11.44 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 11. Hallar el producto vectorial de dos vectores en e n el espacio. Usar el producto escalar triple de tres vectores en el espacio. El producto vectorial En muchas aplicaciones en física, ingeniería y geometría hay que encontrar un vector en el espacio ortogonal a dos vectores dados. En esta sección se estudia un producto que da como resultado ese vector. Se llama producto producto vectorial vectorial y se define y calcula de manera más adecuada utilizando los vectores unitarios canónicos o estándar. El producto vectorial debe su nombre a que da como resultado un vector. Al producto vectorial tambin se le suele llamar producto cruz.
DEFINICIÓN DE PRODUCO !ECORI"# DE DO$ !ECORE$ EN E# E$P"CIO E$P"CIO Sean u=u 1 i +u2 j +u3 k y v =v 1 i + v 2 j + v 3 k el vector
vectores vectores en el espacio. espacio. El producto cruz de u y v es
u × v =( u2 v 3−u 3 v 2) i −( u1 v 3−u3 v 1 ) j +( u1 v 2−u 2 v 1) k
E%P#OR"CIÓN Propiedad Propi edad geométrica del produ producto cto vectori vectorial al Se muestran aba!o tres pares de vectores. "sar la definición para encontrar el product producto o vectori vectorial al de cada par. #ibu!ar los tres vectores en un sistema tridimensional. #escri #escribir bir toda relación entre los tres vectores. "sar la descripción para escribir una con!etura acerca de a ¿ u= ⟨ 3,0,3 ⟩ , v = ⟨ 3,0,−3 ⟩
b ¿ u= ⟨ 0,3,3 ⟩ , v = ⟨ 0,−3, 3 ⟩
c ¿ u =⟨ 3,3,0 ⟩ , v =⟨ 3, −3, 0 ⟩
NO" Asegurarse de ver que esta definición sólo aplica a vectores tridimensionales. El producto vectorial no está definido para vectores bidimensionales. "na manera adecuada para calcular u × v es usar determinant determinantes es con e$pansión de cofactores. %Esta forma empleando empleando determinantes determinantes 3 × 3 se usa sólo para ayudar a recordar la fórmula del producto vectorial, pero tcnicamente no es un determinante porque las entradas de la matriz correspondiente no son todas n&meros reales.'
| || || |
i ¿ u1 v1
j k i j k i j k u2 u 3 i − u1 u 2 u3 j+ u1 u 2 u3 k v2 v3 v 1 v 2 v3 v 1 v 2 v3
| || || |
¿
u2 v2
u3 u u3 u u i− 1 j + 1 2 k v3 v1 v3 v1 v2
¿ ( u2 v 3−u 3 v 2) i −( u 1 v3 −u3 v 1 ) j +( u1 v 2−u 2 v 1) k
c ¿ u =⟨ 3,3,0 ⟩ , v =⟨ 3, −3, 0 ⟩
NO" Asegurarse de ver que esta definición sólo aplica a vectores tridimensionales. El producto vectorial no está definido para vectores bidimensionales. "na manera adecuada para calcular u × v es usar determinant determinantes es con e$pansión de cofactores. %Esta forma empleando empleando determinantes determinantes 3 × 3 se usa sólo para ayudar a recordar la fórmula del producto vectorial, pero tcnicamente no es un determinante porque las entradas de la matriz correspondiente no son todas n&meros reales.'
| || || |
i ¿ u1 v1
j k i j k i j k u2 u 3 i − u1 u 2 u3 j+ u1 u 2 u3 k v2 v3 v 1 v 2 v3 v 1 v 2 v3
| || || |
¿
u2 v2
u3 u u3 u u i− 1 j + 1 2 k v3 v1 v3 v1 v2
¿ ( u2 v 3−u 3 v 2) i −( u 1 v3 −u3 v 1 ) j +( u1 v 2−u 2 v 1) k
(otar el signo menos delante de la componente &. )ada uno de los tres determinantes pueden evaluar usando el modelo diagonal siguiente.
