. Este sistema es similar al sistema de latitud8longitud que se usa para identificar puntos en la superficie de la 9ierra. or ejemplo, en la figura $$.)5 se muestra el punto en la superficie de la 9ierra cuya latitud es 50: ;orte "respecto al ecuador# y cuya longitud es +0:
&i'ura 11.70 EL SISTEMA E C!!"E#AAS ES&"ICAS
En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada ( % ,θ , ϕ ) .
1. % es la distancia entre P y el origen, % & 0. θ
%.
es el mismo ángulo utiliado en coordenadas cil!ndricas para
/. ϕ es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta *ay que observar que la primera y tercera coordenadas, letra min'scula ro, y
ϕ
%
y
r & 0. '( , 0 ) ϕ ) π .
ϕ , son no negativas.
% es la
es la letra griega min'scula fi.
a relación entre coordenadas rectangulares y esf/ricas se ilustra en la figura $$.)=. ara convertir de un sistema al otro, usar lo siguiente.
&oordenadas esf/ricas
&i'ura 11.72 Esféricas a rectangulares: x = %se n ϕ cos θ , y = %sen ϕ senθ ,z = %cos ϕ
Rectangulares a esféricas: 2
2
2
2
% = x + y + z , tan θ =
y , ϕ =arccos x
( √ + + ) z
x
2
y
2
z
2
ara cambiar entre los sistemas de coordenadas cil!ndricas y esf/ricas, usar lo siguiente. Esféricas a cilíndricas 2
2
2
( r & 0) :
r = % sen ϕ , θ=θ , z = %cos ϕ
Cilíndricas a esféricas
( r & 0) :
%= √ r + z ,θ =θ , ϕ =arccos 2
2
( √ + ) z
r
2
z
2
El sistema de coordenadas esf/ricas es 'til principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetr!a. or ejemplo, la figura $$.)% muestra tres superficies con ecuaciones esf/ricas sencillas.
&i'ura 11.7( EJEMPLO 5 Con)ersi*n de coordenadas rectan'ulares a coordenadas esféricas *allar una ecuación en coordenadas esf/ricas para la superficie representada por cada una de las ecuaciones rectangulares. 2
2
a ¿ *ono : x + y = z 2
2
2
2
b ¿ Es!era : x + y + z −4 z = 0
Soluci*n a *aciendo las sustituciones apropiadas de siguiente. 2
2
2
x + y = z 2
2
2
2
2
2
2
2
% sen ϕ cos θ + % sen ϕ sen θ = % cos ϕ % sen ϕ ( cos θ + sen θ )= % cos ϕ 2
2
2
2
2
2
2
2
% sen ϕ = % cos ϕ
2
2
x , y
y
z
en la ecuación dada se obtiene lo
2
sen ϕ 2
cos ϕ
=1 %& 0 .
2
tan ϕ =1 ϕ = π / 4 o ϕ = 3 π / 4
ϕ = π / 4
a ecuación
representa el semicono superior , y la ecuación
ϕ =3 π / 4
representa el
semicono inferior . 2
2
2
2
b &omo % = x + y + z
y z = % cos ϕ , la ecuación dada tiene la forma esf/rica siguiente.
% − 4 % cos ϕ = 0 + % ( % −4 cos ϕ )=0 2
>escartando por el momento la posibilidad de que
% = 0,
se obtiene la ecuación esf/rica
%− 4cos ϕ =0 o % =4cos ϕ
*ay que observar que el conjunto solución de esta ecuación comprende un punto en el cual de manera que no se pierde nada al eliminar el factor %= 4cos ϕ
% .
se muestra en la figura $$.)).
