11.3 El producto escalar de dos vectores
Usar las propiedades del producto escalar de dos vectores. Hallar el ángulo entre dos vectores usando el producto escalar. Hallar los cosenos directores de un vector en el espacio. Hallar la proyección de un vector sobre otro vector. Usar los vectores para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante.
El producto escalar Hasta ahora se han estudiado dos operaciones con vectores —la suma de vectores y el producto de un vector por un escalar— cada una de las cuales da como resultado otro vector. En esta sección se presenta una tercera operación con vectores, llamada el producto escalar. Este producto da como resultado un escalar, y no un vector. DEFINICIÓN DE PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de
u= ⟨ u1 , u2 ⟩
y
v =⟨ v 1 , v 2 ⟩
es
u ∙ v=u1 v 1 +u2 v 2
El producto escalar de
u= ⟨ u1 , u2 ,u3 ⟩
y
v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩
es
u ∙ v=u1 v 1 +u2 v 2 +u3 v 3
NOTA El producto escalar de dos vectores recibe este nombre debido a que da como resultado un escalar; también se le llama producto interno de los dos vectores. EXPLORACIÓN Interpretación de un producto escalar En la figura se muestran varios vectores en el círculo unidad. Hallar los productos escalares de varios pares de vectores. Después encontrar el ángulo entre cada par usado. Hacer una conjetura sobre la relación entre el producto escalar de dos vectores y el ángulo entre los vectores.
TEOREMA 11.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR Sean u, v y w vectores en el plano o en el espacio y sea c un escalar. 1.u . v =v .u Propiedad conmutativa. 2.u . ( v + w )=u . v+u . w Propiedad distributiva. 3. c ( u . v )=c u . v 4. 0. v=0 2
5. v . v=‖v‖
DEMOSTRACIÓN Para demostrar la primera propiedad, sea Entonces u ∙ v=u1 v 1 +u2 v 2 +u3 v 3 ¿ v 1 u1+ v 2 u 2+ v 3 u 3 ¿ v ∙u
Para la quinta propiedad, sea v . v=v 21+ v 22 +v 23 2
¿ ( √ v21 + v 22+ v 23 )
v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩
Entonces
u= ⟨ u1 , u2 ,u3 ⟩
y
v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩
.
2
¿‖v‖
Se dejan las demostraciones de las otras propiedades al lector. EJEMPLO 1 Cálculo de productos escalares u= ⟨ 2,−2 ⟩ , v= ⟨ 5,8 ⟩
Dados
y w=⟨ −4,3 ⟩
encontrar
a ¿ u . v b ¿ (u . v ) w 2
c ¿u . ( 2 v ) d ¿‖w‖ Solución
a ¿ u . v= ⟨ 2,−2 ⟩ . ⟨ 5, 8 ⟩=( 2 ) ( 5 ) + (−2 )( 8 )=−6 b ¿ ( u . v ) w=−6 ⟨−4,3 ⟩= ⟨ 24,−18 ⟩ c ¿u . ( 2 v )=2 ( u . v )=2 (−6 )=−12 Teorema1.4 2
d ¿‖w‖ =w . w Teorema1.4 ¿ ⟨−4, 3 ⟩ . ⟨ −4,3 ⟩ Sustituir w por ⟨−4, 3 ⟩ ¿ (−4 )(−4 )+ ( 3 )( 3 ) Definicion de producto escalar . ¿ 25 Simplificar .
Observar que el resultado del inciso b) es una cantidad vectorial, mientras que los resultados de los otros tres incisos son cantidades escalares. Ángulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores distintos de cero es el ángulo
θ , 0 ≤θ ≤ π ,
entre sus respectivos
vectores en posición canónica o estándar, como se muestra en la figura 11.24. El siguiente teorema muestra cómo encontrar este ángulo usando el producto escalar. (Observar que el ángulo entre el vector cero y otro vector no está definido aquí.)