2× 2
Aquí están un par de e!emplos
| − |=( ) (− )−( ) ( )=− − 2 3
4 1
2
1
4 3
2
|− |= ( ) ( ) −( ) (− )= 4 6
0 3
4 3
0
6
12=−14
12
EJEMPLO 1 Hallar el producto vectorial #ados u=i −2 j + k y v =3 i + j −2 k ,
hallar cada uno de los siguientes siguientes productos vectoriales.
a¿u×vb¿ v×uc¿v ×v
$oluci'n
|
i
a ¿ u × v= 1 3
j −2 1
k
||
−2 1 = 1 −2
|i−| − | j+| − |k
1 −2
1 3
1 2
1 3
2 1
¿ ( 4 −1 ) i −(−2−3 ) j + ( 1 + 6 ) k
¿ 3 i + 5 j + 7 k
|
i
b ¿ v × u= 3 1
j 1 −2
k
||
−2 = 1
1 −2
|| | | |
− 2 i − 3 −2 j+ 3 1
1
1
1 k 1 −2
¿ ( 1− 4 ) i −( 3 + 2 ) j + (−6−1 ) k
¿− 3 i−5 j −7 k (otar que este resultado es el negativo del obtenido en el inciso a'.
se
|
i
j
b ¿ v × v= 3
1 1
3
k
|
−2 = 0 −2
NO"CIÓN P"R" #O$ PRODUCO$ E$C"#"R ( !ECORI"# *a notación para el producto escalar y para el producto vectorial la introdu!o el físico estadounidense +osiah illard -ibbs %/012 130'. A comienzos de la dcada de //3, -ibbs construyó un sistema para representar cantidades físicas llamado 4análisis vectorial5. El sistema fue una variante de la teoría de los cuaterniones de 6amilton. *os resultados obtenidos en el e!emplo sugieren algunas propiedades algebraicas interesantes del producto vectorial. 7or e!emplo, u × v =−( v ×u ) y Estas propiedades, y algunas otras, se presentan en forma resumida en el teorema siguiente.
EORE)" 11.* PROPIED"DE$ "#+E,R"IC"$ DE# PRODUCO !ECORI"# Sean u , v
y w vectores en el espacio, y sea c un escalar
1 . u × v =−( v ×u ) 2 .u × ( v + w )=( u × v )+ ( u × w ) 3 . c ( u × v ) =( c u ) × v = u× ( c v ) 4 .u × 0=0 ×u =0 5 .u×u =0 6 . u∙ ( v × w )= (u × v ) ∙ w
DE)O$R"CIÓN 7ara demostrar la propiedad , sean Entonces, u × v =( u2 v 3−u 3 v 2) i −( u1 v 3−u3 v 1 ) j +( u1 v 2−u 2 v 1) k
u=u 1 i + u2 j + u3 k y
v =v 1 i + v 2 j + v 3 k .
y v ×u =( v2 v 3 −v 3 u2 ) i −( v 1 u3− v 3 u1 ) j + ( v 1 u 2−v 2 u1 ) k
la cual implica que u × v =−( v ×u ) . *as demostraciones de las propiedades 8, 0, 9 y : se de!an como e!ercicios %ver e!ercicios 91 a :8'.
;bservar que la propiedad del teorema .< indica que el producto vectorial no es conmutativo. En particular, esta propiedad indica que los vectores u × v y v ×u tienen longitudes iguales pero direcciones opuestas. El teorema siguiente da una lista de algunas otras de las propiedades geométricas del producto vectorial de dos vectores.
EORE)" 11.- PROPIED"DE$ +EO)RIC"$ DE# PRODUCO !ECORI"# Sean u y v vectores distintos de cero en el espacio, y sea
1.
θ
el ángulo entre u y v .
u × v es ortogonal tanto a u como a v .
/. ‖u × v‖=‖u‖‖v‖senθ 0. u × v =0 si y sólo si u y v son m<iplos escalares uno de otro. 4. ‖u × v‖=¿ área del paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes. NO" #e las propiedades y 8 presentadas en el teorema ./ se desprende que si n es un vector unitario ortogonal a u y a v, entonces u × v =± (‖u‖‖v‖senθ ) n .
