Capítulo 1
Conceitos Fundamentais Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)
0.1 0. 1
Expe Ex peri riên ênci cias as co com m pa part rtíc ícul ulas as
Metralhadora, barreira com duas fendas, “1” e “2” e um anteparo com um detector (lata com areia). Dispara-se durante 1 minuto e contam-se as balas que atingem a lata. Esvasia-se a lata. Move-se a lata para outra posição e repete-se o processo. A metralhadora dispara em todas as direções.
Inicialmente fechamos a fenda “2” e medimos a distribuição de balas que chegam ao anteparo através da fenda “1”. A distribuição que se obtém é parecida com a mostrada na figura ao lado.
Agora fechamos a fenda “1” e medimos a distribuição de balas que chegam ao anteparo pela fenda “2”. A forma, mostrada na curva da direita, é a mesma que a anterior, porém deslocada para baixo.
Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
1
Finalmente, abrimos as duas fendas e medimos a distribuição de balas que chegam ao anteparo por ambas as fendas. O resultado é a curva mostrada na figura da direita (linha sólida). Também mostramos os resultados obtidos anteriormente (linhas tracejadas).
0.2 0. 2
Expe Ex peri riên ênci cias as co com m on onda das s
Fonte, barreira com 2 fendas e detector (cortiça). Conta-se os sobe e desce da cortiça e determina-se a energia que chega naquela posição do anteparo. Move-se a cortiça (detector) para outras posições e determina-se a distribuição de energia no anteparo.
Inicialmente, fecha-se a fenda “2” e mede-se a distribuição de energia que chega ao anteparo através da fenda “1”. A forma é mostrada na curva da direita. Note que é muito parecida com a distribuição de balas que passa por uma única fenda.
Agora fecha-se a fenda “1” e mede-se a distribuição de energia da onda que chega através da fenda “2”, como mostrada na figura da direita.
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2
Finalmente, abrem-se as duas fendas e mede-se a distribuição. As linhas tracejadas mostram a distribuição com as fendas individuais abertas, enquanto que a sólida é o resultado para ambas as fendas abertas. Este resultado é chamado de padrão de interferência.
Observações
1) Na experi experiênc ência ia com duas duas fend fendas, as, uma partícu partícula la não apresenta não apresenta padrão de interferência: a probabilidade de atingir uma determinada posição no anteparo é a soma das soma das probabilidades individuais. 2) Leva Levand ndoo em cont contaa a conse conserv rvaçã açãoo da ener energia gia,, o padr padrão ão de inte interf rfer erên ência cia para para onda ondass pode pode pare parecer cer dissonante. dissonante. Porém, não existe nenhum problema: problema: a energia energia total no padrão de interferênci interferênciaa é igual à energia que chega pela fenda “1” mais a que chega pela fenda “2”. O padrão de interferência apenas rearranja esta energia, conservando sua quantidade total.
0.3 0. 3
Expe Ex peri riên ênci cias as co com m el elét étro rons ns
Como “sabemos” os elétrons são partículas que têm massa definida, carga elétrica etc. Algumas das propriedades do elétron são mostrados na tabela abaixo. Elétrons Propriedade Valor Massa 9.11 10 −31 kg Carga 1.60 10 −19 C Spin 5.28 10 −35 J-s
Interferência de ondas de elétrons detector
padrão de interferência
Determinando por onde os elétrons passam
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3
detector
sem padrão de interferência
Resumo dessas experiências com elétrons
A probabilidade de um evento numa experiência ideal, é dada pelo quadrado do valor absoluto de um número complexo que se chama de amplitude de probabilidade P | | 2
Quando um evento pode acontecer de várias maneiras, a amplitude de probailidade é a soma das amplitudes de probabilidade de cada maneira considerada independentemente. Existe padrão de interferência 1 2 → P | 1 2 | 2 .
Numa experiência onde se determina como as coisas efetivamente acontecem, a probabilidade do evento é a soma das probabilidades de cada alternativa. Não existe padrão de interferência . P P 1 P 2 .
1.1 1. 1
A Ex Expe peri riên ênci cia a de St Ster ernn-Ge Gerl rlac ach h
Pólo magétic o
Forno
Feixe de átomos de prata
Campo magnético inomogêneo
Placa fotográfica
Sem campo
Com campo Resultado Clássico
As duas orientações do spin
Resultado Resultado Experimental
Do que consiste o experimento?
Forno para produzir feixe de átomos neutros. Região de campo magnético inomogênio. Detector de átomos.
Resultados da experiência
Stern e Gerlach usaram átomos de prata (Ag) e observaram que o feixe original dividia-se em dois feixes ao
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atravessar o campo magnético: um defletido para cima e o outro para baixo (em relação à direção do gradiente do campo magnético).
Análise clássica dos resultados
Os resultados da experiência sugerem uma interação entre uma partícula neutra e um campo magnético. Esta interação só existe se a partícula neutra tiver momento magnético, . Neste caso, a energia da interação é dada por U B B
− B
que resulta na força F
−∇U B B ∇ B
Na experiência de Stern-Gerlach, o campo magnético atua basicamente na direção z , e a força será ∂ B ≅ z ∂ B z F z z ∂ z ∂ z na direção do gradiente do campo magnético, perpendicular ao movimento do feixe atômico.
Origem do momento magnético na física clássica
Os átomos são constituídos de partículas carregadas. O movimento destas partículas produz um laço de corrente, que dá origem aos momentos magnéticos. Para um laço de área A e uma corrente I , o momento magnético (CGS) é dado por IA c
Se o laço de corrente origina-se do movimento circular uniforme de uma de uma partícula de carga e (para o elétron e 0, então I e T
Como A
r 2 ,
e 2 v
ev 2
então ev r 2 2 evr e mvr e L c 2c 2mc 2mc
onde L
mvr é o momento angular orbital da partícula.
Da mesma forma que a Terra se movimenta em torno do Sol e do seu próprio eixo, podemos também imaginar que uma partícula carregada num átomo tenha tanto momento angular orbital, L, como momento angular intrínseco, S. Admitindo que o laço de corrente criado pelo movimento intrínseco produza uma relação similar entre o momento magnético e o momento angular intrínseco, então, e S g e S mc 2mc
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5
onde usamos o valor correto g 2 para o movimento rotacional intrínseco do elétron. Momento magnético do átomo de prata
O momento magnético depende do inverso da massa da partícula. Portanto, os prótons e neutros (massas ≈ 2.000 m e ) têm têm pouc poucoo efei efeito to sobr sobree o mome moment ntoo magn magnét étic icoo do átom átomo, o, comp compar arad ados os com com os elét elétro rons ns,, pode podend ndoo ser ser desprezados. A configuração eletrônica da Ag (47 elétrons) é: 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 6 3d 10 4 s 2 4 p 6 4d 10 5 s 1
Número de elétrons : Momento angular: J
46
1 47 S
0
As camadas eletrônicas cheias são representadas por orbitais esfericamente simétricos e o momento angular orbital e momento angular intrínseco dos elétrons nessas camadas são nulos. Resta o momento angular do elétron na última camada 5s. Mas, um elétron na camada orbital nulo.
s
tem momento momento angular angular
Logo, o momento angular total do átomo de prata é devido apenas ao momento angular intrínseco do elétron, que chamamos de spin. Assim, o momento magnético do elétron, e, portanto, do átomo de prata neutro, é e S mc
onde e
0.
A força clássica sobre o átomo pode ser escrita como F z z
e S ∂ B z ≅ mc z z ∂ z
feixe S z + S
N
feixe S z
A deflexão do feixe na experiência de Stern-Gerlach é então uma medida da componente S z z , ou da projeção do spin ao longo do eixo z , que é a direção do gradiente do campo magnético.
O que se esperaria classicamente?
Vamos supor que todos os elétrons tenham a mesma magnitude do momento angular intrínseco, projeção S z z pode ser escrita como
|S |,
tal que a
S z z |S | cos
onde é o ângulo entre a direção do spin e o eixo z .
Dentro do forno aquecido, esperamos uma distribuição aleatória das direções do spin e, então, todos os possíveis ângulos . Assim, S z z tem uma distribuição contínua de valores no intervalo S z z
−|S |, … , |S |
Ao atravessar o campo magnético, um feixe de átomos de prata com todos os possíveis valores de S z z no intervalo
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entre −|S | e |S | deveria apresentar um contínuo na deflexão do feixe (ver figura abaixo).
Mas o que
se observa?
Experimentalmente, observa-se apenas duas deflexões, indicando que existem apenas dois valores da projeção S z z do spin do elétron. As magnitudes dessas deflexões são compatíveis com os dois valores de S z z dados por S z z 2
Consequênci Consequência a do resultado resultado do experimento experimento: O spin do elétron tem valores discretos ao longo de um eixo
(quantização da projeção do spin).
Conclusão: Esta quantização está em desacordo com a expectativa clássica para esta medida.
Aqui consideramos o eixo z para medir a projeção do spin, mas poderíamos escolher qualquer outro eixo que os resultados seriam os mesmos.
Observação:
Experiências de Stern-Gerlach sequenciais
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Sz + Forno
Sz +
SG z
SG z Sz -
Sz + Forno
Sx +
SG z
SG x
Sx -
Sz -
Sx +
Sz + Forno
SG z
Sz + SG z
SG x Sx -
Sz -
Sz -
Experiência de Stern-Gerlach seqüencial
Primeira experiência ↑↓→ SG z → SG z →
o feixe passa inicialmente por um dispositivo SGz (campo inomogêneo na direção z . bloquea-se a passagem dos átomos com componentes S z z − o restante dos átomos com S z z fica sujeito a um segundo dispositivo SGz. verifica-se que apenas uma componenente do feixe (com nenhuma surpresa ).).
Segunda experiência ↑↓→ SG z → SG x →
?
S z z )
emerge do segundo aparelho. (Aqui não há
?
o feixe passa inicialmente por um dispositivo SGz (campo inomogêneo na direção z ) bloquea-se a passagem dos átomos com S z z − o restante dos átomos com S z z fica sujeito a um segundo dispositivo SG x, de onde emergem em dois feixes, de igual intensidade, um com S x x e outro, S x x −. Questão: Será que o feixe S z z contém 50% de átomos com S x x e 50% com S x x − ? Veremos que esta idéia se
depara com algumas dificuldades e portanto não pode ser verdadeira!
Terceira experiência ↑↓→ SG z → SG x → SG z →
?
o feixe passa inicialmente por um dispositivo SGz (campo inomogêneo na direção z . bloquea-se a passagem dos átomos com S z z − o restante dos átomos com S z z fica sujeito a um segundo dispositivo SG x, de onde emergem em dois feixes, de igual intensidade, um com S x x e outro, S x x −. bloquea-se a passagem dos átomos com S x x −. o feixe restante passa pelo terceiro dispositivo do tipo SGz verifica-se experimentalmente que deste terceiro dispositivo emergem dois feixes de átomos de igual intensidade (e não um ) com componentes S z z e S z z −. Questão: Mas a componente S z z − já não havia sido completamente bloqueada na saída do primeiro dispositivo?
Como é possível reaparecer a componente S z z − que pensávamos ter eliminado anteriormente?
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Consequências das experiências SG sequenciais
O momento angular de spin não pode ser descrito por um espaço vetorial 3-D. O momento magnético (ou spin) do átomo é uma quantidade discreta ou quantizada. Não podemos determinar simultaneamente S z z e S x x (princípio da incerteza de Heisenberg). Mais precisamente,
podemos dizer que a seleção do feixe S x x pelo segundo segundo disposit dispositivo ivo (SG x ) destrói destrói completame completamente nte qualquer informação prévia sobre S z z .
Postulados da Mecânica Quântica
Postulado 1 (estado de um sistema)
Em cada instante t , o estado de um sistema físico é representado por um ket normalizado, |t , no espaço vetorial dos estados, que contém toda a informação que podemos conhecer sobre o sistema.
Postulado Postulado 2 (quantidades (quantidades físicas) físicas)
Qualquer quantidade física A mensurável é descrita matematicamente por um operador A que atua sobre os kets. Este operador é um observável.
Postulado 3 (medidas de quantidades físicas)
O único resultado possível de uma medida de uma
A é um dos autovalores a n do correspondente operador A. quantidade física A
Postulado 4 (decomposição espectral)
A probabilidade de obter o autovalor a n (não degenerado)
A sobre o sistema no estado normalizado | é numa medida de um observável A P a n |〈a n | | 2 onde |a n é o autovetor normalizado de A correspondente ao autovalor a n .
Postulado 5 (redução do pacote de onda)
A , sobre o sistema no Imediatamente após uma medida de A estado | , que dá o valor a n , o sistema se encontra num novo estado | ′ , que é a projeção normalizada do ket original no subespaço correspondente aos resultados da medida: | ′
Postulado 6 (evolução temporal)
P n | P n | 〈 | P
A evolução temporal de um sistema quântico é determinada pelo
operador Hamiltoniano ou energia total, H t , através da equação de Schrödinger ih d | H t | dt
1.2 1. 2
Kets Ke ts,, Br Bras as e Op Oper erad ador ores es
As experiências de SG mostraram que os spins não podem ser representados num espaço vetorial 3-D. Isso levou a considerar espaços vetoriais complexos. Formulação básica dos espaços vetoriais usados em MQ
Espaços vetoriais complexos: Ket e Bra Notação de Dirac
Espaço KET Dimensionalidade.
Depende da natureza do sistema em análise. Pode ser:
Finita Infinita (espaço de Hilbert)
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Em MQ, representado por um vetor de estado no estado no espaço vetorial complexo.
Estado físico. Vetor de estado.
Chamado de ket na ket na notação de Dirac e denotado por | .
Significado do ket.
Contém todas as informações (possíveis) sobre o estado físico do sistema.
Propridades dos ket’s
A soma de dois ket’s resulta um novo ket (1)
| | |
O produto de um ket por um número complexo c resulta um novo ket (2)
c| | c
não importa a ordem de c em relação a | .
Se c 0 o ket resultante é chamado de ket nulo .
Postulado Os ket’s | e c| com c ≠ 0 representam o mesmo estado físico.
