11 Vectores y la geometría del espacio En este capítulo se introducen los vectores y el sistema de coordenadas tridimensional. Los vectores se usan para representar rectas y planos, y también para representar cantidades como fuerza y velocidad. El sistema de coordenadas tridimensional se utiliza para representar superficies como elipsoides elipsoides y conos elípticos. elípticos. Gran parte del material en los capítulos capítulos restantes se fundamenta en el entendimiento de este sistema. En este capítulo, se aprenderá: !mo escribir vectores, realizar operaciones vectoriales básicas y representar vectores de manera gráfica. " 11.1# !mo determinar puntos en un sistema de coordenadas tridimensional y analizar vectores en el espacio. " 11.2# !mo encontrar el producto escalar de dos vectores "en el plano y en el espacio#. " 11.3# !mo encontrar el producto vectorial de dos vectores "en el espacio#. " 11.4# !mo encontrar las ecuaciones de de rectas y planos en el espacio, y c!mo dibu$ar sus gráficas. "11.5# !mo reconocer y escribir ecuaciones de superficies cilíndricas y cuadráticas y las superficies de revoluci!n. " 11.6# !mo utilizar coordenadas coordenadas cilíndricas y esféricas esféricas para representar representar superficies superficies en el espacio. espacio. "11.7# •
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11
Dos remolcadores están empujando un barco trasatlántico, como se muestra en la foto. Cada barco ejerce una fuerza de 400 libras. ¿Cuál es la fuerza resultante en el barco trasatlántico? trasatlántic o? (Ver la sección ., ejemplo !."
Los vectores indican cantidades %ue implican tanto magnitud como direcci!n. En el capítulo && se estudiarán operaciones de vectores en el plano y en el espacio. 'ambién se aprenderá c!mo
representar operaciones de vectores de manera geométrica. (or e$emplo, las gráficas %ue se muestran arriba representan adici!n de vectores en el plano.
11.1 Vectores en el plano Expresar un vector mediante sus componentes. Realizar operaciones vectoriales e interpretar los resultados geométricamente. Expr Expres esar ar un ve vect ctor or como como com comin inaci aci!n !n line lineal al de ve vect ctor ores es unit unitar ario ioss est"n est"nda darr o can!nicos. #sar vectores para resolver prolemas de $uerza o velocidad. %as componentes de un vector )uc*as cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiem tiempo po,, se pued pueden en carac caracte teriz rizar ar por por medi medio o de un solo solo n+mer n+mero o real real en unid unidade adess de medi medici ci!n !n apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al n+mero real se le llama escalar .
n segmento de recta dirigido &igura 11.1 -tras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleraci!n, tienen magnitud y direcci!n y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo n+mero real. (ara representar estas cantidades cantidades se usa un segmento de recta dirigido , como se muestra en la figura &&.&. El segmento de recta recta diri dirigi gido do PQ tien tiene e como como punt su long punto o inic inicia iall P y como punt punto o $ina $inall Q y su longit itud ud "o ´ magnitud# se denota por ‖ PQ‖. egmentos de recta dirigidos %ue tienen la misma longitud y direcci!n direcci!n son e'uivalentes, como se muestra en la figura &&./. El con$unto de todos los segmentos de recta dirigidos %ue son e%uivalentes a un segmento de recta dirigido dado PQ es un vector en el plano y se denota por v ¿ PQ . En los libros, los vectores se denotan normalmente con letras min+sculas, en negrita, como u, v y (. uando se escriben a mano, se suelen denotar por medio de letras con una flec*a sobre ellas, como u⃗ , v⃗ y w . Es impo import rtant ante e nota notarr %ue %ue un vecto vectorr en el plano plano se pued puede e repre represen senta tarr por por medi medio o de muc* muc*os os segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma direcci!n y todos de la misma longitud. ⃗
representar operaciones de vectores de manera geométrica. (or e$emplo, las gráficas %ue se muestran arriba representan adici!n de vectores en el plano.
11.1 Vectores en el plano Expresar un vector mediante sus componentes. Realizar operaciones vectoriales e interpretar los resultados geométricamente. Expr Expres esar ar un ve vect ctor or como como com comin inaci aci!n !n line lineal al de ve vect ctor ores es unit unitar ario ioss est"n est"nda darr o can!nicos. #sar vectores para resolver prolemas de $uerza o velocidad. %as componentes de un vector )uc*as cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiem tiempo po,, se pued pueden en carac caracte teriz rizar ar por por medi medio o de un solo solo n+mer n+mero o real real en unid unidade adess de medi medici ci!n !n apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al n+mero real se le llama escalar .
