12.4 Vectores tangentes y vectores normales
Hallar un vector unitario tangente en un punto a una curva en el espacio. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración.
Vectores tangentes y vectores normales En la sección precedente se vio que el vector velocidad apunta en la dirección del movimiento. Esta observación lleva a la definición siguiente, que es válida para cualquier curva suave, no sólo para aquellas en las que el parámetro es el tiempo.
DEFINICIÓN DEL VECTOR UNITARIO TANGENTE
Sea
,, = ‖′′‖ , ′≠. ′
una curva suave en un intervalo abierto en se define como
representada por r . El vector unitario tangente
Como se recordará, una curva es suave en un intervalo si es continua y distinta de cero en el intervalo. Por tanto, la “suavidad” es suficiente para garantizar que una curva tenga vector unitario tangente.
EJ EMPLO 1 Hallar el vector unitario tangente Hallar el vector unitario tangente a la curva dada por
Cuando
=1.
Solución La derivada de
= + +
es
= + 2
Derivada de t .
Por tanto, el vector unitario tangente es
= ‖′′‖ Definición de t . 11 +4 + 2 Sustituir r t. = √ 1+4 ′
Cuando
=1
el vector unitario tangente es
como se muestra en la figura 12.20.
1 = √ 15 + 2
La dirección del vector unitario tangente depende de la orientación de la curva
Figura 12.20 NOTA En el ejemplo 1, hay que observar que la dirección del vector unitario tangente depende de la orientación de la curva. Por ejemplo, si la parábola de la figura 12.20 estuviera dada por
1
= 2 + 2 ,
Aunque también representaría el vector unitario tangente en el punto dirección opuesta. Tratar de verificar esto.
1,11, 1,
apuntaría en
La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es paralela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente para hallar la recta tangente a una hélice en un punto.
EJ EMPLO 2 Hallar la recta tangente a una curva en un punto
Hallar y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la la hélice dada por
en el punto
√ 2,√ 2, √ 2,2, .
= 2cos 2cos + 2 +
= 2sen 2se n + 2 + + 4+4+1=√ +1= √ 5.5. √ 4 = ‖′′‖ = √ 15 2sen 2sen + 2 + Vector unitario tangente. √ 2,2, √ 2,2, ,=/4 Solución La derivada de
En el punto
es , lo que implica que Por consiguiente, el vector unitario tangente es Por
y el vector unitario tangente es
‖′‖‖ =
La dirección del vector unitario tangente depende de la orientación de la curva
Figura 12.20 NOTA En el ejemplo 1, hay que observar que la dirección del vector unitario tangente depende de la orientación de la curva. Por ejemplo, si la parábola de la figura 12.20 estuviera dada por
1
= 2 + 2 ,
Aunque también representaría el vector unitario tangente en el punto dirección opuesta. Tratar de verificar esto.
1,11, 1,
apuntaría en
La recta tangente a una curva en un punto es la recta que pasa por el punto y es paralela al vector unitario tangente. En el ejemplo 2 se usa el vector unitario tangente para hallar la recta tangente a una hélice en un punto.
EJ EMPLO 2 Hallar la recta tangente a una curva en un punto
Hallar y hallar después un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la la hélice dada por
en el punto
√ 2,√ 2, √ 2,2, .
= 2cos 2cos + 2 +
= 2sen 2se n + 2 + + 4+4+1=√ +1= √ 5.5. √ 4 = ‖′′‖ = √ 15 2sen 2sen + 2 + Vector unitario tangente. √ 2,2, √ 2,2, ,=/4 Solución La derivada de
En el punto
es , lo que implica que Por consiguiente, el vector unitario tangente es Por
y el vector unitario tangente es
‖′‖‖ =
4 = √ 15 2 √ 22 + 2 √ 22 + = √ 15 (√ (√ 2+ 2 + √ 2 + ) , , = (√ 2,√ = √ 2,=√ 2 ,= √ 2 = 1 2, √ 2,2,/4), = +=√ += √ 2 √ 22 = +=√ += √ 2 + √ 22 = += 4 +
Usando los números directores y , y el punto obtienen las ecuaciones paramétricas siguientes (dadas con el parámetro ).
se
Esta recta tangente se muestra en la figura 12.21.
