11.22 Coordenadas y vectores en el espacio 11. Entender el sistema de coordenadas rectangulares tridimensional. Analizar vectores en el espacio. Utilizar vectores tridimensionales para resolver problemas de la vida real. Coordenadas en el espacio Hasta este punto del texto texto ha interesado principalmente el sistema de coordenadas bidimensional. En buena parte de lo que resta del estudio del cálculo se emplea el sistema de coordenadas tridimensional.
Sistema de coordenadas tridimensional
Figura 11.14 Antes de extender el concepto con cepto de vector a tres dimensiones, se debe poder identificar puntos pun tos en el sistema de coordenadas tridimensional. Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z perpendicular perpendicular al eje x al eje y . !a figura ""."# muestra la porci$n positiva de cada eje de coordenadas. %omados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados& el plano xy , el el plano yz . Estos tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en plano xz el ocho octantes. El primer octante es en el que todas las coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio está determinado por una terna ordenada ( x , y , z ) donde x , y
z
son&
x =¿ distancia dirigida que va del plano
yz
a P
y =¿ distancia dirigida que va del plano
xz
a P
z =¿ distancia dirigida que va del plano
xy
a P
En la figura ""."' se muestran varios puntos.
!os puntos puntos en el sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimens ension ional al se represe representa ntan n por medio medio de ternas ternas ordenadas
Figura 11.15 (n sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimensi ensiona onall puede puede tener tener orient orientaci aci$n $n lev levógi ógira ra o detrógira. )ara determinar la orientaci$n de un sistema, se puede imaginar de pie en el origen, con los brazos apuntando en direcci$n de los ejes x y positivo el eje z apuntando hacia arriba, como se muestra en la figura ""."*. El sistema es dextr$giro o lev$giro dependiendo de qu+ mano queda apuntando a lo largo del eje x . En este texto, se trabaja exclusivamente con el sistema dextr$giro.
Sistema dextr$giro
Sistema lev$giro
Figura 11.1! uchas uchas de las f$rmul f$rmulas as establ establecid ecidas as para para el sistem sistema a de coorden coordenadas adas bidime bidimensi nsiona onall pueden pueden extenderse a tres dimensiones. )or ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitag$rico, como se muestra en la figura ""."-. Haciendo esto, x x , y , z x x , y , z . se obtiene la f$rmula de la distancia entre los puntos ( 1 1 1 ) ( 2 2 2 ) d = √ ( x 2− x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2− z 1 ) Fórmulade Fórmula de la distancia distancia 2
2
2
istancia entre dos puntos en el espacio
!os puntos puntos en el sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimens ension ional al se represe representa ntan n por medio medio de ternas ternas ordenadas
Figura 11.15 (n sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimensi ensiona onall puede puede tener tener orient orientaci aci$n $n lev levógi ógira ra o detrógira. )ara determinar la orientaci$n de un sistema, se puede imaginar de pie en el origen, con los brazos apuntando en direcci$n de los ejes x y positivo el eje z apuntando hacia arriba, como se muestra en la figura ""."*. El sistema es dextr$giro o lev$giro dependiendo de qu+ mano queda apuntando a lo largo del eje x . En este texto, se trabaja exclusivamente con el sistema dextr$giro.