El ángulo entre dos vectores Figura 11.24 TEOREMA 11.5 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Si θ
es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, entonces u.v ‖u‖‖v‖
cos θ=
DEMOSTRACIÓN Considerar el triángulo determinado por los vectores u, v y
v −u
muestra en la figura 11.24. Por la ley de los cosenos, se puede escribir 2
2
2
‖v−u‖ =‖u‖ +‖v‖ −2‖u‖‖v‖ cos θ Usando las propiedades del producto escalar, el lado izquierdo puede reescribirse como
‖v−u‖2=( v −u ) . ( v−u ) ¿ ( v−u ) . v−( v −u ) .u ¿ v . v−u . v −v .u+u .u 2
2
¿‖v‖ −2 u . v +‖u‖
y sustituyendo en la ley de los cosenos se obtiene 2
2
2
2
‖v‖ −2 u . v +‖u‖ =‖u‖ +‖v‖ −2‖u‖‖v‖cos θ −2 u . v=−2‖u‖‖v‖cos θ
como se
u.v ‖u‖‖v‖
cos θ=
Si el ángulo entre dos vectores es conocido, reescribiendo el teorema 11.5 en la forma u . v=‖u‖‖v‖cos θ Forma alternativa del producto escalar . se obtiene una manera alternativa de calcular el producto escalar. De esta forma, se puede ver que como ‖u‖ y ‖v‖ siempre son positivos, u . v y cos θ siempre tendrán el mismo signo. La figura 11.25 muestra las orientaciones posibles de los dos vectores.
Figura 11.25 De acuerdo con el teorema 11.5, se puede ver que dos vectores distintos de cero forman un ángulo recto si y sólo si su producto escalar es cero; entonces se dice que los dos vectores son ortogonales. DEFINICIÓN DE VECTORES ORTOGONALES Los vectores u y v son ortogonales si
u . v=0
NOTA Los términos “perpendicular”, “ortogonal” y “normal” significan esencialmente lo mismo: formar ángulos rectos. Sin embargo, es común decir que dos vectores son ortogonales, dos rectas o planos son perpendiculares y que un vector es normal a una recta o plano dado. De esta definición se sigue que el vector cero es ortogonal a todo vector u, ya que 0. u=0. Si0 ≤θ ≤ π , entonces se sabe que cos θ=0 si y sólo si θ=π /2. Por tanto, se puede usar el teorema 11.5 para concluir que dos vectores distintos de cero son ortogonales si y sólo si el ángulo entre ellos es π / 2. EJEMPLO 2 Hallar el ángulo entre dos vectores Si
u= ⟨ 3,−1, 2 ⟩ , v =⟨−4, 0, 2 ⟩ , w=⟨ 1,−1,−2 ⟩
siguientes pares de vectores. a ¿ u y v b ¿u y w c ¿ v y z
y
z=⟨ 2,0,−1 ⟩
hallar el ángulo entre cada uno de los
Solución a ¿ cos θ=
Como
u.v −12+ 0+4 −8 −4 = = = ‖u‖‖v‖ √14 √20 2 √ 14 √ 5 √70
u . v <0 , θ=arccos
b ¿ cos θ=
−4 ≈ 2.069 √ 70
radianes.
u.w 3+1−4 0 = = =0 ‖u‖‖w‖ √ 14 √ 6 √ 84
Como u . w=0 ,u y w son ortogonales . Asì θ=π /2. c ¿ cos θ=
v.z −8+0−2 −10 = = =−1 ‖v‖‖z‖ √20 √ 5 √100
Por consiguiente,
θ=π
Observar que
v
y
z
son paralelos, con
v =−2 z .
Cosenos directores
Ángulos de dirección Figura 11.26 En el caso de un vector en el plano, se ha visto que es conveniente medir su dirección en términos del ángulo, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje x positivo hasta el vector. En el espacio es más conveniente medir la dirección en términos de los ángulos entre el vector v distinto de cero y los tres vectores unitarios i, j y k, como se muestra en la figura 11.26. Los ángulos α , β y γ son los ángulos de dirección de v, y cos α ,cos β y cos γ son los cosenos directores de v. Como v . i=‖v‖‖i‖cos α =‖v‖cos α Y
v . i=⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ . ⟨ 1, 0,0 ⟩=v 1
se sigue que
cos α =v 1 /‖v‖.