n segmento de recta dirigido &igura 11.1 -tras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleraci!n, tienen magnitud y direcci!n y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo n+mero real. (ara representar estas cantidades cantidades se usa un segmento de recta dirigido , como se muestra en la figura &&.&. El segmento de recta recta diri dirigi gido do PQ tien tiene e como como punt su long punto o inic inicia iall P y como punt punto o $ina $inall Q y su longit itud ud "o ´ magnitud# se denota por ‖ PQ‖. egmentos de recta dirigidos %ue tienen la misma longitud y direcci!n direcci!n son e'uivalentes, como se muestra en la figura &&./. El con$unto de todos los segmentos de recta dirigidos %ue son e%uivalentes a un segmento de recta dirigido dado PQ es un vector en el plano y se denota por v ¿ PQ . En los libros, los vectores se denotan normalmente con letras min+sculas, en negrita, como u, v y (. uando se escriben a mano, se suelen denotar por medio de letras con una flec*a sobre ellas, como u⃗ , v⃗ y w . Es impo import rtant ante e nota notarr %ue %ue un vecto vectorr en el plano plano se pued puede e repre represen senta tarr por por medi medio o de muc* muc*os os segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma direcci!n y todos de la misma longitud. ⃗
egmentos de recta dirigidos e%uivalentes &igura 11.2 EJEMPLO 1 Representaci!n de vectores por medio de segmentos s egmentos de recta dirigidos
ea v el vector representado por el segmento dirigido %ue va de ( 0, 0 ) a (3, 2) , y sea u el vector repre represe sent ntad ado o por por el segme segment nto o diri dirigi gido do %ue %ue va de (1, 2) a ( 4, 4 ). )ost )ostra rarr %ue v y u son e%uivalentes.
Los vectores u y v son iguales &igura 11.3
)oluci!n ean P (0, 0 ) y Q (3, 2) los puntos inicial y final de v, y sean R (1, 2) y S ( 4, 4 ) los puntos inicial y final de u, como se muestra en la figura &&.0. (ara mostrar %ue PQ y RS misma longitud se usa la f!rmula de la distancia.
tienen la
´ ‖= √ ( 3 −0 ) + ( 2− 0 ) =√ 13 ´ ‖ PQ Longitud de PQ 13 Longitud 2
2
´ ‖=√ ( 4 −1 ) + ( 4 −2 ) =√ 13 ´ ‖ RS 13 Longitud Longitud de RS 2
2
Los dos segmentos tienen la misma dirección, por%ue ambos están dirigidos *acia la derec*a y *acia arriba sobre rectas %ue tienen la misma pendiente.
⃗
Pendiente Pendiente de PQ PQ =
2−0 3−0
=
2 3
1
⃗
Pendiente Pendiente de RS RS=
4− 2 4− 1
=
2 3
omo omo PQ y RS tienen la misma longitud y la misma direcci!n, se concluye %ue los dos vectores son e%uivalentes. Es decir, v y u son e%uivalentes. El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen a menudo se considera el representante más adecuado de un con$unto de segmentos de recta dirigidos e%uivalentes como los %ue se muestran en la figura &&.0. e dice %ue esta representaci!n de v está está en la posici!n can!nica o est"ndar . n segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen puede representarse de manera +nica por medio de las coordenadas de su punto final Q ( v1 , v 2 ) como se muestra en la figura &&.2.
(osici!n estándar de un vector &igura 11.4
*E&+,+-+, *E #, VE-/0R E, E% %,0 E*+,/E )#) -00,E,/E) i v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es
(v
1
, v2) ,
entonces
el vector v %ueda dado mediante sus componentes de la siguiente manera
v 3 ⟨ v1 , v2 ⟩ . Las coordenadas v 1 y v 2 son las componentes de v. i el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces v es el vector cero "o vector nulo# y se denota por 0 =⟨ 0, 0 ⟩ . Esta Esta defini definici! ci!n n implic implica a %ue dos vectores vectores u 3 ⟨ u1 , u2 ⟩ u1= v 1 y u2= v 2 .
y v 3 ⟨ v 1 , v 2 ⟩ son igua iguale less si y s!lo si
Los procedimientos procedimientos siguientes siguientes pueden usarse para convertir convertir un vector dado mediante un segmento segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa.
1. i P ( p1 , p2 )
y
Q ( q 1 , q 2)
son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por PQ , dado mediante sus componentes, es ⟨ v 1 , v 2 ⟩ =⟨ q1− p1 , q2 − p 2 ⟩ . 4demás, de la f!rmula de la distancia es posible ver %ue la longitud "o magnitud# de v es
‖v‖= √ ( q 1− p1 )2 +( q 2− p2 )2 Longitud deun vector ¿ √ v 21 +v 22
2. i v ¿ ⟨ v 1 , v 2 ⟩ , v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posici!n can!nica o estándar, %ue va de P (0, 0 )
a Q ( v1 , v2 ).
4 la longitud de v tambié también n se le llama llama la norma de v. i i ‖v‖=0 si y s!lo si v es el vector cero .
‖v‖=1,
v es un vector unitario. 1
EJEMPLO 2 allar las componentes la longitud de un vector
5allar 5allar las componentes componentes y la longitud del vector v %ue tiene el punto inicial (−2,5 ) .
( ) )oluci!n ean P (3, −7 )= ( p 1 , p2 ) y Q −2, 5 =( q1 , q2 ) son v 1= q1− p1=−2 −3=−5
Entonces las componentes de v ¿ ⟨ v 1 , v 2 ⟩
v 2= q2− p2 =5−(−7 )= 12
4sí, como se muestra en la figura &&.6, &&.6, v ¿ ⟨−5,12 ⟩ y la longitud de v es
‖v‖= √ (−5 )2+ ( 12 )2 169 ¿ √ 169
¿ 13
( 3,−7 ) y el punto final
Vector v dado por medio de sus componentes: &igura 11.5
0peraciones con vectores *E&+,+-+, *E % )# *E VE-/0RE) *E % #%/+%+--+, 0R #, E)-%R ean u ¿ ⟨ u 1 , u2 ⟩ y v ¿ ⟨ v 1 , v 2 ⟩ vectores y sea c un escalar.