&i'ura 11.77
%= 0,
a esfera representada por la ecuación
11.7 E3ercicios En los e3ercicios 1 a (4 con)ertir las coordenadas cilíndricas del punto en coordenadas rectan'ulares. 1. (−7,0,5 )
1olución7
2. ( 2,− π ,− 4 )
1olución7
3. ( 3, π / 4,1 )
1olución7
4. ( 6, − π / 4, 2)
1olución7
5. ( 4, 7 π / 6,3 )
1olución7
6. (−0.5,4 π / 3, 8)
1olución7
En los e3ercicios 7 a 1%4 con)ertir las coordenadas rectan'ulares del punto en coordenadas cilíndricas 7. ( 0,5,1 )
1olución7
8. ( 2 √ 2 , −2 √ 2 , 4 )
1olución7
9. ( 2, −2,−4 )
1olución7
10. ( 3,−3, 7 )
1olución7
11.( 1, √ 3 , 4 )
1olución7
12. ( 2 √ 3 , −2,6 )
1olución7
En los e3ercicios 1/ a %-4 5allar una ecuaci*n en coordenadas cilíndricas de la ecuaci*n dada en coordenadas rectan'ulares. En los e3ercicios %1 a %+4 5allar una ecuaci*n en coordenadas rectan'ulares de la ecuaci*n dada en coordenadas cilíndricas y di6u3ar su 'rfica. 13. z = 4
1olución7 14. x = 9
1olución7 15. x
2
+ y 2 + z 2=17
1olución7
16. z = x
2
1olución7
+ y 2−11
17. y = x
2
1olución7
18. x
2
+ y 2=8 x
1olución7
19. y
2
=10− z 2
1olución7 20. x
2
+ y 2 + z 2−3 z =0
1olución7
En los e3ercicios %1 a %+4 5allar una ecuaci*n en coordenadas rectan'ulares de la ecuaci*n dada en coordenadas cilíndricas y di6u3ar su 'rfica 21. r =3
1olución7
22. z =2
1olución7
23. θ = π / 6
1olución7
1 24. r = z 2
1olución7
25. r
2
+ z 2=5
1olución7
2
2
26. z =r cos θ
1olución7
27. r =2 senθ
1olución7
28. r =2cos θ
1olución7
En los e3ercicios %, a /04 con)ertir las coordenadas rectan'ulares del punto en coordenadas esféricas 29. ( 4,0,0 )
1olución7
30. (−4,0,0)
1olución7
31. (−2,2 √ 3 , 4 )
1olución7
32. ( 2,2,4 √ 2)
1olución7
33. ( √ 3 , 1, 2 √ 3 )
1olución7
En los e3ercicios /2 a 0-4 con)ertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas rectan'ulares 35. ( 4, π / 6, π / 4 )
1olución7
36. ( 12,3 π / 4, π / 9 )
1olución7
37. (−12,− π / 4, 0 )
1olución7
38. ( 9, π / 4, π )
1olución7
39. ( 5, π / 4,3 π / 4 )
1olución7
40. ( 6, π , π / 2 )
1olución7
En los e3ercicios 01 a 0+4 5allar una ecuaci*n en coordenadas esféricas de la ecuaci*n dada en coordenadas rectan'ulares 41. y =2
1olución7
42. z =6
1olución7 43. x
2
+ y 2 + z 2= 49
1olución7
44. x
2
+ y 2 −3 z 2= 0
1olución7
45. x
2
+ y 2 =16
1olución7
46. x =13
1olución7
47. x
2
+ y 2 =2 z 2
1olución7
48. x
2
+ y 2 + z 2− 9 z = 0
1olución7
En los e3ercicios 0, a 2(4 encontrar una ecuaci*n en coordenadas rectan'ulares de la ecuaci*n dada en coordenadas esféricas y di6u3ar su 'rfica. 49. %=5
1olución7
50. θ =
3 π 4
1olución7
51. ϕ =
π 6
1olución7
52. ϕ =
π 2
1olución7
53. %=4 cos ϕ
1olución7
54. %=2 sec ϕ
1olución7
55. %=csc ϕ
1olución7
56. % =4 csc ϕ sec ϕ
1olución7
En los e3ercicios 27 a (04 con)ertir las coordenadas cilíndricas del punto en coordenadas esféricas 57. ( 4, π / 4, 0 )
1olución7
58. ( 3,− π / 4,0 )
1olución7
59. ( 4, π / 2, 4 )
1olución7
60. ( 2, 2 π / 3,−2 )
1olución7
61. ( 4, − π / 6,6 )
1olución7
62. (−4, π / 3, 4 )
1olución7
63. ( 12, π , 5 )
1olución7
64. ( 4, π / 2,3 )
1olución7
En los e3ercicios (2 a 7%4 con)ertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas cilíndricas. 65. ( 10, π / 6, π / 2)
1olución7
66. ( 4, π / 18, π / 2 )
1olución7
67. ( 36, π , π / 2)
1olución7
68. ( 18, π / 3, π / 3 )
1olución7
69. ( 6,− π / 6, π / 3 )
1olución7
70. ( 5,−5 π / 6, π )
1olución7
71. ( 8, 7 π / 6, π / 6 )
1olución7
72. ( 7, π / 4,3 π / 4 )
1olución7
