CAPÍ CA PÍTU TULO LO 11
822
Vec ecto tore ress y la ge geom ometr etra a de dell esp espac acio io
11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas I I
Usar coordenadas cilíndricas para representar superficies en el espacio. Usar coordenadas esféricas para representar superficies en el espacio.
Coordenadas cilíndricas
oorr en oo enaa as c lí línd ndri riccas as:: z
Coordenadas rectangulares: x = r cos θ y = r sen θ z = z
r 2 = x2 + y2 y tan θ = x z = z
EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
En un sistema de coordenadas cilíndricas, un pun punto to P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada ͑r , , z͒.
( x, y, z) (r, θ , z)
P x
y
r
θ
x
Ya se ha visto que algunas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Algo semejante ocurre con las superficies en el espacio. En esta sección se estudiarán dos sistemas alternativos de coordenadas espaciales. espacia les. El El primero, primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una una extensión extensión de las coordenadas polares del plano al espacio tridimensional.
1. ͑r , ͒ es una representación polar de la proyección de P 2. z es
en el plano xy.
la distancia dirigida de ͑r , ͒ a P.
Para convertir convertir coordenadas rectangulares en coordenadas cilndricas (o viceversa), hay que usar las siguientes siguientes fórmulas, fórmulas, basad basadas as en las coordenadas coordenadas polares, como se ilustra ilustra en la figura 11 11.6 .66. 6.
y
Figura 11.66
Cilíndricas a rectangulares: x
ϭ
r cos ,
y
ϭ
r sen sin ,
z
ϭ z
Rectangulares a cilíndricas: ci líndricas: r 2
ϭ x
2
ϩ y
2
y tan ϭ , x
,
z
ϭ z
Al punto punto (0, (0, 0, 0) se le llama llama el polo. Como la representación de de un punto en el sistema de coordenadas polares no es única, única, la representación en el sistema de las coordenadas cilndricas tampoco es única. x, y, z) = (−2 ( x
3, 2 , 3)
EJEMPLO 1
P
z
z
4
Convertir Conv ertir el punto ͑r , , z͒ ϭ 4,
−4
3 −3
2
r
1
θ
1
2
−1
(
5π (r, θ , z ) = 4, ,3 6
Figura 11.67
)
3
4
y
x
ϭ
4 cos
5 ϭ 4 6
y
ϭ
sen 4 si sin n
5 1 ϭ 4 6 2
z
ϭ
3.
−1
5 ,3 6
a coordenadas rectangulares.
Usando las ecuaciones de conversión de cilndricas a rectangulares se obtiene
Solución
−2
1
x
Conversión de coordenadas cilíndricas a coorden coordenadas adas rectangul rectangulares ares
Ϫ
Ί 3
2
ϭ
Ί 3
ϭ Ϫ2
2
Por tan tanto, to, en coo coorde rdenad nadas as rect rectang angula ulares, res, el pu punto nto es ͑ x, y, z͒ ϭ ͑Ϫ 2Ί 3, 3 , 2, 3͒, como se muestra en la figura 11.67.
SECCIÓN 11.7
z
823
Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas
EJEMPLO 2 ( x, y, z) = (1,
Coordenadas cilndricas y esféricas
3, 2)
3
Convertir el punto ͑ x, y, z͒ ϭ ͑1, Ί 3, 2͒ a coordenadas cilndricas.
r = 2
2
z = 2 1 2
2
π θ = 3
3
r ϭ
y
z
(
(r, θ , z) = 2,
Figura 11.68
±
Ί 1 ϩ 3 ϭ ± 2 ϭ arctan ͑Ί 3 ͒
tan ϭ Ί 3
3 x
Usar las ecuaciones de conversión de rectangulares a cilndricas.
Solución
1
) ( 2, 43π , 2)
π ,2 o 3
−
ϭ
ϩ
n ϭ
ϩ n 3
2
Hay dos posibilidades para r y una cantidad infinita de posibilidades para . Como se muestra en la figura 11.68, dos representaciones adecuadas del punto son
2,
,2 3
Ϫ 2,
4 ,2 . 3
r > 0
y en el cuadrante I.
r < 0
y en el cuadrante III.