1. La suma vectorial de u y v es el vector u 7 v ¿ ⟨ u 1+ v 1 ,u2 + v 2 ⟩ . 2. El m8ltiplo escalar de c y u es el vector c u ¿ ⟨ cu1 ,u 2 ⟩ 3. El negativo de v es el vector 4. La di$erencia de u y v es
−v =(−1 ) v = ⟨−v 1 , −v 2 ⟩ u− v =u +(−v )=⟨ u1− v 1 , u2− v 2 ⟩
Geométricamente, el m+ltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector %ue tiene |c| veces la longitud de v, como se muestra en la figura &&.8. i c es positivo, c v tiene la misma direcci!n %ue v. i c es negativo, c v tiene direcci!n opuesta.
La multiplicaci!n escalar por un vector v &igura 11.6 La suma de dos vectores puede representarse geométricamente colocando los vectores "sin cambiar sus magnitudes o sus direcciones# de manera %ue el punto inicial de uno coincida con el punto final
del otro, como se muestra en la figura &&.9. El vector u 7 v, llamado el vector resultante, es la diagonal de un paralelogramo %ue tiene u y v como lados adyacentes.
(ara *allar u 7 v, &# *acer coincidir el punto inicial de v con el punto final de u, o bien /# *acer coincidir el punto inicial de u con el punto final de v &igura 11.7 La figura &&. muestra la e%uivalencia de las definiciones geométricas y algebraicas de la suma de vectores y la multiplicaci!n por un escalar y presenta "en el e;tremo derec*o# una interpretaci!n geométrica de u < v.
uma vectorial
)ultiplicaci!n escalar
ustracci!n de vectores
&igura 11.9
4lgunos de los primeros traba$os con vectores fueron realizados por el matemático irlandés =illiam >o?an 5amilton. 5amilton dedic! muc*os a@os a desarrollar un sistema de cantidades seme$antes a vectores llamados cuaterniones. 4un%ue 5amilton estaba convencido de las venta$as de los cuaterniones, las operaciones %ue defini! no resultaron ser buenos modelos para los fen!menos físicos. Ao fue sino *asta la segunda mitad del siglo BCB cuando el físico escocés Dames )a;?ell
"&0&<&9# reestructur! la teoría de los cuaterniones de 5amilton dándole una forma +til para la representaci!n de cantidades como fuerza, velocidad y aceleraci!n. EJEMPLO 3 0peraciones con vectores
Fados v ¿ ⟨−2, 5 ⟩ y ( ¿ ⟨ 3, 4 ⟩ encontrar cada uno de los vectores. a ¿ 1 / 2 v b ¿ w− v c ¿ v + 2 w
)oluci!n a ¿ 1 / 2 v =〈1 / 2 (−2 ) , 1 / 2 ( 5 ) 〉 =〈−1,5 / 2 〉 b ¿ w – v = ⟨ w1− v 1 , w 2−v 2 ⟩ = ⟨ 3 −(−2 ) , 4 −5 ⟩= ⟨ 5,−1 ⟩ c¿
sando
2w
¿ ⟨ 6, 8 ⟩
se tiene
v + 2 w =⟨ −2, 5 ⟩ + ⟨ 6, 8 ⟩ =⟨ −2 + 6, 5 + 8 ⟩= ⟨ 4,13 ⟩ .
La suma de vectores y la multiplicaci!n por un escalar comparten muc*as propiedades con la aritmética ordinaria, como se muestra en el teorema siguiente
/E0RE 11.1 R0+E**E) *E %) 0ER-+0,E) -0, VE-/0RE) ean u, v y ( los vectores en el plano, y sean c y d escalares 1. u + v = v + u Propiedadconmutativa . 2. ( u + v ) + w =u +( v + w ) Propiedad asociativa.
3. u + 0=u Propiedad deidentidad aditiva. 4. u + ( −u ) =0 Propiedad delinversoaditivo . 5. c ( d u )= ( cd ) u 6. ( c + d ) u =cu + duPropiedad distributiva.
7. c ( u + v )=c u + c v Propiedad distributiva. 8. 1 ( u ) =u , 0 ( u )=0
*E0)/R-+, La demostraci!n de la propiedad asociativa de la suma de vectores utiliza la propiedad asociativa de la suma de n+meros reales.
( u + v ) + w = [ ⟨ u 1 , u2 ⟩ + ⟨ v 1 , v 2 ⟩ ] + ⟨ w 1 , w 2 ⟩ ¿ ⟨ u 1+ v 1 ,u2 + v 2 ⟩ + ⟨ w 1 , w 2 ⟩ ¿ ⟨ ( u 1 + v 1 ) + w 1 , ( u 2+ v 2 ) + w 2 ⟩ ¿ ⟨ u1 + ( v 1 + w1 ) ,u 2+ ( v 2 + w 2) ⟩ ¿ ⟨ u 1 , u2 ⟩ + ⟨ v 1 + w 1 , v 2 + w 2 ⟩ ¿ u +( v +w )
4simismo, la demostraci!n de la propiedad distributiva de la multiplicaci!n escalar depende de la propiedad distributiva para los n+meros reales.
