Capítulo 4
Simetria em Mecânica Quântica Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)
Objetivo do capítulo: discutir em termos gerais a conexão entre simetrias, degenerescências e leis de
conservação.
4.1
Simet Si metria rias, s, Lei Leiss de Con Conser servaç vação ão e Deg Degene eneres rescên cência ciass
Simetria em Física Clássica a) Formulação Lagrangeana
Uma maneira alternativa de descrever um sistema clássico é introduzir a Lagrangeana equação d ∂ L − ∂ L 0 dt ∂q̇ i ∂q i
L,
que satisfaz a
Note que L Lq 1 , q 2 , … , q N ; q̇ 1 , q̇ 2 , … , q̇ N é uma função da coordenada generalizada q i e da correspodente velocidade generalizada q̇ i . Para sistemas conservativos, L T − V
onde T é a energia cinética e V V q 1 , q 2 , … , q N , a energia potencial. Lagrangeana do oscilador.
No caso do oscilador harmônico, a Lagrangeana é dada por L x, ẋ 1 mẋ 2 2
Usando a equação de Lagrange, encontramos d ∂ L − ∂ L 0 → dt ∂ ẋ ∂ x Lagrangeana L… , q i q i , …
− 1 kx 2 . 2
d mẋ − −kx 0 mẍ dt
−kx
Se a Lagrangeana não muda sob a ação de um
L… , q i , … .
deslocamento na coordenada q i , isto é, (4.1.1)
q i → q i q i
então devemos ter ∂ L ∂q i
(4.1.2)
0
Logo, em virtude da equação de Lagrange, d ∂ L dt ∂q̇ i
− ∂ L ∂q i
0 → d
dt
∂ L ∂q̇ i
0
ou dp i 0 dt
(4.1.3)
∂ L ∂q̇ i
(4.1.4)
onde o momento canônico, p i é definido por p i
Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
1
Assim, se a Lagrangeana não varia com uma mudança na coordenada canônica q i , temos uma quantidade que se conserva, que é o momento canônico, p i , conjugado a q i . b) Formulação Hamiltoniana
Outra maneira alternativa de descrever um sistema clássico é através da Hamiltoniana H q i , p i , de onde se obtém as equações de movimento q̇ i ∂ H , ṗ i − ∂ H ∂q̇ i ∂q i Para um sistema conservativa, H é definida como H T V .
Se a Hamiltoniana não depender de q i , que é uma outra maneira de dizer que tranformação q i → q i q i , então, das equações de Hamilton, ṗ i
≡
dp i dt
− ∂ H ∂q i
Portanto, p i se conserva se H não depender da mudança q i
H
é invariante sob a
0
→ q i q i .
Simetria em Mecânica Quântica Operador unitário U operação de simetria.
U - operador de simetria, independente do sistema possuir ou não a simetria correspondente a U .
Operações de simetria que diferem da identidade por um fator infinitesimal são definidas como U 1 − i G
(4.1.7)
Caso o sistema possua a simetria associada ao operador invariante sob esta transformação. Ou seja
Sistema Sistema possui possui simetria. simetria.
U ,
então
H
é
U † HU H
(4.1.8)
G, H 0
(4.1.9)
Mas, isto é equivalente a Devido a equação de movimento de Heisenberg, temos
Constante de movimento.
dG 1 G, H 0, dt i
(4.1.10)
o que significa dizer que G é uma constante de movimento. Podemos encontrar uma conexão entre a do ponto de vista do autoket de G, quando G
Relação de comutação e a conservação através do autoket.
relação de comutação de comuta com H . Seja
|g ′ o autoket
G
com
de G para t
H e
t 0 .
a conservação de
G
Neste caso, G |g ′ g ′ |g ′ .
Em tempos posteriores, o ket pode ser obtido aplicando o operador evolução temporal: (4.1.11)
|g ′ , t 0 ; t U t , t 0 |g ′ .
Como G comuta com H , ele também comuta com U t , t 0 G |g ′ , t 0 ; t G U t , t 0 |g ′
exp−iH t − t 0 / .
Portanto, (4.1.12)
U t , t 0 G g ′ U t , t 0 |g ′
Degenerescências
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2
Suponha que (4.1.13)
H , U 0
para algum operador de simetria e
|n
é um autoket de energia com autovalor E n , ou seja, H |n E n |n
Então, U |n é também um autoket de energia com o mesmo autovalor, uma vez que (4.1.14)
H U |n UH |n E n U |n
No caso de |n e U |n representarem estados diferentes, sendo iguais suas energias, eles são estados degenerados. degenerados. Geralmente Geralmente U é caracterizado caracterizado por um parâmetro parâmetro contínuo, digamos , e, portanto, todos os estados da forma U |n têm a mesma energia. Os estados |n e U |n são diferentes.