Las coordenadas cilndricas son especialmente adecuadas para representar superficies cilndricas y superficies de revolución en las que el eje z sea el eje de simetra, como se muestra en la figura 11.69. x 2 + y 2 = 9 r = 3
x 2 + y 2 = 4 z r = 2 z
x 2 + y2 = z 2 r = z
x 2 + y 2 − z 2 = 1
z
z
z
r 2 = z 2 + 1
z
y
y x
x
Cilindro Figura 11.69
y
Paraboloide
y
x
x
Cono
Hiperboloide
Los planos verticales que contienen el eje z y los planos horizontales también tienen ecuaciones simples de coordenadas cilndricas, como se muestra en la figura 11.70. z
Plano vertical: θ = c
θ = c
z
y y
x x
Figura 11.70
Plano horizontal: z = c
CAPÍTULO 11
824
Vectores y la geometra del espacio
Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas
EJEMPLO 3 Rectangular:
Cilíndrica: r 2 = 4 z2
z
x2 + y2 = 4 z2
Hallar una ecuación en coordenadas cilndricas para la superficie representada por cada ecuación rectangular.
3
x
4
6
4
a) x 2
ϩ y
b) y 2
ϭ x
2
4 z 2
ϭ
y
6
Solución a)
Figura 11.71
Según la sección anterior, se sabe que la gráfica de x ϩ y ϭ 4 z es un cono “de dos hojas” con su eje a lo largo del eje z, como se muestra en la figura 11.71. Si se sustituye x ϩ y por r , la ecuación en coordenadas cilndricas es 2
2
x 2
2
ϩ y
2 2
r
b)
Rectangular:
2
ϭ
4 z 2
ϭ
2
Ecuación rectangular. Ecuación cilndrica.
4 z . 2
y 2 r ͑r sen sin 2 Ϫ 2
cos ͒
4
Figura 11.72
Agrupar términos y factorizar.
0
ϭ
Dividir cada lado entre r .
cos sen sin22
r ϭ 2
Sustituir y por r sen q y x por r cos q .
r sin sen22 Ϫ cos ϭ 0
1
x
Ecuación rectangular.
ϭ x
r 2 sen sin22 ϭ r cos
z
2
Despejar r .
r ϭ csc cot y
2
La gráfica de la superficie y ϭ x es un cilindro parabólico con rectas generatrices paralelas al eje z, como se muestra en la figura 11.72. Sustituyendo y2 por r 2 sen2 q y x por r cos q , se obtiene la ecuación siguiente en coordenadas cilndricas.
Cilíndrica: r = csc θ cot θ
y2 = x
2
Ecuación cilndrica.
Hay que observar que esta ecuación comprende un punto en el que r ϭ 0, por lo cual nada se pierde al dividir cada lado entre el factor r . La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas es más sencilla que la conversión de coordenadas cilndricas a coordenadas rectangulares, como se muestra en el ejemplo 4. EJEMPLO 4
Cilíndrica: r 2 cos 2θ + z2 + 1 = 0
Conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares
Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la ecuación cilndrica
z
3
r 2 cos 2 ϩ z 2
ϩ
1
ϭ
0.
Solución 3
2
x
1
−
2
−
3
−
Rectangular:
y2 − x2 − z2 = 1
Figura 11.73
2
r 2 cos 2 ϩ z 2 3
y
r 2͑cos 2 Ϫ sen sin22 ͒
ϩ z
2
ϩ
1
ϭ
0
Ecuación cilndrica.
ϩ
1
ϭ
0
Identidad trigonométrica.
r 2 cos 2 Ϫ r 2 sen sin22 ϩ z 2 x 2 y
2
Ϫ y
2
Ϫ x
2
ϭ Ϫ1
ϩ z
2
ϭ Ϫ1
Ϫ z
2
ϭ
1
Sustituya r cos q por x y r sen q por y. Ecuación rectangular.
Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje se encuentra a lo largo del eje y, como se muestra en la figura 11.73.