Somente a direção do ket no espaço vetorial tem importância na representação
Significado do postulado
de um estado físico. São representad representados os por operadores no espaço vetorial. (Exemplos de observáveis: momento, componentes de spin etc.)
Observáveis.
Ação dos operadores.
De uma maneira geral, um operador atua sobre um ket pelo lado esquerdo, isto é A | A|
O resultado desta operação nem sempre é uma constante vezes o ket | . Quando a ação de um operador A sobre um conjunto particular de kets resultar no produto de uma constante pelos correspondentes kets, estes são chamados de autokets do operador A. Então, sejam os auto-kets do operador A Autokets.
|a ′ , |a ′′ , |a ′′′ , …
(3)
A|a ′ a ′ |a ′ , A|a ′′ a ′′ |a ′′ , …
(4)
logo, verifica-se a propriedade onde a ′ ,
a ′′ , …
são números.
Autovalores do operador A.
O conjunto dos números a ′ , a ′′ , a ′′′ , … ou a ′ é chamado de autovalores do
operador A. Autoestados do operador A.
Exemplo
O estado físico correspondente a um autoket é chamado de autoestado .
Sistema de spin ½ |S ; , S z z |S z z ; z z 2
S z z |S z z ; −
− |S z z ; −
(6)
2
Observação De acordo a notação |a ′ , onde um autoket é classificado por seu autovalor, o autoket de S z z na Eq. (6)
deveria ser escrito como | /2 . Mas aqui a notação |S z z ; é mais conveniente, uma vez que consideramos também os autokets de S x x : S x x |S x x ; |S x x ; 2
(7)
Observação Dimensionalidade do espaço vetorial número de alternativas num experimento do tipo Stern-Gerlach.
Mais formalmente espaço vetorial N -dimensional -dimensional descrito pelos N autokets do observável A. Qualquer ket arbitrário | pode ser escrito como
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∑c
|
a ′ |a
′
(8)
a′
Espaço BRA e Produtos Internos Espaço vetorial BRA é o espaço dual do dual do espaço vetorial KET. Postulado A cada ket | existe um vetor bra denotado por 〈 |.
Isto significa que existe uma correspondência um-a-um entre um-a-um entre o espaço ket e ket e o espaço bra : CD
| 〈 |
(9)
CD
|a ′ , |a ′′ , … 〈a ′ |, 〈a ′′ |, … CD
| | 〈 | 〈 |
(CD correspondência dual).
Dual de c|
c ∗ 〈 |.
Forma geral CD c | c | c ∗ 〈 | c ∗ 〈 |
Produto interno entre bra e ket
(10)
Forma geral 〈 | 〈 | |
(11)
Este produto é, em geral, um número complexo .
Propriedades Fundamentais (postulados) Propriedade (1): ∗ 〈 | 〈 |
(12)
são conjugados complexos um do outro. Analogia com o produto escalar Embora o produto interno seja análogo ao familiar produto escalar, a b, devemos fazer distinção entre 〈 | e 〈 | : isto não é necessário no espaço vetorial real porque a b b a. Consequência de (12):
〈 |
Prova:
número real
Fazendo-se 〈 | 〈 | em (12), encontra-se 〈 | 〈 | ∗
que é um número real. Propriedade (2):
(13)
〈 | ≥ 0
onde a igualdade só igualdade só vale se | for um ket nulo. Isto é conhecido como postulado da métrica positiva definida : é essencial para a interpretação probabilística da MQ.
Vetores ortogonais
Dois kets | e | são ditos ortogonais, se 〈 | 0
(14)
〈 | 0
(15)
De (12), implica que
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11
Kets normalizados
Exceto para o ket nulo , um ket | pode sempre ser colocado na forma normalizada |̃
1 〈 |
(16)
|
que tem a propriedade (17)
〈̃ |̃ 1
A relação 〈 | é conhecida como norma de |a | definida no espaço euclidiano.
Norma de | aa
| ,
em analogia com o módulo de um vetor
Observação Uma vez que | e c| representam o mesmo estado físico, podemos também exigir que os kets que
usamos para estados físicos sejam normalizados na forma da Eq. (17).
Operadores Sejam os operadores A, B, C , … classe restritiva (observáveis) X , Y , Z , … classe geral
Operação sobre Kets Os operadores sempre atuam nos kets pelo lado esquerdo
X | X | X | (resulta outro ket)
Operadores iguais: X Y se X | X | Y | Y |
(20)
X | X | 0
(21)
X é um operador nulo se
para um ket arbitrário.
Adição de operadores: comutativa e associativa X Y Y X
(21a)
X Y Z X Y Z
(21b)
Operadores lineares: X c | c | c X | X | c X |
(22)
Operação sobre Bras Os operadores sempre atuam sobre os bras pelo lado direito.
〈 | X 〈 | X (resulta outro bra)
Correspondência dual CD
X | X | 〈 | X
(24)
onde X é chamado de adjunto Hermitiano ou adjunto de X .
Operador Hermitiano: é dito ser Hermitiano, o operador que satisfaz X X
(25)
Multiplicação de Operadores
não comutativa
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XY ≠ YX
(26)
X YZ XY Z XYZ
(27)
associativa
X Y | Y | XY | X Y | Y | ,
〈 | X Y 〈 | XY 〈 | X Y
(28)
correspondência dual CD
X Y | Y | 〈 | XY
mas, CD
X Y | Y | X Y | 〈 |Y X 〈 |Y X
de onde se conclui que (29)
XY Y X
Resumo.
Até agora vimos produtos do tipo 〈 | , X | , 〈 | X
e
X Y
Quais outros tipos de produtos são permitidos ? Produto externo.
O produto de | e 〈 |, nesta ordem, ou seja, (31)
| 〈 | | 〈 |
é conhecido como produto externo de externo de | e 〈 |. O produto de um número como número como é o caso do produto escalar 〈 | . Produtos ilegais.
| 〈 |
deve ser considerado considerado um operador , ao invés
Os produtos da forma | X , X 〈 |, | |
e 〈 |〈 |
não têm nenhum sentido (quando e são vetores kets ou bras que pertencem ao mesmo espaço bra ou ket). Eles simplesmente não significam nada (não são operadores, kets ou bras).
Axioma Associativo da Multiplicação A multiplicação entre operadores é associativa esta propriedade deve valer para todos os produtos “legais” entre operadores, kets e bras (axioma ( axioma associativo ). ).
Ilustração Ilustração com o produto externo | 〈 | |
(32)
| 〈 |
(33)
Devido ao axioma associativo, podemos reescrever: onde 〈 | é um número . Como são iguais, podemos omitir o ponto e os parênteses: | 〈 |
possuindo dois significados equivalentes ∙ | 〈 | operador | 〈 | atuando sobre o ket | . ∙ | 〈 | número 〈 | multiplicando | .
Por outro lado, se (33) fosse escrita como 〈 | |
não poderíamos omitir o ponto e o parêntese, pois a expressão resultante seria “ilegal”. Ou seja, 〈 | | “ilegal”
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13
Observação Note que o operador | 〈 | gira | na direção de | . É fácil mostrar que, se X | 〈 |,
(34)
X | 〈 | | 〈 |.
(35)
então
Outra ilustração importante do axioma
Seja X | 〈 | X | 〈 | X | bra
ket
bra
(36)
ket
Como os dois lados são iguais, podemos representar numa forma mais compacta X | 〈 | X |
(37)
X || , então Observação Como 〈 | X é o bra que é dual a X X || 〈 | X X || 〈 | X
Por outro lado, da Eq. (12) 〈 | 〈 | ∗ , então ∗ X || X | 〈〈 | X 〈 | X
〈 | X X | ∗
Ou seja Para um operador Hermitiano, X
1.3 1. 3
X ,
X || 〈 | X X | ∗ 〈 | X
(38)
X || 〈 | X X || ∗ 〈 | X
(39)
tem-se
Kets Ke ts de Ba Base se e Re Repr pres esen enta taçõ ções es Ma Matr tric icia iais is
Autokets de um observável Vamos considerar os autovalores e autokets de um operador Hermitiano A. Teorema Os autovalores de um operador Hermitiano A são reais ; os autokets de A correspondentes a diferentes autovalores são ortogonais . Prova:
Seja
Como A é Hermitiano, A †
A,
A||a ′ a ′ |a ′ A
(3.1)
〈a ′′ | A 〈a ′′ | A a ′′∗ 〈a ′′ |
(3.2)
então
Então 〈a ′′ | A |a ′ a ′ 〈a ′′ |a ′ 〈a ′′ | A |a ′ a ′′∗ 〈a ′′ |a ′
e, subtraindo ambos os membros, encontramos (3.3)
a ′ − a ′′∗ 〈a ′′ |a ′ 0
Admitindo que os vetores não sejam nulos, temos dois casos: (1) Fazendo a ′ a ′′
Neste caso, deduzimos a condição de que os autovalores de um operador
Hermitiano são reais, ou seja, (3.4)
a ′ a ′∗
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(a primeira metade do teorema). (2) Fazendo a ′ ≠ a ′′
A diferença, diferença,
− a ′′∗ a ′ − a ′′ (autov (autovalo alores res reais) reais),, não pode pode se anular anular,, por
a′
hipótese. Logo, o produto interno 〈a ′′ |a ′ deve ser nulo, ou seja 〈a ′′ |a ′ 0, a ′ ≠ a ′′
o que prova a propriedade da ortogonalidade (segunda metade do teorema). Observáveis autovalores reais operadores Hermitianos. Normalização
Na forma ortonormal (3.6)
〈a ′′ |a ′ a ′′a ′ . Completeza
Por construção do nosso espaço ket, os autokets de A formam um conjunto completo.
Autokets como Kets de Base
Todos os autokets autokets normalizad normalizados os de A formam um conjunto ortonormal completo. O número de autokets é igual à dimensionalidade do espaço vetorial complexo. Um ket arbitrário no espaço ket pode ser expandido em termos dos autokets de A. arbitrário | no espaço ket descrito pelos autokets de A: |
∑c a
a ′ |a
′
Seja a expansão de um ket (3.7)
′
Multiplicando por 〈a ′′ | e usando a relação de ortonormalidade, encontram-se os coeficientes da expansão: 〈a ′′ |
∑c
a′
∑c
〈a ′′ |a ′
a′
a ′ a ′′ a ′
c a′′
a′
Ou seja, (3.8)
c a ′ 〈 a ′ |
E a expansão fica
∑ |a 〈a | ′
|
a
(3.9)
′
′
Analogia com a expansão de um vetor V (real) no espaço euclidiano: V
∑ ê ê i
(3.1
V
i
i
Em termos de base, os autokets de A são comparáveis ao conjunto de vetores unitários mutuamente ortogonais do espaço euclidiano.
Relação de Completeza Do axioma associativo da multiplicação e sendo | um vetor arbitrário, obtém-se |
∑ |a 〈a | ∑ |a 〈a | ′
a
′
′
′
a
′
′
|
∑ |a 〈a | 1 ′
a
(3.11
′
′
que é conhecida como relação de completeza . O “1” do lado direito deve ser entendido como o operador identidade. Uso do operador identidade.
Ca p í t u l o 1
Seja 〈 | . Podemos escrever
Conceitos Fundamentais
15
∑ |a 〈a | ′
〈 | 〈 |1| 〈 |
a
′
|
′
∑〈 |a 〈a | ′
′
a′
∑〈a | ∗〈a | ′
′
a′
∑|〈a | | ′
2
a′
Para kets normalizados, 〈 | 1. Logo,
∑|〈a | | ′
a
2
1
′
e, como c a 〈a ′ | , encontramos a relação ′
∑|c a
a′ |
2
(3.1
1,
′
que deve ser satisfeita pelos coeficientes da expansão (3.7).
Operador projeção Seja o operador |a ′ 〈a ′ | que aparece em (3.11). Aplicando sobre o ket | (3.1
|a ′ 〈a ′ | | |a ′ 〈a ′ | c a′ |a ′
O que isto significa? Significa que operando sobre o ket | , o operador |a ′ 〈a ′ | seleciona seleciona a parcela de parcela de | que é paralela a paralela a |a ′ . Em outras outras palavras, palavras, o operador operador |a ′ 〈a ′ | operando sobre | projeta este projeta este ket ao longo do ket de base |a ′ . Por isto |a ′ 〈a ′ | é conhecido como operador projeção ou projetor. Denotando-o por a , ou seja, ′
(3.1
a′ |a ′ 〈a ′ |
a relação de completeza (3.11) pode ser escrita como
∑ a
a′
(3.1
1
′
Representação Matricial Conhecendo-se os kets de base, num espaço matriz quadrada?
N −dimensional ,
como representar um operador
X
por uma
Considere a identidade X
∑|a a
′′
〈a ′′ |
′′
X
∑|a 〈a | ′
a
1
′
,
′
1
que pode ser reescrita como X
∑ ∑ |a a ′′
a′
′′
(3.1
〈a ′′ | X |a ′ 〈a ′ |. números
Quanto Quantoss número númeross da forma forma 〈a ′′ | X |a ′ existem? Sabendo-se que o conjunto a ′ a 1 , a 2 , a 3 , … , a N existem N 2 números dessa forma. Forma matricial.
Podemos colocá-los na forma matricial, fazendo as seguintes identificações
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16
(3.1
〈a ′′ | X |a ′ linha
coluna
Ou seja,
X ≗
〈a 1 | X |a 1
〈a 1 | X |a 2
〈a 2 | X |a 1
〈a 2 | X |a 2
(3.1
onde o símbolo ≗ significa “é representado por”. Usando a Eq (38) da Seç. 2, podemos escrever ∗
(3.2
〈a ′′ | X |a ′ 〈a ′ | X |a ′′ .
Para um operador Hermitiano B, ou seja, B
B , esta equação torna-se, ∗
(3.21
〈a ′′ | B |a ′ 〈a ′ | B |a ′′ .
Verificação da regra usual da multiplicação de matrizes Podemos mostrar que o arranjo 〈a ′′ | X |a ′ numa matriz quadrada satisfaz a regra usual de multiplicação.