Sistema dextr$giro
Sistema lev$giro
Figura 11.1! uchas uchas de las f$rmul f$rmulas as establ establecid ecidas as para para el sistem sistema a de coorden coordenadas adas bidime bidimensi nsiona onall pueden pueden extenderse a tres dimensiones. )or ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitag$rico, como se muestra en la figura ""."-. Haciendo esto, x x , y , z x x , y , z . se obtiene la f$rmula de la distancia entre los puntos ( 1 1 1 ) ( 2 2 2 ) d = √ ( x 2− x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2− z 1 ) Fórmulade Fórmula de la distancia distancia 2
2
2
istancia entre dos puntos en el espacio
Figura 11.1" EJEMPLO 1 #istancia entre dos puntos en el espacio
( 2,−1, 3 )
!a distancia entre los puntos
( 1,0,−2 ) es
d = √ ( 1−2 ) + ( 0 + 1 ) + ( 2 −3 ) Fórmulade Fórmula de la distancia 2
2
2
¿ √ 1 + 1 +25 27 ¿ √ 27
¿ 3 √ 3
(na es$era con centro en
( x x
0
, y 0 , z0 )
radio r está definida definida como el conjunto de todos los puntos
x 0 , y 0 , z0 ) ( x , y , z ) tales que la distancia entre ( x , y , z ) ( x es r . Se puede usar la f$rmula de la distancia para encontrar la ecuación ecuación canónica o est%ndar est%ndar de una es$era de radio r , con centro x , y , z . en ( 0 0 0 ) Si ( x , y , z ) es un punto arbitrario en la esfera, la ecuaci$n de la esfera es 2
2
2
2
( x x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) =r Ecuaciónde la esfera. 0
0
0
como se muestra en la figura ""."/. El punto medio del segmento de recta que une a los puntos ( x x 1 , y 1 , z 1 ) ( x x 2 , y 2 , z2 ) tiene coordenadas
(
)
x1 + x 2 y 1 + y 2 z1 + z 2 , , Regla Regla del punto medio. medio . 2
2
2
Figura 11.1&
EJEMPLO 2 Ecuación de una es$era Hallar la ecuaci$n can$nica o estándar de la esfera que tiene los puntos
( 5, – 2, 3) (0,4, – 3 )
como extremos de un diámetro.
'olución Seg0n la regla del punto medio, el centro de la esfera es
(+
5 0 −2 + 4 3 −3 , , 2 2 2
)=(
)
5 , 1, 0 Regladel Regla del puntomedio . 2
Seg0n la f$rmula de la distancia, el radio es r=
√( ) + ( − ) + (− − ) = √ 5 0− 2
2
4
1
2
3
0
2
97 √ 97 97 = 4 2
)or consiguiente, la ecuaci$n can$nica o estándar de la esfera es
( ) 5 x x − 2
2
2
97 4
+ ( y −1 ) + z 2= Ecuaci Ecuación ón dela esfe esfera ra .
(ectores (ect ores en el espacio En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas denota por
0 =⟨ 0,0,0 ⟩ .
(sando los vectores unitarios
v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ .
i=⟨ 1,0,0 ⟩ , j =⟨ 0,1,0 ⟩
El vector cero se k =⟨ 0,0,1 ⟩ en la
direcci$n direcci$n del eje positivo z , la notación empleando los vectores unitarios canónicos o est%ndar para v es v =v 1 i + v 2 j + v 3 k
!os vectores unitarios can$nicos o estándar en el espacio
Figura 11.1)
como se muestra en la figura ""."1. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de P ( p 1 , p2 , p3 ) Q ( 1 , 2 , 3 ) a como se muestra en la figura "".23, las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩= ⟨ 1− p1 , 2− p2 , 3 − p 3 ⟩
Figura 11.2* (EC+,-E' E E/ E'0AC, Sean
u= ⟨ u1 , u2 ,u3 ⟩
v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩
vectores en el espacio sea
1. Igualdad de vectores: u= v si s$lo si u1= v 1 , u2= v 2 ,
c
u3= v 3
un escalar. .
2. Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta dirigido de P ( p 1 , p2 , p3 )
a
Q ( 1 , 2 , 3 )
entonces
v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩= ⟨ 1− p1 , 2− p2 , 3 − p 3 ⟩
2 2 2 . Longitud: ‖v‖= √ v 1+ v 2+ v 3
4. Vector unitario en la dirección de v:
( )
v 1 = ⟨v ,v ,v ⟩, v!0 ‖v‖ ‖v‖ 1 2 3
5. Suma de vectores: v + u =⟨ v 1 + u1 , v 2+ u2 , v 3+ u 3 ⟩ !. Multiplicación por un escalar: c v = ⟨ c v 1 , c v 2 , cv 3 ⟩
,+A !as propiedades de la suma de vectores de la multiplicaci$n por un escalar dadas en el teorema ""." son tambi+n válidas para vectores en el espacio.