La recta tangente a una curva en un punto está determinada por el vector unitario tangente en el punto
Figura 12.21
′. . = ‖‖ =1 ⇒ . = 0
.
En el ejemplo 2 hay una cantidad infinita de vectores que son ortogonales al vector tangente Uno de estos vectores es el vector Esto se desprende de la propiedad 7 del teorema 12.2. Es decir,
′
Normalizando el vector se obtiene un vector especial llamado el vector unitario normal principal, como se indica en la definición siguiente.
DEFINICIÓN DE VECTOR UNITARIO NORMAL NORM AL PRINCIPAL Sea
= ‖′′‖.
una curva suave en un intervalo abierto unitario normal principal en t se define como
representada por
. ′ ≠ , Si Si
EJ EMPLO 3 Hallar el vector unitario normal principal Hallar
1 y
para la curva representada por
= 3 + 2 . ‖ = 9+16 = 3 + 4 ‖‖= 9 +16 = ‖′′‖ 1 = √ 9+16 9 +16 3 + 4 Vector unitario tangente. 1 16 = √ 9+16 4 9 +16 9+16/ 3 + 4 = 9+1612 / 4 + 3 9+16 12 ‖ ‖= ‖ = 12 9+16 = 9+16 = ‖′′‖‖ 1 = √ 9+16 9 +16 4 + + 3 . Vector unitario normal principal.
Solución Derivando, se obtiene
lo que implica que el vector unitario tangente es
Usando el teorema 12.2, se deriva
con respecto a t para obtener
Por tanto, el vector unitario normal principal es
Cuando
=1
el vector unitario normal principal es
entonces entonces el vector
como se muestra en la figura 12.22.
1 = 15 4 + 3
El vector unitario normal principal apunta hacia el lado cóncavo de la curva
Figura 12.22 El vector unitario normal principal puede ser difícil de evaluar algebraicamente. En curvas planas, se puede simplificar el álgebra hallando
= + Vector unitario tangente. = = + ]] + [] ] = 1 [
y observando que
debe ser
Como se sigue que tanto como son vectores unitarios normales. El vector unitario normal principal es el que apunta hacia el lado cóncavo de la curva, como se muestra en la figura 12.22 (véase ejercicio 94). Esto también es válido para curvas en el espacio. Es decir, si un objeto se mueve a lo largo de la curva C en el espacio, el vector apunta hacia la dirección en la que se mueve el objeto, mientras que el vector es ortogonal a y apunta hacia la dirección en que gira el objeto, como se muestra en la figura 12.23.
En todo punto de una curva, un vector unitario normal es ortogonal al vector unitario tangente. El vector unitario normal principal apunta hacia la dirección en que gira la curva
Figura 12.23
EJ EMPLO 4 Hallar el vector unitario normal principal Hallar el vector unitario normal principal para la hélice dada por
=2cos+2 +
Solución De acuerdo con el ejemplo 2, se sabe que el vector unitario tangente es
Así,
= √ 15 2sen+2 + Vector unitario tangente. ′ ′= √ 15 2cos2 ‖′‖= √ , = ‖′′‖ = 12 2cos2 =cos . Vector unitario normal principal
Como
está dado por
se sigue que el vector unitario normal principal es
Nótese que este vector es horizontal y apunta hacia el eje z , como se muestra en la figura 12.24.
es horizontal y apunta hacia el eje
Figura 12.24
Componentes tangencial y normal de la aceleración Ahora se vuelve al problema de describir el movimiento de un objeto a lo largo de una curva. En la sección anterior, se vio que si un objeto se mueve con rapidez constante, los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. Esto parece razonable, porque la rapidez no sería constante si alguna aceleración actuara en dirección del movimiento. Esta afirmación se puede verificar observando que
. =0
‖′‖
Si es una constante. (Ver la propiedad 7 del teorema 12.2.) Sin embargo, si un objeto viaja con rapidez variable, los vectores velocidad y aceleración no necesariamente son perpendiculares. Por ejemplo, se vio que en un proyectil el vector aceleración siempre apunta hacia abajo, sin importar la dirección del movimiento. En general, parte de la aceleración (la componente tangencial) actúa en la línea del movimiento y otra parte (la componente normal) actúa perpendicular a la línea del movimiento. Para determinar estas dos componentes, se pueden usar los vectores unitarios y que juegan un papel análogo a y cuando se representan los vectores en el plano. El teorema siguiente establece que el vector aceleración se encuentra en el plano determinado por y .