( c +d ) u =( c +d ) ⟨ u1 , u2 ⟩ ¿ ⟨ ( c + d ) u 1 , ( c +d ) u 2 ⟩ ¿ ⟨ c u1 +d u1 , c u2 + d u2 ⟩ ¿ ⟨ c u1 , c u2 ⟩ + ⟨ d u1 , d u2 ⟩ ¿ c u+ d u
Las otras propiedades pueden demostrarse de manera similar. ual%uier con$unto de vectores "$unto con un con$unto de escalares# %ue satisfaga las oc*o propiedades dadas en el teorema &&.& es un espacio vectorial. Las oc*o propiedades son los axiomas del espacio vectorial . (or tanto, este teorema establece %ue el con$unto de vectores en el plano "con el con$unto de los n+meros reales# forma un espacio vectorial.
La matemática alemana Emmy Aoet*er contribuy! a nuestro conocimiento de los sistemas a;iomáticos. Aoet*er generalmente se reconoce como la principal matemática de la *istoria reciente.
/E0RE 11.2 %0,:+/#* *E #, ;%/+%0 E)-%R ea v un vector y sea c un escalar. Entonces
‖c v‖=|c|‖v‖∨c ∨es el valor absoluto dec . *E0)/R-+, omo
c v = ⟨ cv 1 , cv 2 ⟩
se tiene %ue
‖c v‖=‖⟨ cv 1 , cv 2 ⟩‖= √ ( c v1 )2 + ( c v 2) 2 ¿ √ c 2 v 21 + c 2 v 22
¿ √ c 2 ( v 21+ v 22 ) ¿|c|√ v 21 + v 22
¿|c|‖v‖ En muc*as aplicaciones de los vectores, es +til encontrar un vector unitario %ue tenga la misma direcci!n %ue un vector dado. El teorema siguiente da un procedimiento para *acer esto.
/E0RE 11.3 VE-/0R #,+/R+0 E, % *+RE--+, *E v i v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector
u=
1 v = v ‖v‖ ‖v‖
tiene longitud & y la misma direcci!n %ue
v .
*E0)/R-+, 1 /‖v‖
omo
es positivo y u=( 1 /‖v‖) v se puede concluir %ue u tiene la misma direcci!n %ue
v . (ara ver %ue
‖u‖=1 se observa %ue
‖( ) ‖
‖u‖=
1
‖v‖
v
|‖ ‖|‖ ‖
¿
1
¿
1
v
v
‖v‖ ‖v‖
¿ 1.
(or tanto, u tiene longitud & y la misma direcci!n %ue v . u
del teorema &&.0 se le llama un vector unitario en la direcci!n de v . El proceso de multiplicar v por 1 /‖v‖ para obtener un vector unitario se llama normalizaci!n de v .
4l vector
EJEMPLO 4 allar un vector unitario
5allar un vector unitario en la direcci!n de v =⟨−2,5 ⟩ y verificar %ue tiene longitud &.
)oluci!n (or el teorema &&.0, el vector unitario en la direcci!n de v es
⟨
⟨−2,5 ⟩ 1 v ⟨−2,5 ⟩= − 2 , 5 = = 2 2 ‖v‖ √ (−2 ) +(5 ) √ 29 √ 29 √ 29 Este vector tiene longitud &, por%ue 2 − 2 2 5 4 25 29 + = + = =1.
√( √ ) ( √ ) √ 29
29
29
29
√
29
⟩
Generalmente, la longitud de la suma de dos vectores no es igual a la suma de sus longitudes. (ara ver esto, basta tomar los vectores u y v de la figura &&.. onsiderando a u y v como dos de los lados de un triángulo, se puede ver %ue la longitud del tercer lado es ‖u + v‖ y se tiene
‖u + v‖≤‖u‖+‖v‖. La igualdad s!lo se da si los vectores u y v tienen la misma dirección. 4 este resultado se le llama la desigualdad del tri"ngulo para vectores. "En el e$ercicio &, secci!n &&.0, se pide demostrar esto.#
Fesigualdad del triángulo &igura 11.<
Vectores unitarios can!nicos o est"ndar
Vectores unitarios can!nicos o estándar i y = &igura 11.1 4 los vectores unitarios ⟨ 1, 0 ⟩ y ⟨ 0, 1 ⟩ se les llama vectores unitarios can!nicos o est"ndar en el plano y se denotan por i =⟨ 1, 0 ⟩ y j=⟨ 0,1 ⟩ Vectores unitarioscannicos o est!ndar
como se muestra en la figura &&.&H. Estos vectores pueden usarse para representar cual%uier vector de manera +nica, como sigue. v =⟨ v 1 , v 2 ⟩ =⟨ v 1 , 0 ⟩ + ⟨ 0, v 2 ⟩ = v 1 ⟨ 1,0 ⟩ + v2 ⟨ 0,1 ⟩ = v1 i + v 2 j
4l vector v =v 1 i + v 2 j se le llama una cominaci!n lineal de i y =. 4 los escalares v 1 y v 2 se les llama las componentes >orizontal y vertical de v. EJEMPLO 5 Expresar un vector como cominaci!n lineal de vectores unitarios
ea u el vector con punto inicial (2,−5 ) y punto final (−1, 3 ) , y sea v =2 i − j. E;presar cada vector como combinaci!n lineal de i y =. a ¿ u b ¿ w =2 u − 3 v
)oluci!n a ¿ u= ⟨ q 1− p1 , q2− p2 ⟩
¿ ⟨−1−2, 3 −(−5 )⟩ ¿ ⟨−3, 8 ⟩ =−3 i +8 j b ¿ w =2 u−3 v = 2 (−3 i + 8 j )−3 ( 2 i− j )
¿− 6 i + 16 j−6 i + 3 j
¿−12 i + 19 j i u es un vector unitario y " es el ángulo "medido en sentido contrario a las manecillas del relo$# desde el e$e # positivo *asta u, el punto final de u está en el círculo unitario, y se tiene
Ingulo " desde el e$e # positivo *asta el vector u &igura 11.11
u= ⟨ cos " , sen" ⟩ =cos " i + sen" j Vector unitario
como se muestra en la figura &&.&&. 4demás, cual%uier vector distinto de cero v %ue forma un ángulo " con el e$e # positivo tiene la misma direcci!n %ue u y se puede escribir v =‖v‖⟨ cos ",sen" ⟩ =‖v‖cos " i+‖v‖sen " j
EJEMPLO 6 Escriir un vector de magnitud direcci!n dadas
El vector v tiene una magnitud de 0 y forma un ángulo de 30 $ = % / 6 con el e$e # E;presar v como combinaci!n lineal de los vectores unitarios i y =.