Mediante un razonamiento similar con los vectores unitarios j y k, se
tiene cos α =
v1 α es el àngulo entre v e i. ‖v‖
cos β=
v2 β es elàngulo entre v y j . ‖v‖
cos γ=
v3 γ es el àngulo entre v e k . ‖v‖
Por consiguiente, cualquier vector v distinto de cero en el espacio tiene la forma normalizada v v v v = 1 i+ 2 j+ 3 k=cos α i+ cos β j+ cos γ k ‖v‖ ‖v‖ ‖v‖ ‖v‖ v ‖v‖
y como
es un vector unitario, se sigue que
co s2 α + co s 2 β +co s 2 γ =1 EJEMPLO 3 Cálculo de los ángulos de dirección Hallar los cosenos y los ángulos directores del vector
v =2i+3 j+ 4 k ,
y mostrar que
co s2 α + co s 2 β +co s 2 γ =1 2 2 2 Solución Como ‖v‖= √2 +3 +4 =√ 29 ,
se puede escribir lo siguiente.
cos α =
v1 2 = ⇒α ≈ 68.2 º ànguloentre v e i . ‖v‖ √29
cos β=
v2 3 = ⇒ β ≈56.1 ª ànguloentre v y j . ‖v‖ √ 29
cos γ=
v3 4 = ⇒ γ ≈ 42.0 º ànguloentre v e k . ‖v‖ √ 29
Además, la suma de los cuadrados de los cosenos directores es co s2 α + co s 2 β +co s 2 γ =
¿
4 9 16 + + 29 29 29
29 =1 29
Ver figura 11.27.
Ángulos de dirección de Figura 11.27 Proyecciones y componentes vectoriales Ya se han visto aplicaciones en las que se suman dos vectores para obtener un vector resultante. Muchas aplicaciones en la física o en la ingeniería plantean el problema inverso: descomponer un vector dado en la suma de dos componentes vectoriales. El ejemplo físico siguiente permitirá comprender la utilidad de este procedimiento.
La fuerza debida a la gravedad empuja la lancha contra la rampa y hacia abajo por la rampa Figura 11.28 Considerar una lancha sobre una rampa inclinada, como se muestra en la figura 11.28. La fuerza F debida a la gravedad empuja la lancha hacia abajo de la rampa y contra la rampa. Estas dos fuerzas, w1 w2 y son ortogonales; se les llama las componentes vectoriales de F. F=w1 + w2 Componentes vectoriales de F . Las fuerzas w1
w1
y
w2
ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lancha. Por ejemplo,
representa la fuerza necesaria para impedir que la lancha se deslice hacia abajo por la rampa, w2
mientras que
representa la fuerza que deben soportar los neumáticos.
DEFINICIÓN DE PROYECCIÓN Y DE LAS COMPONENTES VECTORIALES Sean u y v vectores distintos de cero. Sea ortogonal a 1. A
w1
v
se le llama la proyección de
w 2=u−w1
donde
w1
es paralelo a
v
y
w2
es
como se muestra en la figura 11.29.
v, y se denota por 2. A
u=w1 +w 2
w 1=proy v u
u
en
v
o la componente vectorial de u a lo largo de
.
se le llama la componente vectorial de u ortogonal a v.
w 1=proy v u=la proyección de u en v=componente vectorial de u en dirección de v w 2=componente vectorial de u ortogonal a v . Figura 11.29 EJEMPLO 4 Hallar la componente vectorial de u ortogonal a v Encontrar la componente del vector de w 1=proy v u= ⟨ 8, 6 ⟩
u= ⟨ 5,10 ⟩
v =⟨ 4,3 ⟩
que es ortogonal a
dado que
y
u= ⟨ 5,10 ⟩=w1 +w 2
u=w1 +w 2 Figura 11.30 Solución Como
u=w1 +w 2
donde
w1
es paralelo a v se sigue que
vectorial de u ortogonal a v. Por tanto, se tiene w 2=u−w2 ¿ ⟨ 5, 10 ⟩ −⟨ 8,6 ⟩ ¿ ⟨−3, 4 ⟩
w2
es la componente
Verificar que
w2
es ortogonal a v, como se muestra en la figura 11.30.
Del ejemplo 4, se puede ver que es fácil encontrar la componente vectorial hallado la proyección
w1
w2
una vez que se ha
de u en v. Para encontrar esta proyección, se usa el producto escalar
como establece el teorema siguiente, el cual se demuestra en el ejercicio 92 NOTA Ver la diferencia entre los términos “componente” y “componente vectorial”. Por ejemplo, u=u 1 i+u2 j , u1 usando los vectores unitarios canónicos o estándar con es la componente de u
en la dirección de
i
y
u1 i
es la componente vectorial de u en la dirección
i .
