APLICACIONES DE VECTORES EN LA INDUSTRIA
Calculo vectorial Daniel García Ordoñez
Ing. Néstor Claudio Juárez
Resumen El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física. Al igual algunas aplicaciones en ingeniería, el análisis de cálculo vectorial nos sirve de manera considerable para nuestra formación como ingenieros
Introducción Cada una de las partes que esteremos viendo son de vital importancia así como conocer un poco de historia para saber quién fue el padre del cálculo o su inventor genuino, todo puede contabilizarse, todo puede ser otra cosa que unos simples números, la mayoría de veces trabajamos con vectores por ejemplo en la construcción de carreteras, hoteles, edificios, para caídas, y no nos damos cuenta pero eso tiene que acabar tenemos que ser más selectos en cuanto a nuestros temas de estudio. Definición de un vector: Segmento de recta, contado a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos. "la longitud de un vector indica, a escala, la magnitud que representa" Características de un vector: Magnitud. La magnitud es el fenómeno físico medible que se representa con el vector. Cantidad. También conocida como intensidad o módulo. Espacio vectorial. Es el tipo de plano cartesiano sobre el que se traza el vector y en el que se indica su dirección. Dirección. La dirección es la característica del vector que indica el plano sobre el que actúa la magnitud de la cual se está tratando. Sentido. El sentido es determinado desde el punto de origen indicando en qué dirección se está aplicando la magnitud de que se trate. Punto de origen y extremo. Es el punto a partir del cual se traza el vector, generalmente marcado con un punto o un pequeño círculo. El extremo es el final del trazo del vector, y se representa con la punta de una flecha. Trazo. Un vector siempre se representa como un segmento de recta, que tiene su origen en el punto de aplicación y termina en el extremo. Para distinguir las magnitudes vectoriales se les coloca una flecha encima del símbolo de la magnitud, o bien se escriben en negrita (sólo en libros de texto). F, v, a. Así: F, es el vector fuerza. El módulo se representa por el símbolo o más frecuentemente con el vector entre 2 líneas paralelas
Antecedentes El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien unto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial. Este trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willar Gibbs (1839-1903). (Caicedo, 2011) Ya comentamos en nuestra introducción la importancia de los tr abajos del alemán Hermann G. Grassmann en el desarrollo de las nuevas álgebras que estaban por venir en la segunda mitad del siglo XIX. Después de proponer en su Ausdehnungslehre nuevas bases para todas las matemáticas, comenzando con definiciones de naturaleza más bien filosófica, Grassmann demostró que si la geometría se hubies expresado en forma algebraica como él proponía, el número tres no hubiese desempeñado el papel preponderante que hoy día tiene como número que expresa el espacio que nos rodea; de hecho, el n úmero de posibles dimensiones de interés para la geometría es ilimitado. Grassmann no pudo formalizar su trabajo ya que en aquel momento no existía un lenguaje algebraico adecuado donde sus ideas pudieran ser plasmadas. Sin embargo, su álgebra lineal fue comprendida y reconocida finalmente alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron su definición formal que ya había sido estudiada y formulada 30 años atrás por el matemático italiano Giusseppe Peano (18581932). El trabajo de Grassmann consistió fundamentalmente en una generalización del actual producto vectorial, de ahí su valor. Grassmann se guió de su intuición geométrica, definiendo un nuevo producto que en la actualidad se denomina producto exterior (ab = a ∧ b) que él denominaba producto escalón, relacionado íntimamente con el actual producto vectorial, pero sin la r estricción de una dimensionalidad fija de éste. (Moisessnchz, 2007) También ayudó al surgimiento del cálculo el cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo geográficos, científicos, médicos y tecnológicos que fue el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat. La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en q ue la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos frente a los engorrosos, y específicos para cada curva, procedimientos geométricos. (alfaro100, 2011)
Desarrollo
Aplicación Vectores en la Ing. Industrial Los vectores en la ingeniería industrial sirven para resolver problemas de estática (de composición de fuerzas, por ejemplo las fuerzas que actúan sobre un puente o un edificio o las fuerzas que actúan sobre los piñones de una rueda dentada, etc., etc.) Ingeniería mecánica El cálculo vectorial como es aplicado al espacio tridimensional, tiene un gran campo aplicativo en la mecánica, ya que todos los fenómenos mecánicos ya sean estáticos o din ámicos son vectores, como la fuerza, la aceleración, la velocidad, el trabajo, la energía
Ingeniería electrónica En el campo de la electrónica se usa en el comportamiento de señales eléctricas, y el comportamiento de las ondas como suma de fusores (vectores que dependen más del tiempo más que del espacio). Fig.1
Fig.1.- El radar sirve detecta la posición de las personas y da su ubicación a través de
vectores.