EJEMPLO 3 3allar las componentes de un vector en el espacio Hallar las componentes la longitud del vector v que tiene punto inicial
(−2,3,1) punto final
( 0,− 4, 4 ) . espu+s, hallar un vector unitario en la direcci$n de v. 'olución El vector v dado mediante sus componentes es v =⟨ 1− p1 , 2− p 2 , 3 − p3 ⟩ =⟨ 0− (−2 ) ,− 4 −3, 4 −1 ⟩
¿ ⟨ 2, −7,3 ⟩ lo cual implica que su longitud es
‖v‖= √ 22 +(−7 )2 +32= √ 62 . El vector unitario en la direcci$n de v es u=
⟨
v 1 = ⟨ 2, −7,3 ⟩= 2 , − 7 , 3 ‖v‖ √ 62 √ 62 √ 62 √ 62
⟩
4ecordar que en la definici$n de la multiplicaci$n por un escalar se vio que m0ltiplos escalares positivos de un vector v distinto de cero tienen la misma direcci$n que v, mientras que m0ltiplos negativos tienen direcci$n opuesta a la de v. En general, dos vectores distintos de cero u v son si existe alg0n escalar c tal que u= c v .
paralelos
#EFC #E (EC+,-E' 0A-A/E/,' os vectores distintos de cero u v son paralelos si ha alg0n escalar c tal que
u= c v
5ectores paralelos
Figura 11.21 )or ejemplo, en la figura "".2", los vectores u, v son paralelos porque
u=2 v
" =−v
EJEMPLO 4 (ectores paralelos El vector tiene punto inicial
( 2,−1, 3 ) punto final (−4,7,5 ) 67uál de los vectores siguientes
es paralelo a 8 a ¿ u= ⟨ 3,− 4,−1 ⟩ # ¿ v =⟨ 12,−16, 4 ⟩
'olución Empezar expresando mediante sus componentes. " =⟨ −4 −2,7 −(−1 ) , 5 −3 ⟩ = ⟨−6,8,2 ⟩
a6 7omo
u= ⟨ 3,− 4,−1 ⟩ =
−1 ⟨ 2
−6,8,2 ⟩ =
−1 2
",
b6 En este caso, se quiere encontrar un escalar
⟨ 12, −16,4 ⟩=c ⟨−6,8,2 ⟩ 12=−6 c $ c =−2
−16 =8 c $ c =−2
se puede concluir que u es paralelo a . c
tal que
4 =2 c $c = 2
7omo no ha un
c
para el cual la ecuaci$n tenga soluci$n, los vectores no son paralelos.
EJEMPLO 5 Uso de vectores para determinar puntos colineales eterminar si los puntos P (1, −2,3 ) , Q ( 2,1,0) R ( 4,7,− 6 ) son colineales.
'olución !os componentes de PQ PR son PQ =⟨ 2− 1, 1−(−2 ) , 0 −3 ⟩ = ⟨ 1,3, −3 ⟩
⃗
9 PR= ⟨ 4 −1, 7 −(−2 ) ,− 6−3 ⟩ =⟨ 3,9,− 9 ⟩
⃗
Estos dos vectores tienen un punto inicial com0n. )or tanto, P , Q 4 están en la misma recta si s$lo si PQ PR son paralelos. PQ PR son paralelos a que PR =3 PQ como se muestra en la figura "".22.