TEOREMA 11.6 PROYECCIÓN UTILIZANDO EL PRODUCTO ESCALAR Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada por proyv u=
u. v v. 2 ‖v‖
( )
La proyección de u en v puede expresarse como un múltiplo escalar de un vector unitario en dirección de v. Es decir, u.v
u.v
v v u.v =( k ) ⇒ k= =‖u‖cos θ ‖v‖ ‖v‖ ‖v‖ ‖v‖
(‖ ‖ ) ( ) v
2
v=
2
Al escalar k se le llama la componente de u en la dirección de v. EJEMPLO 5 Descomposición de un vector en componentes vectoriales Hallar la proyección de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v de los vectores u=3 i−5 j+ 2k y v =7 i+ j−2 k mostrados en la figura 11.31.
Figura 11.31 Solución La proyección de u en v es
u.v 12 14 2 4 v= 7 i+ j−2 k= i + j− k 2 54 9 9 9 v
(‖ ‖ ) ( )
w 1=
La componente vectorial de u ortogonal a v es el vector
( 149 i+ 29 j− 49 k)= 139 i− 479 j+ 229 k
w 2=u−w2=( 3 i−5 j+2 k )−
EJEMPLO 6 Cálculo de una fuerza Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en la figura 11.32. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la rampa?
Figura 11.32 Solución Como la fuerza debida a la gravedad es vertical y hacia abajo, se puede representar la fuerza de la gravedad mediante el vector F=−600 j Para encontrar la fuerza requerida para impedir que la lancha resbale por la rampa, se proyecta F en un vector unitario v en la dirección de la rampa, como sigue. 3 1 30 º i+ sen 30º j=¿ √ i + j Vector unitario en ladirección de la rampa . 2 2 v=cos ¿ Por tanto, la proyección de F en v está dada por w 1=proy v F=
F.v
(‖ ‖ ) v
2
v =( F . v ) v=(−600 )
( 12 ) v =−300 ( √23 i+ 12 j)
La magnitud de esta fuerza es 300, y por consiguiente se requiere una fuerza de 300 libras para impedir que la lancha resbale por la rampa. Trabajo
a) La fuerza actúa a lo largo de la recta de movimiento
b) La fuerza actúa formando un ángulo
θ
con la recta de movimiento
Figura 11.33 El trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa a lo largo de la recta de movimiento de un objeto está dado por W = ( magnitud de fuerza )( distancia )=‖F‖‖⃗ PQ‖ como se muestra en la figura 11.33a. Si la fuerza constante F no está dirigida a lo largo de la recta de movimiento, se puede ver en la figura 11.33b que el trabajo realizado W por la fuerza es ⃗ ⃗ ⃗ W =‖ proy⃗ PQ F ‖‖PQ‖= ( cos θ ) ‖F‖‖PQ‖=F . PQ Esta noción de trabajo se resume en la definición siguiente. DEFINICIÓN DE TRABAJO El trabajo W realizado por una fuerza constante F a medida que su punto de aplicación se mueve a ⃗ lo largo del vector PQ está dado por las siguientes expresiones. ⃗ 1.W =‖ proy⃗ PQ F‖‖PQ‖ En forma de proyección . 2.W =F . ⃗ PQ En forma de producto escalar .
EJEMPLO 7 Cálculo de trabajo Para cerrar una puerta corrediza, una persona tira de una cuerda con una fuerza constante de 50 libras y un ángulo constante de 60°, como se muestra en la figura 11.34. Hallar el trabajo realizado al mover la puerta 12 pies hacia la posición en que queda cerrada.
Figura 11.34 Solución Usando una proyección, se puede calcular el trabajo como sigue. ⃗ W =‖ proy⃗ PQ F ‖‖PQ‖ En forma de proyección . ¿ cos( 60º )‖F‖‖⃗ PQ‖ 1 ¿ (50)(12) 2 ¿ 300libras− pie
11.3 Ejercicios En los ejercicios 1 a 8, hallar 1.u=⟨ 3, 4 ⟩ , v=⟨ −1, 5 ⟩ Solución:
2.u=⟨ 4, 10 ⟩ , v =⟨−2,3 ⟩ Solución:
2
a ¿ u . v ,b ¿ u . u , c ¿‖u‖ , d ¿ ( u . v ) v y e ¿ u . ( 2 v ) .
