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FÍSICA PARA TODOS
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
VECTORES EN TRES DIMENSIONES
Los vectores pueden expresarse en función de coordenadas, de la siguiente manera:
SUMA DE VECTORES r
Si se tiene: A = (a1 ; b1; c1 ) B = (a2 ; b2 ; c2 )
r
A = ( a; b; c ) r
r
r
r
o de otra forma: A = a i + b j + c k donde: i , j , k , son vectores denominados, vectores unitarios que indican la dirección de los ejes “x”, “y”, “z” respectivamente. z c r
r
r
Entonces: A + B = (a1 + a2 ; b1 + b2 ; c1 + c2 )
r
r
Ejemplo: calcular el módulo del vector resultante de los siguientes vectores: r
A = ( 2; 1; − 2) r
B = (1; − 3; 1) r
C = (−1; 1; − 1)
→
A
θ
La resultante de estos vectores es: r
α
y
β
b x
a
r
r
r
R = A + B + C r
R = (2 + 1 − 1; 1 − 3 + 1; − 2 + 1 − 1) r
R = (2; − 1; − 2) r
r
El módulo del vector A es igual: A = a 2
2
+b +c
2
Ejemplo: El módulo del vector: r
r
A = i
r
r
RESTA DE VECTORES
r
2 j + 2k r
+
r
También se expresa: R = 2 i − j − 2k El módulo de la resultante es: 2 2 2 R = ( 2) + ( −1) + ( −2) = 9 R = 3
r
Es igual a: A = 12 + 2 2 + 2 2 → A = 3
Si se tiene: A = (a1 ; b1; c1 ) B = (a2 ; b2 ; c2 )
COSENOS DIRECTORES:
Entonces: A − B = (a1 − a2 ; b1 − b2 ; c1 − c2 )
r
r
cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1
r
r
r
Ejemplo: Calcular: A − B r
cos α = cos β =
cosθ =
a A b A c
A
→
a = A cos α
→
b = A cosβ
→
Si se tiene: A = (4; − 8; 6) B = (1; 4; 2) r
c = A cosθ
La resta de los vectores es: A − B = ( 4 − 1; − 8 − 4; 6 − 2) A − B = (3; − 12; 4) También se expresa: A − B = 3 i − 12 j + 4k El módulo del vector resta es: A − B = (3) 2 + (−12) 2 + (4) 2 r
r
r
r
r
r
α: ángulo que forma el vector A
con el eje x β: ángulo que forma el vector A con el eje y θ: ángulo que forma el vector A con el eje z
r
r
r
r
r
r
A − B r
r
A − B
=
169
=13
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r
r
r
r
2
FÍSICA PARA TODOS
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
PRODUCTO DE VECTORES r
r
r
Producto escalar ( A ⋅ B ) Al multiplicar escalarmente dos vectores, se obtiene como resultado “un número”. Dicho número se obtiene multiplicando los módulos de los vectores y por el coseno del ángulo que forman dichos vectores.
r
Producto vectorial ( A × B ) Al multiplicar vectorialmente dos vectores se obtiene como resultado a otro vector. El módulo de ese vector es igual al producto de los módulos de los vectores a multiplicar y por seno del ángulo que forman entre sí.
