UNIDAD II: ALGEBRA VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS SESIÓN 05: Vectores en R2 R!
2016-1
GEO"ETR#A ANAL#TICA Y ALGEBRA
1. Calcúlese gráfcamente lo siguiente: a) (3, -5) + (5, -3) b) (3, -5) – (2, 5) c) (1 , 1) + (-2 , 5) + (-3 , -2) ) (1 , 1) + (-2 , 1) + (1, -2)
e$
( cos 30
0
, sen30 0 )
+
(cos 450 , sen450 )
2. !i a = (3,0,5) , b = (2, −1, −3) , calcule el m"ulo e caa #ector: a) a b) b c) a +b ) a – b 3. e) 3a 1
g) -
2
$) -3(a-b)
V1
b
%. &) 3a -
b
i)
3i + 3 j − 2k
la
roecci"n
a
v2
b) Calcular la comonente e v1
b
erenicular a v2 . 1. 2/. Calcular el área el triángulo 4ue tiene sus #rtices en los untos 21. (-3,2,%)8 (2,1,*) 8 (%,2,). 22. 23. aos los #ectores
a
l) .
a+b
a
+
b
a
b
|a|
( a + b) |a + b|
etermnese
si
los
siguientes
ares e #ectores son ortogonales. a) (-1,3,-3) (3,3,2) b) (1,/,/) (/,1,/) c) (2,0,%) (/,/,/) ) (3,2,/) (1,-1,/) 0. . ncuntrese toos los #ectores ortogonales a: a) (3,) C) (2,-1) b)
a1
¿
,
a
2
a = (−1,1,1), b
→
25. !ean
) ) (3,-1)
a
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= (2,1,1)
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= (0,1,−1) .
b
os #ectores tales 4ue
→
→
a
a
→
=
9
a + →b . →a − →b = 17 . Calcular →
el m"ulo e
b
.
26. Sea u = 2i – 3j + 4k, v = – 2i – 3j + 5k, w = i – 7j + 3k y t = 3i + 4j + 5k.
27. 2.a) !a"cu"e u + v
es un #ector e longitu igual
c
a) 9ustifcar a , b , c son ortogonales os a os.
2%.
1/. 11. emustrese 4ue si a es un #ector istinto e cero, entonces a
=
b
5. )
1
3i − 2 j + 4k y V2
#ectorial e v1 sobre el #ector
a
2
(a + b)
*.
=
a) eterminar 1
')
a uno 4ue está en irecci"n e a . un #ector e longitu igual a la unia se llama #ector unitario. 12. 13. 1%. 6allar el área el triángulo sustentao or los #ectores #17(1,2,-1) #27(2,-1,/). 15. 1. 6allar el área el triángulo 4ue tiene or #rtices los untos (1,2,/), (1,1,1) (-2,/,1). 1*. 10. !ean los #ectores
29.#) !a"cu"e 2u – 3 v
30.c) !a"cu"e t + 3w – v 31.$) !a"cu"e 2u – 7w + 5v 32.k) !a"cu"e 33.") !a"cu"e
proy v u
proy w t
34.%) !a"cu"e e" &'(u"o e'te u y v, w y u, v y w. 35.
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36. !%&
!'& .0&
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UNIDAD II: ALGEBRA VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS !(& SESIÓN 05: Pro)*cto Vector+-
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./&
$) u
1. Calcule el roucto #ectorial e los #ectores %2.a) j × i b) i × j c) j × k ) i × k e)
=
(1,2,−1)
,
g)
u
=
i+ j v
&)
u
=
(1,3,1) v
,
,
=
j + k w = i + k
,
=
(0,6,6)
,
13. !e alica una $uer>a #ectorial e 5/ libras al e?tremo e una alanca e un ie e longitu unia a un e'e en el unto ;, como se muestra en la fgura a'unta. 5. Calcul e esta $uer>a
%%. n los e'ercicio 2 a %, 45. Calcule a) u × v b) v × u c) v × v 2. u = −2i + 4 j , v = 3i + 2 j + 5k v
3.
u
=
3i + 5k
%.
u
=
(3,−2,−2)
,
2i + 3 j − 2k
=
v
,
→
5.
,
w = (−4,0,−4)
43. $) k × i
(1,5,1)
= →
=
( 2,−3,4) v
w = (3,−1.2)
k × j
!i a
=
( −3,2,−1) , b
=
( 2,−4,2) ,
→
c
=
(1,−3,4) calcule
caa #ector: →
→
%.a) c× b →
→
b)
→
c) ( a − b ) × c →
→
→
→
1 4
→
b)
→
c× ( b + c )
)
→
→
( a× 2b) × ( c ×
→
→
→
→
resecto al unto ; cuano
%*. e) . ncuentre el área el aralelogramo eterminao or los untos: %0. a)(/,3,2)8(1,5,5) 8 (,,5)8(5,*,2) %. b)(2,-3,1)8(,5,-1) 8 (*,2,2)8(3,-,%) *. ncuentre el área el triángulo eterminao or los untos: 5/. a);(1,1,1)8<(2,3,%) =(3,/,-1) 51. b) ;(3,-1,2)8<(1,-1,-3) =(%,3,1) 52. c);(/,/,/)8<(1,/,3) =(-3,2,/) 53. ) ;(2,-3,%)8<(/,1,2) =(-1,2,/)
"oento& @n
n los e'ercicio 0 a 11, calcule
u.(v × w)
0.
u
=
i v
.
u
=
( 2,0,1) v
,
1/.
=
j w
,
,
u
=
=
=
,
k
(0,3,0) w = (0,0,1)
(1,1,1) v
,
=
( 2,0,0) w = (0,0,1)
,
u = (2,0,0) v = (1,1,1) w = (0,2,2) 11. , , 12. ncuentre el área el #olumen el araleleeo eterminao or los untos:
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60
50. 5. /. 1. 2. 3. %. 1%.
5%.
55.
=
5*.
→
a .( a× b ) $) b .( a× b )
θ
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niAo $rena en una bicicleta alicano una $uer>a irigia &acia aba'o e 2/ libras sobre el eal cuano la mani#ela $orma un ángulo e %/B con la &ori>ontal(#er fgura).a mani#ela tiene ulgaas e longitu. Calcule el momento resecto a ;. 5. . *. 0. . */. 15. O1t++c+3n *na $uer>a e 5 libras actúa sobre la lla#e inglesa mostraa en la fgura.
%/& a) Calcular la magnitu el momento resecto al origen O& *2. b) @se a) ara calcular la magnitu el momento cuano θ
=
45
73. 74. 75. 76. 77. 7. 79. 0. 1. 2. 3.
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