DE)O$R"CIÓN 7ara la propiedad 8, observar que como ‖u‖‖v‖senθ=‖u‖‖v‖√ 1−cos2 θ
√
¿‖u‖‖v‖ 1−
( u . v )2 2
2
‖u‖ ‖v‖
¿ √ ‖u‖ ‖v‖ − (u . v ) 2
2
2
¿ √ ( u21 +u22 + u23 ) ( v 21 +v 22 + v23 ) −( u1 v 1 + u2 v 2 + u3 v 3 ) ¿ √ ( u2 v 3−u3 v 2 ) + ( u1 v 3 −u3 v 1 ) + ( u1 v 2−u2 v 1 ) 2
2
2
2
¿‖u × v‖
cos θ =( u . v ) / (‖u‖‖v‖)
se sigue que
*os vectores u y v son los lados adyacentes de un paralelogramo Fiura 11.02 7ara demostrar la propiedad =, ir a la figura .09 que es un paralelogramo que tiene como lados adyacentes. )omo la altura del paralelogramo es ‖v‖senθ, el área es
v
y
u
Área=( base )( altura )
¿‖u‖‖v‖senθ
¿‖u × v‖ *as demostraciones de las propiedades y 0 se de!an como e!ercicios %ver e!ercicios :0 y :='. >anto u × v como v ×u son perpendiculares al plano determinado por u y v . "na manera de recordar las orientaciones de los vectores u , v y u × v es compararlos con los vectores como se muestra en la figura .0:. *os tres vectores u , v y v ×u forman un sistema dextrógiro, mientras que los tres vectores u , v y v ×u forman un sistema unitarios
i, j
y
k
levógiro.
Sistemas de$trógiros Fiura 11.03
EJEMPLO 2 Utilizaci'n del producto vectorial 6allar un vector unitario que es ortogonal tanto a
u=i −2 j + k
como a v =3 i + j −2 k
El vector u × v es ortogonal tanto a u como a v Fiura 11.0*
$oluci'n El producto vectorial u × v , como a v.
|
i
u × v= 1 2
como se muestra en la figura .0<, es ortogonal tanto u a
|
j k − 4 1 Producto vectorial 3
0
¿− 3 i + 2 j + 11 k )omo ‖u × v‖= √ (−3 )2 + 22 + 112= √ 134 un vector unitario ortogonal tanto a u como a v es u×v −3 2 11 i+ j + k = ‖u × v‖ √ 134 √ 134 √ 134
NO" En el e!emplo 8, notar que se podría haber usado el producto vectorial v ×u para formar un vector unitario ortogonal tanto a u como a v. )on esa opción, se habría obtenido el negativo del vector unitario encontrado en el e!emplo.
EJEMPLO 3 "plicaci'n eo5trica del producto vectorial ?ostrar que el cuadrilátero con vrtices en los puntos siguientes es un paralelogramo y calcular su área. A = (5,2,0 ) B =(2,6,1) C =( 2,4,7 ) D =(5,0,6 )
El área del paralelogramo es apro$imadamente 08.1 Fiura 11.0-
$oluci'n En la figura .0/ se puede ver que los lados del cuadrilátero corresponden a los siguientes cuatro vectores. AB =−3 i + 4 j + k CD =3 i− 4 j −k =− AB AD =0 i − 2 j + 6 k CB=0 i + 2 j −6 k =− AD
7or tanto, AB es paralelo a CD
y AD
cuadrilátero es un paralelogramo con AB y AD
|
i
j
0
4 −2
⃗ AB × ⃗ AD = −3
es paralelo a
CB , y se puede concluir que el
como lados adyacentes. )omo
|
k
1 Producto vectorial 6
¿ 26 i + 18 j + 6 k
el área del paralelogramo es ‖ AB× AD‖=√ 1036 ≈ 32.19
⃗ ⃗
@Es el paralelogramo un rectángulo 7ara decidir si lo es o no, se calcula el ángulo entre los vectores AB y AD .