→
r
B
r
A × B = A B senθ
La dirección de dicho vector es perpendicular al plano que contiene a los vectores A y B
θ
r
→
A A ⋅ B = A B cos θ r
r
→ →
A×B
r
→
B
r
Ejemplo: Si los módulos de los vectores A y r
B son A= 12, B=6 y el ángulo que forman dichos vectores es 60º. Calcular el producto escalar de ellos. r
r
r
r
A ⋅ B = A B cos θ A ⋅ B
→
A
r
r
Si los vectores A y B son dados de la siguiente forma: A = (1; 2; 3) y B = (4; 5; 6) Su productor vectorial se determina así:
= (12)(6) cos60º r
2
r
= (72)(0,5) → A ⋅ B = 36
r
Ejemplo: Si se tiene los vectores:
r
r
A = (1; 2; − 2)
i 1 4
r
B = (3; − 1; 2)
→ →
r
A×B=
r
Calcular el producto escalar A ⋅ B r
j 2 5
k 3 6
r
= (1)(3) + (2)(-1) + (-2)(2) A ⋅ B = 3 -1 -4 A ⋅ B r
r
r
r
r
(1 × 6 − 4 × 3) j + (1 × 5 − 4 × 2)k r
−
r
A ⋅ B = −2
r
r
A× B = (12 − 15)i
Caso particular: Cuando dos vectores son
perpendiculares entre sí, el producto escalar de ellos es “CERO” A ⋅ B = 0 r
r
r
r
A = ( a; 2; − 2) y B = (3; − 1; a) r
r
Si son perpendiculares, se cumple: A ⋅ B Osea: (a)(3) + (2)(-1) + (-2)(a) = 0 3a – 2 – 2a = 0 → a = 2
r
r
r
3i
r
A × B
=−
r
6 j − 3k r
+
=
0
r
(6 − 12) j + (5 − 8)k r
−
Si se desea calcular el módulo del producto vectorial se procede a efectuar así:
r
Ejemplo: Si los los vectores A y B son perpendiculares entre si, hallar el valor de “a” r
r
A × B = ( 2 × 6 − 5 × 3)i
r
r
r
A × B r
r
r
( −3) 2 + (6) 2 + (3) 2
=
9 + 36 + 9 = 54
r
A× B r
A× B
r
6 j − 3k r
+
=
r
A× B r
3i
= −
=
3 6
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FÍSICA PARA TODOS
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
¿Cómo se determina el vector unitario de un vector?
PROBLEMAS PROPUESTOS r
r
El vector unitario de cualquier vector A
1. Calcular la resultante ( R) de los siguientes 3 vectores: A = 2i + j − 3k B = i + 3 j + 2k C = −4i − j + 2k A) R = i + 3 j + 3k B) R = −i + 3 j + k C) R = −i + 3 j − k D) R = i + 3 j + k E) R = −i + 5 j + k r
r
Se expresa de la siguiente manera:
r
u
=
A A
r
r
r
r
r
del vector: A = 2i + j + 2k , se determina en primer lugar, su módulo: A =
r
r
2 2 + 12 + 22 → A = 9 → A = 3
r
r
r
Entonces: u =
A
2i
r
=
r
+ j +
r
2k r
2i u= 3
r
r
+
r
2k + 3 3 r
j
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
2.- Determine el módulo del vector F , si: F = 2 A − B + 3C A = 2i + j + k B = i − j + 2k C = −i + 3 j − 2k A) 6 B) 6 2 C) 6 3 D) 6 5 E) 12 r
r
3 El vector unitario del vector A , es igual a: A
r
r
r
r
r
r
r
r
Ejemplo: Para determinar el vector unitario
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
¿Cómo se determina la ecuación vectorial de un vector?
3. Si el módulo del vector A es igual a 3, calcular el módulo del vector B : A = (1; a; a) ; B = (2 a; a; 4) A) 4 B) 4 2 C) 6 D) 6 2 E) 10 r
r
z
→
6 3 5
A
2 4 1
y
r
4. Determine los valores de m y n si se cumple la siguiente relación: r
r
r
A = m B + nC
x
r
r
El vector A está entre los puntos: (2; 4; 1) y (6; 3; 5) Su ecuación vectorial se obtiene restando el punto del extremo del vector menos el punto del origen del vector: A = (6; 3; 5) – (2; 4; 1) A = (6 - 2; 3 - 4; 5 - 1) A = (4; -1; 4)
r
r
; B = 2i + j + 3k ; C = i + j + 2k Dar como respuesta: m+ n A) 0 B) -1 C) +1 D) +2 E) -2 r
A = i r
r
r
r
r
− j
r
r
r
r
r
r
A = 4i
r
r
− j +
r
4k
r