. , , ′ = /‖′‖ = ‖‖. = =[‖‖]+ ‖‖ Regla del producto. =[‖‖]+‖‖ ‖‖′′‖‖ =[‖‖]+‖‖ +. =/‖′‖ . [‖ ‖] = = ‖‖‖′‖ =+ . TEOREMA 12.4 VECTOR ACELERACIÓN Si
es el vector posición de una curva suave C y se encuentra en el plano determinado por y
existe, entonces el vector aceleración
Demostración Para simplificar la notación, se escribe en lugar de así sucesivamente. Como
en lugar de
y
se sigue que
Por derivación, se obtiene
Como se expresa mediante una combinación lineal de determinado por y A los coeficientes de
y
de
y
se sigue que
está en el plano
en la demostración del teorema 12.4 se les conoce como componentes tangencial y normal de la aceleración y se denotan por y . Por tanto, se puede escribir
El teorema siguiente da algunas fórmulas útiles para
y
TEOREMA 12.5 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN
=[‖‖] =.= ‖‖. ‖ =‖‖‖′‖ =.= ‖× ‖‖ = ‖‖
Si es el vector posición de una curva suave [para la cual componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes.
≥0.
existe], entonces las
A la componente normal de la aceleración también se le llama componente centrípeta de la aceleración. Nótese que
=′ =/‖‖
DEMOSTRACIÓN Nótese que se encuentra en el plano de y N Por tanto, se puede usar la figura
=. =. , =. =. = ‖‖ . = ‖‖..
12.25 para concluir que, en cualquier instante , aceleración sobre y sobre están dadas por como y se tiene
las componentes de la proyección del vector y respectivamente. Además,
Las componentes tangencial y normal de la aceleración se obtienen proyectando a sobre y
Figura 12.25
En los ejercicios 96 y 97 se pide demostrar las otras partes del teorema.
Nota Las fórmulas del teorema 12.5, junto con algunas otras fórmulas de este capítulo, se resumen en la página 877.
EJ EMPLO 5 Componentes tangencial y normal de la aceleración Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para el vector posición dado por
=3 + =′ =3 +2 = 9 +1+4 = 1 0+4 =′′ =2
Solución Para empezar se halla la velocidad, la rapidez y la aceleración.
De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es
4 = ‖‖. = √ 1 0+4
y como
Componente tangencial de la aceleración.
×=|30 10 22 |=26 4 +36 2 1 0 √ √ = ‖×‖ = = ‖‖ √ 1 0+4 √ 1 0+4 Componente normal de la aceleración. . 16 √ 10 ‖ ‖ = = 2 10+4 = √ 120+4 = + + , >0. == + +
la componente normal de la aceleración es
Nota En el ejemplo 5 se podría haber usado la fórmula alternativa siguiente para
EJ EMPLO 6 Hallar
y
para una hélice circular
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración para la hélice dada por
Solución
‖‖ = ++ = + = = . cos +0 = ‖‖ = =0 Componente tangencial de la aceleración. √ + ‖‖ =√ += = ‖‖ = 0 =. Componente normal de la aceleración.
De acuerdo con el teorema 12.5, la componente tangencial de la aceleración es
Como , se puede usar la fórmula alternativa para la componente normal de la aceleración para obtener
Nótese que la componente normal de la aceleración es igual a la magnitud de la aceleración. En otras palabras, puesto que la rapidez es constante, la aceleración es perpendicular a la velocidad. Ver la figura 12.26.
La componente normal de la aceleración es igual al radio del cilindro alrededor del cual la hélice gira en espiral
Figura 12.26 EJ EMPLO 7 Movimiento de un proyectil El vector posición para el proyectil mostrado en la figura 12.27 está dado por
=(50√ 2) +(50√ 216) Vector posición. =0, 1 25√ 2/16. =(50√ 2) +(50√ 2 32) Vector velocidad.