positivo.
)oluci!n omo el ángulo entre v y el e$e # positivo es "= % /6 se puede escribir lo siguiente. v =‖v‖cos " i +‖v‖sen" j
%
%
6
6
¿ 3cos i + 3 sen j 3 3 3 ¿ √ i + j 2
2
plicaciones de los vectores Los vectores tienen muc*as aplicaciones en física e ingeniería. n e$emplo es la fuerza. n vector puede usarse para representar fuerza por%ue la fuerza tiene magnitud y direcci!n. i dos o más fuerzas están actuando sobre un ob$eto, entonces la $uerza resultante sobre el ob$eto es la suma vectorial de los vectores %ue representan las fuerzas. EJEMPLO 7 allar la $uerza resultante
Fos botes remolcadores están empu$ando un barco, como se muestra en la figura &&.&/. ada bote remolcador está e$erciendo una fuerza de 2HH libras. Juál es la fuerza resultante sobre el barcoK
uerza resultante sobre el barco e$ercida por los dos remolcadores &igura 11.12
)oluci!n sando la figura &&.&/, se pueden representar las fuerzas e$ercidas por el primer y segundo botes remolcadores como & 1= 400 ⟨ cos 20$,sen 20 $ ⟩ ¿ 400 cos 20 $ i+ 400 sen 20 $ j & 2 =400 ⟨ cos (−20 $ ) ,sen (−20 $ ) ⟩
¿ 400 cos 20 $ i−400 sen 20 $ j La fuerza resultante sobre el barco es & = & 1 + & 2 ¿ [ 400 cos 20 $i + 400 sen 20 $ j ] + [ 400 cos 20 $ i− 400 sen 20 $ j ] ¿ 800cos20 $i ' 752 i (or tanto, la fuerza resultante sobre el barco es apro;imadamente 96/ libras en la direcci!n del e$e # positivo. En levantamientos topográficos y en la navegaci!n, un rumbo es una dimensi!n %ue mide el ángulo agudo %ue una trayectoria o línea de mira forma con una recta fi$a norte
n avi!n via$a a una altura fi$a con un factor de viento despreciable, y mantiene una velocidad de 6HH millas por *ora con un rumbo de 00HM, como se muestra en la figura &&.&0N. uando alcanza cierto punto el avi!n encuentra un viento con una velocidad de 9H millas por *ora en direcci!n 26M AE "26M este del norte#, como se muestra en la figura &&.&0b. Juál son la velocidad y la direcci!n resultante del avi!nK
"a# Firecci!n sin viento
"b# Firecci!n con viento igura &&.&0
oluci!n: sando la figura &&.&0N, representar la velocidad del avi!n "solo# como v 1=500cos (120 $ ) i+ 500 sen ( 120 $ ) j
La velocidad del viento se representa por el vector v 2=70cos ( 45 $ ) i + 70 sen ( 45 $ ) j La velocidad del avi!n "en el viento# es v 1 + v 2=500cos ( 120 $ ) i + 500 sen ( 120 $ ) j + 70cos ( 45 $ ) i + 70 sen ( 45 $ ) j '− 200.5 i + 482.5 j
(ara encontrar la velocidad y la direcci!n resultante, escribir
v =‖v‖( cos " i + sen" j ) . omo
‖v‖= √ (−200.5 )2+ ( 482.5 )2 ' 522.5 , se puede escribir v ' 522.5
(
−200.5 522.5
i+
482.5 522.5
)
j ' 522.5 ( cos (112.6 $ ) i + sen (112.6 ) j ) .
La nueva velocidad del avi!n, alterada por el viento es apro;imadamente 6//.6 millas por *ora en una trayectoria %ue forma un ángulo de &&/.8M con el e$e # positivo.