Relação de operadores
Seja Z o produto de dois operadores Z XY .
Assim Z |a ′ 〈a ′′ | X Y | Y |a ′ 〈a ′′ | Z |
∑〈a a
′′
(3.23)
X |a ′′′ 〈a ′′′ | Y | Y |a ′ | X |
′′′
que é o produto de duas matrizes quadradas!
Relação de kets
Seja | o ket obtido pela aplicação do operador X sobre o ket | (3.24)
X | | X |
Assim 〈a ′ | 〈a ′ | X |
∑〈a | X |a ′
a
′′
(3.25)
〈a ′′ |
′′
que pode ser visto como a multiplicação de uma matriz quadrada por uma matriz-coluna. As matrizes-coluna 〈a i e 〈a i representam os coeficientes de expansão dos kets | e | , respectivamente, nos kets da base. Ou seja, 〈a 1 |
≗
〈a 2 〈a 3
〈a 1 ,
|
〈a 2
≗
〈a 3
Relação de bras
(3.26)
Seja 〈 | 〈 | X
Da mesma forma 〈 |a ′ 〈 | Xa ′
∑〈 |a 〈a | Xa ′
a
′
′
(3.28)
′′
Logo, um bra é representado por uma matriz-linha 〈 | ≗
Ca p í t u l o 1
〈 a 1 , 〈 a 2 , 〈 a 3 , 〈a 1 | ∗ , 〈a 2 | ∗ , 〈a 3 | ∗ ,
Conceitos Fundamentais
(3.29)
17
Produto interno 〈 | 〈 |
∑〈|a 〈a | ′
′
a′
〈a 1
〈a 1 ∗ , 〈a 2 ∗ 〈a 3 ∗
〈a 2 〈a 3
Produto externo | 〈 | | 〈 |
∑ ∑|a a′
′′
〈a ′′ | 〈 |a ′ 〈a ′ |
a ′′
Logo, 〈a 1 〈 |a 1 〈a 1 〈 |a 2 | 〈 |
〈a 2 〈 |a 1 〈a 2 〈 |a 2
≗
ou, usando a conjugação complexa 〈a 1 〈a 1 ∗ 〈a 1 〈a 2 ∗ | 〈 |
≗
〈a 2 〈a 1 ∗ 〈a 2 〈a 2 ∗
(3.31)
Observável A na base dos autokets autokets A
≗
∑ ∑|a a′
Como |a ′ é um autoket de A, ou seja, A|a ′
′′
〈a ′′ | A |a ′ 〈a ′ |
a ′′
a matriz 〈a ′′ | A |a ′ é diagonal:
a ′ |a ′ ,
〈a ′′ | A |a ′ a ′ 〈a ′′ |a ′ a ′ a ′ a ′′
(3.33)
Logo, A
≗
∑ ∑|a
′′
〈a ′′ | A |a ′ 〈a ′ |
∑ ∑|a
′′
a ′ a ′ a ′′ 〈a ′ |
∑ a |a
′′
〈a ′ |
∑a
a′
a′
a′
a ′′
a ′′
′
a′
′
a
(3.34)
′
Sistemass de Spin ½ Sistema Base usada: |S z z ; ≡ |
Operador identidade 1
∑
|a ′ 〈a ′ | | 〈 | |− 〈− |
a ′ ,−
Operador S z z
De acordo com (3.34), a representação de um operador na base de seus autokets é A
∑a ′
a
a′
′
Logo,
Prof Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
18
| 〈 | − |− 〈− | S z z 2
Escrito desta forma, a relação de autovalores S z z | | , ou seja, 2
≡ | 〈 | − |− 〈− | |
S z z |
2
2
| 〈 |
−|− 〈− |
1
0
| . 2
Da mesma forma, S z z |−
≡ | 〈 | − |− 〈− | |− 2
2
| 〈 |−
− |− 〈− |−
0
1
− |− . 2
1.4
Medida Med idas, s, Obs Observ erváve áveis is e Rel Relaçõ ações es de Inc Incert erteza eza
Medidas “Uma medida sempre faz com que o sistema salte para um autoestado da variável dinâmica que está sendo avaliada.”
(Dirac)
O que significam essas palavras de Dirac? Vamos analisar o processo de medida de um observável A. Nesta etapa, vamos admitir que o sistema esteja num estado representado por uma combinação linear dos autokets de A. Ou seja,
Antes Antes da medida medida..
|
∑c a
Após a medida.
|a ′ , do observável A.
′
a ′ |
′
| ,
que pode ser
∑|a 〈a | ′
a
(4.1)
′
′
Quando a medida é realizada, o sistema é “jogado” em um dos autoestados, digamos Ou seja, medida de A
(4.2)
|a ′
|
Exemplo Um átomo de prata com uma orientação de spin arbitrária mudará para um dos estados |S z z ; ou |S z z ; − , quando sujeito a um dispositivo de Stern-Gerlach do tipo SG z ̂ . Então, a medida geralmente muda o estado. A única exceção é quando o sistema já está em um dos autoestados do observável que está sendo medido. Neste caso, medida de A
|a ′
(4.3)
|a ′
Quando o sistema passa do estado inicial | para um autoestado do observável A, não sabemos de antemão em qual dos vários autoestados |a ′ ’s desse observável o sistema será encontrado como resultado de uma medida. Resultado Resultado da experiência. experiência.
Embo Embora ra não não se saib saibaa prev prever er exat exatam amen ente te em qual qual dos dos auto autoes esta tado doss o sist sistem emaa será será encontrado, podemos estimar a probabilidade do sistema saltar para um dado autoestado |a ′ de A. Admite-se que tal probabilidade seja dada por
Probabilidade.
P →a ′ |〈a ′ | |
Ca p í t u l o 1
(4.4)
2
Conceitos Fundamentais
19
que é um dos postulados fundamentais da MQ. Como definir probabilidade para um único sistema? Ensemble puro.
Embora se fale fale de um único único sistema, sistema, devemos devemos considerar considerar um grande grande número número de medidas realizadas sobre uma coleção (ensemble ) de sistemas físicos preparados identicamente, todos com o mesmo estado inicial | . Tal ensemble é conhecido como ensemble puro . | a(1)
| a(2) |α m e d di i d a d d a e A e
| a (N) Exemplo Um exemplo de ensemble puro seriam os átomos de prata que atravessam o primeiro aparelho SG z ̂ com a componente S z z − bloqueada, uma vez que qualquer átomo membro do ensemble é caracterizado por S z z .
Faz sentido a interpretação probabilística?
Casos extremos
e | f f |a ′ Considere o sistema no estado inicial no estado final |a ′ após a medida? De acordo com (4.4) |i |a ′
|a ′ .
Qual a probabilidade probabilidade de encontrar o sistema
2
P a′ →a ′ |〈a ′ |a ′ | 1
como seria esperado. Repetindo-se sucessivamente a medida do mesmo observável o resultado será sempre o mesmo. e | f f |a ′′ probabilidade vale |i |a ′
Sendo
a ′′
≠ a ′ autoestados do observável A, devido à ortogonalidade entre eles, a 2
P a ′ →a ′′ |〈a ′′ |a ′ | 0
Do ponto de vista da teoria das medidas, kets ortogonais correspondem a alternativas mutuamente excludentes. Por exemplo, se um sistema de spin ½ está no estado |S z z ; com certeza ele não pode estar no estado |S z z ; − .
Casos Gerais
Probabilidade não-negativa.
A Eq. (4.4) (4.4) satisfa satisfazz essa exigênc exigência. ia.
Quando existem várias possibilidades alternativas, a soma total das probabilidades deve ser igual a 1. A Eq (4.4) satisfaz também essa exigência.
Soma 1.
Valor Esperado O valor esperado de A com relação ao estado | é definido como (4.5)
〈 A ≡ 〈 | A | Valor medido médio
O valor esperado pode ser reescrito como
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Mecânica Quântica A
20
〈 A
∑ ∑〈|a a′
〈a ′′ | A | a ′ 〈a ′ |
a ′′
∑ ∑ a 〈|a ′
a′
′′
′′
〈a ′′ | a ′ 〈a ′ |
a ′′
∑ a 〈|a 〈a | ∑ a 〈a | ∗〈a | ′
′
′
′
a′
∑ a′
′
′
a′
a′
|〈a ′ | |
2
valor probabilidade medido a ′ de obter a ′
É muito importante não confundir autovalores com valores esperados. Por exemplo, o valor esperado de S z z para sistemas com spin ½ pode ter qualquer valor entre − /2 e /2, digamos, 0,273; por outro lado, os autovalores de S z z só podem ter dois valores: − /2 e /2.
Medida Seletiva ou Filtragem No experimento de Stern-Gerlach, permitimos que apenas os átomos com uma das componentes do spin passa passass ssee atra atravé véss do apar aparel elho ho,, bloqu bloquea eand ndoo-se se compl complet etam amen ente te a pass passag agem em de átom átomos os com com a outr outraa componente. De uma maneira geral, imaginamos um processo de medida com um dispositivo que seleciona apenas um dos autokets de A, digamos |a ′ , rejeitando todos os outros (medida (medida seletiva ); ); v. figura abaixo. Processo de medida.
| a' |α Medida de
A
| a'' 〉 a'' 〉
Matemá Matemátic tica a da medida medida seleti seletiva. va.
com
a'' ≠ ≠ a'
Matema Matematic ticame amente nte,, quantif quantificam icamos os a medida medida seletiva seletiva,, aplicand aplicando-s o-see o
operador projeção a sobre o ket | ′
(4.7)
a′ | |a ′ 〈a ′ | .
Sistemass de Spin ½Revisi Sistema ½ Revisitados tados
Na experiência de Stern-Gerlach, vimos que quando o feixe de átomos com S x x está sujeito a um aparelho do tipo SG z ̂ , o feixe se desdobra em duas componentes com intensidades iguais. Em termos dos postulados da MQ: a probabilidade para que o estado estados |S z z ; , ou simplesmente | , vale 1 . Em outras palavras,
S x x
seja “lançado” em qualquer um dos
2
2 |〈 |S x x ; | 1 . 2
Logo, |〈 |S x x ; |
1 2
|〈− |S x x ; |
1 2
Podemos construir o ket |S x x ; com segue. De acordo com a expressão acima, |S x x ; tem componentes em ambos os autokets da base de S z z . Assim, podemos escrever Ca p í t u l o 1 Conceitos Fundamentais 21
Construção dos kets |S x x ; .
1 | 2
|S x x ;
1 e i 1 |− 2
(4.9)
com 1 real. Por convenção, o coeficiente de | pode ser escolhido como sendo real e positivo.
Para construir o ket |S x x ; − , devemos observar que ambos, |S x x ; e |S x x ; − , são ortogonais, uma vez que as alternativas S x x e S x x − são mutuamente excludentes. Esta ortogonalidade exige que 〈S x x ; − |S x x ; 0.
Logo, escrevendo |S x x ; − como 1 | 2
|S x x ; −
1 e i ′1 |− 2
onde usamos a convenção acima, encontramos 〈S x x ; − |S x x ;
〈 |
1 〈− | 2
1 e −i ′1 2
1 | 2
1 e i 1 | − 2
′ ′ 1 〈 | 1 e i 1 〈 |− 1 e −i 1 〈− | 1 e i 1 − 1 〈− |− 2 2 2 2
′ 1 1 e i 1 − 1 2 2
0
de onde se obtém ′
e i 1 − 1
−1 1 − ′1 ′1 1 −
Logo 1 | 2
|S x x ; −
1 e i 1 e −i |− 2
o que nos fornece |S x x ; −
1 | − 2
1 e i 1 |− 2
Construção dos Operadores S x x e S y y Usando a equação A
∑a ′
a
a′
′
podemos agora construir o operador S x x . Seguindo a prescrição
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22
S x x |S x x ; 〈S x x ; | − |S x x ; − 〈S x x ; − | 2 2
2
1 | 2
−
2
1 e i 1 |− 2
1 | − 2
〈 |
1 e i 1 |− 2
1 〈− | 2 1 2
〈 |
1 e −i 1 2
− 〈− | 1 e −i
1
2
1 | 〈 | e −i 1 | 〈− | e i 1 |− 〈 | e i 1 e −i 1 |− 〈− | 2 2
− | 〈 | e −i | 〈− | e i |− 〈 | − e i e −i |− 〈− | 1
1
1
1
1 2e −i 1 | 〈− | 2e i 1 |− 〈 | 2 2
Ou seja, S x x e −i 1 | 〈− | e i 1 |− 〈 | 2
que é um operador Hermitiano, como deveria ser. De fato, calculando o adjunto Hermitiano desse operador, ou seja, S x x , encontramos S x x e −i 1 | 〈− | e i 1 |− 〈 | 2
e i 1 |− 〈 | e −i 1 | 〈− | 2 S x x
que é a condição para que o operador seja Hermitiano. Procedendo de uma forma similar, encontramos o operador S y y : |S y y ;
1 | 2
1 e i 2 |− 2
S y y e −i 2 | 〈− | e i 2 |− 〈 | 2
Existe alguma maneira de calcular 1 e 2 ? Vamos calcular a probabilidade |〈S y y ; |S x x ; | ?
ou seja, a probabilidade de um sistema no estado inicial |S x x ; ou |S x x ; − ser encontrado, após a medida, no estado |S y y ; ou |S y y ; − . Usando a representação desses estados na base |S z z ; , encontra-se |〈S y y ; |S x x ; |
〈 |
1 〈− | 2
1 e −i 2 2
1 | 2
1 e i 1 | − 2
1 〈 | 1 e i 1 〈 | − 〈− | 1 e −i 2 1 e i 1 − 2 〈− | − 2 2 2 2 1 1 e i 1 − 2 2 2 1 |1 e i 1 − 2 |. 2
Da mesma forma,
Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
23
|〈S y y ; |S x x ; − |
〈 |
1 〈− | 2
1 e −i 2 2
1 | − 2
1 〈 | 1 e i 1 〈 | − 〈− | 1 e −i 2 2 2 2 1 ∓ 1 e i 1 − 2 2 2 1 |1 ∓ e i 1 − 2 | 2 1 |1 e i 1 − 2 |. 2
1 e i 1 | − 2
∓ 1 e i − 〈− | − 1
2
2
Logo, |〈S y y ; |S x x ; | |〈S y y ; |S x x ; − | 1 |1 e i 1 − 2 |. 2
Mas o que significa esta probabilidade? Para responder a esta questão, vamos considerar um experimento sequencial de Stern-Gerlach do tipo SG x̂ → SG ŷ com átomos de spin ½ movendo-se na direção z . Devido à invariância rotacional do sistema físico, este experimento pode ser considerado como um do tipo SG z ̂ → SG x̂ que foi discutido anteriormente. Os resultados são exatamente os mesmos obtidos na Eq. (1.4.8), isto é, |〈S y y ; |S x x ; | |〈S y y ; |S x x ; − |
1 . 2
Em vista disto, 1 |1 e i 1 − 2 | 2
1 2
ou |1 e i 1 − 2 |
Usando a fórmula de Euler, e i
cos i sen ,
|1 e i 1 − 2 | 1
2.
podemos reescrever aquela equação como,
cos 1
1 cos 1
− 2 i sen 1 − 2 − 2 i sen 1 − 2 − 2
2
sen 2 1 − 2
1 cos 1
1 2cos 1
− 2 cos 2 1 − 2 sen 2 1 − 2
2 2cos 1
− 2
2 1 cos 1
− 2 .