El momento de F respecto a P Fiura 11.06 En física, el producto vectorial puede usarse para medir el oento ) de una 7uerza F respecto a un punto P , como se muestra en la figura .01. Si el punto de aplicación de la fuerza es Q, el momento de F respecto a P está dado por M = P × ! . Mo"ento de ! res#ecto a P .
*a magnitud del momento ) mide la tendencia del vector P al girar en sentido contrario al de las manecillas del relo! %usando la regla de la mano derecha' respecto a un e!e en dirección del vector ).
EJEMPLO 4 Una aplicaci'n del producto vectorial Se aplica una fuerza vertical de 93 libras al e$tremo de una palanca de un pie de longitud unida a un e!e en el punto P , como se muestra en la figura .=3. )alcular el momento de esta fuerza respecto al punto P cuando θ= 60 $ .
"na fuerza vertical de 93 libras se aplica en el punto Q Fiura 11.48
$oluci'n Si se representa la fuerza de 93 libras como ! =−50 k y la palanca como
1
⃗
P =cos ( 60 $ ) j + sen ( 60 $ ) k = j + 2
√ 3 k 2
el momento de F respecto a P está dado por
| | i
j
M = P× ! = 0
1
⃗
0
2 0
k
√ 3 =−25 iMo"entode!res#ectoaP
2 −50
*a magnitud de este momento es 89 libras2pie.
NO" En el e!emplo =, notar que el momento %la tendencia de la palanca a girar sobre su e!e' depende del ángulo θ . )uando θ= % / 2 el momento es 3. El momento es má$imo cuando θ= 0. El triple producto escalar 9o producto i:to; #ados vectores u< v y = en el espacio, al producto escalar de u y v × w u ∙ (v × w ) se le llama triple producto escalar , como se define en el teorema .1. *a demostración de este teorema se de!a como e!ercicio %ver e!ercicio :<'.
EORE)" 11.6 E# RIP#E PRODUCO E$C"#"R 7ara u=u 1 i + u2 j + u3 k , dado por
|
v =v 1 i + v 2 j + v 3 k
y
w =w 1 i + w 2 j + w3 k
el triple producto escalar está
|
u1 u2 u 3 u ∙( v × w ) = v1 v2 v3 w 1 w 2 w3
NO" El valor de un determinante se multiplica por −1 si se intercambian dos de sus filas. #espus de estos dos intercambios, el valor del determinante queda inalterado. 7or tanto, los triples productos escalares siguientes son equivalentes. u ∙ ( v × w ) = v ∙ ( w ×u ) =w ∙ ( v ×v )
Si los vectores u< v y = no están en el mismo plano, el triple producto escalar u ∙ ( v × w ) puede usarse para determinar el volumen del paralelepípedo %un poliedro, en el que todas sus caras son paralelogramos' con u< v y = como aristas adyacentes, como se muestra en la figura .=. Esto se establece en el teorema siguiente.
Brea de la base ¿‖v × w‖ Columen de paralelepípedo ¿|u . ( v × w )|
Fiura 11.41 EORE)" 11.18 INERPRE"CIÓN +EO)RIC" DE# RIP#E PRODUCO E$C"#"R El volumen & de un paralelepípedo con vectores u, v y = como aristas adyacentes está dado por & =|u . ( v ×w )|
DE)O$R"CIÓN En la figura .= se observa que ‖v × w‖='readelabase y
‖ #ro( v× w u‖= alturade #aralele#i#edo.
7or consiguiente, el volumen es & =( altura ) ( 'reade la base )=‖ #ro( v ×w u‖‖v × w‖
|
¿
|
u . ( v × w) ‖v × w‖ ‖v × w‖
¿|u . ( v × w )|.
EJEMPLO 5 C>lculo de un voluen por edio del triple producto escalar )alcular el volumen del paralelepípedo mostrado en la figura .=8 que tiene v =2 i −2 k y w =3 i + j + k como aristas adyacentes.
u=3 i−5 j + k
,
7aralelepípedo tiene un volumen de 0: Fiura 11.4/
$oluci'n 7or el teorema .3, se tiene & =|u . ( v ×w )|)ri#le #roductoescalar
|
3
¿0 3
|
−5
1
2 1
−2 1
| | | | | |
¿ 3 2 −2 − (−5 ) 0 −2 +(1 ) 0 1
1
3
1
3
2 1
¿ 3 ( 4 )+ 5 ( 6 )+ 1 (−6 ) ¿ 36
"na consecuencia natural del teorema .3 es que el volumen del paralelepípedo es 3 si y sólo si los tres vectores son coplanares. Es decir, si los vectores u= ⟨ u1 , u2 ,u3 ⟩ y w =⟨ w1 , w2 , w3 ⟩ tienen el mismo punto inicial, se encuentran en el mismo plano si y sólo si
|
u ∙( v × w) =
u1 v1
u2 v2
u3 v3
|
w 1 w 2 w3
=0
11.4 E&ercicios En los e&ercicios 1 a 3< calcular el producto vectorial de los vectores unitarios ? di@u&ar su resultado. 1. j × i
SoluciónD
2 .i× j
SoluciónD
3.
j× k
SoluciónD
4 .k ×
j
SoluciónD
5 .i×k
SoluciónD
6.k×i
SoluciónD
En los e&ercicios * a 18< calcular a ¿ u × v , 7. u =−2 i + 4 j v = 3 i + 2 j + 5 k
SoluciónD
8 .u =3 i + 5 k v =2 i + 3 j −2 k
SoluciónD
9 . u= ⟨ 7,3,2 ⟩ v =⟨ 1 ,−1, 5 ⟩
SoluciónD
b ¿ v ×u
? c ¿ v × v
10 .u =⟨ 3, −2 ,−2 ⟩ v = ⟨ 1 , 5 , 1 ⟩
SoluciónD
En los e&ercicios 11 a 13< calcular u × v ? pro@ar Aue es ortoonal tanto a u coo a v. 11 .u =⟨ 12,−3 , 0 ⟩ v =⟨−2 , 5,0 ⟩
SoluciónD
12 . u =⟨ −1,1 , 2 ⟩ v =⟨ 0 , 1 , 0 ⟩
SoluciónD
13 .u =⟨ 2, −3,1 ⟩ v = ⟨ 1 ,−2 , 1 ⟩
SoluciónD 14 . u= ⟨−10,0 , 6 ⟩ v = ⟨ 5 ,−3 , 0 ⟩
SoluciónD
15 .u =i + j + 5 k v =2 i + j −k
SoluciónD
16 .u =i + 6 j v =−2 i + j + k
SoluciónD
Para pensar En los e&ercicios 1* a /8< usar los vectores u ? v ostrados en la 7iura para di@u&ar en un sistea de:tr'iro un vector en la direcci'n del producto vectorial indicado.
17 . u × v
SoluciónD
18 . v × u
SoluciónD
19 . (−v ) ×u
SoluciónD
20 .u × ( u × v )
SoluciónD
En los e&ercicios /1 a /4< usar un sistea ale@raico por coputadora para encontrar u × v ? un vector unitario ortoonal a u ? a v.
21 .u =⟨ 4 ,− 3.5 , 7 ⟩ v = ⟨ 2.5 , 9 , 3 ⟩
SoluciónD
22 .u =⟨ −8,− 6 , 4 ⟩ v = ⟨ 10 ,−12 ,−2 ⟩
SoluciónD
23 .u =−3 i + 2 j −5 k v =0.4 i −0.8 j + 0.2 k
SoluciónD
24 . u= 0.7 k v =1.5 i + 6.2 k
SoluciónD
/2. Programación #adas las componentes de los vectores u y v, escribir un programa para herramienta de graficación que calcule u × v y ‖u × v‖. SoluciónD
/3. Programación "sar el programa escrito en el e!ercicio 89 para encontrar para u= ⟨−2,6 , 10 ⟩ ( v =⟨ 3 , 8 , 5 ⟩ .