E=ercicios 11.1
En los e$ercicios & a 2, a# dar el vector v mediante sus componentes y b# dibu$ar el vector con el punto inicial en el origen.
oluci!n:
oluci!n:
oluci!n:
oluci!n:
En los e$ercicio 6 a *allar los vectores u y v cuyos puntos inicial y final se dan. )ostrar %ue u y v son e%uivalentes
5. u : ( 3, 2 ) , ( 5, 6 ) v : ( 1, 4 ) , ( 3, 8 )
oluci!n:
6. u : ( −4, 0 ) , ( 1, 8 ) v : ( 2, −1 ) , ( 7,7 )
oluci!n:
7. u : ( 0, 3 ) , ( 6,−2 ) v : ( 3,10 ) , ( 9,5 )
oluci!n:
8. u : ( − 4,−1 ) , ( 11,−4 ) v : ( 10,13 ) , ( 25,10 )
oluci!n:
En los e$ercicios a &8, se dan los puntos inicial y final de un vector v. a# Fibu$ar el segmento de recta dirigido, b# e;presar el vector mediante sus componentes y c# dibu$ar el vector con su punto inicial en el origen. Punto inicial 9. ( 2,0 ) ( 5, 5 )
oluci!n:
punto final
10. ( 4,−6 ) ( 3, 6 )
oluci!n:
11. ( 8,3 ) ( 6, −1 )
oluci!n:
12. ( 0, −4 ) (−5,− 1 )
oluci!n:
13. ( 6, 2 ) ( 6,6 )
oluci!n:
14. ( 7, −1 ) (−3,−1 )
oluci!n:
15.
( )( ) 3 4
1
2 3
2
,
oluci!n:
,3
16. ( 0.12, 0.60) ( 0.84, 1.25)
oluci!n:
En los e=ercicios 17 19? diu=ar cada uno de los m8ltiplos escalares de v. 17. v = ⟨ 3,5 ⟩
a ¿ 2 v b ¿−3 v c ¿
oluci!n:
7 2
vd¿
2 3
v
18. v = ⟨−2, 3 ⟩ 1
a ¿ 4 v b ¿− v c ¿ 0 v d ¿−6 v 2
oluci!n:
En los e=ercicios 1< a 22? usar la $igura para representar gr"$icamente el vector.
19.−u
oluci!n:
20.2 u
oluci!n:
21. u − v
oluci!n:
22. u + 2 v
oluci!n:
En los e=ercicios 23 24? >allar 23. u =⟨ 4, 9 ⟩ v =⟨ 2,−5 ⟩
oluci!n:
a¿
2 3
u , b ¿ v −u y c ¿ 2 u + 5 v
24. u =⟨ −3, −8 ⟩ v =⟨ 8,25 ⟩
oluci!n:
En los e=ercicios 25 a 29? >allar el vector v donde geométricamente las operaciones vectoriales 3 25. v = u 2
oluci!n:
26. v =u + w
oluci!n:
27. v =u + 2 w
oluci!n:
u= ⟨ 2,−1 ⟩
w =⟨ 1, 2 ⟩ .
+lustrar
28. v =5 u −3 w
oluci!n:
En los e=ercicios 2< 3 se dan el vector v su punto inicial. allar el punto $inal. 2<. v =⟨−1,3 ⟩ punto inicial: "2, /# oluci!n:
3. v =⟨ 4,9 ⟩ punto inicial: "6, 0# oluci!n:
En los e=ercicios 31 a 36? encontrar la magnitud de v. 31. v =7 i
oluci!n: 32. v =3 i
oluci!n: 33. v = ⟨ 4, 3 ⟩
oluci!n: 34. v = ⟨ 12,−5 ⟩
oluci!n: 35. v =6 i −5 j
oluci!n: 36. v =−10 i + 3 j
oluci!n:
En los e=ercicios 37 a 4? >allar el vector unitario en la direcci!n de v veri$icar 'ue tiene longitud 1. 37. v = ⟨ 3,12 ⟩
oluci!n:
38. v = ⟨−5,15 ⟩
oluci!n:
39. v =
⟨ ⟩ 3 5
,
2 2
oluci!n:
40. v =⟨− 6.2,3.4 ⟩
oluci!n:
En los e=ercicios 41 a 44? >allar lo siguiente. a ¿‖u‖ b ¿‖v‖
c ¿‖u + v‖
‖ ‖
d¿
u ‖u‖
‖ ‖
e¿
( ¿
v ‖v‖
‖ ‖ u+ v ‖u + v‖
41. u= ⟨ 1,−1 ⟩ v = ⟨−1, 2 ⟩
oluci!n:
42. u= ⟨ 0, 1 ⟩ v =⟨ 3,− 3 ⟩
oluci!n:
⟨ ⟩ =⟨
43. u= 1,
oluci!n:
1 2
v
2,3 ⟩
44. u= ⟨ 2,− 4 ⟩ v = ⟨ 5,5 ⟩
oluci!n:
En los e=ercicios 45 46? representar gr"$icamente u? v u @ v. *espués demostrar la desigualdad del tri"ngulo usando los vectores u v. 45. u= ⟨ 2, 1 ⟩ v = ⟨ 5, 4 ⟩
oluci!n:
46. u= ⟨ −3,2 ⟩ v = ⟨ 1,−2 ⟩
oluci!n:
En los e=ercicios 47 a 5? >allar el vector v de la magnitud dada en la misma direcci!n 'ue u. Magnitud 47.‖v‖= 6 u= ⟨ 0,3 ⟩
oluci!n:
48.‖v‖= 4 u =⟨ 1, 1 ⟩
oluci!n:
49.‖v‖= 5 u =⟨ −1, 2 ⟩
oluci!n:
Dirección
50.‖v‖=2 u=
⟨ √ 3 , 3 ⟩
oluci!n:
En los e=ercicios 51 a 54? >allar las componentes de v dadas su magnitud el "ngulo 'ue $orma con el e=e # positivo. 51.‖v‖=3 "= 0 )
oluci!n:
52.‖v‖=5 "=120 )
oluci!n:
53.‖v‖=2 "=150 )
oluci!n:
54.‖v‖= 4 "=3.5 )
oluci!n:
En los e=ercicios 55 a 59? >allar las componentes de u @ v dadas las longitudes de u v los "ngulos 'ue u v $orman con el e=e x positivo. 55.‖u‖=1 " u=0 ) ,‖v‖=3 " v =45 )
oluci!n:
56.‖u‖=4 " u=0 ) ,‖v‖=2 "v =60 )
oluci!n:
57.‖u‖=2 " u= 4,‖v‖=1 " v =2
oluci!n:
58.‖u‖=5 "u=−0.5,‖v‖=5 " v =0.5
oluci!n:
*esarrollo de conceptos 5<. E;plicar, con sus propias palabras, la diferencia entre un escalar y un vector. Far e$emplos de cada uno. oluci!n:
6. Fescribir geométricamente las operaciones de suma de vectores y de multiplicaci!n de un vector por un escalar. oluci!n:
61. Cdentificar la cantidad como escalar o como vector. E;plicar el razonamiento. a# La velocidad en la boca de ca@!n de un arma de fuego. b# El precio de las acciones de una empresa.