3.u=⟨ 6,−4 ⟩ , v=⟨−3, 2 ⟩ Solución:
4. u= ⟨−4, 8 ⟩ , v=⟨ 7, 5 ⟩ Solución:
5.u=⟨ 2,−3, 4 ⟩ , v= ⟨ 0, 6,5 ⟩ Solución:
6.u=i , v=i Solución:
7.u=2 i− j+k , v=i−k
Solución:
8. u=2 i+ j−2 k , v =3 i−3 j+2 k Solución:
En los ejercicios 9 y 10, calcular
u.v
9. ‖u‖=8,‖v‖=5, y el ángulo entre u y v es π /3. Solución:
10. ‖u‖=40,‖v‖=25, y el ángulo entre u y v es 5 π /6. Solución:
En los ejercicios 11 a 18, calcular el ángulo 11. u= ⟨ 1,1 ⟩ , v= ⟨ 2,−2 ⟩ Solución:
12.u=⟨ 3, 1 ⟩ , v=⟨ 2,−1 ⟩ Solución:
13.u=3 i+ j , v=−2i+ 4 j Solución:
θ
entre los vectores.
14.u=cos
( π6 )i+sen ( π6 ) j , v=cos ( 34π ) i+sen ( 34π ) j
Solución:
15.u=⟨ 1, 1, 1 ⟩ , v= ⟨ 2,1,−1 ⟩ Solución:
16.u=3 i+ 2 j+ k , v=2 i−3 j Solución:
17.u=3 i+ 4 j, v=−2 j+3 k
Solución:
18.u=2 i−3 j+k , v =i−2 j+k
Solución:
En los ejercicios 19 a 26, determinar si u y v son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas 19.u=⟨ 4, 0 ⟩ , v =⟨ 1,−1 ⟩ Solución:
20.u=⟨ 2,18 ⟩ , v=
⟨
3 1 ,− 2 6
⟩
Solución:
21.u=⟨ 4, 3 ⟩ , v =
⟨
1 2 ,− 2 3
⟩
Solución:
22.u=
−1 (i−2 j ) , v=2i−4 j 3
Solución:
23.u= j+6 k , v=i−2 j−k
Solución:
24.u=−2i+3 j−k , v=2i+ j−k
Solución:
25.u=⟨ 2,−3, 1 ⟩ , v= ⟨−1,−1,−1 ⟩ Solución:
26.u=⟨ cos θ , sen θ ,−1 ⟩ , v= ⟨ sen θ ,−cos θ , 0 ⟩ Solución:
En los ejercicios 27 a 30, se dan los vértices de un triángulo. Determinar si el triángulo es un triángulo agudo, un triángulo obtuso o un triángulo recto. Explicar el razonamiento. 27. (1, 2, 0 ) , ( 0,0,0 ) ,(−2, 1,0)
Solución:
28. (−3, 0, 0 ) , ( 0,0, 0 ) ,(1, 2,3) Solución:
29. (2, 0, 1 ) , ( 0,1, 2 ) ,(−0.5,1.5, 0)
Solución:
30. ( 2,−7,3 ) , (−1,5,8 ) ,(4, 6,−1) Solución:
En los ejercicios 31 a 34, encontrar los cosenos directores de u y demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es 1. 31.u=i+2 j+2 k
Solución:
32.u=5 i+ 3 j−k Solución:
33.u=⟨ 0,6,−4 ⟩ Solución:
34.u=⟨ a , b , c ⟩ Solución:
En los ejercicios 35 a 38, encontrar los ángulos de dirección del vector. 35.u=3 i+ 2 j−2 k
Solución:
36.u=−4 i+3 j+5 k Solución:
37.u=⟨ −1, 5,2 ⟩ Solución:
38.u=⟨ −2, 6,1 ⟩ Solución:
En los ejercicios 39 y 40, usar una herramienta de graficación para encontrar la magnitud y F1 F2 los ángulos de dirección de la resultante de las fuerzas y con puntos iniciales en el origen. Se dan la magnitud y el punto final de cada vector. Vector 39. F 1 50 lb (10,5, 3) F2 80 lb( 12,7,−5) Solución:
40. F1 300 lb(−20,−10, 5) F2 100 lb(5, 15, 0) Solución:
Magnitud
Punto final
41. Cables que soportan una carga Una carga es soportada por tres cables, como se muestra en la figura. Calcular los ángulos de dirección del cable de soporte OA.
Solución:
42. Cables que soportan una carga La tensión en el cable OA del ejercicio 41 es 200 newtons. Determinar el peso de la carga. Solución:
En los ejercicios 43 a 50, a) encontrar la proyección de u sobre v componente del vector de u ortogonal a v. 43. u= ⟨ 6, 7 ⟩ , v =⟨ 1, 4 ⟩ Solución:
44. u= ⟨ 9, 7 ⟩ , v=⟨ 1, 3 ⟩ Solución:
45. u=2i +3 j , v=5 i + j Solución:
46. u=2i−3 j , v =3 i+2 j Solución:
y b) encontrar la
47. u= ⟨ 0, 3,3 ⟩ , v= ⟨−1, 1, 1 ⟩ Solución:
48. u= ⟨ 8, 2, 0 ⟩ , v= ⟨ 2, 1,−1 ⟩ Solución:
49. u=2i+ j+2 k , v =3 j+4 k
Solución:
50.u=i+ 4 k , v=3 i+2 k
Solución:
Desarrollo de conceptos 51. Definir el producto escalar de los vectores u y v.
Solución: 52. Dar la definición de vectores ortogonales. Si los vectores no son paralelos ni ortogonales, ¿cómo se encuentra el ángulo entre ellos? Explicar. Solución:
53. Determinar cuál de las siguientes expresiones están definidas para vectores distintos de cero u, v y w. Explicar el razonamiento. a ¿ u . ( v +w ) b ¿ (u . v ) w c ¿u . v + w
d ¿‖u‖.( v +w) Solución:
54. Describir los cosenos directores y los ángulos de dirección de un vector v. Solución:
55. Dar una descripción geométrica de la proyección de u en v. Solución:
56. ¿Qué puede decirse sobre los vectores u y v si a) la proyección de u en v es igual a u y b) la proyección de u en v es igual a 0? Solución:
57. ¿Si la proyección de u en v tiene la misma magnitud que la proyección de v en u, ¿se puede concluir que ‖u‖=‖v‖ ? Explicar. Solución:
Para discusión 58. ¿Qué se sabe acerca de
θ,
el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, si
a ¿ u . v=0 ? b ¿ u . v >0 ?
c ¿u . v < 0 ? Solución:
59. Ingresos El vector
u= ⟨ 3 240,1 450, 2 235 ⟩
da el número de hamburguesas, bocadillos de pollo y
hamburguesas con queso, respectivamente, vendidos en una semana en un restaurante de comida rápida. El vector v =⟨ 1.35, 2.65,1.85 ⟩ da los precios (en dólares) por unidad de los tres artículos alimenticios. Encontrar el producto escalar u · v y explicar qué información proporciona. Solución:
60. Ingresos Repita el ejercicio 59 después de incrementar los precios 4%. Identificar la operación vectorial usada para incrementar los precios 4%. Solución:
61. Programación Dados los vectores u y v mediante sus componentes, escribir un programa para una herramienta de graficación que calcule a ¿‖u‖ , b ¿‖v‖ y c ¿ ángulo entre u y v. Solución:
62. Programación Con el programa escrito en el ejercicio 61 encontrar el ángulo entre los vectores u= ⟨ 8,−4, 2 ⟩ y v= ⟨ 2,5, 2 ⟩ . Solución:
63. Programación Dados los vectores u y v mediante sus componentes, escribir un programa para herramienta de graficación que calcule las componentes de la proyección de u en v.
64. Programación Usar el programa escrito en el ejercicio 63 para encontrar la proyección de u en v si u= ⟨ 5, 6,2 ⟩ y v =⟨−1,3, 4 ⟩ . Solución:
Para pensar En los ejercicios 65 y 66, usar la figura para determinar mentalmente la proyección de u en v (se dan las coordenadas de los puntos finales de los vectores en la posición estándar). Verificar los resultados analíticamente.