Caso específico da rotação.
Suponha que o Hamiltoniano do sistema seja invariante por rotação. Logo, (4.1.15)
D R , H 0
que, necessariamente implica que (4.1.16)
J 2 , H 0
J, H 0,
Neste Neste caso, caso, pode podemo moss const constru ruir ir auto autoes esta tado doss simu simultâ ltâne neos os de representado pelo ket |n; j, m . De acordo com o que se mostrou, todos os estados da forma Estados Estados simultâneos simultâneos..
D R |n; j, m
∑ |n; j, m D ′
m
j mm ′
H ,
J2
e
J z z ,
(4.1.17)
R
′
têm têm a mesm mesmaa ener energi giaa E n . Observ Observee que D R |n; j, m é uma uma combin combinaç ação ão linea linearr de 2 j 1 estados independente independentes, s, corresponden correspondentes tes aos 2 j 1 valores diferentes de m ′ . Para cada valor de m, obtém uma combinação linear diferente, com a mesma energia. Portanto, D R |n; j, m tem degenerescência 2 j 1, que corresponde aos 2 j 1 valores diferentes de m. Exemplo: elétron num átomo.
Neste caso, o potencial pode ser escrito na forma V r V LS LS r L S
onde L e S são o momento angular orbital e de spin, respectivamente. Uma vez que r e L S são invariantes por rotação, esperamos que cada nível atômico tenha degenerescência 2 j 1 . Submetendo-se o átomo, a um campo elétrico ou campo magnético, por exemplo, na direção z, a simetria rotacional agora é notoriamente quebrada; como resultado, não se espera mais que os níveis tenham aquela degenerescência, ou o que dá no mesmo, que os estados caracterizados por diferentes valores de m tenham a mesma energia. Campo elétrico ou magnético.
4.2
Simet Si metria riass Dis Discre cretas tas,, Par Parida idade de ou Inv Invers ersão ão Esp Espaci acial al
Operações de simetria discreta tratadas neste capítulo: paridade, translação da rede e inversão temporal. Como aplicada a transformação de sistemas de coordenadas, muda um sistema dextrogiro em sistema levogiro , como mostrado na figura. Paridade ou Inversão Espacial.
Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
3
Sistema dextrogiro
Sistema levogiro
z novo x
y
novo y
x novo z
Dado o ket | , considere um estado espacialmente invertido, que é obtido pela aplicação do operador unitário conhecido como operador paridade, como segue: Transformação de paridade sobre kets.
(4.2.1)
| → |
Exigimos que o valor esperado de estado original. Ou seja,
x
tomado com relação ao estado invertido tenha o sinal oposto ao do (4.2.2)
〈 | † x | −〈 | x |
Isto é obtido se −x
(4.2.3)
−x
(4.2.4)
†x
ou x
onde usamos o fato de ser um operador unitário: † Transformação de |x ′ sob operação de paridade.
† 1
Como um autoket do operador posição transforma-se
paridade? Seja, x |x ′ x ′ |x ′
Então x |x ′ x ′ |x ′
Como x − x , −
x |x ′ x ′ |x ′
Então x |x ′ −x ′
|x ′
Esta equação nos diz que |x ′ é um autoket de x com autovalor −x ′ . Portanto, a menos de uma fase, ele deve ser o mesmo que o autoket da posição |−x ′ . Podemos então escrever, (4.2.5)
|x ′ e i |−x ′
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4
Por convenção, adota-se e i
1,
ou seja, |x ′ |−x ′
Aplicando novamente o operador 2 |x ′ |−x ′ |x ′ .
Então, 2 1
isto é, voltamos ao estado original aplicando duas vezes. Usando a propriedade da unitariedade, 1 → † † †
obtém-se que este operador é também Hermitiano. Assim, (4.2.7)
−1 † .
Também obtém-se que seus autovalores podem ser apenas 1. Comportamen Compor tamento to do Mome Momento nto Linear sob Paridad Paridade e dt → p m d x / dt
da mesma forma que x deve ser ímpar sob paridade
A figura mostra que uma operação de translação seguida por paridade é equivalente à paridade seguida por translação em sentido oposto. Ou seja, Momento como gerador de translações.