!os puntos P , Q R están en la misma recta
Figura 11.22 EJEMPLO 6 otación empleando los vectores unitarios canónicos a6 Expresar el vector
v =4 i−5 k por medio de sus componentes.
b6 Hallar el punto final del vector
v =7 i − j + 3 k
'olución a6 7omo falta 7, su componente es 3 v = 4 i −5 k = ⟨ 4,0,−5 ⟩ .
dado que el punto inicial es P (−2,3,5 ) .
Q ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩
b6 Se necesita encontrar
3 −5=3
1 −(−2 ) =7, 2−3 =−1,
3 =8
( 5,2,8 ) .
)or tanto, Q es
v = PQ =7 i− j + 3 k
tal que
Esto implica que
!a soluci$n de estas tres ecuaciones es
1 =5, 2=2
Aplicación EJEMPLO 7 8agnitud de una $uerza (na cámara de televisi$n de "23 libras está colocada en un tr:pode, como se muestra en la figura "".2;. 4epresentar la fuerza ejercida en cada pata del tr:pode como un vector.
Figura 11.2 'olución Sean los vectores F 1 , F 2 F 3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura "".2;, se puede determinar que las direcciones de
F 1 , F 2
F 3
son las siguientes.
PQ1 =⟨ 0 −0,−1 −0, 0− 4 ⟩ = ⟨ 0,−1, −4 ⟩
⃗ ⟨ √ −
PQ2 =
3 2
0,
⃗ ⟨ −√ −
PQ3 =
3
2
0,
1 − 0,0 −4 2
1 2
⟩⟨
√ 3 1
⟩⟨
−√ 3
=
−0, 0 −4 =
2
2
, , −4 2
,
1 2
⟩
,− 4
⟩
7omo cada pata tiene la misma longitud, la fuerza total se distribue igualmente entre las tres F = F = F . patas, se sabe que ‖ 1‖ ‖ 2‖ ‖ 3‖ )or tanto, existe una constante c tal que
F 1= c ⟨ 0,−1, −4 ⟩ , F 2= c
⟨
√ 3 1 2
⟩
, , −4 y F 3 =c 2
⟨
−√ 3 2
1
, , −4 2
⟩
Sea la fuerza total ejercida por el objeto la dada por
F =⟨ 0,0,− 120 ⟩ Entonces, usando el hecho que
F = F 1 + F 2+ F 3
se puede concluir que implica que
F 1 , F 2
c (− 40 )=−40
F 3
tienen todas una componente vertical de
c =10. )or tanto, las fuerzas ejercidas sobre las patas pueden
representarse por F 1= ⟨ 0, −10,−40 ⟩ F 2 =⟨ 5 √ 3 , 5, −40 ⟩
F 3 =⟨−5 √ 3 , 5, −40 ⟩
11. 2 E7ercicios En los e7ercicios 1 y 29 aproimar las coordenadas de los puntos.
Soluci$n&
Soluci$n&
−40. Esto
En los e7ercicios a !9 representar los puntos en el mismo sistema de coordenadas tridimensional. 3. a ¿ (2,1,3 ) # ¿(−1,2,1)
Soluci$n&
3 4. a ¿ ( 3,−2, 5 ) # ¿( , 4, −2 ) 2
Soluci$n&
5. a ¿ ( 5, − 2,2 ) # ¿( 5, − 2,−2 )
Soluci$n&
6. a ¿ ( 0,4,−5 ) # ¿( 4,0,5 )
Soluci$n&
En los e7ercicios " a 1*9 :allar las coordenadas del punto. ". El punto se localiza tres unidades detrás del plano yz , cuatro unidades a la derecha del plano xz
cinco unidades arriba del plano xy .
Soluci$n&
&. El punto se localiza siete unidades delante del plano xz
una unidad debajo del plano
yz ,
dos unidades a la izquierda del plano
xy.