Hallar la componente tangencial de la aceleración cuando
Solución
y
‖‖ =2 50 1650√ 2 +16 Velocidad =32 Vector aceleración. La componente tangencial de la aceleración es
232 Componente tangencial de la aceleración. = .‖‖ = 2 503250√ 165√ 2 +16 En los instantes especificados, se tiene
2 ) 0 = 32(50√ 2√50 =16√ 2≈22.6 √ 2 32) ≈15.4 1 = 2 532(50 0 165√ 2 +16 2 √ 2516√ 2= 325050√ 2√ 50 2 =0
La trayectoria de un proyectil
Figura 12.27
=25√ 2/16,
En la figura 12.27 se puede ver que, a la altura máxima, cuando la componente tangencial es 0. Esto es razonable porque en ese punto la dirección del movimiento es horizontal y la componente tangencial de la aceleración es igual a la componente horizontal de la aceleración.
12.4 Ejercicios En los ejercicios 1 a 4, dibujar el vector unitario tangente y los vectores normales a los puntos dados.
Solución:
En los ejercicios 5 a 10, hallar el vector unitario tangente a la curva en el valor especificado del parámetro
5. =+2, =1 Solución:
6. =+2, =1 Solución:
7. =4cos+4 , = 4 Solución:
8. =6cos+2 , = 3 Solución:
9. =3 ln , = Solución:
10. = + , =0 Solución:
En los ejercicios 11 a 16, hallar el vector unitario tangente y hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el punto P.
11. = ++ , 0,0,0 Solución:
12. = ++ 43 , 1, 1, 43 Solución:
13. =3cos +3 + , 3,0,0 Solución:
14. = 〈,, 4 〉 , 1,1,√ 3 Solución:
15. = 〈2cos,2 ,4〉, √ 2,√ 2,4 Solución:
16. = 〈2sen,2 ,4〉, 1,√ 3,1 Solución:
En los ejercicios 17 y 18, usar un sistema algebraico por computadora para representar la gráfica de la curva en el espacio. Después hallar y un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva en el espacio en el punto P. Representar la gráfica de la recta tangente
17. =〈,,2/4〉, 3,9,18 Solución:
18. =3cos +4 + 12 , 0,4, /4 Solución:
A proximación lineal En los ejercicios 19 y 20, hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas
para la recta tangente a la gráfica en
+.. 19. = 〈, l n, √ 〉, =1 Solución:
20. = 〈−,2cos,2 〉, =0 Solución:
=
y utilizar las ecuaciones de la recta para aproximar
En los ejercicios 21 y 22, verificar que las curvas en el espacio se cortan en los valores dados de los parámetros. Hallar el ángulo entre los vectores tangentes a las curvas en el punto de intersección.
, 12 〉, =4 21. =〈2, =〈14 ,2, √ 〉, =8 Solución:
22. = 〈,c1os, 〉, =01 1 =〈 2 , 1 2 , 2 + 12 〉, =0 Solución:
En los ejercicios 23 a 30, encontrar el vector unitario normal principal a la curva en el valor especificado del parámetro.
23. = + 12 , =2 Solución:
24. = + 6 , =3 Solución:
25. =ln + +1, =2 Solución:
26. =cos+ , = 6 Solución:
27. = + +ln , =1 Solución:
28. =√ 2 + +− , =0 Solución:
29. =6cos +6 + , = 34 Solución:
30. =cos3 +2 3 + , = Solución:
, ,
En los ejercicios 31 a 34, hallar y (si existe) para un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria dada por la función vectorial Usar los resultados para determinar la forma de la trayectoria. ¿Es constante la rapidez del objeto o cambiante?
31. =4 Solución:
32. =4 2 Solución:
33. =4 Solución:
.
34. = + Solución:
En los ejercicios 35 a 44, hallar
35. =+ 1 , =1 Solución:
,, y
para la curva plana en el instante
.
36. =+2 , =1 Solución:
37. = 1+2 , =1 Solución:
38. = 4+ 1 , =0 Solución:
39. =+− , =0 Solución:
40. =+− + , =0 Solución:
41. = + , = 2 Solución:
42. = + , =0 Solución:
43. = 〈cos+ , cos, 〉, = Solución:
44. = 〈ωt ,1cos, 〉, = Solución:
Movi miento cir cular En los ejercicios 45 a 48, considerar un objeto que se mueve según la
función de posición 45. Hallar Solución:
,, .
= +
y
46. Determinar las direcciones de y en relación con la función de posición Solución:
.
47. Determinar la rapidez del objeto en cualquier instante y explicar su valor en relación con el valor
.
de Solución:
48. Si la velocidad angular se reduce a la mitad, ¿en qué factor cambia Solución:
?