translação paridade
paridade translação em sentido oposto d x'
−
d x'
Em termos de operadores (4.2.8)
d x ′ T −d x ′ T
Demonstração:
Seja
|x ′
um autoket da posição. Então d x ′ |x ′ |x ′ d x ′ T |−x ′
− d x ′ T −d x ′ |−x ′ T −d x ′ |x ′
de onde segue (4.2.8) Como T d x ′ Ca p í t u l o 4
1
′ − ip d x , então obtém-se dali
Simetria em Mecânica Quântica
5
1−
ip d x ′
ip d x ′
† 1
(4.2.9)
onde multiplicamos aquela equação por † pela direita. Então, para um deslocamento fixo d x′, encontramos 1−
ip d x ′ †
† 1
− p d x
′
ip d x ′
p d x
′
ou seja, p †
−p ou , p
(4.2.10)
0
Ou seja, o operador momento anticomuta com o operador paridade. Comportamento do Momento Angular sob Paridade
Uma vez que L xp
então L † x p † x † p † L
então (4.2.11)
L L → , L 0
Para mostrar que esta propriedade propriedade também vale para spin, devemos usar o fato de que J é o gerador de rotações. Para matrizes ortogonais 3 3, temos Momento angular como gerador de rotações.
R paridade R rotação R rotação R paridade
onde R
paridade
(4.2.13)
é dado explicitamente por −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1
(4.2.14)
;
Os operadores paridade e rotação comutam. Para os operadores unitários, temos a relação correspondente (4.2.15)
D R D R
Da definição D R
1
− J n̂ / segue-se 1 − J n̂ / † 1 − J n̂ /
de onde se obtém, para uma direção fixa n̂ J † J
Operador momento angular de spin.
ou
(4.2.16)
, J 0
Para uma partícula com spin, o momento angular total J é dado por J LS
Como J,
0
e L,
0
segue-se também que S,
0.
Considere agora operadores do tipo S x. Sob rotações, eles se transformam transformam da mesma forma como escalares comuns, tais como S L ou x p. Mas, sob inversão espacial, eles se transformam da seguinte maneira: Pseudoescalar.
(4.2.18)
S x † S † x † S −x −S x
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6
e assim por diante. O operador S x é um exemplo de um pseudoescalar. Propriedade de Paridade das Funções de Onda
Seja x ′ a função de onda de uma partícula sem spin, cujo ket de estado é
|
(4.2.19)
x ′ 〈x ′ |
A função de onda do estado sujeito a uma inversão espacial, representado pelo ket | , é (4.2.20)
〈x ′ || 〈−x ′ | −x ′
Se | é um autoket do operador paridade, cujos autovalores
O ket | é um autoket do operador paridade.
são 1 como já vimos, então | |
(4.2.21)
〈x ′ || 〈x ′ |
(4.2.22)
A correspondente função de onda será Mas, como já vimos, temos também 〈x ′ || 〈−x ′ | → 〈−x ′ | 〈x ′ |
Assim, o estado | é par ou ímpar sob operação de paridade, dependendo se a correspondente função de onda satisfaz −x x
paridade par paridade ímpar
(4.2.24)
Nem todas as funções de onda de interesse físico têm paridades definidas. Por exemplo, o operador momento anticomuta com o operador paridade; logo, o autoket do momento não é também um autoket do operador paridade. Logo, a função de onda plana, e ipx / , que é a função de onda para o autoket do momento, não satisfaz (4.2.24).
Autoket do momento.
′
Um autoket do momento angular orbital deve ser também um autoket da paridade, uma vez que esses dois operadores comutam. Seja a função de onda: Autoke Aut okett do moment momento o angula angularr orbital orbital..
(4.2.25)
〈x ′ |, lm R r Y ml ,
A transformação de x ′
→
−x ′ resulta em r → r
→ − →
(4.2.26)
cos → − cos e im → −1 m e im
Usando a forma explícita, Y m l , −1
m
2l 1 l − m ! m P l cos e im 4l m ! m
(4.2.27)
−1
para m positivo, onde |m | Pl
−1 ml l |m | ! sen −|m | cos 2 l l! l − |m | !
d d cos
l−|m |
(4.2.28)
sen 2l ,
−1 l−m
então sob paridade Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
7
m Y m l − , −1 Y l ,
(4.2.29)
l |, lm −1 |, lm
(4.2.30)
l
Então, podemos concluir que Propriedades de paridades dos autoestados de energia Teorema Suponha que (4.2.31)
H , 0
e |n é um autoket não degenerado de H com autovalor E n (4.2.32)
H ||n E n |n H
então |n é também um autoket da paridade.
Seja o ket
Prova:
1 1 |n 2
(4.2.33)
De 1 1 |n 2
1 2 |n 1 1 |n
2
2
1 1 |n 2
conclui-se que este ket é um autoket do operador paridade com autovalores , H 0,
1.
Por outro lado, como
1 1 |n 2
devem representar o
então H 1 1 |n 2
também é um autoket de
H com
1 1 H H ||n E n
2
autovalor
E n.
