“Año de la consolidación del mar de Grau”
UNIVERCIDAD ANDINA DEL CUSCO
FACU ACUL LTAD DE INGENIE INGE NIERIA RIAS S
CARRERA PROFECIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CALCULO II •
ALUMNO: Luis Joel Unuysoncco Paguada !"#"!!$%#& '( )OC*N+*: Li,ardo Negrón Cal-o .*M*.+/*: 01o .emes1re
2!"0&II
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INDICE Pag. AU+O/: LUI. JO*L UNU3.ONCCO
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PRESENTACION El presente trabajo es el resultado del esfuerzo realizado en el transcurso de la investigación, que consto primeramente de la búsqueda de fuentes bibliográficas sobre el tema relacionado al informe y por segundo paso el análisis de los mismos para llegar a una AU+O/: LUI. JO*L UNU3.ONCCO
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amplia comprensión del tema el cual es de vital importancia para nuestra formación profesional, posteriormente pasamos a realizar un resumen de lo entendido. En este Informe se presentan los conceptos recaudados, observaciones, recomendaciones y conclusiones que se pudieron obtener al realizar la experimentación. s! que espero brindarles toda la ayuda e información necesaria para aclarar las dudas que peculiarmente se presenta sobre este tema, y as! manejar un buen conocimiento acerca de la responsabilidad social y as! practicarlo a diario de aqu! en adelante. "racias.
OBJETIVOS
#ecopilar información relevante Enriquecer nuestros conocimientos y aprender más sobre el tema $erminar exitosamente el informe nombrando cada uno de las biograf!as usadas %oncluir el informe con un concepto personal de lo aprendido
INTRODUCCION En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utiliza para representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio a fin o de espacio vectorial de
{R} ^ {2}
& , utilizando el sistema de representación cartesiana
mediante pares de números, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, AU+O/: LUI. JO*L UNU3.ONCCO
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que identificamos con un sistema de coordenadas ortogonal. 'in embargo esta no es la única forma posible de identificar los puntos. (ay otras formas de representación que en ocasiones pueden resultar más útiles) el sistema de representaci*on cartesiana es útil para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los barcos en el más utilizan un sistema de radar bidimensional que sitúa los puntos del plano en c!rculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas de coordenadas polares, cil!ndricas y esf+ricas.
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MARCO TEORICO: COORDENADAS POLARES, CILINDRICAS Y ESFERICAS 1. CONCEPTO ada una integral doble de una función F - x, y definida en un dominio xy, es posible realizar un cambio de variables para otro dominio uv de la siguiente manera) 'ustituimos x por una función H(u, v), e y por otra función G(u, v). Entonces la integral doble resultará AU+O/: LUI. JO*L UNU3.ONCCO
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J se denomina /acobiano, y resulta de resolver un determinante formado por las derivadas parciales de las funciones H y G.
2. COORDENADAS POLARES En ciertas ocasiones, la descripción de los dominios de integración en coordenadas rectangulares resulta más bien complicada, y se simplifica si los definimos en coordenadas polares. 'upongamos un punto gen+rico - x, y dentro de un sistema de ejes cartesianos ortogonales. 'i trazamos un segmento r desde el origen de coordenadas 0asta el punto - x, y, podemos determinar un vector que forma un ángulo t con el eje de las x.
Entonces tenemos a x e y como coordenadas rectangulares, y a r y t como coordenadas polares, las cuales las podemos relacionar de la siguiente manera) x = r cos t
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y 1 r sen t .
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Entonces vamos a formar el /acobiano con las derivadas parciales de las funciones x(r, t) e y(r, t)
%omo r es un radio, es siempre positivo, as! que no 0ace falta tomarlo como valor absoluto. 2or lo tanto, la evaluación de una integral doble en coordenadas polares resultará
3. COORDENADAS CILÍNDRICAS 3imos que en la geometr!a plana presentamos el sistema de coordenadas polares con el objeto de dar una descripción más conveniente a ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas de coordenadas que son semejantes a las coordenadas polares y proporcionan descripciones más apropiadas de algunas superficies y sólidos que suelen presentarse. 4no es el sistema de coordenadas esf+ricas -que lo veremos más adelante, y el otro es el sistema de coordenadas cil!ndricas, en donde un punto 2 del espacio tridimensional se representa mediante una tr!ada ordenada -r, t, z donde r y t son las coordenadas polares de la proyección de 2 sobre el plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x y a 2 como se muestra en la figura. AU+O/: LUI. JO*L UNU3.ONCCO
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Entonces podemos afirmar que x 1 r cos t , y = r sen t , y z = z . 'upongamos a0ora una integral triple de una función F - x, y, z definida en un dominio x y z , podemos sustituir las variables x, y, z por funciones H (u, v, w), M (u, v, w), y N (u, v, w) respectivamante, entonces la integral triple nos queda igual a
'iendo J el /acobiano que resulta
'i calculamos el /acobiano con las ecuaciones anteriores obtenemos
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Entonces el cambio de variables en coordenadas cil!ndricas será
3.1. Ecuac!"#$ %a&a '&a"$(!&)a& *# C+"*&ca$ a R#c'a"gu+a&#$
5as coordenadas cil!ndricas son útiles en problemas que tienen simetr!a alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetr!a
3.2. Ecuac!"#$ %a&a '&a"$(!&)a& *# R#c'a"gu+a&#$ a C+"*&ca$
3.3. Ecuac!"#$ %a&a '&a"$(!&)a& *# C+"*&ca$ a E$(-&ca$
El sistema de coordenadas esf+ricas es especialmente útil en problemas donde 0ay simetr!a alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. AU+O/: LUI. JO*L UNU3.ONCCO
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3.. EJEMPLOS 3.4.1. Ejemplo # 1
%onvertir el 2unto
a coordenadas cil!ndricas.