En los e3ercicios 7/ a ++4 usar un sistema al'e6raico por computadora o una 5erramienta de 'raficaci*n para con)ertir las coordenadas del punto de un sistema a otro4 entre los sistemas de coordenadas rectan'ulares4 cilíndricas y esféricas. Rectangulares 73. ( 4,6,3 )
1olución7
74. ( 6, −2,− 3 )
1olución7
75. ( 5, π / 9, 8 )
1olución7
76. ( 10, −0.75,6 )
1olución7
77. ( 20,2 π / 3, π / 4 )
1olución7
78. ( 7.5, 0.25,1 )
1olución7
Cilíndricas
Esféricas
79. ( 3, −2,2 )
1olución7
80. ( 3 √ 2 , 3 √ 2 ,− 3 )
1olución7
81. (5 / 2, 4 / 3, −3 / 2 )
1olución7
82. ( 0,−5, 4 )
1olución7
83. (5, 3 π / 4,− 5 )
1olución7
84. (−2,11 π / 6,3 )
1olución7
85. (−3.5,2.5,6 )
1olución7
86. ( 8.25,1.3, − 4 )
1olución7
87. ( 3,3 π / 4, π / 3 )
1olución7 88. ( 8,− π / 6, π )
1olución7
En los e3ercicios +, a ,04 asociar la ecuaci*n 8dada en términos de coordenadas cilíndricas o esféricas con su 'rfica. 9Los 'rficos se marcan a4 b4 c 4 e y f .:
89. r =5
1olución7
90. θ=
π 4
1olución7
91. %=5
1olución7
92. ϕ =
π 4
1olución7
93. r
2
= z
1olución7
94. %= 4 sec ϕ
1olución7
esarrollo de conceptos ,2. >ar las ecuaciones para la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cil!ndricas y viceversa. 1olución7
,(. Explicar por qu/ en las coordenadas esf/ricas la gráfica de
θ= c es un semiplano y no un
plano entero. 1olución7
,7. >ar las ecuaciones para la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esf/ricas y viceversa. 1olución7
Para discusión
,+. a# >adas las constantes a , b y c , describir las gráficas de las ecuaciones z =c en coordenadas cil!ndricas. b# >adas las constantes ϕ =c
a,b
y
c,
describir las gráficas de las ecuaciones
r = a ,θ =b
y
%= a ,θ =b
y
en coordenadas esf/ricas.
1olución7
En los e3ercicios ,, a 1-(4 con)ertir la ecuaci*n rectan'ular a una ecuaci*n a en coordenadas cilíndricas y b en coordenadas esféricas. 2
99. x
+ y 2 + z 2=25
1olución7
100. 4 ( x
2
+ y 2 )= z 2
1olución7
101. x
2
+ y 2 + z 2−2 z = 0
1olución7
102. x
2
+ y 2= z
1olución7
103. x
2
+ y 2= 4 y
1olución7
104. x
2
+ y 2=36
1olución7
105. x
2
− y 2 =9
1olución7
106. y =4
1olución7
En los e3ercicios 1-7 a 11-4 di6u3ar el s*lido ;ue tiene la descripci*n dada en coordenadas cilíndricas 107.0 ) θ ) π / 2, 0 ) r) 2, 0 ) z ) 4
1olución7
108.− π / 2 ) θ ) π / 2, 0 ) r ) 3, 0 )z)rcosθ
1olución7
109.0 ) θ ) 2 π , 0 ) r ) a , r ) z ) a
1olución7
2
110.0 )θ ) 2 π , 2 ) r ) 4, z )−r
1olución7
2
+ 6 r −8
En los e3ercicios 111 a 1104 di6u3ar el s*lido ;ue tiene la descripci*n dada en coordenadas esféricas 111.0 ) θ ) π / 2, 0 ) ϕ ) π / 6, 0 )%)asec ϕ
1olución7
112.0 )θ ) 2 π , π / 4 ) ϕ ) π / 2, 0 ) % ) 1
1olución7
113.0 ) θ ) π / 2,0 ) ϕ ) π / 2, 0 ) % ) 2
1olución7 114.0 )θ)π , 0 ) ϕ ) π / 2,1 ) %) 3
1olución7 Para ensar En los e3ercicios 112 a 1%-4 5allar las desi'ualdades ;ue descri6en al s*lido4 y
especificar el sistema de coordenadas utili
11(. (na capa cil!ndrica de + metros de longitud, 0.)= metros de diámetro interior y un diámetro exterior de $.4= metros. 1olución7
117. (na capa esf/rica con radios interior y exterior de 5 pulgadas y % pulgadas, respectivamente. 1olución7
11+. El sólido que queda despu/s de perforar un orificio de $ pulgada de diámetro a trav/s del centro de una esfera de % pulgadas de diámetro. 1olución7
11,. El sólido dentro tanto de como de
2
2
2
x + y + z =9 como de
( ) x −
3 2
2
+ y 2=
9 4
1olución7
2 2 2 1%-. El sólido entre las esferas x + y + z = 4
1olución7
2
2
y x + y + z
2
=9,
dentro del cono
2
2
2
z = x + y .