Vectores En La Aeronautica Civil La ingeniería aeronáutica es un área que investiga, diseña, manufactura y mantiene en buen estado productos como los aviones, misiles y satélites espaciales (Al hablar de satélites espaciales, esto se saldría de aeronáutica y pasaría a la astronáutica, ya que la aeronáutica se refiere a lo que vuela en el aire. La ingeniería aeroespacial trata de ambas cosas: aeronáutica y as tronáutica). Se relaciona con los temas científicos de la Aerodinámica, Materiales, Tecnología, Estructuras de aviones y Mecánica de fluidos. Aeronaútica. (Fernández, 2014) Fig.2
Fig.2.- Curso, derrota, Rumbo y marcación definido por vectores
Archivos
vectoriales
para
la
cartografía
topográfica
digital
escala 1: 20 000 Un archivo vectorial es un conjunto de información binaria, conformado por objetos geométricos independientes (líneas, polígonos y puntos). Cada uno de estos objetos está definido por distintos atributos de forma, posición y tamaño. Los archivos vectoriales de datos geográficos para la cartografía topográfica están compuestos por elementos de planimetría y altimetría. (Instituto Nacional de Estadistica y Geografia, 2009) Fig.3
Fig.3.- Imagen que muestra un archivo en formato vectorial de la planimetría
Aplicación Vectores en la Ing. Civil Los vectores dentro de la Ing. Civil Se aplican por ejemplo si haces diseñar un techo de armadura, la base de una columna necesitas la descomposición para conocer el momento Falta mencionar cálculo antisísmico y una variedad de aplicaciones. Sin descomposición de vectores no hay estática y sin ella no hay ingeniería civil. (Aragon, 2013) fig.4
Fig. 4.-Base de una columna
1ºCINEMATICA Simplemente conociendo movimientos de una sola dirección y haciendo combinaciones de ellos mediante vectores, podemos entender movimientos en dos y tres dimensiones como el tiro parabólico, fácilmente entendible haciendo una composición de movimientos en dos dimensiones mediante vectores. 2ºDINAMICA Las fuerzas son vectoriales, de forma que la acción de un conjunto de fuerzas sobre un cuerpo, no sólo va a depender del valor de las mismas, sino también de su punto de aplicación ( una puerta se moverá de forma diferente si aplicas una fuerza cerca o lejos de su eje), dirección y sentido. Es decir hay que tener en cuenta el carácter vectorial de las fuerzas para poder saber el efecto que tendrán. 3ºCAMPOS Tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico como el magnético tienen también carácter vectorial, con lo que la accion de varias cargas sobre otras, no sólo dependerá del valor de ellas, sino de cómo están colocadas respectivamente, lo que conlleva a considerar las direcciones entre ellas ( carácter vectorial) 4ºELECTRICIDAD Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones. (kairy, 2008)
Referencias
alfaro100. (19 de Septiembre de 2011). Obtenido de https://www.clubensayos.com/Historia/Historia-Del-Calculo-Vectorial/65644.html Aragon, R. F. (25 de Marzo de 2013). www.scribd.com. Obtenido de https://www.scribd.com/doc/132270668/COMO-APLICAR-LOS-VECTORES-EN-LAINGENIERIA-Y-EN-LA-VIDA-DIARIA Caicedo, L. J. (26 de Novienbre de 2011). Obtenido de http://calculovectorial.blogspot.mx/2011/11/calculo-vectorial.html Fernández, A. (27 de Febrero de 2014). prezi.com. Obtenido de https://prezi.com/vikahfsukdri/vectores-en-la-aeronautica-civil/ Instituto Nacional de Estadistica y Geografia. (25 de Agosto de 2009). www.inegi.org.mx . Obtenido de http://www.inegi.org.mx/est/contenidos/proyectos/Preview.aspx kairy. (31 de Agosto de 2008). Obtenido de https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20081003084555AAguqHg Moisessnchz. (27 de Agosto de 2007). Obtenido de https://www.clubensayos.com/Historia/Rese%C3%B1a-Historica-Del-CalculoVectorial/986056.html