SECCIÓN 11.7
Coordenadas cilndricas y esféricas
825
Coordenadas esféricas En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ángulos. Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar puntos en la superficie de la Tierra. Por ejemplo, en la figura 11.74 se muestra el punto en la superficie de la Tierra cuya latitud es 40° Norte (respecto al ecuador) y cuya longitud es 80° Oeste (respecto al meridiano cero). Si se supone que la Tierra es esférica y tiene un radio de 4 000 millas, este punto sera
Meridiano cero y
80° O 40° N
(4 000, Ϫ80°, 50°). x
Radio
80° en el sentido de las manecillas del reloj, desde el meridiano cero
Ecuador
50° hacia abajo del Polo Norte
Figura 11.74
EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada ͑ , , ͒. 1. es
la distancia entre P y el origen, ≥ 0. 2. es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilndricas para r ≥ 0. 3. es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta OP , 0 ≤ ≤ . \
Hay que observar que la primera y tercera coordenadas, r y f , son no negativas. r es la letra minúscula ro, y f es la letra griega minúscula fi . La relación entre coordenadas rectangulares y esféricas se ilustra en la figura 11.75. Para convertir de un sistema al otro, usar lo siguiente. r = ρ sen φ =
x2 + y 2
Esféricas a rectangulares: x
z P
φ O
ρ
θ
r
(ρ ,θ , φ ) ( x, y, z)
ϭ
sin sen cos ,
y
ϭ
sin sen , sen sin
z
ϭ
cos
Rectangulares a esféricas: y
x x
2
ϭ x
2
ϩ y
2
ϩ z
y tan ϭ , x
2
,
ϭ arccos
z
Ί x 2 ϩ y 2 ϩ z 2
y
Coordenadas esféricas Figura 11.75
Para cambiar entre los sistemas de coordenadas cilndricas y esféricas, usar lo siguiente. Esféricas a cilíndricas ͑r r 2
ϭ
2 sen sin22 ,
Cilíndricas a esféricas ͧr
ϭ Ί r 2
ϩ z
2
,
≥ 0͒ :
ϭ ,
z
ϭ
cos
≥ 0ͨ :
ϭ ,
ϭ arccos
z
Ί r 2 ϩ z 2
CAPÍTULO 11
826
Vectores y la geometra del espacio
El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetra. Por ejemplo, la figura 11.76 muestra tres superficies con ecuaciones esféricas sencillas. z
z
φ = c
c
y
x
θ = c
x
Esfera:
y
y x
Semiplano vertical:
ρ = c
Semicono: 0 < c < π ( 2)
θ = c
φ = c
Figura 11.76
EJEMPLO 5
Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie representada por cada una de las ecuaciones rectangulares. Cono: x ϩ y ϭ z b) Esfera: x ϩ y ϩ z 2
a)
2
2
2
2
2
Ϫ
4 z
ϭ
0
Solución a)
Haciendo las sustituciones apropiadas de x , y y z en la ecuación dada se obtiene lo siguiente. x 2
ϩ y
2
ϭ z
2
sen22 ϭ 2 cos 2 2 sen sin2 cos 2 ϩ 2 sen sin2 sin Rectangular:
2 sen sin22 ͑cos 2 ϩ sen sin2 ͒
Esférica:
x2 + y2 + z2 − 4 z = 0
ϭ
2 cos 2
2 sen sin2 ϭ 2 cos 2
ρ = 4 c o s φ
sen sin2 2
z
cos 2
ϭ
≥ 0.
1
tan2 ϭ 1 4
o ϭ 3 ͞4. ϭ ͞4 or
La ecuación ϭ ͞4 representa el semicono superior , y la ecuación ϭ 3 ͞4 representa el semicono inferior . b) Como ϭ x ϩ y ϩ z y z ϭ cos , la ecuación dada tiene la forma esférica siguiente. 2
2
Ϫ
2
2
2
͑ Ϫ 4 cos ͒
4 cos ϭ 0
ϭ
0
Descartando por el momento la posibilidad de que ϭ 0, se obtiene la ecuación esférica −
2 1 2 x
Figura 11.77
1
Ϫ 4 cos ϭ 0 2
y
o
ϭ 4 cos .
Hay que observar que el conjunto solución de esta ecuación comprende un punto en el cual ϭ 0, de manera que no se pierde nada al eliminar el factor . La esfera representada por la ecuación ϭ 4 cos se muestra en la figura 11.77.
