92 5
INTEGRAIS MULTIPLAS
2 K K r
�
Calcule
EXEMPLO 4
y ys s ys 2
4Ϫ x 2
Ϫ2
Ϫ
4Ϫ x 2
2
x 2ϩ y 2
3
ϩ
r5
5
1
12 K K 5
�
0
z
� x 2 ϩ y 2 d dx. dzz dy dx
z=2
SOLUÇÃO Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região sólida E
�
�� x, y, z � Ϫ2 ഛ x ഛ 2, Ϫs 4 Ϫ x 2
2
s 4 Ϫ x 2 , s x 2 ϩ y 2
ഛ y ഛ
ഛ z ഛ
2
z=œ„„„„ ≈+¥ „
e a projeção de E sobre o plano xy é o disco x 2 ϩ y 2 ഛ 4. A superfície inferior de E é o cone 2. (Veja (Veja a Figura 9.) Essa região tem uma z s x 2 ϩ y 2 e a superfície superior é o plano z descrição muito mais simples em coordenadas cilíndricas: �
2
�
E
�
��r, u, z � 0 ഛ u ഛ 2p, 0 ഛ r ഛ 2,
y
FIGURA 9
2
r ഛ z ഛ
2
x
Portanto, temos
y ys s ys 2
Ϫ2
4Ϫ x 2
Ϫ
4Ϫ x 2
2
x 2ϩ y 2
� x 2 ϩ y 2 d dx dzz dy dx
yyy � x
�
ϩ y
�
y y y
2
y
2
2p
2
0
0
r
d
y
2
0
dV
0
r 2 r dz dr d u r 3�2 Ϫ r dr 2
2 [ r 4 Ϫ 15 r 5 ]0 1
�
2
�
16 5
Exercícios
1–2 Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são
dadas. A seguir, seguir,
encontre as coordenadas retangulares do ponto. (b) �2, Ϫp2, 1 1. (a) �4, p 3, Ϫ2 2, 3p4, 2 (b) (1, 1, 1) 2. (a) �s 2, 3–4 Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas. (b) (Ϫ2, 2s 3, 3, 3) 3. (a) �Ϫ1 , 1 , 1
(a) (2 s 3, 2, Ϫ1)
4.
2
E
�
15.8
2
Uma casca cilíndrica tem 20 cm de comprimento, com raio interno 6 cm e raio externo externo 7 cm. Escreva desigualdades desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca. ; 14. Use uma ferramenta gráfica para desenhar o sólido limitado pelos paraboloides z x 2 ϩ y 2 e z 5 Ϫ x 2 Ϫ y 2. 15–16 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. 13.
�
(b) �4, Ϫ3, 2
15. 5–6 Descreva com palavras a superfície cuja equação é 5. 4 6. r 5 �
Ϫp2
dada.
�
0
r2
0
r dz dr d u
16.
y y y 2
2p
0
0
r
0
r dz d u dr
17–28 Utilize coordenadas cilíndricas. 17. Calcule E s x 2 ϩ y 2 dV , onde E é a região que está dentro do 2 cilindro x ϩ y 2 16 e entre os planos z Ϫ5 e z 4. 18. Calcule E z dV , onde E é limitado pelo paraboloide z x 2 ϩ y 2 e o plano z 4. 19. Calcule E � x ϩ y ϩ z dV , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z 4 Ϫ x 2 Ϫ y 2. 0 e 20. Calcule x dV , on de E é limitado pelos planos z E 2 2 2 2 4 e x ϩ y 9. z x ϩ y ϩ 5 e pelos cilindros x ϩ y 2 21. Calcule E x dV , onde E é o sólido que está dentro do cilindro 1, acima do plano z 0 e abaixo do cone x 2 ϩ y 2 2 2 4 x ϩ 4 y 2. z
xxx
�
1
�
�
6
xxx
�
(b) Ϫ x 2 Ϫ y 2 ϩ z 2
�
xxx
9–10 Escreva as equações em coordenadas cilíndricas. 1 (b) z x 2 Ϫ y 2 9. (a) x 2 Ϫ x ϩ y 2 ϩ z2
(a) 3 x ϩ 2 y ϩ z
2
�
7–8 Identifique a superfície cuja equação é dada. 7. z 8. 2r 2 ϩ z 2 4 Ϫ r2
10.
