ECUACION DE CONTINUIDAD EN COORDENADAS ESFERICAS
Para Para efec efectu tuar ar la deri deriva vaci ción ón de la ecua ecuaci ción ón de cont contin inui uida dad d en coordenadas esféricas, se artir!a de un volu"en de control co"o el #ue se "uestra en la $%ura& Dic'o volu"en de control est( de$nido or la e)resión "ate"(tica* dV = r
2
sin θdrdθd ∅
r ,θ y ∅ reresentan el radio + los (n%ulos olar + a-i"utal,
Donde
resectiva"ente& El diferencial de "asa es* dM = ρ r
2
sin θdrdθd ∅
Se reresentar( el ca"o de velocidades de la si%uiente for"a* u=u er + ϑ e eθ + ω e
∅
Donde
u , ϑ y ω son las velocidades del .uido en dirección radial,
olar + a-i"utal, resectiva"ente& Se%uid Se%uida"e a"ente nte se deter" deter"ina inar(n r(n las e)res e)resion iones es de acu"ul acu"ulaci ación ón + .u/o neto en cada una de las direcciones "encionadas&
Acu"ulación&
El tér"ino ara la acu"ulación est( dado or la tasa de ca"0io de la "asa con resecto al tie"o& Por lo tanto, se tiene* ∂ρ 2 r senθdrdθd ∅ ∂ t
Co"o
2
dV = r senθdrdθd ∅ , entonces se o0tiene* ∂ρ dV ∂ t
Flu/o en dirección radial
(r ) &
Para el .u/o entrante* r , ∈¿= ρu A ¿ ´¿ m
Donde el (rea del .u/o entrante
( A ¿ )
es un trae-oide cu+a
suer$cie est( dada or* 1
A = ( base mayor + basemenor ) ×altura 2
Sustitu+endo en la ecuación los tér"inos corresondientes* A ¿ =
A ¿ =
1 2
[ rsenθd
1 2
[ rsenθd
∅
+ rsen ( θ + dθ ) d ∅ ] rdθ
∅+
r ( senθcosdθ + cosθs enθ ) d ∅ ] rdθ
dθ es un (n%ulo in$nitesi"al"ente e#ue1o, es osi0le
Dado #ue
'acer las si%uientes aro)i"aciones* cosdθ≈ 1
sendθ ≈ dθ
Entonces* A ¿ =
1 2
[ rsenθd
1
∅+
r ( senθ + cosθdθ ) d ∅ ] rdθ
1
2
1
2
2
2
A ¿ = r senθdθd ∅ + r senθ dθ d ∅ + r cosθd θ d ∅ 2
1
2
1
2
2
2
2
A ¿ = r senθdθd ∅ + r cosθdθ d ∅ 2
2
Puesto #ue cual#uier diferencial cuadr(tico uede desreciarse, 2
A ¿ =r senθdθd ∅
De acuerdo con esto tene"os #ue el .u/o de entrada sea* 2
r , ∈¿= ρu r senθdθd ∅ m ´¿
Por su arte, el .u/o radial de salida es*
(
m ´ r,out = ρu+
)
∂ ρu dr A out ∂r
Pero, el out se calcula de "anera an(lo%a al c(lculo de A ¿ A out =
A out =
A out =
A out =
1 2
1 2
[ ( r + dr ) senθd [ rsenθd
1 2
1 2
∅
∅
+ ( r + dr ) sen ( θ + dθ ) d ∅ ] ( r + dr ) dθ
+ senθdrd ∅ +( r +dr ) ( senθ + cosθdθ ) d ∅ ] ( r + dr ) dθ
[ rsenθd ∅ + senθdrd ∅+ rsend ∅ + rcosθdθd ∅ +senθdrd ∅ + cosθdrdθd ∅ ] ( rdθ+ drdθ ) [ 2 rsenθd ∅+ 2 senθdrd ∅ + rcosθdθd ∅ +cosθdrdθd ∅ ] (rdθ +drdθ )
2
2
A out = r senθdθd ∅ + rsenθdrdθd ∅ +rsenθdrdθd ∅ + senθd r dθd ∅ +
r
2
2
r r 2 2 cosθd θ d ∅ + cosθdrdθ d ∅ + cos 2
2
2
A out = r senθsenθdθd ∅ + 2 rsenθdrdθd ∅
Por lo #ue*
(
m ´ r,out = ρu+
)
∂ ρu 2 dr ( r senθ dθd ∅ + 2 rsenθdrdθd ∅ ) ∂r
El .u/o neto es* 2
r , ∈¿= ρu r senθd ∅+ 2 ρursenθdrdθd ∅ +