CAPÍTULO 11
828
Vectores y la geometra del espacio
En los ejercicios 89 a 94, asociar la ecuación (dada en términos de coordenadas cilíndricas o esféricas) con su gráfica. [Los gráficos se marcan a), b), c), d ), e) y f ).] a)
b)
z 3
z
π 4
x
3
2
ϩ y
2
ϩ z
2
ϭ
25
101. x 2
ϩ y
2
ϩ z
2
Ϫ
2 z
ϩ y
2
ϭ
4 y
104. x
Ϫ y
2
ϭ
9
106. y
103. x
1
2
105. x
2
3
−4
y
4
4
y
x
c)
108.
z
5
5
5
5
x
x
e)
110. 0
5
y
y
f ) 2
3
Յ
102. x 2
0
2
Յ ͞2, 0
Ϫ ͞2 Յ
109. 0
5
ϭ
ϩ y
͒
2
ϭ z
ϩ y
2
ϭ z
ϩ y
2
ϭ
ϭ
2
36
4
En los ejercicios 107 a 110, dibujar el sólido que tiene la descripción dada en coordenadas cilíndricas. 107. 0
d )
100. 4͑ x 2
99. x 2 2
2 −3 −2
En los ejercicios 99 a 106, convertir la ecuación rectangular a una ecuación a) en coordenadas cilíndricas y b) en coordenadas esféricas.
Յ Յ
r Յ 2, 0
Յ
Յ ͞2, 0
Յ 2 , 0
Յ
Յ 2 , 2
Յ
Յ
Յ
z
r Յ 3, 0
r Յ a, r Յ z r Յ 4, z
2
4
Յ Յ
Յ
r cos
a
Յ
Յ Ϫ
z
2
r
ϩ
6r Ϫ 8
En los ejercicios 111 a 114, dibujar el sólido que tiene la descripción dada en coordenadas esféricas. Յ ͞6, 0
111. 0
Յ
Յ 2 , 0
112. 0
Յ
Յ 2 , ͞4
113. 0
Յ
Յ ͞2, 0
Յ
114. 0
Յ
Յ , 0
Յ ͞2, 1
Յ
Յ
Յ
Յ
Յ ͞2, 0
Յ ͞2, 0 Յ
Յ a sec Յ
Յ
Յ 1
Յ 2
Յ 3
1 −2
2
π 4
x
2
y −2
2
1
x
2
89. r ϭ 5
90. ϭ
4
91. ϭ 5
92. ϭ
4
93. r 2
94. ϭ 4 sec
ϭ z
y
Desarrollo de conceptos 95. Dar las ecuaciones para la conversión de coordenadas rec-
tangulares a coordenadas cilndricas y viceversa. 96. Explicar por qué en las coordenadas esféricas la gráfica de q = c es un semiplano y no un plano entero. 97. Dar las ecuaciones para la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas y viceversa.
Para discusión 98. a) Dadas las constantes a, b y c, describir las gráficas de las ecuaciones r ϭ a, ϭ b,y z ϭ c en coordenadas cilndricas. b)
Dadas las constantes a, b y c, describir las gráficas de las ecuaciones ϭ a, ϭ b, y ϭ c en coordenadas esféricas.
Para pensar En los ejercicios 115 a 120, hallar las desigualdades que describen al sólido, y especificar el sistema de coordenadas utilizado. Posicionar al sólido en el sistema de coordenadas en el que las desigualdades sean tan sencillas como sea posible.
115. Un cubo con cada arista de 10 centmetros de largo. 116. Una capa cilndrica de 8 metros de longitud, 0.75 metros de
diámetro interior y un diámetro exterior de 1.25 metros. 117. Una capa esférica con radios interior y exterior de 4 pulgadas y 6 pulgadas, respectivamente. 118. El sólido que queda después de perforar un orificio de 1 pulgada de diámetro a través del centro de una esfera de 6 pulgadas de diámetro. 119. El sólido dentro tanto de x ϩ y ϩ z ϭ 9 como de 2
͑ x Ϫ 32 ͒
2
ϩ y
2
9
ϭ 4
2
2
.
120. El sólido entre las esferas x 2 ϩ y2 ϩ z2 = 4 y x 2 ϩ y2 ϩ z2 = 9, y dentro del cono z 2 ϭ x 2 ϩ y 2. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 121 a 124, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que pruebe que es falsa.
121. En coordenadas cilndricas, la ecuación r = z es un cilindro. 122. Las ecuaciones ϭ 2 y x 2 123. 124. 125. 126.
ϭ 4 representan la misma superficie. Las coordenadas cilndricas de un punto ( x , y, z) son únicas. Las coordenadas esféricas de un punto ( x , y, z) son únicas. Identificar la curva de intersección de las superficies (en coordenadas cilndricas) z ϭ sen q y r ϭ 1. Identificar la curva de intersección de las superficies (en coordenadas esféricas) ϭ 2 sec y ϭ 4. ϩ y
2
ϩ z
2