Soluci$n&
). El punto se localiza en el eje x , 12 unidades delante del plano yz . Soluci$n&
1*. El punto se localiza en el plano yz , tres unidades a la derecha del plano xz dos unidades arriba del plano xy . Soluci$n&
11. Para pensar 67uál es la coordenada z de todo punto en el plano xy 8 Soluci$n&
12. Para pensar 67uál es la coordenada x de todo punto en el plano yz 8 Soluci$n&
En los e7ercicios 1 a 249 determinar la localización de un punto condición
( x , y , z ) ;ue satis$aga la
13. z = 6
Soluci$n& 14. y =2
Soluci$n&
15. x =−3
Soluci$n&
16. z =
−5 2
Soluci$n& 17. y < 0
Soluci$n& 18. y > 0
Soluci$n&
19.| y|% 3
Soluci$n& 20.| x|> 4
Soluci$n&
21 . xy > 0, z =−3
Soluci$n
22. xy < 0, z = 4
Soluci$n&
23. xy z < 0
Soluci$n&
24. xy z > 0
Soluci$n&
En los e7ercicios 25 a 2&9 :allar la distancia entre los puntos. 25. ( 0,0,0 ) , (−4,2,7 )
Soluci$n&
26. (−2,3,2 ) , ( 2, −5,−2 )
Soluci$n&
27. (1, −2, 4 ) , ( 6, −2,−2 )
Soluci$n&
28. (2,2,3 ) , ( 4, −5,6 )
Soluci$n&
En los e7ercicios 2) a 29 :allar las longitudes de los lados del tri%ngulo con los v=rtices ;ue se indican9 y determinar si el tri%ngulo es un tri%ngulo rect%ngulo9 un tri%ngulo isósceles9 o ninguna de ambas cosas.
29. ( 0,0,4 ) , ( 2,6,7 ) , ( 6,4,− 8 )
Soluci$n&
30. ( 3,4,1 ) , ( 0,6,2 ) , ( 3,5,6 )
Soluci$n&
31. ( −1,0,−2 ) , ( −1,5,2 ) , (−3,−1, 1 )
Soluci$n&
32. ( 4,−1, −1 ) , ( 2,0,− 4 ) , (3,5,−1 )
Soluci$n&
. Para pensar El triángulo del ejercicio 21 se traslada cinco unidades hacia arriba a lo largo del eje z . eterminar las coordenadas del triángulo trasladado. Soluci$n&
4. Para pensar El triángulo del ejercicio ;3 se traslada tres unidades a la derecha a lo largo del eje y .
eterminar las coordenadas del triángulo trasladado
Soluci$n&
En los e7ercicios 5 y !9 :allar las coordenadas del punto medio del segmento de recta ;ue une los puntos. 35. ( 5, −9, 7 ) , (−2,3,3 )
Soluci$n&
36. ( 4,0,−6 ) , ( 8,8,20 )
Soluci$n&
En los e7ercicios " a 4*9 :allar la ecuación est%ndar de la es$era. ". 7entro& (0,2,5)
4adio& 2
Soluci$n&
&. 7entro& (4, −1,1 ) Soluci$n&
4adio& '
). )untos terminales de un diámetro& ( 2,0,0 ) , (0,6,0 ) Soluci$n&
4*. 7entro& (−3,2,4 ), tangente al plano yz Soluci$n&
En los e7ercicios 41 a 449 completar el cuadrado para dar la ecuación de la es$era en $orma canónica o est%ndar. 3allar el centro y el radio 41. x
2
+ y 2 + z 2−2 x + 6 y + 8 z + 1 =0
Soluci$n&
42. x
2
+ y 2 + z 2 + 9 x −2 y + 10 z +19 =0
Soluci$n&
43.9 x
2
+ 9 y 2+ 9 z 2−6 x +18 y +1=0
Soluci$n&
44.4 x
2
+ 4 y 2+ 4 z 2−24 x −4 y + 8 z −23 =0
Soluci$n&
En los e7ercicios 45 a 4&9 describir el sólido ;ue satis$ace la condición. 45. x
2
+ y 2 + z 2 % 36
Soluci$n&
46. x
2
+ y 2 + z 2 >4
Soluci$n&
47. x
2
+ y 2 + z 2 < 4 x −6 y + 8 z −13
Soluci$n&
48. x
2
+ y 2 + z 2 >−4 x + 6 y − 8 z − 13
Soluci$n&
En los e7ercicios 4) a 529 a6 encontrar las componentes del vector v9 b6 escribir el vector utilizando la notación del vector unitario est%ndar y c 6 dibu7ar el vector con su punto inicial en el origen.