Ou seja, |1 e i 1 − 2 |
≡ 2 1 cos 1 − 2 2
de onde se obtém 1 cos 1
que, evidentemente, só é satisfeita se cos 1 − 2 2
0.
− 2 1
Isto significa que
− 1 .
(4.1
2
Este resultado significa que os elementos de matrix de S x x e S y y não podem ser ambos reais. De fato, a presença dos fatores de fase e i e e i nas definições dos estados |S x x ; e |S y y ; , respectivamente, respectivamente, exige que pelo menos um deles seja 1
2
Prof Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
24
complexo. De fato, escolhendo 1
0, 2 /2 e, portanto, e i 2 i
(imaginário puro).
É conveniente escolhermos os elementos de matriz de S x x como sendo reais. Neste caso, 1 0 ou . (No caso de 1 , a orientação positiva do eixo x terá direção oposta a de 1 0). A segunda fase, 2 , para 1 0 será então: 2 2
. 2
ou −
O fato de ainda existe esta ambiguidade na escolha de 2 não significa nenhuma surpresa, uma vez que ainda não especificamos se o sistema de coordenadas que estamos usando é dextrógiro ou não. Ou seja, dados os eixo x e z , ainda existe uma ambiguidade na escolha do sentido positivo do eixo y. Veremos mais tarde que a escolha do sistema de coordenadas dextrógiro levará à escolha correta de 2 /2.
Resumo Com as escolhas 1 0 e 2
, 2
encontra-se |S x x ; |S y y ;
1 | 2 1 | 2
1 |− 2 i |− 2
e, S x x | 〈− | |− 〈 | 2
(4.1
S y y 2i
(4.1
| 〈− | − |− 〈 |
Operadores S Os operadores não Hermitianos S definidos em (1.3.38), isto é, S | 〈∓ |
podem agora ser escritos com a ajuda das Eqs. (4.18-a,b). De fato, 2S x x | 〈− | |− 〈 | 2iS y y | 〈− | − |− 〈 |
de onde se obtém 2iS y y 2S x x 2 | 〈− | 2S x x
−
2iS y y 2 |− 〈 |
Logo, S
iS ≡ | 〈− | S x x y y
S x x iS y y
iS y y
S x x − iS y y
S − |− 〈 |
S x x
−
Ou seja,
Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
25
(4.1
S S x x iS y y .
Relações de Comutação e Anticomutação Sejam os operadores A e B. Definem-se relação de comutação entre comutação entre esses operadores, A, B , como A, B ≡ AB − BA,
e relação de anticomutação, A, B , como A, B ≡ AB BA.
Relações de comutação dos operadores S x x ,
S y y
e S z z
Estes três operadores são dados por S x x | 〈− | |− 〈 | 2 S y y 2i
| 〈− | − |− 〈 |
S z z 2
| 〈 | − |− 〈− |
Relação de comutação entre S x x e S y y Seja | 〈− | |− 〈 | 2
S x x , S x x
2
| 〈− | |− 〈 |
− | 〈− | |− 〈 | | 〈− | |− 〈 | 2
2
2
2
| 〈− | 〈− | | 〈− |− 〈 | |− 〈 | 〈− | 0
1
1
|− 〈 |− 〈 | − | 〈− | 〈− | − | 〈− |− 〈 | 0
0
1
−|− 〈 | 〈− | − |− 〈 |− 〈 | −i 2
1 2
0
| 〈 | |− 〈− | − | 〈 | − |− 〈− |
0
Assim também como S y y , S y y S z z , S z z 0.
Relação de comutação entre S x x e S y y
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Mecânica Quântica A
26
| 〈− | |− 〈 | 2
S x x , S y y
−
2i
| 〈− | − |− 〈 |
2i
−i 2
2
| 〈− | − |− 〈 |
| 〈− | |− 〈 | 2
| 〈− | 〈− | − | 〈− |− 〈 | |− 〈 | 〈− | 0
1
1
− |− 〈 |− 〈 | − | 〈− | 〈− | − | 〈− |− 〈 | 0
0
1
|− 〈 | 〈− | |− 〈 |− 〈 | 1
−i 2
2
−i 2
2
0
− | 〈 | |− 〈− | − | 〈 | |− 〈− | − 2| 〈 | 2|− 〈− |
Ou seja, S x x , S y y −i
2
2
− | 〈 | |− 〈− |
i | 〈 | − |− 〈− | 2 iS z z
Da mesma forma, S y y , S z z iS x x S z z , S x x iS y y
De uma maneira geral, podemos mostrar que esses operadores satisfazem as relações de comutação S i , S j j i ijk S k k
onde ijk é o símbolo de Levi-Civita que satisfaz as relações permutação cíclica de x, y, z repetição de dois ou mais índices i, j, k permutação não-cíclica de x, y, z
1, i, j, k
ijk
0,
−1,
Relações de anticomutação dos operadores S x x , Anticomutação de S x x com S x x .
Ca p í t u l o 1
S y y
.
e S z z
Neste caso,
Conceitos Fundamentais
27
| 〈− | |− 〈 | 2
S x x , S x x
2 2
2
| 〈− | |− 〈 | 2
| 〈− | |− 〈 |
| 〈− | |− 〈 | 2
| 〈− | 〈− | | 〈− |− 〈 | |− 〈 | 〈− | 0
1
1
|− 〈 |− 〈 | | 〈− | 〈− | | 〈− |− 〈 | 0
0
1
|− 〈 | 〈− | |− 〈 |− 〈 | 1
2
2
2
2
0
| 〈 | |− 〈− | | 〈 | |− 〈− |
2 2
2| 〈 | 2|− 〈− |
2
| 〈 | |− 〈− | 1
2
. 2
Da mesma forma, podemos mostrar que 2 . S y y , S y y S z z , S z z 2
Seja a relação S x x , S y y
Anticomutação de S x x com S y y .
| 〈− | |− 〈 | 2
S x x , S y y
2i −i 2
| 〈− | − |− 〈 | 2
2i
S x x S y y S y y S x x .
Substituindo as expressões, encontra-se
| 〈− | − |− 〈 |
2
| 〈− | |− 〈 |
| 〈− | 〈− | − | 〈− |− 〈 | |− 〈 | 〈− | 0
1
1
− |− 〈 |− 〈 | | 〈− | 〈− | | 〈− |− 〈 | 0
0
1
− |− 〈 | 〈− | − |− 〈 |− 〈 | 1
−i 2
2
0
− | 〈 | |− 〈− | | 〈 | − |− 〈− |
0.
Da mesma forma encontraremos S y y , S z z S z z , S x x 0
De uma maneira geral, as relações de anticomutação entre os três operadores podem ser escritas na forma abreviada como S i , S j j 1 2 ij , 2
i, j x, y, z .
Esta relação de anticomutação é um caso especial para sistemas de spin ½, ½, não valendo para outros valores de spin.
Operador S 2 Prof Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
28
Vamos definir o operador S 2
S S,
como 2 2 2 S 2 S x x S y y S z z
Da relação de anticomutação S x x , S x x obtém-se S x x , S x x 2S x x2 → S x x2 1 S x x , S x x 1 2 2
4
Da mesma forma, 1 2. 2 S y y2 S z z 4
Logo, 3 4
S2
2.
que é uma constante multiplicada pelo operador identidade. A forma deste operador é um caso especial para sistemas de spin ½, ½, não valendo para outros valores de spin.
Para este caso, podemos mostrar facilmente que S 2 , S i 0,
i x, y, z .
Observáveis Compatíveis Dois observáveis observáveis entre si, ou seja,
A
e
B
são definidos serem compatíveis, quando os corresponde correspondentes ntes operadores operadores comutam comutam A, B 0;
e, incompatíveis , quando os operadores correspondenete não comutam entre si, A, B ≠ 0.
Os observáveis S 2 e S z z são compatíveis , enquanto que S x x e S z z são incompatíveis .
Exemplo
Observáveis Observáveis compatíveis compatíveis A e B.
autokets de A.
Vamo Vamoss adm admititir ir,, como como usua usual,l, que que o espa espaço ço ket ket seja seja desc descri rito to pelo peloss (Poderíamos também considerar que o mesmo espaço fosse descrito pelos autokets de B).
Para observáveis compatíveis A e B, como se relacionam os autokets desses dois operadores ? Antes de responder a esta questão, vamos abordar o conceito da degenerescência de degenerescência de autovalores.
Degenerescência Quando existem dois (ou mais) autokets de A, linearmente independentes, com os mesmos autovalores, dizemos que estes autovalores dos dois (ou mais) autokets são degenerados . Neste caso, a notação |a ′ que rotula o autoket apenas por seu autovalor não dá uma descrição completa. Pior ainda, é que o conceito de espaço ket sendo descrito pelo conjunto de autokets |a ′ tem problemas quando a dimensionalidade do espaço ket é maior do que o número de autovalores autovalores distintos. distintos. Felizmente, em aplicações práticas práticas em MQ, os autovalores autovalores de algum outro observável observável B que comuta com A, podem ser usados para rotular esses autokets degenerados. Teorema Suponha que A e B sejam observáveis compatíveis, e os autovalores de A são não-degenerados. Então, os elementos de matriz 〈a ′′ | B |a ′ são todos diagonais. (Não devemos esquecer que os elementos de matriz de A já são diagonais se |a ′ forem usados como kets de base.) Prova:
Usando a definição de observáveis compatíveis, sabemos que A,, B |a ′ 0 〈a ′′ | A
Ou seja
Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
29
〈a ′′ | AB − BA |a ′ a ′′ − a ′ 〈a ′′ | B |a ′ 0
que tem como solução se
〈a ′′ | B |a ′ ≠ 0,
a ′′ a ′ .
se
〈a ′′ | B |a ′ 0,
a ′′
≠ a′
Na forma compacta, podemos escrever os elementos de matriz como 〈a ′′ | B |a ′ a ′ a ′′ 〈a ′ | B |a ′
o que prova a afirmativa de que os elementos de matriz 〈a ′′ | B |a ′ são todos diagonais.
Operador B na Base dos Autokets de A Seja a identidade
∑ ∑|a
B
a′
′′
〈a ′′ | B |a ′ 〈a ′ |.
a ′′
Substituindo o resultado (1.4.29), encontra-se B
∑ ∑ |a a′
′′
a′′ a′ 〈a ′′ | B |a ′′ 〈a ′ |
a ′′
′′
〈a ′′ | B |a ′′ 〈a ′′ |.
a ′′
Fazendo este operador atuar num autoket de B |a ′
∑ |a
∑ |a a
A, ′′
digamos |a ′ , tem-se (4.31
〈a ′′ | B |a ′′ 〈a ′′ |a ′ 〈a ′ | B |a ′ |a ′
′′
Mas isto não é nada mais do que a equação de autovalores para o operador B com autovalor b′
(4.3
≡ 〈a ′ | B |a ′
Logo, o autoket |a ′ é um autoket simultâneo de simultâneo de A e B. Devido a essa imparcialidade |a ′ em relação a ambos os operadores, podemos renomeá-lo como |a ′ , b ′ para carecterizar este autoket simultâneo. Caso degenerado Embora a prova dada acima seja para o caso onde os autokets de também vale se existir uma ênupla degenerescência, ou seja, A|a ′i a ′ |a ′i ,
para i
A
são não-degenerados, o enunciado
1,2, … , n,
onde |a ′i são n autokets de A mutuamente ortonormais. Para que se possa ver isso, precisamos apenas construir n apropriadas combinações lineares de |a ′i que diagonalizam o operador B (v. Seç. 1.5). Um autoket simultâneo de A e B, denotado por |a ′ , b ′ , tem a propriedade A |a ′ , b ′ a ′ |a ′ , b ′ B |a ′ , b ′ b ′ |a ′ , b ′
Quando não existe degenerescência, esta notação é supérflua, uma que, da Eq. (1.4.32), vê-se que especificando-se a ′ , necessariamente conhecemos o b ′ que aparece em |a ′ , b ′ . A notação |a ′ , b ′ é muito mais poderosa quando existem degenerescências. Veja exemplo abaixo.
Os autovalores de L 2 (quadrado do momento angular orbital) e L z (componente-z do momento angular Exemplo orbital) valem 2 l l 1 e m l 2 , respectivamente. sendo l um número inteiro e m l −l , −l 1, … , l . Para caracterizar completamente um estado de momento angular precisamos especificar tanto l como m l . Por exemplo, dizendo-se apenas que l 1, os valores de m l ainda podem ser −1, 0 ou 1. Dizendo-se que m l 1, l pode ter os valores 1,2,3, … . A única maneira de não sermos ambiguos em relação ao estado de momento angular, é especificarmos
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Mecânica Quântica A
30
simultaneamente os valores de l e m l , ou seja, |l , m l .