¿ 2 ρursenθdrdθd ∅ +
∂ ρu 2 r senθdrdθd ∅ ∂r
∂ ρu 2 r , ∈¿= ρudV + dV r ∂r ´ r,out −m ´¿ m
∂ ρu 2 ∂ ρu 2 2 2 rsenθdr dθd ∅− ρ u r senθdrdθd ∅ r senθdrdθd ∅ + ∂r ∂r ´ r,out − m ´¿ m
( θ) &
Flu/o olar
El (rea #ue atraviesa el .u/o entrante es un trae-oide cu+a suer$cie se deter"ina co"o si%ue* A ¿ =
1 2
[ rsenθd + ( r + dr ) senθd ] dr ∅
∅
1
¿ [ rsenθd ∅ + rsenθd ∅ + senθdrd ∅ ] dr 2
¿ 1 [ senθd r d ∅ + rsenθdrd ∅ ] 2
2
A ¿ =r senθdrd ∅
Es or esto #ue el .u/o entrante se e)resa co"o* θ , ∈¿= ρϑ A¿ = ρϑ rsenθdrd ∅ ´¿ m
Por su arte, el (rea #ue atraviesa el .u/o saliente se calcula a continuación* A out =
A out =
A out =
1 2
1 2
1 2
[ rsen ( θ +dθ ) d + ( r +dr ) sen ( θ + dθ ) d ] dr ∅
∅
[ r ( senθ + cosθdθ ) d + ( r + dr ) ( senθ + cosθdθ ) d ] dr ∅
∅
[ rsenθd ∅ + rcosθdθd ∅ +rsenθd ∅ +rcosθdθd ∅ + senθdrd ∅+ cosθdrdθd ∅ ] dr
1 1 r r r r 2 2 A out = senθdrd ∅ + cosθdrdθd ∅ + senθdrd ∅ + cosθdrdθd ∅+ senθd r d ∅ + cosθd r dθd ∅ 2
2
2
2
A out = rsenθdrd ∅ + rcosθdrdθd ∅
En consecuencia, el .u/o saliente se e)resa co"o*
(
´ θ,out = ρϑ + m
)
∂ ρϑ dθ ( rsenθdrd ∅ + rcosθdrdθd ∅ ) ∂θ
2
2
Final"ente, el .u/o neto olar es* θ , ∈¿= ρϑ rsenθdrd ∅ + ρϑ rcosθdrdθd ∅ +
∂ ρϑ ∂ ρϑ 2 rsenθdrdθd ∅ + rcosθdrdθ d ∅− ρϑ rsenθdrd ∅ ∂θ ∂θ ´ θ,out ⁻ ´m¿ m
∂ ρϑ rsenθdrdθd ∅ ∂θ ´ θ,out − m ´¿ m
θ , ∈¿= ρϑ rcosθdrdθd ∅ +
1 1 ∂ ρϑ cosθ θ , ∈¿= ρϑ dV + dV r senθ r ∂θ ´ θ,out −m ´¿ m
Flu/o a-i"utal
( ∅)
En este caso, tanto el (rea de entrada co"o de salida son i%uales + se calculan co"o si%ue* A = ∅
A = ∅
1 2
1 2
[ rd + ( r + dr ) dθ ] dr ∅
[ rdθ + rdθ + drdθ ] dr 1
2
A =rdrdθ + d r dθ ∅
2
A =rdrdθ ∅
2os .u/os de entrada + salida se e)resan se%uida"ente* ∅
,∈¿= ρωrdrdθ ´¿ m
El .u/o neto es* ∅
∂ ρω rdrdθd ∅− ρωrdrdθ ∂∅ ´ , out − ´m¿ m
,∈¿= ρωrdrdθ+
∅
¿
∂ ρω rdrdθd ∅ ∂∅
´ m
∅
(
)
= ρω + ∂ ρω d ∅ rdrdθ
,out
∂∅
∅
∂ ρω dV rsenθ ∂ ∅ ´ ,out − ´m¿ m 1
,∈¿=
∙
∅
Final"ente, a%ruando los tér"inos de la acu"ulación + los .u/os netos en cada dirección, se deriva #ue* 2 1 1 ∂ ρϑ 1 ∂ρ ∂ ρu cosθ ∂ ρω dV + ρudV + dV + ρϑ dV + dV + dV =0 ∂ t r ∂r r senθ r ∂θ rsenθ ∂ ∅
1 ∂ρ 2 ∂ ρu 1 cosθ 1 ∂ ρϑ ∂ ρω + ρu + + ρϑ + + =0 ∂ t r ∂r r senθ r ∂ θ rsenθ ∂ ∅
∂ρ 1 + ∂ t r 2
(
2 rρu
(
)
+ r ∂ ρu + 2
∂r
1
rsenθ
)
2
(
ρϑ cosθ + senθ
)
1 ∂ ρϑ ∂ ρω + =0 ∂θ rsenθ ∂ ∅
(
)
1 1 ∂ρ 1 ∂r ∂senθ ∂ ρω 2 ∂ ρu + 2 + + senθ ∂ ρϑ + =0 ρu + r ρϑ ∂ t r ∂ r ∂r rsenθ ∂θ ∂θ rsenθ ∂ ∅
∂ ( ρϑ senθ ) ∂ ρ 1 ∂ ( ρr u ) + 2 + 1 + 1 ∂ ρω =0 ∂ t r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂ ∅ 2
2a cual es la e)resión de la ecuación de continuidad en coordenadas esféricas& 3i0lio%raf!a& •
Please"a4eanote&0lo%sot&co"5677857659:derivative:of: continuit+:e#uation:in:'t"l