Soluci$n&
Soluci$n&
Soluci$n&
Soluci$n&
En los e7ercicios 5 a 5!9 :allar las componentes y la magnitud del vector v9 dados sus puntos inicial y $inal. #espu=s :allar un vector unitario en la dirección de v. Punto inicial
Punto inal
53. ( 3,2,0 ) ( 4,1,6 )
Soluci$n&
54. ( 4,−5, 2 ) (−1,7,−3 )
Soluci$n&
55. ( −4,3,1 ) (−5,3,0 )
Soluci$n&
56. ( 1, −2, 4 ) ( 2,4, −2 )
Soluci$n&
En los e7ercicios 5" y 5& se indican los puntos inicial y $inal de un vector v. a6 #ibu7ar el segmento de recta dirigido9 b6 encontrar las componentes del vector9 c 6 escribir el vector usando la notación del vector unitario est%ndar y d 6 dibu7ar el vector con su punto inicial en el origen. 5". )unto inicial& Soluci$n&
(−1,2,3 )
)unto final&
(3,3,4 )
5&. )unto inicial& ( 2,−1, −2)
)unto final&
(−4,3,7 )
Soluci$n&
En los e7ercicios 5) y !*9 se dan el vector v y su punto inicial. Encontrar el punto $inal. 59. v = ⟨ 3,−5, 6 ⟩
)unto inicial&
(0,6,2)
Soluci$n&
⟨
2 1 60. v = 1,− , 3 2
Soluci$n&
⟩
5
)unto inicial&
(0,2, ) 2
En los e7ercicios !1 y !29 :allar cada uno de los m>ltiplos escalares de v y representar su gr%$ica. 61. v = ⟨ 1,2,2 ⟩
a ¿ 2 v # ¿− v c ¿
3 v d ¿0v 2
Soluci$n&
62. v = ⟨ 2,−2, 1 ⟩
a ¿−v # ¿ 2 v c ¿
Soluci$n&
1 5 v d ¿ v 2 2
En los e7ercicios ! a !&9 encontrar el vector z9 dado ;ue u= ⟨ 1,2,3 ⟩ , v = ⟨ 2,2, −1 ⟩ y " =⟨ 4,0, −4 ⟩ 63. z =u− v
Soluci$n&
64. z =u− v + 2 "
Soluci$n&
65. z =2 u + 4 v −"
Soluci$n&
1 66. z =5 u −3 v − " 2
Soluci$n&
67.2 z −3 u ="
Soluci$n&
68.2 u + v − " + 3 z =0
Soluci$n&
En los e7ercicios !) a "29 determinar cu%les de los vectores son paralelos a z. Usar una :erramienta de gra$icación para con$irmar sus resultados. 69. z =⟨ 3,2,−5 ⟩
⟨
4 3
a ¿ ⟨ −6,− 4,10 ⟩ # ¿ 2, , −
⟩
10 c ¿ ⟨ 6, 4,10 ⟩ d ¿ ⟨ 1,−4, 2 ⟩ 3
Soluci$n&
1 2 3 70. z = i − j + k 2 3 4
a ¿ 6 i −4 j + 9 k # ¿−i +
4 3 3 9 j− k c ¿ 12 i + 9 k d ¿ i − j + k 3 2 4 8
Soluci$n&
"1. z tiene el punto inicial (1,−1, 3 ) el punto final (−2,3,5 )
a ¿ 6 i −4 j + 9 k
# ¿ 4 j + 2 k
Soluci$n&
"2.