oluci!n:
62. Cdentificar la cantidad como escalar o como vector. E;plicar el razonamiento. a# La temperatura del aire en un cuarto. b# El peso de un autom!vil. oluci!n:
En los e=ercicios 63 a 69? >allar a b tales 'ue v =a u +b w , donde u= ⟨ 1, 2 ⟩ y w =⟨ 1 , −1 ⟩ 63. v = ⟨ 2,1 ⟩
oluci!n:
64. v = ⟨ 0, 3 ⟩
oluci!n:
65. v = ⟨ 3, 0 ⟩
oluci!n:
66. v = ⟨ 3,3 ⟩
oluci!n:
67. v = ⟨ 1,1 ⟩
oluci!n:
68. v = ⟨−1, 7 ⟩
oluci!n:
En los e=ercicios 6< a 74? >allar un vector unitario aA paralelo bA normal a la gr"$ica de ( en el punto dado. *espués representar gr"$icamente los vectores la $unci!n. Función
Punto
69. ( ( # )= # ( 3,9 ) 2
oluci!n:
70. ( ( # ) =− #
oluci!n:
2
+ 5 (1, 4 )
71. ( ( # ) = # ( 1, 1 ) 3
oluci!n:
72. ( ( # ) = #
3
(−2, −8 )
oluci!n:
√
2
73. ( ( # ) = 25− # (3, 4 )
oluci!n:
74. ( ( # ) =tan # (
% 4
,1)
oluci!n:
En los e=ercicios 75 76? expresar v mediante sus componentes? dadas las magnitudes de u de u @ v los "ngulos 'ue u u @ v $orman con el e=e # positivo 75.‖u‖=1 " = 45 ) ,‖u + v‖=√ 2 " =90 )
oluci!n:
76.‖u‖=4 " =30 ) ,‖u + v‖=6 " =120 )
oluci!n:
77. Programación e dan las magnitudes de u y v y los ángulos %ue u y v forman con el e$e x
positivo. Escribir un programa para una *erramienta de graficaci!n %ue calcule lo siguiente. a# u + v b# ‖u + v‖ c # El ángulo %ue u + v forma con el e$e # positivo d # tilizar el programa para encontrar la magnitud y la direcci!n de la resultante de los vectores
indicados.
oluci!n:
ara discusi!n 79. Los puntos inicial y final del vector v son (3, – 4 ) y (9, 1) , respectivamente. a# Escribir v en forma de componentes. b# Escribir v como la combinaci!n lineal de los vectores unitarios estándar i y =. c # Fibu$ar v con su punto inicial en el origen. d # Encontrar la magnitud de v. oluci!n:
En los e=ercicios 7< 9? usar una >erramienta de gra$icaci!n para encontrar la magnitud la direcci!n de la resultante de los vectores.
oluci!n:
oluci!n:
91. Fuerza resu!an!e uerzas con magnitudes de 6HH libras y /HH libras act+an sobre una pieza de la má%uina a ángulos de 0HM y < 26M, respectivamente, con el e$e # "ver la figura#. 5allar la direcci!n y la magnitud de la fuerza resultante.
#i$ura para %
oluci!n:
92. "n#isis num$rico % gr#&ico uerzas con magnitudes de &H ne?tons y /96 ne?tons act+an sobre un ganc*o "ver la figura#. El ángulo entre las dos fuerzas es de " grados.
#i$ura para %& a# i
"=30 ) *allar la direcci!n y la magnitud de la fuerza resultante.
b# E;presar la magnitud
*
y la direcci!n de la fuerza resultante en funciones de donde
0 ) ≤ " ≤ 180 ) .
c # sar una *erramienta de graficaci!n para completar la tabla.
d # sar una *erramienta de graficaci!n para representar las dos funciones e# E;plicar por %ué una de las funciones disminuye cuando
*
y +.