5. Un vector A tiene su origen en el punto (2; -1; -2) y su extremo (flecha) en un punto “P”; un segundo vector B se inicia en el punto “P” y termina en el punto (-3; 1; 3). Calcular el módulo del vector resultante de estos dos vectores. A) 2 6 B) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 6 6
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r
4
FÍSICA PARA TODOS
6. Dos vectores parten de un mismo punto “P” y uno de ellos termina en el punto (3; -2; -1) y el otro en el punto (2; -4; -2). Calcular el módulo de la resta de estos vectores. A) 6 B) 2 C) 3 D) 5 E) 2 6 r
7. Calcular el vector unitario del vector A . z
2 1 3
→
4 -3 -1 A)
1 i 3
+
2 2 1 j + k B) i 3 3 6
+
1 1 j + k 3 3
C)
1 i 3
+
2 2 1 j − k D) i 3 3 3
−
2 2 j + k 3 3
r
1 E) − i 3
r
r
r
r
A) 0 D) +2
r
r
r
r
r
r
r
r
A
→
→
A
y
r
r
r
B) 2i D) 2i
r
r
r
4 j + 2k − 4 j + 2k r
+
r
r
r
r
A) A × B = C C) A × C = B E) B × A = − C r
r
r
r
r
r
r
r
B) C × A = B D) B × C = A r
r
r
r
13. Un vector forma 60º con el eje “x”, 120º con el eje “y”, ¿qué ángulo forma dicho vector con el eje “z”? A) 30º B) 45º C) 60º D) 120º E) 180º 14. El resultado de efectuar el producto escalar de dos vectores da como resultado una cantidad igual al módulo del producto vectorial de los mismos vectores. ¿Qué ángulo forman dichos vectores? A) 30º B) 37º C) 45º D) 60º E) 90º
x r
→
B
C
r
r
r
→
8. Calcular la resultante de los vectores A y B , ubicados en el siguiente cubo de 2 unidades de arista. z → B
r
r
r
r
r
C) -1
12. En la figura se tiene a los vectores A ; B y C perpendiculares entre sí. Indique la expresión correcta que represente la figura.
r
r
r
r
B) +1 E) -2 r
r
A) i + 2 j + 2k C) 2i + 4 j − 2k E) 2i − 4 j − 2k
(n; − 1; p) y
10. Si se tiene: a = (3; 1; − 4) y b = (−2; 3; 1) . Calcular: a ⋅ b A) +7 B) -7 C) -1 D) +1 E) 0
2 2 + j + k 3 3 r
=
r
r
x
r
r
r
y
r
r
a = ( m; n; − 4) ; b c = (3; p; m)
11. Si los vectores son A y B perpendiculares entre sí, determine el valor de “a”. A = ( a; − 2; 3) y B = ( 2; 1; − a) A) 0 B) +1 C) -1 D) +2 E) -2
A
r
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
r
r
9. Si la resultante de los vectores a ; b y c es nula, calcular: m + n + p. r
r r
15. ¿Qué
r
ángulo forman los vectores A y B si se sabe que: A = 2k y B = i + j
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r
r
r
r
r
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FÍSICA PARA TODOS
A) 0º D) 90º
B) 45º E) 120º
A) 0 D) +2
C) 60º
r
r
r
r
2 j + 2k y B = − i r
+
r
r
r
+ j +
B) +1 E) -2
C) -1
19. El vector ubicado en el cubo de arista igual a 1, tiene un módulo igual a 3 3 . Determine su ecuación vectorial.
16. ¿Qué ángulo forman los vectores: A = i
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k
z
A) 30º B) 60º C) 90º D) Arc tg 2 E) Arc tg 3 r
r
17. Calcular el producto vectorial: A × B A = ( 2; − 3; 1) y B = (1; − 2; − 1) r
y
r
A) (5; 3; -1) C) (-5; 3; 1) E) (1; -1; 3)
x
B) (5; -3; -1) D) (1; 3; -1)
r
→
B
y
r
r
r
2 j + 2k − 3 j + 3k r
+
r
r
r
r
r
r
r
20. Se sabe que los vectores A y B son r
r
perpendiculares entre sí. Calcular: A × B r
→
r
r
r
A = i
A
r
r
18. En la siguiente figura se tiene un cubo de arista igual a 1, y en él dos vectores. Determine el producto escalar de dichos vectores. z
r
A) i + j + k B) 2i C) 3i + 3 j + 3k D) 3i E) 3i + 3 j + 3k
r
r
− a j + k y
A) 3 D) 6 2
x
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r
B = 2i
B) 3 2 E) 12
r
r
2 j + ak r
+
C) 6