Índices coletivos Às vezes um índice coletivo pode coletivo pode ser usado para caracterizar a ′ , b ′ , tal que K ′ |a ′ , b ′ | K
Generalização para Mais de Dois Observáveis Compativeis A condição para os observáveis A, B, C , … serem compatíveis, pode ser generalizada para (4.3
A, B B, C A, C 0.
Dada uma lista de observáveis, o conjunto máximo de observáveis comutantes é o maior conjunto que podemos formar com esses observáveis sem que se viole a condição (1.4.36). Conjun Con junto to máximo máximo de obs observ erváve áveis is comuta comutante ntes. s.
Os operadores individuais A, B, C , … , podem ter degenerescência, mas se especificarmos uma combinação a ′ , b ′ , c ′ , … , entã entãoo os corre corresp spon onde dent ntes es auto autoke kets ts simul simultâ tâne neos os de A, B, C , … são são espec especifi ificad cados os sem sem ambiguidades. ambiguidades. Podemos usar o índice coletivo K ′ para representar a ′ , b ′ , c ′ , … . A relação relação de ortogonalidade ortogonalidade para K ′ |a ′ , b ′ , c ′ , … | K
será (4.3
K ′ K ′ K ′′ a′ a ′′ b ′ b ′′ c ′ c ′′ … 〈 K ′′ | K
enquanto que a relação de completeza, será escrita como K 〈 K | ∑ ∑ ∑ |a , b , c , … 〈a , b , c , … | 1 ∑| K ′
′
′
K
′
a
′
b
′
c
′
′
′
′
(4.3
′
′
Medidas de Observáveis Compatíveis Suponh Suponhaa um sistema sistema num estado inicial inicial | , quando quando realiza realizamos mos medidas medidas dos observáveis compatíveis A e B. Suponha ainda que medimos primeiro o observável A, obtendo como resultado a ′ . Subsequentemente, medimos B, obtendo-se b ′ . Finalmente, medimos A novamente. Caso Caso não deg degene enerad rado. o.
Qual o valor que obteremos para esta nova medida de A? Com base no formalismo de medidas, a resposta é simples: a terceira medida ( A) sempre dará a ′ com certeza. Isto é, a segunda medida ( B) não destrói a informação obtida previamente na primeira medida ( A). Isto é óbvio quando os autovalores de A são não-degenerados:
|α〉
medida de A
medida medida de de
medida de
B
|a',b' 〉
|a',b' 〉
A
|a',b' 〉
(4.4
Quando existe degenerescência, o argumento é como segue: Após a primeira medida o sistema se encontra em alguma combinação linear do tipo
Caso degenerado.
( A), que dá a ′ ,
n
∑c
i ′ i a ′ |a , b
(4.41
,
i
onde n é o grau de degenerescência degenerescência,, e os kets |a ′ , b i têm o mesmo autovalor a ′ com relação ao operador A. A segunda medida ( B) pode selecionar apenas um dos termos da combinação linear (1.4.41), digamos, |a ′ , b j , mas a terceira medida aplicada a ele ainda dá a ′ . Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
31
Tendo ou não degenerescência, as medidas de A e B não se interferem. O termo compatível é, de fato, apropriado.
Observáveis Incompatíveis Neste caso, os operadores correspondentes aos observáveis A e B não comutam entre si. Ou seja, A, B ≠ 0.
Isto significa que observáveis incompatíveis não têm um conjunto completo de autokets simultâneos, como no caso anterior. Para demonstrar, vamos considerar que, ao contrário, existe um conjunto completo de autokets simultêneos. Logo,
Demonstração.
′
′
AB |a ′ , b ′ b A |a ′ , b ′ a ′ b |a ′ , b ′ BA |a ′ , b ′ a ′ B |a ′ , b ′ a ′ b ′ |a ′ , b ′
Então, (4.4
AB |a ′ , b ′ BA |a ′ , b ′
o que significa AB − BA |a ′ , b ′ 0
ou, mais precisamente, A, B 0
o que está em contradição com a hipótese de que os operadores são incompatíveis. Em geral, |a ′ , b ′ não faz sentido para observáveis incompatíveis.
Existe porém um exceção interessante: interessante: é o que acontece quando existe um subespaço subespaço do espaço ket tal que (1.4.44) vale para todos os elementos deste subespaço, mesmo que A e B sejam incompatíveis. Exemplo Momento angular orbital: Considere um estado l 0 (estado s ). Embora os operadores L x e L z não comutem, este estado é um autoestado simultâneo de L x e L z (com autovalores nulos para ambos os operadores). O subespaço neste caso é unidemensional.
Observáveis Incompatíveis e SG Sequencial Considere um sequência de medidas seletivas mostrada na parte (a) da figura abaixo.
O primeiro filtro A seleciona o estado |a ′ e rejeita os demais. O segundo filtro B seleciona o estado |b ′ e rejeita os demais. O terceiro filtro C seleciona o estado |c ′ e rejeita os demais.
Qual a probabilidade de obter |c ′ , quando o feixe saindo do primeiro filtro é normalizado à unidade? Para obtermos a medida |c ′ , o feixe deve passar pelo segundo filtro e pelo e pelo terceiro filtro. Como neste caso, as probabilidades são multiplicativas, encontramos 2
|〈c ′ |b ′ | |〈b ′ |a ′ |
2
Agora precisamos somar sobre todos os estados b ′ para calcular a probabilidade total de ir através de todas as rotas possíveis b ′
∑ |〈c |b | |〈b |a | ′
b
′
′
2
′
′
2
∑〈c |b 〈b |a 〈a |b 〈b |c ′
b
′
′
′
′
′
′
(4.4
′
′
Operacionalmente, isto significa que primeiro registramos a probabilidade de obter c ′ com todos os b ′ bloqueados, com exceção do primeiro; então, repetimos o procedimento com todos os b ′ bloqueados, com exceção do segundo, e assim
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32
sucessivamente. No final, somamos todas essas probabilidades.
Veja a parte (b) da figura abaixo, onde o filtro que também pode ser escrita como
Compar Com paraçã ação o com o filtro filtro B ausente.
Claramente, a probabilidade vale |〈c ′ | a ′ |
2
,
B
foi retirado.
2 2
|〈c ′ | a ′ |
∑〈c |b 〈b |a ′
′
′
′
b′
∑ ∑〈c |b 〈b |a 〈a |b ′
b
′
b
′
′
′
′
′′
(4.4
〈b ′′ |c ′
′′
| a' 〉
| b' 〉
A
| c' 〉
B
C
(a) |a ′
∑|b ′ 〈b ′ |a ′
|
b′
A
c' 〉
C (b) (b)
Observação Note que essas duas expressões são diferentes! Mas, isto é um resultado extraordinário, uma vez que em
ambos os casos o feixe puro |a ′ , saindo do primeiro filtro A pode ser considerado como composto dos autoestados de B,, isto é, B |a ′
∑|b 〈b |a ′
′
′
b′
onde a soma é sobre todos os valores possíveis de b ′ . O ponto crucial que deve ser notado é que o resultado que emerge do filtro C depende se a medida B foi ou não realizada. No primeiro caso, verificamos experimentalmente quais dos autovalores de B realmente materializaram-se; no segundo, meramente imaginamos |a ′ ser construído dos vários |b ′ ′ s no sentido de (1.4.48). Em outras palavras, medindo-se realmente as probabilidades através de todas as rotas dos vários b ′ faz toda a diferença, mesmo que no final somemos sobre todos os b ′ . Aqui está o coração da mecânica quântica.
Em que circustâncias as duas expressões são iguais? Pode-se mostrar que, na ausência de degenerescência, a condição suficiente é que A, B 0
ou B, C
0.
Em outras palavras, essa particularidade ilustrada é característica de observáveis incompatíveis.
Relações de Incerteza Dado um observável A, definimos um operador Δ A como Δ A A − 〈 A ,
onde o valor esperado é tomado para um determinado estado físico em consideração. O valor esperado de dispersão de A. Uma vez que, Δ A 2 é conhecido como dispersão de
Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
33
Δ A 2
A − 〈 A 2
A 2 − 2 A〈 A 〈 A 2
〈 A 2 − 2〈 A 2 〈 A 2 〈 A 2 − 〈 A 2 ,
podemos definir dispersão de A como sendo 〈 A 2 − 〈 A 2 . Às vezes, os termos variância e desvio quadrático médio são médio são também usados para a mesma quantidade. Quando o estado em questão é um autoestado de A,
Dispersão tomada para um autoestado de A.
Δ A 2
〈 A 2 − 〈 A 2
A
〈a ′ | A 2 |a ′ − 〈a ′ | A |a ′ 2 a 2 〈a ′ |a ′ − a 2 〈a ′ |a ′
2
0.
ou seja, a dispersão se anula quando tomada em relação ao autoestado do operador A. Grosso modo, a dispersão de um observável, caracteriza “indefinição”. Por exemplo, para o estado S z z de um sistema de spin ½, a dispersão de S x x pode ser calculada ΔS x x 2
≡ 〈S x x2 − 〈S x x 2 〈 | S x x2 | − 〈 |S x x | 2
onde, 〈 | S x x2 | 〈 | | 〈− | |− 〈 | 2
2
2
2
2
2
| 〈− | |− 〈 | |
〈 | | 〈− || 〈− | | 〈− ||− 〈 | |− 〈 || 〈− | |− 〈 ||− 〈 | |
〈 || 〈 || 〈 ||− 〈− || 0
1
1 2. 4
e 2
〈 |S x x |
〈 | | 〈− | |− 〈 | | 2
2
2
2
2
2
2
〈 | | 〈− | |− 〈 | | 〈 || 〈− || 〈 ||− 〈 || 2
0
Logo, 〈S x x2 − 〈S x x 2 1 2 . 4
ΔS x x 2
Ao contrário, a dispersão dispersão ΔS z z 2 nula), enquanto que S x x é impreciso. Relação de incerteza.
0
para o estado
Sejam os observáveis
A
e
S z z .
B.
Assim, para o estado
S z z , S z z
é preciso (dispersão
Então, para qualquer estado devemos ter a seguinte
desigualdade Δ A 2
Δ B 2
≥ 1 |〈 A, B | 2 .
(4.5
4
Para prová-la, consideremos os seguintes lemas: Prof Abraham Moysés Cohen
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34
Lema (1)
Desigualdade de Schwartz 〈 | 〈 | ≥ |〈 | | 2
que é análoga a |a | 2 |b | 2
≥ |a b | 2
no espaço euclidiano. Prova:
Note que 〈 | 〈 | ∗ | | ≥ 0,
ou seja, 〈 | 〈 | ∗ 〈 | | | 2 〈 | 1 2 Re〈 | | | 2 〈 | ≥ 0
onde é um número complexo. Esta desigualdade deve valer quando −〈 | / 〈 | . Logo, 〈 | 〈 | 2 Re − 〈 | 〈 |
|〈 | | 2 |〈 | | 2
〈 |
〈 | 〈 | − 2|〈 | | 2 |〈 | | 2 〈 | 〈 | − |〈 | | 2 ≥ 0
que é a mesma relação da desigualdade de Schwartz. Lema (2) O valor esperado de um operador Hermitiano é real.
Prova:
A prova já foi dada em (1.3.21).
Lema (3) O valor esperado de um operador anti-Hermitiano, definido como C −C é imaginário puro.
Prova:
Veja a prova do lema (2).
Com esses lemas, estamos prontos para provar a relação de incerteza (1.4.53). Usando o Lema (1) com | Δ A|
,
| Δ B|
onde | em branco, enfatiza o fato de que as considerações aqui podem ser aplicadas a qualquer ket, obtemos 〈 | 〈 | ≥ |〈 | | 2 → Δ A 2
Δ B 2
≥ |〈Δ A Δ B | 2
onde usamos a hermiticidade dos operadores Δ A e Δ B. Cálculo do lado direito.
Para calcular |〈Δ A Δ B | 2 , observe que Δ A Δ B 1 Δ A, Δ B 1 Δ A, Δ B 2 2
onde o comutador Δ A, Δ B vale Δ A, Δ B A − 〈 A , B − 〈 B A − 〈 A B − 〈 B − B − 〈 B A − 〈 A AB − A〈 B − 〈 A B 〈 A 〈 B − BA B〈 A 〈 B A − 〈 B 〈 A AB − BA A, B ,
é anti-Hermitiano. Ou seja, Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
35
Δ A, Δ B A, B AB − BA BA − AB − AB − BA − A, B
Ao contrário, o anticomutator Δ A, Δ B é obviamente Hermitiano. Assim, 〈Δ A Δ B 1 〈Δ A, Δ B 1 〈Δ A, Δ B 2
2
imaginario puro
real
onde usamos os Lemas (2) e (3). Portanto, o lado direito torn-se 2 |〈Δ A Δ B | 1 4
Δ A, Δ B
2
1 4
Δ A, Δ B
2
Então, Δ A 2
Δ B 2
≥ |〈Δ A Δ B | 2
ou Δ A 2
1.5
Δ B 2
≥ 1 4
Δ A, Δ B
2
Mudança de Base
Operador de Transformação Considere dois observáveis incompatíveis, conjunto |a ′ ou pelo conjunto |b ′ .
A
e B, e que o espaço ket em questão possa ser descrito pelo
Exemplo Sistema de spin ½: |S z z ; podem ser usado como base, da mesma forma que |S x x ; . Mas os dois conjuntos diferentes de kets de base descrevem o mesmo espaço de ket.
Como essas duas descrições estão relacionas? A mudança do conjunto de kets de base é referido como mudança de base ou mudança de representação .
Mudanç Mudança a de base. base.
Refere-se à base na qual os autokets de base são dados. Por exemplo, se a base de autokets é dada por |a ′ é chamada de representação de A, ou às vezes, representação diagonal de A, uma vez que a matriz quadrada correspondente a A é diagonal nesta base. Representação.