z
tiene el punto inicial
( 5,4,1 ) el punto final (−2,−4, 4 )
a ¿ ⟨ 7,6,2 ⟩ # ¿ ⟨ 14,16,−6 ⟩
Soluci$n&
En los e7ercicios " a "!9 usar vectores para determinar si los puntos son colineales. 73. ( 0, −2,−5 ) , ( 3,4,4 ) , ( 2,2,1)
Soluci$n&
74. ( 4,−2, 7 ) , (−2,0,3 ) , ( 7,−3, 9 )
Soluci$n&
75. ( 1,2,4 ) , ( 2,5,0 ) , ( 0,1,5 )
Soluci$n&
7 6. ( 0,0,0 ) , ( 1,3, −2 ) , ( 2,−6, 4 )
Soluci$n&
En los e7ercicios "" y "&9 usar vectores para demostrar ;ue los puntos son v=rtices de un paralelogramo. 77. ( 2,9,1 ) , ( 3,11,4 ) , ( 0,10,2 ) , ( 1,12,5)
Soluci$n&
78. ( 1,1,3 ) , ( 9, −1,−2 ) , ( 11,2, −9 ) , ( 3,4, −4 )
Soluci$n&
En los e7ercicios ") a &49 :allar la longitud de v. 79. v = ⟨ 0,0,0 ⟩
Soluci$n&
80. v = ⟨ 1,0,3 ⟩
Soluci$n&
81. v =3 j −5 k
Soluci$n&
82. v =2 i + 5 j − k
Soluci$n&
83. v =i− 2 j −3 k
Soluci$n&
84. v =−4 i + 3 j+ 7 k
Soluci$n&
En los e7ercicios &5 a &&9 :allar un vector unitario a6 en la dirección de v y b6 en la dirección opuesta a u. 85. v = ⟨ 2,−1, 2 ⟩
Soluci$n&
86. v = ⟨ 6,0,8 ⟩
Soluci$n&
87. v = ⟨ 3,2,−5 ⟩
Soluci$n&
88. v = ⟨ 8,0,0 ⟩
Soluci$n&
&). Programación Se dan las componentes de los vectores u v. Escribir un programa para una herramienta de graficaci$n donde el resultado es a< las componentes de u + v !< ‖u + v‖ c <
‖u‖ d < ‖v‖. e< Ejecutar el programa para los vectores
u= ⟨− 1,3,4 ⟩
v =⟨ 5,4.5,− 6 ⟩
Soluci$n&
0ara discusión )*. 7onsiderar dos vectores distintos de cero u v, sean s t n0meros reales. escribir la figura s u +t v . geom+trica generada por los puntos finales de los tres vectores t v, u + t v Soluci$n&
En los e7ercicios )1 y )29 determinar los valores de c ;ue satis$acen la ecuación. 'ea u=i + 2 j + 3 k y v =2 i + 2 j − k . 91.‖c v‖=7
Soluci$n&
92.‖c u‖= 4
Soluci$n&
En los e7ercicios ) a )!9 encontrar el vector v con la magnitud dada y en dirección de u. Magnitud
Dirección
93.10 u =⟨ 0,3,3 ⟩
Soluci$n&
94.3 u =⟨ 1,1,1 ⟩
Soluci$n&
95.
3 2
u= ⟨ 2,−2, 1 ⟩
Soluci$n&
96.7 u= ⟨ −4,6,2 ⟩
Soluci$n&
En los e7ercicios )" y )&9 dibu7ar el vector v y dar sus componentes. )". v está en el plano yz , tiene magnitud 2 forma un ángulo de ;3= con el eje y positivo. Soluci$n&
)&. v está en el plano xz , tiene magnitud ' forma un ángulo de #'= con el eje z positivo. Soluci$n&
En los e7ercicios )) y 1**9 usar vectores para encontrar el punto ;ue se encuentra a dos tercios del camino de P a Q . 99. P ( 4,3,0 ) , Q ( 1,−3, 3 )
Soluci$n&
100. P ( 1,2,5 ) , Q ( 6,8,2 )
Soluci$n&
1*1. Sean u=i + j " =a u + # v . a< ibujar u v. !< Si " =0, demostrar que tanto a como ! deben ser cero. c < Hallar a b tales que
" =i + 2 j + k .
d < )robar que ninguna elecci$n de a b da
" =i+ 2 j + 3 k .
Soluci$n&
1*2. Redacción !os puntos inicial final del vector v son ( x 1 , y 1 , z 1 ) conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) tales que ‖v‖= 4.
( x , y , z ) . escribir el
Soluci$n&
#esarrollo de conceptos 1*. (n punto en el sistema de coordenadas tridimensional tiene las coordenadas
( x
escribir qu+ mide cada una de las coordenadas. Soluci$n&
1*4. ar la f$rmula para la distancia entre los puntos
( x
1
, y1 , z1 )
( x
2
, y 2 , z2 ) .
Soluci$n&
1*5. ar la ecuaci$n can$nica o estándar de una esfera de radio r , centrada en ( x 0 , y 0 , z0 ) . Soluci$n&
1*!. ar la definici$n de vectores paralelos.
0
, y 0 , z0 ) .
Soluci$n&
1*". Sean ", # $ los v+rtices de un triángulo. Encontrar &' + '( + (& . Soluci$n&
1*&. Sean r = ⟨ x , y , z ⟩ r 0= ⟨ x 0 , y 0 , z 0 ⟩ que
escribir el conjunto de todos los puntos
( x , y , z ) tales
‖r −r ‖=2. 0
Soluci$n&
1*). An!isis n"m#rico$ gr%ico & ana!'(ico !os focos en un auditorio son discos de 2# libras "/ pulgadas de radio. 7ada disco está sostenido por tres cables igualmente espaciados de L pulgadas de longitud >ver la figura<.
a< Expresar la tensi$n % de cada cable en funci$n de L. eterminar el dominio de la funci$n. !< (sar una herramienta de graficaci$n la funci$n del inciso a< para completar la tabla.
c < 4epresentar en la herramienta de graficaci$n el modelo del inciso a< determinar las as:ntotas de su gráfica. d < 7omprobar anal:ticamente las as:ntotas obtenidas en el inciso c <. e< 7alcular la longitud m:nima que debe tener cada cable, si un cable está dise?ado para llevar una carga máxima de "3 libras. Soluci$n&
11*. Para pensar Suponer que cada cable en el ejercicio "31 tiene una longitud fija radio de cada disco es respuesta. Soluci$n&
r0
pulgadas. Hacer una conjetura acerca del l:mite
)=a ,
lim + r0 $ *
que el
justificar la
111. )iagona! de "n c"bo Hallar las componentes del vector unitario v en la direcci$n de la diagonal del cubo que se muestra en la figura.
Figura para 111 Soluci$n&
112. *ab!e de s"+eción El cable de sujeci$n de una torre de "33 pies tiene una tensi$n de ''3 libras. (sar las distancias mostradas en la figura, dar las componentes del vector F que represente la tensi$n del cable.
Figura para 112 Soluci$n&
11. ,opor(es de cargas Hallar la tensi$n en cada uno de los cables de soporte mostrados en la figura si el peso de la caja es de '33 ne@tons.
Figura para 11 Soluci$n&
114. *ons(r"cción de edi%icios (n muro de hormig$n es sostenido temporalmente en posici$n vertical por medio de cuerdas >ver la figura<. Hallar la fuerza total ejercida sobre la clavija en posici$n ". !as tensiones en "# "$ son #23 libras *'3 libras.
Figura para 114 Soluci$n&