En los ejercicios 49 a 54, dibujar la gráfica de la curva plana dada por la función vectorial, y, en el punto sobre la curva determinada por dibujar los vectores y Observar que apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
49. = + 1 ,
Instante
Solución:
=2
50. = + ,
=1
Función
.
Solución:
51. =4 +4 , = 14 52. = 2+1 , =2 53. =2cos +2 , = 4 Solución:
Solución:
Solución:
54. =3cos +2 , Solución:
=
, , . , 55. = +2 3 , =1 En los ejercicios 55 a 62, hallar [ S ug erenci a: Hallar y Función
Solución:
y en el instante dado t para la curva espacial Resolver para en la ecuación ]
Instante
=+.
56. =4 4 +2 , Solución:
=2
57. =cos + + , = 3 58. =3 + , =1 59. = + + 2 , =1 Solución:
Solución:
Solución:
60. = 21 + 4 , 61. = + cos + , Solución:
Solución:
=2 =0
62. = +2 +− , Solución:
=0
En los ejercicios 63 y 66, usar un sistema algebraico por computadora y representar gráficamente la curva espacial. Entonces hallar y en el instante dado t. Dibujar en la curva en el espacio.
63. =4 +3cos +3 , Función
Solución:
,,
Instante
= 2
64. =2cos +3cos +3 , 65. = +3 + 2 , =2 Solución:
Solución:
=
66. = + +2 , Solución:
=1
Desarrollo de conceptos 67. Definir el vector unitario tangente, el vector unitario normal principal, y las componentes tangencial y normal de la aceleración. Solución:
68. ¿Cuál es la relación entre el vector unitario tangente y la orientación de una curva? Explicar. Solución:
69. a) Describir el movimiento de una partícula si la componente normal de la aceleración es 0. b) Describir el movimiento de una partícula si la componente tangencial de la ace leración es 0. Solución:
Para discusión 70. Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria dada por
=3 +4
,,
Encontrar (si existe). ¿Cuál es la forma de la trayectoria? ¿Es constante o variable la velocidad del objeto? Solución:
71. Movi miento cic loidal La figura muestra la trayectoria de una partícula representada por la
= 〈 ,1cos〉 /‖‖ /‖‖
función vectorial
La figura muestra también los vectores
a) Hallar
= ,=1 = . , y
en
y
en los valores indicados de
.
y
b) En cada uno de los valores indicados de disminuye. Dar razones para las respuestas. Solución:
determinar si la rapidez de la partícula aumenta o
72. Movi miento a lo larg o de una involuta de un círculo La figura muestra una partícula que sigue la trayectoria dada por
=〈cos+ , cos〉 =1 =2.
La figura muestra también los vectores
=1 =2.
y
para
y
a) Hallar y en y b) Determinar si la rapidez de la partícula aumenta o disminuye en cada uno de los valores indicados de Dar razones para las respuestas. Solución:
.
En los ejercicios 73 a 78, hallar los vectores T y N, y el vector unitario binormal la función vectorial en el valor dado de t.
73. =2cos +2sen + 2 , = 2
Figura para 73 Solución:
=×,
de
74. = + + 3 , =1
Figura para 74 Solución:
75. = +sen +cos , = 4 Solución:
76. =2 + cos + , =0 Solución:
77. =4 +4cos +2 , = 3 Solución:
78. =3cos2 +3sen2 + , = 4 Solución:
79. Movi miento de un proyec til Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración de un
proyectil disparado con un ángulo con la horizontal y con rapidez inicial componentes cuando el proyectil está en su altura máxima? Solución:
¿Cuáles son las
80. Movi miento de un proyectil Utilizar los resultados del ejercicio 79 para hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración de un proyectil disparado con un ángulo de 45° con la horizontal con rapidez inicial de 150 pies por segundo. ¿Cuáles son las componentes cuando el proyectil está en su altura máxima? Solución:
81. Movi miento de un proyec til Un proyectil se lanza con velocidad inicial de 120 pies por segundo desde 5 pies de altura y con un ángulo de 30° con la horizontal. a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil. b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil. c ) Hallar y d ) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.