Refere-se ao operador que conecta dois conjuntos ortornormais: a base
Operador Operador de transformaçã transformação. o.
antiga |a ′ e a nova base |b ′ . Teorema Dado dois conjuntos de kets de base, ambos satisfazendo ortonormalidade e completeza, existe um operador unitário U tal que b 1 U a 1 ,
b 2 U a 2 , … ,
(5.1)
b N U a N .
Entende-se como operador unitário aquele que satisfaz as condições U U 1
(5.2)
UU 1
(5.3)
assim como
Prova:
Seja o operador U
∑
(5.4)
b k 〈a k .
k
Aplicando em
a l ,
Prof Abraham Moysés Cohen
ou seja,
Mecânica Quântica A
36
∑
U a l
b k 〈a k
a l
k
∑
b k 〈a k a l
k
∑
b k kl
k
(5.5)
b l
como queríamos. Agora vamos mostrar que U é unitário, U U
∑∑ k
a l 〈b l b k 〈a k
l
∑
lk
a k 〈a k
k
1,
onde usamos a ortonormalidade de |b ′ .
Matriz de Transformação De acordo com (1.5.5),
|a ′ .
Representação do operador U na base antiga
〈a k |U |a l
〈a k |b l .
Em outras palavras, os elementos de matriz da matriz U são os produtos internos entre os bras da base antiga e os kets da nova base. Lembre-se que a matriz rotação que muda de uma base x̂ , ŷ, ẑ para x̂ ′ , ŷ ′ , ẑ ′ , pode ser escrita como x̂ x̂ ′
x̂ ŷ ′
x̂ ẑ ′
ŷ x̂ ′ ŷ ŷ ′ ŷ ẑ ′
R
ẑ x̂ ′
ẑ ŷ ′
.
ẑ ẑ ′
A matriz quadrada 〈a k |U |a l é chamada de matriz de transformação da transformação da base Coeficiente de expansão.
Dado um ket arbitrário
| ,
|a ′
para a base
|b ′ .
cujos coeficientes coeficientes 〈a ′ | são conhecidos na base
antiga, |
∑ |a
l
〈a l | .
l
Como obter os coeficientes de expansão 〈b ′ | na nova base? Multiplicando a expansão por 〈b k |, encontramos 〈b k |
∑ 〈b
k
|a l 〈a l |
k
|U |a l 〈a l | .
l
∑ 〈b
(5.1
l
Em notação matricial, esta equação nos diz que a matriz-coluna de | na nova base pode ser obtida, aplicando-se a matriz quadrada U sobre a matriz-coluna de | na base antiga:
(Nova) U (antiga) Elementos de matriz nas duas bases.
Ca p í t u l o 1
Seja
Conceitos Fundamentais
37
〈b k | X |b l
∑ ∑〈b
m
k
n
∑ ∑ 〈a
m
| a m 〈a m | X |a n 〈a n |b l
k
U
|
|a m 〈a m | X |a n 〈a n |
U |a l
n
conhecida como transformação de similaridade , em álgebra matricial, X ′ Traço de um operador operador X .
U X U
(5.1
É a soma dos elementos da diagonal tr X
∑ 〈a | X |a ′
′
a′
Da definição de tr X , podemos podemos mostrar mostrar que esta função independe da base em que o operador é representado. Ou seja, O traço de um operador não depende da base.
∑ 〈a | X |a ′
′
a′
∑ ∑∑
〈a ′ | b ′ 〈b ′ | X |b ′′ 〈b ′′ |a ′
∑ ∑∑
〈b ′ | X |b ′′ 〈b ′′ |a ′ 〈a ′ | b ′
a′
b′
a′
b′
∑∑
b′
b ′′
〈b ′ | X |b ′′ 〈b ′′ | b ′
b ′′
∑
b ′′
b ′ b ′′
〈b ′ | X |b ′ .
b′
Pode-se mostrar que
Outras relações envolvendo o traço.
tr XY tr YX tr U XU tr X tr |a ′ 〈a ′′ | a ′ a′′ tr |b ′ 〈a ′ | 〈a ′ |b ′ Diagonalização.
Estamos interessados nos autovalores b ′ e os autokets |b ′ , com a propriedade B |b ′ b ′ |b ′ .
Vamos reescrever esta equação como
∑〈a
′′
(5.1
B |a ′ 〈a ′ |b ′ b ′ 〈a ′′ | b ′ | B
a′
Quando | b ′ corresponder ao l --ésimo ésimo autoket do operador matricial, como segue: C 1
B 21 B 22 B 23
C 2
podemos reescrever esta equação em notação
l
B 11 B 12 B 13
B,
l
l
C 1
b l
(5.1
l
C 2
com (5.2 (5.2
B ij 〈a i | B B |a j l
C k 〈a k |b l
com i, j, k 1,2, … , N (dimensionalidade do espaço). Soluções não triviais para C k l são possíveis somente se a equação característica, det B − 1 0,
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Mecânica Quântica A
38
for satisfeita.
Esta equação é de N -ésima -ésima ordem em determinar.
e as
N
raizes obtidas são identificadas com os
Conhecendo Conhecendo os b l ’s podemo podemoss resolv resolver er para para os corres correspon ponden dentes tes determinada pela condição de normalização.
l
C k
b l ’s
que queremos
’s a menos de uma constante que é
Comparando (1.5.20-b) com (1.5.7) vê-se que os C k l ’s são justamente os elementos da matriz unitária envolvida na mudança de base |a ′ → |b ′ . Para o procedimento de diagonalização via matriz unitária, a questão da hermiticidade do operador B é importante.
Exemplo
No caso do operador S não-Hermitiano, sua representação matricial na base de S z z , que é dada por S
≗
0 1 0 0
(5.2
,
não pode pode ser diagon diagonali alizad zadaa via matriz matriz unitár unitária. ia. No Capítu Capítulo lo 2 serão serão encont encontrad rados os autoke autokets ts de um operad operador or não-Hermitiano em conexão com os estados coerentes de um oscilador harmônico simples, embora sabendo que eles não formam um conjunto completo ortonormal.
Observáveis Equivalentes Considere o seguinte teorema sobre transformação unitária Teorema Considere novamente dois conjuntos de bases ortonormais, |a ′ e |b ′ conectados pelo operador U (1.5.4). Conhecendo U , podemos construir uma transformação unitária de A,
UAU −1 ;
então A e UAU −1 são denominados de
observáveis equivalentes por transformação unitária. A equação de autovalores para A A||a l a l | a l , A
o que implica claramente em UAU −1 U |a l a l U | a l
Mas isto pode ser reescrito como (5.2
UAU −1 |b l a l | b l .
Este resultado aparentemente simples é muito profundo. Ele nos diz que os kets | b l ’s são autokets de UAU −1 com exatamente os mesmos autovalores de A. Em outras palavras, observáveis equivalentes têm espectros idênticos. Seja | b l e, por definição, B | b l b l | b l .
Compar Comparand andoo com (1.5.2 (1.5.25), 5), infere infere-se -se que fundamental é:
B
e
UAU −1
são simultan simultaneam eament entee diagonl diagonlizáv izáveis. eis. A questão questão
Os operadores B e UAU −1 são os mesmos? Nos casos de interesse físico, a resposta sim é muito frequente. frequente. Tome, por exemplo, relacionados por uma rotação em torno do eixo y, como será mostrado no Capítulo 3.
1.6 1. 6
S x x
e
S z z ,
que são
Posi Po siçã ção, o, Mo Mome ment nto o e Tr Tran ansl slaç ação ão
Espectro contínuo Observáveis Observáveis com autovalores autovalores contínuos: qualquer valor real entre − e . Seja a equação de autovalores para o caso do espectro contínuo: Ca p í t u l o 1 Conceitos Fundamentais 39
(6.1)
| ′ ′ | ′
onde é um operador e ′ é um número. O ket | ′ é o autoket do operador com autovalor ′ . Seguindo uma analogia com o caso discreto, vamos substituir o símbolo de Kronecker, ij , pela função delta de Dirac, − ′ , e a soma sobre autovalores discretos a ′ por uma integral sobre a variável contínua . Ou seja, Discreto
→
Contínuo
〈a ′ |a ′′ a ′ a ′′
→
〈 ′ | ′′ ′ − ′′
∑ |a ′ 〈a ′ | a
1
d ′
→
| ′ 〈 ′ | 1
′
|
∑ |a ′ 〈a ′ |
d ′
|
→
| ′ 〈 ′ |
a′
∑ |〈 a ′ | | 2
1
d ′
→
|〈 ′ | |
2
1
a′
〈 |
∑ 〈 |a ′ 〈a ′ |
d ′
〈 |
→
〈 | ′ 〈 ′ |
a′
〈a ′′ | A |a ′ a ′ a ′ a ′′
〈 ′′ | | ′ ′ ′′ − ′
→
Autokets da Posição e Medidas da Posição Como foi enfatizado na Seç. 1.4, medida em MQ é essencialmente um processo de filtragem.
Os autokets
Operador posição em uma dimensão.
| x ′ do operador posição x
satisfazem
x | x ′ x ′ | x ′
e formam um conjunto completo (postulado). Não se deve confundir: x ′ é um número enquanto que x é um operador. Expansão de um estado arbitrário.
O ket
|
para um estado físico arbitrário pode ser expandido em termos
dos | x ′ : |
− dx
′
(1.6
| x ′ 〈 x ′ |
Supo Suponh nhaa um dete detect ctor or muit muitoo pequ pequen enoo que que clica clica somen somente te quan quando do a part partíc ícula ula está está ′ exatamente na exatamente na posição x . Imediatamente após o detector clicar, podemos dizer que o estado em questão é representado por | x ′ . Em outras palavras, quando o detector clica, | “salta” abruptamente para o autoestado ou S z z − , quando sujeito a | x ′ da mesma maneira como um estado arbitrário de spin salta para o estado S z z aparelho de SG do tipo S z z . Experimento.
O melhor que o detector pode fazer na prática é localizar a partícula dentro de um pequeno intervalo, Δ, em torno de x ′ , ou seja, x ′ − Δ /2, x ′ Δ /2 . O detector na prática.
Após o clique do detector, o estado ket muda abruptamente como segue: medida
|
− dx
′′
′′
x ′ Δ /2
′′
x 〈 x | | x
x ′ −Δ /2
(6.5)
dx ′′ | x x ′′ 〈 x ′′ |
Admitindo que 〈 x ′′ | não varie apreciavelmente dentro do estreito intervalo Δ, a probabilidade para que o detector clique é dada por 2
|〈 x ′ | | dx ′
onde escrevemos dx ′ para Δ. Analog Analogia ia com o espect espectro ro discre discreto. to.
Prof Abraham Moysés Cohen
Esta expressão é análoga |〈a ′ | | 2 para a probabilidade de Mecânica Quântica A
|
ser 40
encontrado num autoestado |a ′ quando o observável A é medido. A probabilidade de encontrar a partícular em algum lugar entre − e é dada por
− dx |〈 x | | ′
′
2
que é normalizada a um se um se | for normalizado:
− dx 〈| x x 〈 x | 1.
〈 | 1
′
′
′
Observações:
A quantidade 〈 x ′ | é a função de onda para um estado representado por | . Os autokets da posição pode ser extendido para três dimensões: x | x ′ . x ′ formam um conjunto completo. Admite-se que, em MQ não-relativística, os autokets | x
Desprezando-se os graus de liberdade internos (tais como spin), o estado ket para uma partícula pode ser x ′ , ou seja expandido em termos dos | x |
d x
3 ′
x ′ 〈 x ′ | | x
x ′ é um autoket simultâneo dos observáveis x, y e z ′ . Ou seja onde x ′ representa x ′ , y ′ e z ′ ; em outras palavras, | x x ′ | x
x ′ , y ′ , z ′ , ≡ | x
x| x| x x ′ x ′ | x x ′ ,
y x | x ′ y ′ x | x ′ ,
z | x x ′ z ′ | x x ′
existe um autoket simultâneo para as três componentes do vetor posição → podemos medí-las simultaneamente. Logo, x i , x j 0
onde x 1 , x 2 e x 3 representa x, y e z , respectivamente.
Translação É a operação operação que muda um estado bem localizado localizado em torno de x ′ para um outro, também bem localizado em torno x ′ d x ′ , mantendo inalteradas as demais propriedades do sistema (spin, por exemplo). Translação infinitesimal.
O operador T que realiza essa translação, conhecida como translação infinitesimal ,
é definido como T d x ′
(6.1
x ′ d x ′ | x
onde um possível fator de fase foi tomado igual a um por convenção. Os | x x ′ não são um autokets do operador translação infinitesimal T d x ′ .
Não são autokets. Efeito de
Expande-se | em termos dos | x x ′ e aplica-se o operador translação.
T d x ′ sobre um estado | .
Ou seja, | →
T d x ′ | T d x ′ d 3 x ′ | x x ′ 〈 x ′ | d 3 x ′ | x x ′ d x ′ 〈 x ′ |
O lado direito também pode ser escrito como
d x | x x 3 ′
′
d x ′ 〈 x ′ |
d x | x x 〈 x 3 ′
′
′
− d x ′ |
Isto mostra que a função de onda de um estado transladado T d x ′ | é obtida substituindo-se em 〈 x ′ | , x ′ → x ′ − d x ′ . Propriedades que devem ter o operador translação.
Vamos relacionar algumas propriedades do operador
translação infinitesimal.
(1) Unitariedade.
Ca p í t u l o 1
Esta propriedade é imposta pela conservação de probabilidade. Se um ket | é normalizado
Conceitos Fundamentais
41
à unidade, o ket transladado,T dx ′ | , também será normalizado à unidade. Ou seja,
〈 | 〈 |T dx ′ T dx ′
Esta condição é garantida, exigindo-se que a translação infinitesimal seja unitária. Ou seja,
T
dx ′ T dx ′ 1.
(2) Translações sucessivas. Aplicando-se duas translações sucessivas, primeiro por dx ′ e em seguida por dx ′′ , não necessariamente na mesma direção, espera-se que o resultado total possa ser descrito por uma única translação equivalente ao vetor soma dx ′ dx ′′ . Assim, vamos exigir que
T dx ′′ T dx ′ T dx ′ dx ′′ . (3) Translação em direção oposta. Considere um translação em direção oposta a Esperamos que essa translação seja o mesmo que o inverso da translação original. Isto é,
T −dx ′ T (4) Translação dx ′ → ou seja,
0.
Se dx ′ →
0,
−1
dx ′ ,
ou seja, T −dx ′ .
dx ′ .
esperamos que a operação de translação reduza-se à operação identidade, lim
dx ′ →0
T dx ′ 1,
e que a diferença entre T dx ′ e o operador identidade seja de primeira ordem em dx ′ . Operador translação.
Escolhendo-se o operador translação na forma (6.2
1 − i K d x ′
onde K , K x x , K y y e De fato, veremos
K z Hermitianos, então z são operadores Hermitianos,
(1) Unitariedade .
todas as propriedades propriedades listadas acima são satisfeitas.
Seja
T
dx ′ T dx ′ 1 − iK dx ′ 1 − iK dx ′ 1 iK dx ′ 1 − iK dx ′ 1 − i K − K dx ′ O dx ′
2
≃ 1,
onde o termo de segunda ordem é desprezível para uma translação infinitesimal. (2) Translações sucessivas.
Da mesma forma,
T dx ′′ T dx ′ 1 − iK dx ′′ 1 − iK dx ′ ≃ 1 − iK dx ′′ dx ′
(3) Translação inversa.
T dx ′ dx ′′ .
Este caso pode ser facilmente mostrado
T
−1
dx ′
1 1 − iK dx ′
1 iK dx ′ O dx ′
2
≃ 1 iK dx ′
T −dx ′
(4) É facilmente verificado. Relação fundamental entre os operadores K e x.
Prof Abraham Moysés Cohen
Sejam as seguintes expressões: Mecânica Quântica A
42
xT d x ′ | x x ′ x | x x ′ d x ′ x ′ d x ′ | x x ′ d x ′
e T d x ′ x | x x ′ x ′ T d x ′ | x x ′
x ′ | x x ′ d x ′ .
Então x, x, T d x ′ | x x ′ x ′ d x ′ | x x ′ d x ′
x ′ d x ′ − x ′ | x
x ′ d x ′ d x ′ | x x ′ , ≃ d x ′ | x
onde o erro em tomar | x x ′ d x ′ → | x x ′ é da segunda ordem em d x ′ . Como | x x ′ formam formam um conjunto completo de funções, a equação acima deve valer como uma identidade de operadores. Ou seja, x, x, T d x ′
d x ′
que pode ser rescrito como x 1 − i K d x ′ − 1 − i K d x ′ x d x ′
ou ainda, − i x K d x ′ i K d x ′ x d x ′
Supondo que d x ′ esteja na direção de x̂ j , vamos formar o produto escalar com x̂ i , − i x K x̂ j dx ′ i K x̂ j dx ′ x x̂ j dx ′ − i x K j j dx ′ iK j j dx ′ x x̂ j dx ′
x̂ i i
− K j j x x̂ i i x̂ j x̂ i x i K j j − K j j x i i ij
x x̂ i K j j
Ou seja, (6.2
x i , K j j i ij
onde i, j
1,2,3
representam as componentes x, y, e z dos operadores.
Momento como um Gerador de Translação A Eq. (6.27) representa as relações de comutação entre os operadores posição,
x, y, z ,
e os operadores
K ,
K x x , K y y , K z z .
Qual o significado físico que podemos atribuir a K ? O operador torna-se
K está
relacionado com o momento linear em MQ. Com esta identificação o operador translação (6.3
T d x ′ 1 − i p d x ′ /
E as relações de comutação (6.27) tornam-se agora (6.3
x i , p j i ij
Estas relações de comutação (6.33) implicam que os pares x e p x , y e p y ; e z e p z são observáveis incompatíveis, enquanto que os demais (por exemplo, x e p y ) são observáveis compatíveis. É portanto impossíveis encontrar autokets simultâneos de x e p x y e p y ; e z e p z .
Relação de incerteza posição-momento.
Aplicando o formalismo da Seç. 1.4, obtém-se a relação de incerteza
de W. Heisenberg: Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
43
Δ x 2
Δ p x 2
(6.3
≥ 2 /4.
Translação Finita Seja uma translação por uma quantidade finita Δ x ′ na direção do eixo x, ou seja, Δ x ′ x̂ . Logo, T Δ x ′ x̂ | x x ′
x ′ Δ x ′ x̂ . | x
Podemos tratar esse deslocamento finito, como uma sucessão de deslocamentos infinitesimais (v. figura). dx' = Δ x'/ N, N → ∞
Δ x' Dividindo o deslocamento original Δ x ′ em encontra-se:
N deslocamentos dx ′
e no final tomando o limite em que
N →
,
T Δ x ′ x̂ T dx ′ x̂ dx ′ x̂ dx ′ x̂ T dx ′ x̂ T dx ′ x̂ T dx ′ x̂ N vezes
Mas, T dx ′ x̂ T dx ′ x̂ T dx ′ x̂
1−
i p x̂ dx ′
1−
N
N
Como dx ′ Δ x ′ / N , e, para N →
,
T Δ x x N lim → x
′
1−
ip x dx ′
N
encontra-se ′̂
CUIDADO: Aqui CUIDADO: Aqui exp − ip Δ x
i p x̂ dx ′
1−
ip x Δ x ′ N
N
exp −
ip x Δ x ′
(6.3
deve ser entendido com uma função do operador p x . De uma maneira geral, para
qualquer operador X , tem-se 2 e X 1 X X 2!
(6.3
Uma propriedade fundamental das translações é que translações sucessivas em diferentes direções ( x e y, por exemplo) comutam entre si. Geometricamente, isto pode ser visto na figura abaixo: ao nos deslocarmos de A para B, não interessa se vamos via C ou via D. O resultado final é o mesmo. Matematicamente, Translações em diferentes direções.
T Δ y ′ y T Δ x ′ x T Δ x ′ x Δ y ′ y T Δ x ′ x T Δ y ′ y T Δ x ′ x Δ y ′ y
de onde se obtém T Δ y ′ y , T Δ x ′ x
Prof Abraham Moysés Cohen
(6.4
0.
Mecânica Quântica A
44
D
B
Δ y' y
A
C
Δ x' x
Translações sucessivas em diferentes Este ponto não é assim tão trivial quanto possa parecer; será mostrado no Capítulo 3 que rotações em torno de diferentes eixos não comutam entre comutam entre si. Tratando Δ x ′ e Δ y ′ até a segunda ordem, encontramos T Δ y y , T Δ x x ′
′
exp
−
1−
1−
≃−
ip y Δ y ′ ip y Δ y ′
ip x Δ x ′
−
,exp
−
−
ip x Δ x ′
p y2 Δ y ′
p x2 Δ x ′
2
,
2
Δ x ′ Δ y ′ p y , p x . 2
Como Δ x ′ e Δ y ′ são deslocamentos arbitrários e usando (6.40), isto T Δ y ′ y , T Δ x ′ x
0,
encontra-se
imediatamente p x , p y 0
(6.41
p i , p j 0.
(6.4
ou, ainda mais geral Estas relações de comutação são consequência direta do fato de que translações em diferentes direções comutam entre si. Toda vez que os geradores de transformações (no caso aqui são translações) comutam o grupo correspondente é dito ser abeliano. O grupo de translações em três dimensões é abeliano. Os observáveis observáveis p x , p y e p z são compatíveis.
As relações de comutação (6.42) implicam em
p x , p y
e
p z
serem
observáveis mutuamente compatíveis. Autoket simultâneo.
Como são compatíveis, podemos imaginar um autoket simultâneo, ou seja, p ′ | p
p x′ , p y′ , p z ′ , ≡ | p
p ′ p x′ | p p ′ , p y | p p ′ p y′ | p p ′ , p z | p p ′ p z ′ | p p ′ , p x | p p ′ . Translação Translação sobre | p
Vamos aplicar o operador de translação T d x ′ sobre o autoket dos momentos,
p ′ . | p
Ou seja p ′ T d x ′ | p
1−
i p d x ′
p ′ | p
1−
i p ′ d x ′
p ′ | p
Observe que, diferentemente de | x x ′ (que mostramos não ser um autoket), os estados (autokets) de T d x ′ , como já haviamos antecipado, devido à relação de comutação Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
p ′ | p
são autoestados autoestados
45
p, p, T d x ′
0.
Note também que os autovalores de T d x ′ são complexos. Não esperamos esperamos autovalores reais porque T d x ′ , embora unitário, não é um operador Hermitiano.
As Relações de Comutação Canônicas Resumo das relações inferidas do estudo das propriedades de translação: x i , x j 0,
(6.4
p i , p j 0, x i , p j i ij
Estas relações formam a base da mecânica quântica. São conhecidas como relações de comutação canônicas ou relações de comutação fundamentais. Observações Históricas Historicamente foi Heisemberg quem mostrou em 1925 que as regras de combinações para linhas de transições atômicas, conhecidas naquele tempo, seriam melhor entendidas se fossem associadas a um arranjo de números obedecendo certas regras de multiplicação com essas frequências. Imediatamente depois, Born e Jordan, reconheceram que as regras de multiplicação de Heisenberg eram essencialmente aquelas da álgebra matricial e a teoria foi desenvolvida baseada no análogo de matriz da Eq. (1.6.46), que é agora conhecido com mecânica matricial. (1)
Dirac, também em 1925, observou que as várias relações na mecânica quântica podem ser obtidas das corresponden correspondentes tes relações na mecânica clássica, clássica, substituindo substituindo os colchetes colchetes de Poisson (da mecânica clássica) pelas relações de comutação, ou seja, (2)
, clássico →
,
(6.4
,
i
onde os colchetes de Poisson são definidos para funções de q e p, como Aq, p , Bq, p clássico ≡
∑ s
∂ A ∂ B − ∂ A ∂ B ∂q s ∂ p s ∂ p s ∂q s
(6.4
Por exemplo, em mecânica clássica temos x i , p j clássico ij
que, usando (6.47) obtém-se (1.6.33) em mecânica quântica. Tanto os colchetes de Poisson, quanto as relações de comutação satisfazem propriedades algébricas similares. Por exemplo, (3)
A, A 0 A, B − B, A A, c 0,
(c é um número)
A B, C A, C B, C A, BC A, B C B A, C A, B, C B, C , A C , A, B 0,
1.7 1. 7
(identidade de Jacobi)
Funç Fu nçõe ões s de de Ond Onda a nos nos Es Espa paço ços s da da Pos Posiç ição ão e do do Mom Momen ento to..
Função de Onda no Espaço da Posição Caso unidimensional.
Seja x | x x ′ x ′ | x x ′
Prof Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
46
e normalizada de tal maneira que a relação de ortogonalidade torna-e x ′ x ′′ − x ′ . 〈 x ′′ | x Expansão.
Um ket | representando um estado físico pode ser expandido em termos de | x x ′ , |
Coeficiente de expansão.
dx
′
x ′ 〈 x ′ | | x
O coeficiente de expansão 〈 x ′ | é interpretado de tal maneira que 2
|〈 x ′ | | dx ′
nos fornece a probabilidade da partícula ser encontrada num pequeno intervalo dx ′ em torno de x ′ . Neste formalismo, o produto interno 〈 x ′ | é o que usualmente se conhece como função de onda x ′ para o estado | . Ou seja, Função de onda.
〈 x ′ | x ′
Interpretações usando o formalismo de Dirac Produto interno.
Seja o produto interno 〈 | . Usando a completeza de | x x ′ obtém-se 〈 |
dx
′
x ′ 〈 x ′ | 〈 | x
dx
′
∗ x ′ x ′
tal que 〈 | caracteriza a integral de recobrimento ( recobrimento (overlap ) entre as duas funções de onda. A identificação de segue do postulado de completeza para | x x ′ . A interpretação mais geral de 〈 | , 〈 | com a integral de overlap segue do independente das representações , é que esse produto representa a amplitude de probabilidade para o estado | ser encontrado no estado | . Expansão função de onda.
Agora vamos interpretar a expansão |
∑ |a 〈a | ′
′
a′
usando a linguagem de função de onda. Mualtiplicando essa equação pelo autobra 〈 x ′ | pelo lado esquerdo, encontra-se 〈 x ′ |
∑ 〈 x |a 〈a | ′
′
′
a′
Na notação usual da mecânica quântica isto é reconhecido como x ′
∑c
a′ u a ′
x ′
a′
onde introduzimos uma autofunção do operador A com autovalor a ′
:
u a ′ x ′ 〈 x ′ |a ′ Elementos de matriz.
| .
Vamos examinar como 〈 | A | pode ser escrito, usando as funções de onda para | e
Assim,
dx dx 〈 | x x 〈 x | A | x x 〈 x | x x dx dx ∗ x 〈 x | A | x
〈 | A |
′
′′
′
′′
′
′
′
′′
′
′′
′′
′′
Logo, para calcularmos 〈 | A | devemos conhecer os elementos de matriz 〈 x ′ | função de duas variáveis, x ′ e x ′′ . Operado Operadorr é função função da pos posiçã ição. o.
Quando o operador
A
(7.1
A | x x ′′
que em geral é uma
é função da posição, podemos simplificar (7.10).