y y y p2
�
�
1
11–12 Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 11. 0 ഛ r ഛ 2, Ϫ 2 ഛ ഛ 2, 0 ഛ z ഛ 1 12. 0 ഛ ഛ 2, r ഛ z ഛ 2
�
�
�
�
xxx �
�
�
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
;
�
�
xxx
�
�
É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador
�
926
CÁLCULO
22. Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro 1 como da esfera x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 4 . x 2 ϩ y 2 23. Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone 2. z s x2 ϩ y2 e abaixo da esfera x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 24. Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide 2. z x 2 ϩ y 2 e a esfera x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 25. (a) Encontre o volume da região E limitada pelos paraboloides 36 Ϫ 3 x 2 Ϫ 3 y 2. z x 2 ϩ y 2 e z (b) Encontre o centroide do E (centro de massa no caso em que a densidade é constante). 26. (a) Determine o volume do sólido que o cilindro r a cos corta da esfera de raio a centrada na origem. ; (b) Ilustre o sólido da parte (a) desenhando a esfera e o cilindro na mesma tela. 27. Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z 4 x 2 ϩ 4 y 2 e pelo plano z a � a � 0 , se S tem densidade constante K . 28. Determine a massa da bola B dada por x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 ഛ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z. �
31. Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o formato de um cone circular reto. Suponha que a densidade do material na vizinhança de um ponto P seja t�P e a altura seja h�P . (a) Determine a integral definida que representa o trabalho total exercido para formar a montanha. (b) Assuma que o monte Fuji no Japão tenha o formato de um cone circular reto com raio de 19 000 m, altura de 3 800 m e densidade constante de 3 200 kg/m3. Quanto trabalho foi feito para formar o monte Fuji se a terra estivesse inicialmente ao nível do mar?
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
29-30 Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
y ys s ys s 30. y y y 29.
2
Ϫ2
4Ϫ y 2
Ϫ
3
Ϫ3
9Ϫ x 2
0
2
4Ϫ y 2
x 2 ϩ y 2
9Ϫ x 2Ϫ y 2
0
xz x zdz d zdx d xdy dy dzz dy d y dx dx s x 2 ϩ y 2 d
k c o t s r e t t u h S / r e l l a v a r T o t o h P e e L . R . S
PROJETO DE LA BORATÓRIO A INTERSECÇÃO DE TRÊS CILINDROS A figura mostra o sólido limitado por três cilindros circulares de mesmo diâmetro que se interceptam em ângulos retos. Neste projeto, vamos calcular seu volume e determinar como sua forma varia quando os cilindros têm diâmetros diferentes.
1. Esboce cuidadosamente o sólido limitado pelos três cilindros x 2 ϩ y 2 1 , x 2 ϩ z 2 1 e 1. Indique as posições dos eixos coordenados e rotule as faces com as equações dos y 2 ϩ z 2 cilindros correspondentes. 2. Determine o volume do sólido do Problema 1. 3. Utilize um sistema de computação algébrica para desenhar as arestas do sólido. 4. O que aconteceria ao sólido do Problema 1 se o raio do primeiro cilindro fosse diferente de 1? Ilustre com um desenho à mão livre ou com um gráfico no computador. 5. Se o primeiro cilindro for x 2 ϩ y 2 a 2 , onde a Ͻ 1 , escreva, mas não calcule, uma integral dupla que forneça o volume do sólido. E se a � 1 ? �
�
SCA
�
SCA
É necessário usar um sistema de computação algébrica
�
93 1
INTEGRAIS MULTIPLAS
z
z
x
15.9
x
y
∏ varia de 0 a cos ˙ , enquanto ˙ e ¨ são constantes.