u×v
y ‖u × v‖
SoluciónD
Área En los e&ercicios /* a 08< calcular el >rea del paralelorao Aue tiene los vectores dados coo lados ad?acentes. Usar un sistea ale@raico por coputadora o una Berraienta de ra7icaci'n para veri7icar el resultado. 27 .u = j v = j + k
SoluciónD
28 .u =i + j + k v = j + k
SoluciónD
29 .u =⟨ 3, 2 ,−1 ⟩ v = ⟨ 1 , 2, 3 ⟩
SoluciónD
30 .u =⟨ 2, −1 , 0 ⟩ v =⟨ −1 , 2, 0 ⟩
SoluciónD
Área En los e&ercicios 01 ? 0/< veri7icar Aue los puntos son los v5rtices de un paralelorao< ? calcular su >rea. 31. A ( 0,3,2 ) , B ( 1,5,5 ) ,C (6,9,5 ) , D ( 5,7,2 )
SoluciónD
32 . A ( 2 ,−3, 1 ) , B ( 6,5, −1 ) , C ( 7,2,2 ) , D ( 3,− 6, 4 )
SoluciónD
Área En los e&ercicios 00 a 03< calcular el >rea del tri>nulo con los v5rtices dados. 1 ‖u × v‖ es el >rea del tri>nulo Aue tiene u ? v coo lados ad?acentes.; 9ugerencia! 2
33 . A ( 0 , 0, 0 ) , B ( 1,0,3 ) , C (−3,2,0 )
SoluciónD
34 . A ( 2 , − 3, 4 ) , B ( 0,1,2 ) ,C (−1,2,0 )
SoluciónD
35 . A ( 2 ,−7, 3 ) , B (−1,5,8 ) , C ( 4,6,−1 )
SoluciónD
36 . A ( 1 , 2, 0 ) , B (−2,1,0 ) ,C ( 0,0,0 )
SoluciónD
0*. Momento "n nio frena en una bicicleta aplicando una fuerza dirigida hacia aba!o de 83 libras sobre el pedal cuando la manivela forma un ángulo de =3F con la horizontal %ver la figura'. *a manivela tiene : pulgadas de longitud. )alcular el momento respecto a P.
.
Fiura para 0*
SoluciónD
0-. Momento *a magnitud y la dirección de la fuerza sobre un cigGeal cambian cuando ste gira. )alcular el momento sobre el cigGeal usando la posición y los datos mostrados en la figura.
Fiura para 0SoluciónD
06. Optimi"ación "na fuerza de 9: libras act&a sobre la llave inglesa mostrada en la figura que se encuentra en la página siguiente. a' )alcular la magnitud del momento respecto a O evaluando ‖* A×! ‖. "sar una herramienta de
⃗
graficación para representar la función de θ que se obtiene. b' "sar el resultado del inciso a' para determinar la magnitud del momento cuando c ' "sar el resultado del inciso a' para determinar el ángulo
θ
θ= 45 $
cuando la magnitud del momento es má$ima. @Es la respuesta lo que se esperaba @7or qu sí o por qu no
Fiura para 06 SoluciónD
48. Optimi"ación "na fuerza de /3 libras act&a sobre el soporte mostrado en la figura.
Fiura para 48 a' #eterminar el vector AB y el vector F que representa la fuerza. %F estará en trminos de b' )alcular la magnitud del momento respecto a A evaluando
⃗
‖ A B× ! ‖.
c ' "sar el resultado del inciso b' para determinar la magnitud del momento cuando
θ=30 $ .
θ
.'