" aumenta mientras %ue la otra no.
oluci!n:
93. Fuerza resu!an!e 'res fuerzas de magnitudes de 96 libras, &HH libras y &/6 libras act+an sobre un ob$eto a ángulos de 0HM, 26M y &/HM, respectivamente, con el e$e # positivo. 5allar la direcci!n y la magnitud de la fuerza resultante. oluci!n:
94. Fuerza resu!an!e 'res fuerzas de magnitudes de 2HH ne?tons, /H ne?tons y 06H ne?tons, act+an sobre un ob$eto a ángulos de <0HM, 26M y &06M, respectivamente, con el e$e # positivo. 5allar la direcci!n y la magnitud de la fuerza resultante. oluci!n:
95. Para 'ensar onsiderar dos fuerzas de la misma magnitud %ue act+an sobre un punto. a# i la magnitud de la resultante es la suma de las magnitudes de las dos fuerzas, *acer una con$etura acerca del ángulo entre las fuerzas. b# i la resultante de las fuerzas es , *acer una con$etura acerca del ángulo entre las fuerzas. c # J(uede ser la magnitud de la resultante mayor %ue la suma de las magnitudes de las dos fuerzasK E;plicar la respuesta. oluci!n:
96. (azonamien!o gr#&ico onsiderar dos fuerzas & 1= ⟨ 20,0 ⟩ y & 2 =10 ⟨ cos ",sen" ⟩ & + & a# 5allar ‖ 1 2‖ b# Feterminar la magnitud de la resultante como funci!n de
".
sar una *erramienta de
graficaci!n para representar la funci!n para 0 ≤" < 2 % . c # sar la gráfica en el inciso b# para determinar el rango de la funci!n. Juál es su má;imo y con %ué valor de " se obtieneK Juál es su mínimo y con %ué valor de " se obtieneK d # E;plicar por %ué la magnitud de la resultante nunca es
0.
oluci!n:
97. 'res de los vértices de un paralelogramo son posibilidades para el cuarto vértice "ver la figura#.
(1, 2) , ( 3, 1)
y
(8, 4 ) . 5allar las tres
oluci!n:
99. sar vectores para encontrar los puntos de trisecci!n del segmento de recta con puntos terminales ( 1, 2) y (7,5 ) . oluci!n:
)ensión *e un cabe En los e=ercicios 9< <? usar la $igura para determinar la tensi!n en cada
cale 'ue sostiene la carga dada.
oluci!n:
oluci!n:
<1. Mo+imien!o *e un 'ro%ec!i n arma con una velocidad en la boca de ca@!n de & /HH pies por segundo se dispara a un ángulo de 8M sobre la *orizontal. Encontrar las componentes *orizontal y vertical de la velocidad oluci!n:
<2. ,arga com'ar!i*a (ara llevar una pesa cilíndrica de &HH libras, dos traba$adores sostienen los e;tremos de unas sogas cortas atadas a un aro en el centro de la parte superior del cilindro. na soga forma un ángulo de /HM con la vertical y la otra forma un ángulo de 0HM "ver la figura#. a# 5allar la tensi!n de cada soga si la fuerza resultante es vertical. b# 5allar la componente vertical de la fuerza de cada traba$ador.
Figura para 92
oluci!n:
<3. -a+egación n avi!n vuela en direcci!n 0H/M. u velocidad con respecto al aire es de HH Oil!metros por *ora. El viento a la altitud del avi!n viene del suroeste a &HH Oil!metros por *ora "ver la figura#. Juál es la verdadera direcci!n del avi!n y cuál es su velocidad respecto al sueloK
Figura para 93
oluci!n:
<4. -a+egación n avi!n vuela a una velocidad constante de 2HH millas por *ora *acia el este, respecto al suelo, y se encuentra con un viento de 6H millas por *ora proveniente del noroeste. Encontrar la velocidad relativa al aire y el rumbo %ue permitirán al avi!n mantener su velocidad respecto al suelo y su direcci!n *acia el este. oluci!n:
/er*a*ero o &aso0 En los e=ercicios <5 a 1? determinar si la a$irmaci!n es verdadera o
$alsa. )i es $alsa? explicar por 'ué o dar un e=emplo 'ue demuestre 'ue es $alsa. <5. i u y v tienen la misma magnitud y direcci!n, entonces u y v son e%uivalentes.
oluci!n:
<6. i u es un vector unitario en la direcci!n de v, entonces v =‖v‖u. oluci!n:
2 2 <7. i u= ai + b j es un vector unitario, entonces a + b =1. oluci!n:
<9. i v =a i+ b j=0 entonces a =−b . oluci!n:
<<. i a =b entonces ‖a i + b j‖=√ 2 a . oluci!n:
1. i u y v tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas, entonces u + v =0 . oluci!n: 11. Femostrar %ue u= ( cos " ) i −( sen" ) j
y v =( sen" ) i +(cos ") j
son vectores unitarios para todo
ángulo " . oluci!n:
12. eome!ra sando vectores, demostrar %ue el segmento de recta %ue une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo y mide la mitad de longitud, del tercer lado. oluci!n:
13. eome!ra sando vectores, demostrar %ue las diagonales de un paralelogramo se cortan a la mitad. oluci!n:
14. Femostrar %ue el vector w =‖u‖v +‖v‖u corta a la mitad el ángulo entre u y v. oluci!n:
15. onsiderar el vector u= ⟨ # , y ⟩ . Fescribir el con$unto de todos los puntos ( # , y ) tales %ue ‖u‖=5. oluci!n:
reparaci!n del examen utman &H8. n arma de artillería de costa puede ser disparada a cual%uier ángulo de elevaci!n entre HM y HM en un plano vertical fi$o. i se desprecia la resistencia del aire y la velocidad en la boca del ca@!n