,‖‖ .
e) Usar una herramienta de graficación para representar las funciones escalares cambia la velocidad del proyectil cuando y tienen signos opuestos? Solución:
y
¿Cómo
82. Movi miento de un proyec til Un proyectil se lanza con velocidad inicial de 220 pies por segundo desde una altura de 4 pies y con un ángulo de 45° con la horizontal. a) Determinar la función vectorial de la trayectoria del proyectil. b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria y aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil. c ) Hallar y d ) Usar una herramienta de graficación para completar la tabla.
, ‖‖ .
Solución:
83. C ontrol del tráfic o aéreo Debido a una tormenta, los controladores aéreos en tierra indican a un piloto que vuela a una altitud de 4 millas que efectúe un giro de 90° y ascienda a una altitud de 4.2 millas. El modelo de la trayectoria del avión dur ante esta maniobra es
= 〈10cos10,10 10,4+4〉, 0≤≤ 201
donde es el tiempo en horas y r es la distancia en millas. a) Determinar la rapidez del avión. b) Usar un sistema algebraico por computadora y calcular 0? Solución:
y
¿Por qué una de éstas es igual a
84. Movi miento de un proyectil Un avión volando a una altitud de 36 000 pies con rapidez de 600 millas por hora deja caer una bomba. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración que actúan sobre la bomba. Solución:
85. Aceleración centrí peta Un objeto, atado al extremo de una cuerda, gira con rapidez constante,
de acuerdo con la función de posición dada en los ejercicios 45 a 48. a) Si la velocidad angular se duplica, ¿cómo se modifica la componente centrípeta de la aceleración? b) Si la velocidad angular no se modifica pero la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, ¿cómo cambia la componente centrípeta de la aceleración? Solución:
. /. = =/,
86. Fuerza centrípeta Un objeto de masa
se mueve con rapidez constante siguiendo una trayectoria circular de radio La fuerza requerida para producir la componente centrípeta de la aceleración se llama fuerza centrípeta y está dada por La ley de Newton de la gravitación universal establece que donde es la distancia entre los centros de los dos cuerpos
,
de masas y y es una constante gravitatoria. Usar esta ley para mostrar que la rapidez requerida para el movimiento circular es . Solución:
= /
Velocidad orbital En los ejercicios 87 a 90, usar el resultado del ejercicio 86 para hallar la
=. ×
rapidez necesaria para la órbita circular dada alrededor de la Tierra. Tomar millas cúbicas por segundo al cuadrado, y suponer que el radio de la Tierra es 4 000 millas. 87. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 115 millas sobre la superficie de la Tierra. Solución:
88. La órbita de un transbordador espacial que viaja a 245 millas sobre la superficie de la Tierra. Solución:
89. La órbita de un satélite de detección térmica que viaja a 385 millas sobre la superficie de la Tierra. Solución:
90. La órbita de un satélite de comunicación que está en órbita geosíncrona a
millas sobre la superficie de la Tierra. [El satélite realiza una órbita por día sideral (aproximadamente 23 horas, 56 minutos) y, por consiguiente, parece permanecer estacionario sobre un punto en la Tierra.] Solución:
¿ Verdadero o falso? En los ejercicios 91 y 92, determinar si la declaración es verdadera o
falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa.
91. Si el indicador de velocidad de un automóvil es constante, entonces el automóvil no puede estar acelerando. Solución:
92. Si
=0
en un objeto en movimiento, entonces el objeto se mueve en una línea recta.
Solución:
93. Una partícula sigue una trayectoria dada por
=ℎ+ℎ
donde b es una
constante positiva. a) Mostrar que la trayectoria de la partícula es una hipérbola. b) Mostrar que Solución:
=.
94. Mostrar que el vector unitario normal principal N apunta hacia el lado cóncavo de una curva plana. Solución:
95. Mostrar que en un objeto que se mueve en línea recta el vector Solución:
96. Mostrar que Solución:
‖ = ‖× ‖‖
′
es 0.
97. Mostrar que
= ‖‖ Solución:
Preparación del examen Putnam 98. Una partícula de masa unitaria se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza que es
,
función de la velocidad de la partícula, pero no se conoce la forma de esta función. Se observa el movimiento y se encuentra que la distancia recorrida en el tiempo está relacionada con por medio de la fórmula , donde y tienen valores numéricos determinados por la observación del movimiento. Hallar la función para el rango de cubierto en el experimento. Solución:
=+ +