Solución:
Solución:
En los ejercicios 67 a 70, encontrar dos vectores en direcciones opuestas que sean ortogonales al vector u. (Las respuestas no son únicas.) 67.u=
−1 3 i+ j 4 2
Solución:
68.u=9 i−4 j Solución:
69 .u=⟨ 3, 1,−2 ⟩ Solución:
70 .u=⟨ 4,−3, 6 ⟩ Solución:
71. Fuerza de frenado Un camión de 48 000 libras está estacionado sobre una pendiente de 10° (ver la figura). Si se supone que la única fuerza a vencer es la de la gravedad, hallar a) la fuerza requerida para evitar que el camión ruede cuesta abajo y b) la fuerza perpendicular a la pendiente.
Figura para 71 Solución:
72. Cables que soportan una carga Calcular la magnitud de la proyección del cable OA en el eje z positivo como se muestra en la figura.
Figura para 72 Solución:
73. Trabajo Un objeto es jalado 10 pies por el suelo, usando una fuerza de 85 libras. La dirección de la fuerza es 60° sobre la horizontal (ver la figura). Calcular el trabajo realizado.
Figura para 73 Solución:
74. Trabajo Un coche de juguete se jala ejerciendo una fuerza de 25 libras sobre una manivela que forma un ángulo de 20° con la horizontal (ver la figura). Calcular el trabajo realizado al jalar el coche 50 pies.
Figura para 74 Solución:
75. Trabajo Un carro se remolca usando una fuerza de 1 600 newtons. La cadena que se usa para jalar el carro forma un ángulo de 25° con la horizontal. Encontrar el trabajo que se realiza al remolcar el carro 2 kilómetros. Solución: 76. Trabajo Se tira de un trineo ejerciendo una fuerza de 100 newtons en una cuerda que hace un ángulo de 25° con la horizontal. Encontrar el trabajo efectuado al jalar el trineo 40 metros. Solución:
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 77 y 78, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 77. Si u . v=u . w y u ≠0 ,
entonces
v =w .
Solución:
78. Si u y v son ortogonales a w, entonces u+ v
es ortogonal a w.
Solución:
79. Encontrar el ángulo entre la diagonal de un cubo y una de sus aristas. Solución:
80. Encontrar el ángulo entre la diagonal de un cubo y la diagonal de uno de sus lados. Solución:
En los ejercicios 81 a 84, a) encontrar todos los puntos de intersección de las gráficas de las dos ecuaciones; b) encontrar los vectores unitarios tangentes a cada curva en los puntos de intersección y c) hallar los ángulos ( 0 ° ≤ θ ≤ 90° ¿ entre las curvas en sus puntos de intersección. 81 . y =x2 , y=x 1/ 3 Solución:
82 . y =x3 , y=x 1/ 3 Solución:
2
2
83 . y=1−x , y =x −1 Solución:
84 . ( y +1 )2=x , y =x3 −1 Solución:
85. Usar vectores para demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares. Solución:
86. Usar vectores para demostrar que un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diagonales son iguales en longitud. Solución:
87. Ángulo de enlace Considerar un tetraedro regular con los vértices donde k
es un número real positivo.
( 0, 0,0 ) , (k , 0, k)
y (0, k , k )
a) Dibujar la gráfica del tetraedro. b) Hallar la longitud de cada arista. c) Hallar el ángulo entre cada dos aristas. d) Hallar el ángulo entre los segmentos de recta desde el centroide vértices. Éste es el ángulo de enlace en una molécula como
CH 4
o
(k /2, k /2, k /2) PbCl4
a dos de los
cuya estructura es un
tetraedro. Solución:
88. Considerar los vectores
u= ⟨ cos α , sen α ,0 ⟩
y
u= ⟨ cos β , sen β , 0 ⟩
donde
producto escalar de los vectores y usar el resultado para demostrar la identidad cos ( α −β )=cos α cos β + sen αsen β . Solución:
89. Demostrar que Solución:
2
2
2
‖u−v‖ =‖u‖ +‖v‖ −2 u . v
α > β . Calcular el
90. Demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz
|u . v|≤‖u‖‖v‖ Solución:
91. Demostrar la desigualdad del triángulo Solución:
92. Demostrar el teorema 11.6. Solución:
‖u+ v‖≤‖u‖+‖v‖