FIGURA 11
Exercícios 17–18 Esboce p6
0
2p
3–4 Mude de coordenadas retangulares para esféricas. (b) �Ϫ1, 1, Ϫs 2 3. (a) (0, Ϫ2 , 0 )
(a) (1, 0, s 3 )
7–8 Identifique a superfície cuja equação é dada. sen u sen f 7. r 2 2 2 2 9 8. r �sen f sen u ϩ cos f �
(a) x 2 Ϫ 2 x ϩ y 2 ϩ z 2
�
0
2
p
p2
2
1
z
y
x
(b) x ϩ 2 y ϩ 3 z
x
2
1
y
21–34 Utilize coordenadas esféricas.
9 �
1
11–14 Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 11. 2 ഛ r ഛ 4, 0 ഛ f ഛ p3, 0 ഛ u ഛ p 12. 1 ഛ r ഛ 2, 0 ഛ f ഛ p2, p2 ഛ u ഛ 3p2 13. ഛ 1, 3 4 ഛ ഛ 14. ഛ 2, r ഛ cossec f
Um sólido está cima do cone z s x 2 ϩ y 2 e abaixo da esfera x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 z. Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas. 16. (a) Determine desigualdades que descrevem uma bola oca com diâmetro de 30 cm e espessura de 0,5 cm. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas. (b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades. 15.
2
0
2
�
�
0
3
�
�
3
z
5–6 Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada. 5. 3 6. 3
9–10 Escreva a equação em coordenadas esféricas. (b) x 2 ϩ z 2 9. (a) z 2 x 2 ϩ y 2
p2
19–20 Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f ( x, y, z) em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado. 19. 20.
(b) (s 3 , Ϫ1, 2s 3 )
�
o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
y y y r sen f d r d u d f 18. y y y r sen f d r d f d u 17.
0
�
�
;
y
¨ varia de 0 a 2π.
enquanto ¨ é constante.
encontre as coordenadas retangulares do ponto. (b) �3, p2, 3p4 1. (a) �6, p3, p6 (b) �4, Ϫp4, p 3 2. (a) �2, p 2, p 2
10.
x
y
˙ varia de 0 a π/4,
1–2 Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir,
4.
z
É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calcule xxx B � x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 2 dV , onde B é a bola com centro na origem e raio 5. 22. Calcule xxx H � 9 Ϫ x 2 Ϫ y 2 dV , onde H é o hemisfério sólido x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 ഛ 9, z ജ 0. 23. Calcule xxx E � x 2 ϩ y 2 dV , onde E está entre as esferas 4 e x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 9. x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 24. Calcule xxx E y 2 dV , onde E é o hemisfério sólido x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 ഛ 9, z ജ 0. 25. Calcule xxx E xe x y z dV , onde E é a porção da bola unitária x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 ഛ 1 que fica no primeiro octante. 26. Calcule xxx E xyz dV , onde E fica entre as esferas 2 e 4 e acima do cone 3 . 27. Encontre o volume da parte da bola ഛ a a que está entre os cones 6 e 3. 28. Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a a seu centro. 21.
�
2
�
ϩ
2
ϩ
2
�
�
�
SCA
�
É necessário usar um sistema de computação algébrica
�
93 2
CÁLCULO
(a) Determine o volume do sólido que está acima do cone 3 e abaixo da esfera 4 cos . (b) Encontre o centroide do sólido na parte (a). 30. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera 4, acima do plano xy e abaixo do cone x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 z s x 2 ϩ y 2 . 31. (a) Encontre o centroide do sólido no Exemplo 4. (b) Encontre o momento de inércia em torno do eixo z para este sólido. 32. Seja H um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base. (a) Determine a massa de H . (b) Determine o centro de massa de H . (c) Determine o momento de inércia de H em relação a seu eixo. 33. (a) Determine o centroide do hemisfério sólido homogêneo de raio a. (b) Determine o momento de inércia do sólido da parte (a) em relação a um diâmetro de sua base. 34. Determine a massa e o centro de massa do hemisfério sólido de raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base. 29.