Encontramos
0ora encontramos
El cuadrante donde es negativo -67 y es positivo -7 es el I3 cuadrante. 0ora encontramos ) Entonces, el punto en coordenadas cil!ndricas es) 3.4.2. Ejemplo # 2
%onvertir el punto
en coordenadas cil!ndricas a coordenadas
rectangulares. Encontremos
0ora encontremos
0ora encontremos
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Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es) 3.4.3. Ejemplo # 3
Escribir la ecuación 'abemos que
en coordenadas cil!ndricas. entonces sustituimos en la ecuación,
obteniendo) y +sta ecuación ya está expresada completamente en coordenadas cil!ndricas, pues solo depende de
y
. COORDENADAS ESF/RICAS 5as coordenadas esf+ricas -r, j, t se muestran en la figura, donde r es la distancia desde el origen de coordenadas 0asta el punto 2, j es el ángulo entre el eje positivo z y el segmento de recta 82, y t es el mismo ángulo que en las coordenadas cil!ndricas.
5a relación entre las coordenadas esf+ricas y las rectangulares pueden observarse en la misma figura. e los triángulos 829 y 822: obtenemos
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e acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el /acobiano para realizar el cambio de variables.
Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a esf+ricas en integrales triples resultará
.1. S$'#)a *# C!!&*#"a*a$ E$(#&ca$ Es el sistema de coordenadas esf+ricas un punto p del espacio que viene representado por un tr!o ordenado • •
, donde)
es la distancia de 2 al origen, . es el mismo ngulo utilizado en coordenadas cil!ndricas para
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.
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es el ngulo entre el semieje positivo y el segmento recto .
.2. Ecuac!"#$ %a&a '&a"$(!&)a& *# E$(-&ca$ a R#c'a"gu+a&#$
.3. Ecuac!"#$ %a&a '&a"$(!&)a& *# R#c'a"gu+a&#$ a E$(-&ca$
.. Ecuac!"#$ %a&a '&a"$(!&)a& *# E$(-&ca$ a C+"*&ca$
.0. EJERCICIOS 4.5.1. Ejemplo # 4
%onvertir el punto
a coordenadas rectangulares. '854%I8;
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,
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El punto en coordenadas rectangulares es)
.
4.5.2. Ejemplo # 5
%onvertir la ecuación rectangular a coordenadas cil!ndricas.
'854%I8;
4.5.3. Ejemplo # 6
%onvertir la ecuación rectangular a coordenadas esf+ricas.
'854%I8;
4.5.4. Ejemplo # 7
escriba la superficie cuya ecuación en coordenadas cil!ndricas es z1r. 'olución 5a ecuación dice que el valor z, o altura, de cada punto sobre la superficie es igual que r, la distancia del punto al eje z. %omo < no aparece, puede variar. 2or lo tanto, cualquier trazo 0orizontal en el plano z= > -?@ es un circulo de radio >. estas trazas sugieren que la superficie es un cono. Esta predicción puede confirmarse si se convierte
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la ecuación en coordenadas rectangulares. e la primera ecuación tenemos
#econocemos la ecuación
como la de un cono circular
cuyo eje es el eje z.
BIBLIORAFIA •
Augrov, Ba '.C ;i>ols>i, '.D. -FGH) Datemáticas superiores. %álculo diferencial e integral. Dir Doscú.
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%asasús, $.C "uerra, /.C 8lmos, J.C 2laza, J. -FF) KDatemáticas empresariales. %álculo integral. Ecuaciones diferenciales&. ;au 5libres,
•
3alencia. %erdL Dart!n, /oan 5lu!s -MNN) %Llcul integral. 4A HF. Ed. 4niversitat
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de Aarcelona. %onde 'ánc0ez, %. -FF) %álculo integral vectorial. $ebar Jlores. %oquillat, J. -FGN) %álculo integral. Detodolog!a y problemas. $ebar
•
Jlores. !az (ernando, /uan Ongel -) %álculo integral. Integrales y series. $ebar
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Jlores. EdPards, %. (. /r.C 2enney, avid E.) -FFQ) %álculo con "eometr!a
•
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nal!tica. 2rentice (all. Enr!quez -) %álculo diferencial e Integral. 5imusa, $rillas. "ranville -) %álculo diferencial e Integral. 5imusa, $rillas. "uerrero %asas, J. DR -FFH) %urso de optimización. 2rogramación
•
matemática. riel Econom!a, Aarcelona. "oldstein, 5arry /.C 5ay, avid %.C 'c0neider, avid ?. -FFM) %alculus
• •
and its pplications. Qt0 edition. 2rentice (all International 2aperbac>
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Edition. "uerrero %asas, Jlor DRC 3ázquez %ueto, Dar!a /os+ -coordinación y dirección -FFG) Danual de %álculo iferencial e Integral para la Econom!a y la Empresa. 2irámide, Dadrid.
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