Suponha, por exemplo, que A x 2
Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
47
que realmente aparece no hamiltoniano do oscilador harmônico simples (Capítulo 2). Temos x ′′ ≡ 〈 x ′ | x 2 | x x ′′ 〈 x ′ | x 2 | x x ′′ 〈 x ′ | A | x 2
2
x ′′ 〈 x ′ | x ′′ | x
x ′′ x ′2 x ′ − x ′′ x ′′ 〈 x ′ | x
Substituindo em (7.10)
dx dx ∗ x x x dx ∗ x x x ′
〈 | x 2 |
′′
′
′
′
′2
′2
′
− x ′′ x ′′
′′
que ficou reduzida a uma única integral. De uma maneira geral, se A f x , então: 〈 | f x |
dx ∗ x ′
′
operador
f x ′
(7.1
x ′′
não é operador
Operador Momento na Base da Posição Por definição, momento é momento é o gerador de translações infinitesimais; tomando
Operador momento na base x.
isto como ponto de partida 1−
ipΔ x ′
dx T Δ x | x x 〈 x | dx | x x Δ x 〈 x | dx | x x 〈 x − Δ x | dx | x x 〈 x | − Δ x ′
|
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
∂ 〈 x ′ | ∂ x ′
(7.1
onde, na última passagem, usamos a expansão de Taylor para 〈 x ′ − Δ x ′ | ≃ 〈 x ′ | − Δ x ′ ∂ ′ 〈 x ′ | ∂ x
Comparando ambos os membro (7.15), encontra-se p|
dx
′
x ′ | x
−i ∂ ′ 〈 x ′ | ∂ x
(7.1
Multiplicando ambos os membros por 〈 x ′′ | encontra-se
dx dx
p| 〈 x ′′ | p
′
′
x ′ −i ∂ ′ 〈 x ′ | 〈 x ′′ | x ∂ x x ′′
− x ′ −i ∂ ′ 〈 x ′ | ∂ x
−i ∂ ′′ 〈 x ′′ | ∂ x
ou seja, 〈 x ′ | p | −i ∂ ′ 〈 x ′ | ∂ x
(7.1
onde usamos a ortogonalidade dos estados | x x ′ . Elementos de matriz do momento.
Para os elementos de matriz do momento na representação x, obtém-se x ′′ −i ∂ ′ 〈 x ′ | x x ′′ −i ∂ ′ x ′ − x ′′ 〈 x ′ | p | x ∂ x ∂ x
De (7.16), obtém-se uma identidade muito importante:
Prof Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
48
dx 〈 | x x −i ∂ x∂ 〈 x | dx ∗ x −i ∂ x ∂ x ′
〈 | p |
′
′
′
′
′
′
(7.1
′
Neste formalismo, a Eq. (7.19) não é um postulado; pelo contrário, ela foi derivada usando as propriedades básicas do momento. Aplicando repetidamente (7.17), podemos também obter: n 〈 x ′ | p n | −i ∂ ′n 〈 x ′ | ∂ x n 〈 | p n | dx ′ ∗ x ′ −i n ∂ ′n x ′ ∂ x
Funções de Onda no Espaço dos Momentos Caso unidimensional Sejam os autokets na base p
Especificação da base p.
p | p p ′ p ′ | p p ′
e p ′′ p ′ − p ′′ 〈 p ′ | p Expansão na base p.
Um estado arbitrário | pode ser expandido |
dp
′
p ′ 〈 p ′ | | p
O coeficiente 〈 p ′ | é interpretado em termos probabilísticos. Isto é, a probabilidade de que uma medida de p resulte no autovalor p ′ dentro do pequeno intervalo dp ′ é |〈 p ′ | | 2 dp ′ . É costume chamar 〈 p ′ | a função de onda no espaço dos momentos . A notação usada é a p ′ : Coeficiente de expansão.
〈 p ′ | a p ′
Se | for normalizado, obtém-se
dp 〈 | p p 〈 p | dp ∗ p p dp p
〈 |
′
′
′
′
′
′
a
a
′
a
′
2
1
Conexão entre as representações x e p Para espectro discreto, havia uma matriz de transformação que operava uma mudança de base de um conjunto antigo |a ′ para um novo conjunto |b ′ .
Espectro Espectro discreto. discreto.
Da mesm mesmaa form formaa que que para para o espe espect ctro ro disc discre reto to,, espe espera ra-s -see que que haja haja uma uma tal tal transformação. Tais informações estão contidas em 〈 x ′ | p p ′ , que é uma função de x ′ e p ′ , usualmente chamada de função de transformação da representação x para a representação p. Espectro Espectro contínuo. contínuo.
Forma explícita de 〈 x ′ | p p ′ .
Para derivarmos a forma explícita de 〈 x ′ | p p ′ , vamos usar (7.17) com | → p ′ −i ∂ ′ 〈 x ′ | p p ′ 〈 x ′ | p | p ∂ x
p ′ : | p
ou p ′ 〈 x ′ | p p ′
Ca p í t u l o 1
−i ∂ ′ 〈 x ′ | p p ′ ∂ x
Conceitos Fundamentais
49
que é uma equação diferencial para 〈 x ′ | p p ′ . Reescrevendo na forma ip ′ ∂ 〈 x ′ | p 1 ′ p p ′ ∂ x ′ 〈 x ′ | p
encontra-se como solução ipx ′
p ′ N exp 〈 x ′ | p
(7.2
onde N é uma constante de normalização a ser determinada. Embora a função de transformação 〈 x ′ p | p ′ seja uma função de duas variáveis, x ′ e p ′ , podemos temporariamente considerá-la como uma função de x ′ para valores fixos de p ′ . Ela pode ser visto como uma amplitude de probabilidade para o autoestado de momento p ′ ser encontrado na posição x ′ ; em outras palavras, é a função de onda p ′ , às vezes referida como autofunção do momento (ainda no espaço x. Assim, (7.29) para o autoestado do momento | p diz que a função de onda de um autoestado do momento é uma onda plana. É engraçado que se tenha obtido esta solução de onda plana sem resolver a equação de Schrödinger (que ainda nem escrevemos). Observação
Constante de normalização N .
Para se obter a constante de normalização
N ,
vamos primeiro considerar a
relação x ′′ 〈 x ′ | x
dp
′
p ′ 〈 p ′ | x x ′′ 〈 x ′ | p
O lado esquerdo é uma delta de Dirac (ortogonalidade) e o lado direito pode ser calculado com a forma explícita de 〈 x ′ | p p ′ (onda plana). Ou seja ip ′ x ′ − x ′′ x ′ − x ′′ | N N | 2 dp ′ exp
2 x ′ − x ′′
Logo, x ′
− x ′′ 2| N N | 2 x ′ − x ′′
e daí 1 2
2| N N | 2 1 → N
onde, por convenção, escolhemos N real e positivo. Portanto, ′
′
p 〈 x | p
ip ′ x ′
1 exp 2
.
Vamos ver como as funções funções de onda nesses dois espaços estão
Espaço da posição espaço do momento.
relacionadas. Seja
dp 〈 x | p p 〈 p | x 〈 x | 〈 p | dx 〈 p | x 〈 x ′ | ′
′
′
′
′
′
′
′
′
reescrevendo como x ′
1 2
dp exp ′
ip ′ x ′
a p ′
(7.3
ip ′ x ′
x ′
(7.3
e ′
a p
1 2
dx exp ′
−
Este par de equações é justamente o que se espera do teorema de inversão de Fourier. Prof Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
50
Pacotes de Onda Gaussiana Vamos ilustrar o formalismo básico aqui desenvolvido, considerando um exemplo físico, representado por um pacote de onda gaussiano , gaussiano , cuja função de onda no espaço x é dada por 1
〈 x ′ |
′2 − x2
exp ikx ′
1/4 d
(7.3
2d
Expandindo esta função, 1
〈 x ′ |
′
e ikx
1/4 d
−
onda plana
x ′2
e 2d 2
gaussiana
vemos que é uma onda plana expikx ′ com vetor de onda k modulada por perfil gaussiano centrado na origem. A probabilidade de observar a partícula anula rapidamente para x ′ a densidade de probabilidade vale
Probabilidade.
d .
Mas especificamente,
′2
−x 1 e d 2 d
2
|〈 x ′ | |
que tem a forma gaussianacom largura d (v. figura abaixo).
d
Densidade de probabilidade |〈 x ′ | | 2 Valores esperados de x, Valor esperado de x.
x2, p
e p 2
Seja 〈 x
− dx
′
| x ′ x ′ x ′ |
− dx
′
x ′ |
2
x ′ 0
por simetria. Valor esperado de x 2 .
Seja
− dx dx −
〈 x 2
′
′
| x ′ x ′2 x ′ | x ′2
1 d
x ′ |
− dx
′
2
x ′2 exp
′2
− x2 d
2 d . 2
que nos leva a Δ x 2
2 〈 x 2 − 〈 x 2 d 2
para a dispersão do dispersão do operador posição. Ca p í t u l o 1
Conceitos Fundamentais
51
Seja
Valor esperado de p.
− i ∂ ′ x ′ | ∂ x ∂ exp ikx ′ − x ′2 1 −i ∂ x ′ 2d 2 1/4 d
− dx
〈 p | p |
− dx
− dx
′
| x′ ′ ik − x2 d
′
′
| x′
2
x′ |
− dx
′2
′ ik − x2 d
1 d
1 ikd d
′
e
− x2 d
ik
Neste caso, obtém-se repetindo o processo anterior,
Valor esperado de p 2 .
2 〈 p 2 2 2 k 2 . 2d
Dispersão do momento.
Usando os resultados anteriores, esta dispersão vale 2 〈 p 2 − 〈 p 2 2 2d
Δ p 2
Substituindo as dispersões na equação (1.6.34), o produto de incerteza
Relação Relação de incerteza incerteza de Heisenberg. Heisenberg.
é dado por Δ x 2
Δ p 2
2 2 2 d 2 2 2d 4
que é independente de d , tal que para o pacote gaussiano obtém-se uma relação de igualdade ao invés da desigualdade que desigualdade que é a relação mais geral. Por esta razão, o pacote gaussiano é conhecido como o pacote de onda de incerteza mínima.
Espaço dos momentos Função de onda.
Substituindo (1.7.32) e (1.7.35) em (1.7.33b) , encontramos
〈 p ′ |
− dx
1
′
p ′ | x ′ 〈 x ′ |
− dx
1/4 d 1
1/4 d
1 2
1 2
1 2
′
p ′ | x ′ exp ikx ′
′2 − x2
2d
1 2
−
dx ′ exp
−
ip ′ x ′
1
− dx exp
−
ip ′ x ′ ikx ′
1/4 d
′
− dx exp
1
1/4 d
′
− dx exp
1
1/4 d
′
− −
exp ikx ′
′2 − x2
2d
′2 − x2
2d
′ ′ x ′2 i p − k x 2d 2 ′ x ′ i p − k d 2 d 2
2
2 p ′ − k d 2 exp − 2 2
onde na última passagem, completamos os quadrados. A integral resultante vale
− dx exp Prof Abraham Moysés Cohen
′
−
′ x ′ i p − k d 2 d 2
2
2 d
Mecânica Quântica A
52
Logo, ′
〈 p |
1 2
d exp
1
1/4 d
−
2 p ′ − k d 2 2 d exp − 2 2
2 p ′ − k d 2 2 2
(7.4
Esta função de onda no espaço dos momentos fornece um método alternativo para obter 〈 p e 〈 p 2 . A probabilidade de encontrar a partícula com momento p ′ é uma gaussiana (no espaço dos momentos) centrada em k , da mesma forma que a probabilidade de encontrar a partícula na posição x ′ é uma gaussiana (no espaço das posições) centrada em zero. Além disso, as larguras das duas gaussianas são inversamente proporcionais entre si, o que representa uma outra maneira de expressar a constância do produto de incerteza Δ x 2 Δ p 2 explicitamente calculado em (7.41). Quando mais larga no espaço x mais estreita ela é no espaço p e vice-versa (v. figura abaixo). Probabilidade.
gaussiana no espa ço das posições
gaussiana no espa ço dos momentos
Comparação entre as larguras das duas gaussianas. e d → 0. Vamos considerar este caso extremo em que a largura da gaussiana no espaço x vale d → . A função de onda (7.35) torna-se uma onda plana extendida em todo espaço, com a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto x ′ sendo uma constante independente da posição. Por outro lado, no espaço dos momentos a função de onda torna-se muito localizada, tal como uma função delta, em p ′ k . Casos extremos d →
Para d → 0, ocorre exatamente o contrário: no espaço das coordenadas a função torna-se localizada (delta) enquanto que no espaço dos momentos a função de onda (7.42) é uma constante independente de p ′ . A última análise mostra que uma função de onda localizado no espaço x, corresponde a uma superposição de autoestados do momento com todos os valores possíveis dos momentos. Mesmo aqueles autoestados de momento cujos momentos são comparáveis ou excedem mc devem ser incluídos na superposição. Porém, para tais valores altos do momento, a descrição baseada na mecânica quântica não-relativística é limitada. A despeito desta limitação, nosso formalismo, baseado na existência do autoket posição x ′ , tem um amplo domínio de aplicabilidade. Funções Funções localizadas localizadas no espaço x.
Generalização a Três Dimensões Autokets da posição.
Devem satisfazer x ′ x ′ | x x ′ x | x
Autokets do momento.
Para o momento, temos, p ′ p ′ | p p ′ p | p
Normalização.
Ca p í t u l o 1
Ambos os kets obedecem as condições de normalização Conceitos Fundamentais
53
x ′′ 3 x ′ − x ′′ 〈 x ′ | x
e p ′′ 3 p ′ − p ′′ 〈 p ′ | p
onde 3 x ′ Relações de completeza.
− x ′′ x ′ − x ′′ y ′ − y ′′ z ′ − z ′′
As relações de completeza, tornam-se
d x
3 ′
x ′ 〈 x ′ | 1 | x
e
d p 3
′
p ′ 〈 p ′ | 1 | p
que podem ser usadas para expandir um estado ket arbitrário |
d x
|
d p
3 ′
x ′ 〈 x ′ | | x
ou 3
′
p ′ 〈 p ′ | | p
Os coeficientes de expansão expansão 〈 x ′ | e 〈 p ′ | são identificados com as funções de onda x ′ e p ′ no espaço das posições e dos momentos, respectivamente. Coeficientes de expansão.
Operador momento.
O operador momento, quando tomado entre | e | , torna-se | p|
Transformação.
d x
3 ′
∗ x ′ −i∇ x ′
A transformação análoga a (7.32) é p ′ 〈 x ′ | p
exp
i p ′ x ′
d p exp
i p ′ x ′
1 2 3/2
tal que x ′
1 2 3/2
′
3
p ′
e p ′
1 2 3/2
d p exp ′
3
−i p ′ x ′
x ′
***
Prof Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
54