�
�
�
35–38 Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a
SCA
�
SCA
�
�
�
�
�
�
SCA
�
que lhe
parecer mais apropriada. 35. Determine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone z s x 2 ϩ y 2 e abaixo da esfera x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 1 . 36. Determine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de 6 . 37. Calcule xxx E z dV , onde E está acima do paraboloide z x 2 ϩ y 2 e abaixo do plano z 2 y . Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência 6–11) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral. 38. (a) Determine o volume limitado pelo toro r sen f . (b) Utilize um computador para desenhar o toro. �
Use uma ferramenta gráfica para desenhar um silo que consista em um cilindro de raio 3 e altura 10 com um hemisfério no topo. 44. A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas , , como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo z passando pelo polo norte. O eixo x positivo passa pelo ponto onde o meridiano principal (o meridiano por Greenwich, na Inglaterra) intercepta o equador. Então a latitude de P é ␣ 90Њ Ϫ Њ e a longitude é  360Њ Ϫ Њ. Encontre a distância sobre um círculo máximo de Los Angeles (lat. 34,06º N, long. 118,25º W) a Montreal (lat. 45,50º N, long. 73,60º W). Tome o raio da Terra como 6 370 km. (Um círculo máximo é o círculo de intersecção de uma esfera com um plano que passe pelo centro da esfera.) 1 45. As superfícies r 1 ϩ 5 sen mu sen nf têm sido usadas para modelar tumores. A “esfera rugosa” com m 6 e n 5 está mostrada. Utilize um sistema de computação algébrica para determinar seu volume.
; 43.
�
�
46.
Mostre que
y y y ϱ
ϱ
ϱ
Ϫϱ
Ϫϱ
Ϫϱ
s x 2 ϩ y 2 ϩ z 2 e
2
2
Ϫ� x ϩ y ϩ z
2
dx dy dz
�
2p
(A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.) 47. (a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera r 2 ϩ z 2 a 2 e por baixo pelo cone z r cotg f 0 (ou 0 ), onde 0 Ͻ 0 Ͻ 2 , é �
39–41 Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
y y y s 40. y y ys s s s s 41. y y y s s 39.
1
s 1Ϫ x 2
0
0
a 2Ϫ y 2
a
Ϫa
Ϫ
2
Ϫ2
42.
s 2Ϫ x 2Ϫ y 2 xy dz d zdy dx xy s x 2ϩ y 2
a 2 Ϫ y 2
a 2Ϫ x 2 Ϫ y 2
Ϫ
4 2Ϫ x 2
Ϫ
4
2 Ϫ x 2
a 2Ϫ x 2Ϫ y 2
4 2Ϫ x 2Ϫ y 2
Ϫ
4
2Ϫ x 2Ϫ y 2
2 � xx2 z d zdxdxdydy zϩ y2 z2zϩ ϩ y ϩ z3z3 dz
(
)
32
2)23/2 �( xx22 ϩ dz y2 2ϩϩ z z dzdx dxdy dy ϩ y
Um modelo para a densidade d da atmosfera terrestre próxima à superfície é 619,09 Ϫ 0,000097r d onde r (a distância do centro da Terra) é medido em metros e d é medido em quilogramas por metro cúbico. Se tomarmos a superfície da Terra como uma esfera com raio de 6 370 km, então, este modelo é razoável para 6 370 ϫ 106 р r р 6 375 ϫ 106. Use este modelo para estimar a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km. �
�
�
2 a 3 �1 Ϫ cos 0 V 3 (b) Deduza que o volume da cunha esférica dada por 1 ഛ ഛ 2 , 1 ഛ ഛ 2 , 1 ഛ ഛ 2 é �
23
Ϫ
13
�cos 1 Ϫ cos 2 � 2 Ϫ 1 3 (c) Utilize o Teorema do Valor Médio para mostrar que o volume da parte (b) pode ser escrito como ⌬V
�
⌬V
�
r 2 sen f
⌬r ⌬u ⌬f
onde está entre 1 e 2 , está entre 1 e 2 , ⌬ 2 Ϫ 1 , ⌬ 2 Ϫ 1 e ⌬ 2 Ϫ 1 .
�
�
�
