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Introducción
Conceptos y definiciones de vector, vector opuesto, módulo de un vector,
suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, perpendiculares, producto producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. 22 Ejercicios resueltos sobre los conceptos y las operaciones anteriores.
Introducción Tanto los puntos del plano como los vectores quedan determinados por sus coordenadas. Podemos decir que la diferencia entre ambos es que el punto representa un lugar del plano y el vector representa un desplazamiento. Por ejemplo, el punto P punto P = (1, -1) representa el e l punto del plano con dichas coordenadas, el punto en sí; sí; mientras que el vector de coordenadas coordenadas (1, 1) representa 1) representa un desplazamiento de una unidad a la derecha y una unidad hacia abajo. Si vemos los vectores como desplazamientos, es lógico hablar de su dirección, sentido y módulo (el módulo es la longitud del vector, la longitud del desplazamiento ). Asimismo, también es lógico sumar vectores o aumentar su longitud (multiplicarlo por un escalar). También, de este modo tiene sentido que podamos representar el mismo vector en cualquier punto del plano: podemos realizar el mismo desplazamiento desde cualquier punto. Esta sección es una introducción a los conceptos básicos de los vectores del plano real . Estos Estos conceptos conceptos son los los mismos mismos que los de los los vectores vectores del espacio tridimensional. También diremos que, en las Matemáticas, los vectores del plano conforman un espacio vectorial , que es una determinada estructura que nos permite demostrar teoremas y propiedades cuyas aplicaciones resultan útiles en otros campos de la ciencia, especialmente en la Física.
Definición de Vector
Ver Concepto y Ejemplo Un vector del plano
v1 es la primera
es
coordenada y v2 es la segunda coordenada .
Representamos el vector en el plano como una flecha que parte del origen (0, 0) y termina en el punto que tiene las mismas coordenadas que el vector: P = ( v1 , v2 ).
Ejemplo:
Conceptos:
El sentido del vector es el sentido que indica la flecha al representar el vector (la flecha tiene que apuntar siempre al punto de las coordenadas del vector). La dirección del vector queda determinada por el ángulo que forma con el eje de abscisas (o de ordenadas). Notemos que para una misma dirección existen dos sentidos. El módulo del vector es la longitud de éste. Más adelante veremos cómo calcularlo a partir de sus coordenadas.
Nota: podemos representar el mismo vector en otro punto del plano (en vez de en el origen) si mantenemos el sentido y el módulo ya que el ángulo que forma con los ejes es el mismo.
Vector Opuesto
Ver Concepto y Ejemplo
Módulo de un Vector
Ver Concepto y Ejemplo
Vector Unitario
Ver Concepto y Ejemplo
Suma de Vectores
Ver Operación y Ejemplo
Resta de Vectores
Ver Operación y Ejemplos
Vector que une dos Puntos
Ver Operación y Ejemplo
Vectores Proporcionales
Ver Operación y Ejemplo
Vectores Perpendiculares
Ver Operación y Ejemplo Sea el vector
Consideremos ahora los vectores que se obtienen al cambiar el orden de las coordenadas y el signo a una de ellas:
Entonces, estos dos últimos vectores, y , son perpendiculares al primero, . Es decir, tanto como forman un ángulo recto con . Notemos que los vectores
y
son el mismo vector pero de sentido opuesto.
Ejemplo:
Los vectores de la imagen son
Producto por un Escalar Ver Operación y Ejemplo
Ya vimos el producto proporcionales .
de un vector por un escalar en el apartado de vectores
Sea α un número real (un escalar) y sea el vector
Entonces, el producto del vector por el escalar es
Estos vectores tienen la misma dirección que pero módulo distinto (siempre que α sea distinto de 1). Además, si α es positivo, tienen el mismo sentido; si es negativo, tienen sentido opuesto.
Producto Escalar de Vectores: Ángulo entre Vectores Ver Operación y Ejemplo Sean los vectores
Entonces, se define el producto escalar de dichos vectores como
donde α representa el ángulo que forman los vectores. El producto se denomina escalar ya que el resultado es un escalar (un número real). Otra forma de calcular dicho producto es multiplicando y sumando las coordenadas de los vectores:
Puesto que ambas formas proporcionan el mismo resultado, podemos unirlas para obtener el ángulo a partir de las coordenadas de los vectores (y sus módulos, que se obtienen a partir de las coordenadas):
Ejemplo:
Calculamos su producto escalar a partir de las coordenadas:
Ahora calculamos los módulos de los vectores para aplicar la fórmula anterior y obtener el ángulo que forman:
Por tanto, el ángulo es
Ejercicios Resueltos
1. Suma y Resta de Vectores y Producto por un Escalar Ejercicio 1 Sean los vectores
Calcular las siguientes sumas y restas:
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Ejercicio 2 Sean los vectores
Calcular, geométricamente, las siguientes sumas y restas de vectores:
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Ejercicio 3 Sean los puntos
Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P .
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Ejercicio 4 Sean los puntos
Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P .
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Ejercicio 5 Sean los puntos
Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P .
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Ejercicio 6
Sea el vector
Obtener el vector igual a
pero con sentido contrario.
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Ejercicio 7 Sea el vector
Obtener el vector simétrico de
respecto del eje de abscisas.
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Ejercicio 8 Sea el vector
Obtener el vector simétrico de
respecto del eje de ordenadas.
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Ejercicio 9 Encontrar el vector punto A al punto B:
que va del punto O al punto P y el vector
que va del
Explicar la relación existente entre ambos vectores.
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2. Módulo de Vectores, Vectores Unitarios y Vectores Proporcionales Ejercicio 10 Calcular el módulo de los siguientes vectores del plano:
¿Un vector queda determinado por su módulo? Es decir, si dos vectores tienen el mismo módulo, ¿son el mismo vector?
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Ejercicio 11
¿Cuántos vectores unitarios existen? Los vectores unitarios son los que cumplen que su módulo es 1:
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Ejercicio 12 Calcular un vector que sea unitario (módulo 1) y tenga la misma dirección y sentido que
¿Existen más vectores unitarios con la misma dirección y sentido que el vector
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3. Demostración de las propiedades del Módulo de Vectores Ejercicio 13 Sea
un vector cualquiera, demostrar que:
Es decir, el módulo de un vector es 0 sólo si es el vector nulo v=(0,0)v=(0,0)
y si
es el vector nulo, entonces su módulo es 0.
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?
Ejercicio 14 Sea
un vector cualquiera y λ un número real (un escalar), demostrar que:
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Ejercicio 15 (dificultad alta) Sean
y
dos vectores arbitrarios. Demostrar que
El producto de la izquierda es el producto escalar de dos vectores; el producto de la derecha es el producto de los números reales. En la izquierda, las barras son un valor absoluto; en la derecha, las barras son los módulos.
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Ejercicio 16 (dificultad muy alta) Sean
y
dos vectores arbitrarios. Demostrar que
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4. Producto Escalar de Vectores y Ángulo entre Vectores Ejercicio 17 Sean los vectores
Calcular los siguientes productos escalares:
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Ejercicio 18 Calcular el ángulo que forman los vectores
Los llamamos así porque son los vectores de la base canónica del plano.
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Ejercicio 19 Calcular el ángulo que forman los vectores
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Ejercicio 20 Demostrar que los vectores
y
son perpendiculares a
Además, demostrar que los vectores
y
:
son paralelos entre sí.
Se supone que x,y≠0x,y≠0
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Ejercicio 21 Demostrar que los vectores
y
son paralelos a
:
Si ambos son paralelos, ¿por qué el ángulo que forman con
es distinto?
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Ejercicio 22 Encontrar el vector unitario que forma un ángulo de 60 grados con el vector
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