d ' "sar el resultado del inciso b' para determinar el ángulo
θ cuando la magnitud del momento es
má$ima. A ese ángulo, @cuál es la relación entre los vectores F y AB @Es lo que se esperaba @7or qu sí o por qu no e' "sar una herramienta de graficación para representar la función de la magnitud del momento respecto a A para 0 $ + θ + 180 $ . 6allar el cero de la función en el dominio dado. Hnterpretar el significado del cero en el conte$to del problema. SoluciónD
En los e&ercicios 41 a 44< calcular u . ( v × w ) . 41 . u=i v = j w= k
SoluciónD
42 . u= ⟨ 1,1 , 1 ⟩ v = ⟨ 2 , 1,0 ⟩ w = ⟨ 0, 0 , 1 ⟩
SoluciónD
43 . u= ⟨ 2, 0 , 1 ⟩ v = ⟨ 0, 3 , 0 ⟩ w =⟨ 0,0,1 ⟩
SoluciónD
44 .u =⟨ 2, 0 , 0 ⟩ v =⟨ 1 , 1, 1 ⟩ w =⟨ 0, 2 , 2 ⟩
SoluciónD
#olumen En los e&ercicios 42 ? 43< usar el triple producto escalar para encontrar el voluen del paraleleppedo Aue tiene coo aristas ad?acentes u< v ? =. 45 . u=i + j v = j + k w=i + k
SoluciónD
46 . u= ⟨ 1, 3 , 1 ⟩ v = ⟨ 0, 6 , 6 ⟩ w =⟨ −4 , 0,− 4 ⟩
SoluciónD
#olumen En los e&ercicios 4* ? encontrar el voluen del paraleleppedo Aue tiene v5rtices dados 9ver las 7iuras;. 47 . ( 0,0,0 ) , ( 3,0,0 ) , ( 0,5,1 ) , ( 2,0,5 )
( 3,5,1 ) , ( 5,0,5 ) , ( 2,5,6 ) , (5,5,6 ) SoluciónD
48 . ( 0,0,0 ) , ( 0, 4 , 0 ) , (−3,0,0 ) , (−1, 1 , 5 )
(−3, 4,0 ) , (−1,5 , 5 ) , (− 4,1,5 ) , (−4,5,5 ) SoluciónD
=1. Si u × v =0 SoluciónD
y
u . v =0 @qu se puede concluir acerca de u y v
28. Hdentificar los productos vectoriales que son iguales. E$plicar el razonamiento. %Suponer que u, v y = son vectores distintos de cero.'
a ¿ u . ( v × w ) b ¿ ( v × w ) .u
c ¿ ( u × v ) . w d ¿ ( u ×− w ) . v e ¿ u . ( w × v ) ¿ w . ( v ×u )
- ¿ (−u × v ) . w ¿ ( w ×u ) . v
SoluciónD
Desarrollo de conceptos 9. #efinir el producto vectorial de los vectores u y v. SoluciónD 98. #ar las propiedades geomtricas del producto vectorial. SoluciónD
20. Si las magnitudes de dos vectores se duplican, @cómo se modificará la magnitud del producto vectorial de los vectores E$plicar. SoluciónD
7ara discusión
24. *os vrtices de un triángulo en el espacio son cómo encontrar un vector perpendicular al triángulo. SoluciónD
( / , ( , 0 ) , ( / , ( , 0 ) y ( / , ( , 0 ) E$plicar 1
1
1
2
2
2
3
3
3
$#erdadero o %also& En los e&ercicios 22 a 2-< deterinar si la declaraci'n es verdadera o 7alsa. $i es 7alsa< e:plicar por Au5 o dar un e&eplo Aue deuestre Aue es 7alsa. 22. Es posible encontrar el producto vectorial de dos vectores en un sistema de coordenadas bidimensional. SoluciónD
23. Si u y v son vectores en el espacio que son distintos de cero y no paralelos, entonces u × v =v × u . SoluciónD
2*. Si u 1 0 y u × v =u×w , entonces v =w . SoluciónD
2-. Si u 1 0 y u . v =u . w ( u × v =u × w , entonces v =w . SoluciónD
En los e&ercicios 26 a 33< deostrar la propiedad del producto vectorial. 59. u × ( v + w )=( u × v )+ ( u + w )
SoluciónD
60 . c ( u × v ) =( c u ) × v =u× ( c v )
SoluciónD
61 .u×u =0
SoluciónD
62 .u . ( v ×w )=( u × v ) . w
SoluciónD
30. u × v es ortogonal tanto a u como a v. SoluciónD
34. u × v =0 si y sólo si u y v son m<iplos escalares uno del otro. SoluciónD
32. #emostrar que ‖u × v‖=‖u‖‖v‖ si u y v son ortogonales. SoluciónD
