SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL ESPACIO: Un sist sistem emaa cart cartes esia iano no trid tridim imen ensi sion onal al está está comp compue uest stoo por por tres tres plan planos os perpendicul perpendiculares ares entre sí, los cuales cuales se interceptan interceptan en los ejes coordenados coordenados,, los que se denominan ejes Ox, Oy y Oz.
Las coordenadas del punto E de la figura son (x,y,z). La distancia signada x se llama abscisa, y se llama ordenada y z se llama cota. Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura:
Ejemplo: El cubo de la figura tiene una arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P?
En la figura, se cumple que x = 0; y = 8 y z = 8, por lo tanto, sus coordenadas son (0,8,8).
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL ESPACIO: Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacio y un grupo de ordenadas de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes x e y: el eje z . Resultando una única ecuación lineal del tipo: a x + b y + c z = 0
Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante
ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como intersección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representada como:
Si bien, por el momento se ha trabajado únicamente con dos variables, el incluir una variable más ( z ), implica la ampliación del sistema de coordenadas y el establecimiento
de
ciertas
reglas
para
la
graficación
tridimensional.
El sistema tridimensional de coordenadas rectangulares se forma a partir de tres ejes perpendiculares entre sí, de manera que existe un eje que se proyecta hacia delante, es decir, que se "sale" del papel. Al igual que en el dibujo tridimensional, los ejes se pueden trazar como una vista en isométrico o axonométrico.
Para la representación de puntos y elementos dentro de un sistema coordenado tridimensional se requiere una unidad o escala. Si la representación se hace en un sistema isométrico, las unidades tendrán la misma longitud en los tres ejes, sin embargo, cuando
se utilice el sistema axonométrico se recomienda entonces que la unidad que representa el eje "x", es decir, la que se "proyecta" hacia el observador, debe tener aproximadamente 0.7 unidades de longitud. PUNTO DE DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN EL ESPACIO: Para dividir el segmento AB en partes proporcionales a otros varios m, n, p; procedemos del siguiente modo: Llevamos estos segmentos consecutivamente sobre una semirrecta concurrente con el segmento dado AB en uno de sus extremos A, y uniendo el extremo P de la suma m+n+p, así construida, con el extremo B del segmento, las paralelas a PB por los puntos de división M y N determinan en el segmento AB los segmentos x, y, z proporcionales a m, n, p.
COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO:
ANGULO FORMADO POR 2 RECTAS DIRIGIDAS EN EL ESPACIO:
Dos rectas son perpend icula res si vector es direct ores son ortogon ales. EL PLANO: ECUACIÓN GENERAL Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones paramétricas del plano
Ecuación general o implícita del plano
Ecuación canónica o segmentaria del plano
ECUACIÓN PARA QUE 4 PUNTOS SEAN COPLANARIOS: La ecuación viene dada por la determinante de la matriz 4x4 formada por las coordenadas en sus tres primeras columnas y 1 en la cuarta columna debe ser nulo.
Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2. Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios. RECTA EN EL ESPACIO: Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones continuas de la recta
Ecuaciones implícitas de la recta
ECUACIONES DE LA RECTA Y ÁNGULO, ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO. Áng ul o ent re recta y pla no :
Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.
Ejercicios de la recta en el espacio 1 . Dados los puntos A(2, 6, −3) y B(3, 3, −2), hallar los puntos de la recta AB que tienen
al menos una coordenada nula.
2 . Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, −1, 0) y corta a las rectas:
La recta pedida es la intersección de los dos planos que pasan por A y contienen a las rectas r y s. Plano que contiene a A y r.
Plano que contiene a A y s.
La recta perdida es:
3 . Hallar
la e c u a c i ón d e l a r e c t a que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva la dirección
del vector
.
4 . Hallar una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos: x − 3y + z = 0 y
2x − y + 3z − 5 = 0, y pasa por el punto (2, −1, 5). El vector director de la recta es perpendicular a los vectores normales de cada plano.
Ejercicios del plano: 1.
Hallar las ecuaciones de los ejes coordenados y de los planos coordenados .
2 . Hallar la ecuación del plano
que contiene a las rectas:
3 . Hallar la ecuación del plano
que contiene al punto A(2, 5, 1) y a la recta de
ecuación:
4 . Hallar las coordenadas del punto común al plano x + 2y − z − 2 = 0 y a la recta
determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector
.
5 . Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(2, 0, 0), B(0, 4, 0) y
C(0, 0, 7).
6 . Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a los semiejes coordenados positivos en
los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de π.
Como el triángulo es equilátero, los tres segmentos son iguales.
7 . Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1, 1, 1) y es paralelo a:
8. Hallar la cual del plano que contiene a la recta
la recta
.
El punto A(2, 2, 4) y el vector está contenida en el plano. El vector
y es paralelo a
pertenecen al plano, ya que la primera recta
es un vector del plano, por ser paralelo a la recta.
9 . Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:
y que pasa por el punto (1, 1, 2).