Por outro lado,
1 1 |n 2 |n
e
mesmo estado, o que do contrário seriam dois estados com a mesma energia, o que contradiz a hipótese inicial de estados não degenerados. Segue-se que |n , que é o mesmo que
1 1 |n 2
exceto por uma
constante multiplicativa, deve ser um autoket do operador paridade com paridade 1. Exempl Exemplo o 1: Oscila Oscilador dor Harmôn Harmônico ico Simple Simples. s. ′
2
0 x ′ Ce − x / x 0 .
A funç função ão de onda onda do esta estado do fund fundam amen enta tall do OHS OHS é
Logo, 0 −x ′ 0 x ′
ou seja, tem paridade par. Portanto, o ket |0 correspondente a esta função de onde é também par: |0 |0 .
O primeiro estado excitado (4.2.34)
|1 a † |0
deve ter paridade ímpar, uma vez que Assim,
a†
é uma combinação linear de |1
x
e
p,
ambos de paridade ímpar.
−|1 .
Em geral, a paridade do n-ésimo estado excitado do OHS é dada por (4.2.35)
−1 n .
Devemos sempre observar que a hipótese de estado não degenerado é muito importante para a aplicação do teorema acima. Um contra-exemplo é o átomo de hidrogênio. Como Exemplo 2: Átomo de Hidrogênio.
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8
sabemos, o Hamiltoniano neste caso comuta com o operador paridade, uma vez que o potencial de Coulomb assim permite. Mas, sabemos também que os autovalores da energia só dependem do número quântico principal n (por exemplo, os estados 2 p e 2s são degenerados). Mas, apesar disso, um autoket da energia 4.2.35)
c p |2 p c s |2s
não é um autoket da paridade. O Hamiltoniano da partícula livre, H p 2 /2m, obviamente que comuta com operador paridade: H , 0. Mas, apesar disso, os autokets de energia deste problema, |p ′ , não são autokets do operador paridade, uma vez que p ′ anticomuta com . Mas o teorema continua válido, uma vez que existe aqui uma degenerescência entre |p ′ e |−p ′ , que são estado com a mesma energia. Ou seja, Exemplo 3: Partícula livre.
H |p ′
p ′2 |p ′ . 2m
Neste caso, os autokets da paridade são combinações lineares de |p ′ . Por exemplo, De fato,
1 |p ′ |−p ′ 2
1 |−p ′ |p ′ 2
1 |p ′ |−p ′ . 2
Em termos da linguagem das funções de onda em si, e ip x / não têm paridade definida, mas sim, suas combinações lineares , que resultam em cosp ′ x ′ / e senp ′ x ′ / . ′
′
Poço Duplo Simét Simétrico rico de Potenci Potencial al
O potencia deste problema é dado na figura abaixo. Devido à simetria, teremos obivamente, V − x V x .
Disto resulta que o Hamiltoniano comuta com a paridade, H ,
0.
E A E S Estado simétrico |S〉
Estado anti-simétrico anti-simétrico |A〉
Esta figura também mostra os dois estados de mais baixa energia, E 1 e E 2 . Explicitamente, suas funções de onda envolvem seno e cosseno nas regiões classicamente permitidas e senh e cosh na região classicamente proibi proibida. da. As soluçõe soluçõess são casadas casadas nos pontos pontos de descont descontinu inuidad idades es do potenci potencial: al: a estas estas soluções soluções chamaremos de estado simétrico |S e estado anti-simétrico | A A . Como não há degenerescências, estes estados são autokets simultâneos de H e . Os cálculos mostram que E A A E S , onde na figura E S E 1 e E A A E 2 . Isto pode ser inferido da figura, notando que a função de onda do estado anti-simético tem uma curvatura maior, e, portanto, maior energia cinética. A diferença entre as energias E S e E A A é muito pequena quando a barreira central é alta (veja discussão mais adiante). Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
9
Estados não estacionários.
Vamos construir os kets R | R
1 |S | A A 2
(4.2.37
L | L
1 |S − | A A 2
(4.2.37
e
De acordo com a figura, as funções de onda correspondentes, R e L , são fortemente fortemente concentradas concentradas do lado direito R e do lado esquerdo L do potencial, respectivamente. Esses kets não são autokets da paridade. De fato, | R R
1 |S | A A 2
1 |S | A A 2
1 |S − | A A 2
| L L
e | L L | R R
Também, os kets | R R e | L L não são autokets da energia, pois H | R R H
1 |S | A A 2
1 2
E S |S E A A A | A
≠ E | R R
A mesma coisa acontece com | L L . Estes estados são exemplos clássicos de estados não estacionários. Evolução temporal.
ket | R R no instante t
Para sermos mais precisos, precisos, vamos considerar considerar que o sistema seja representado representado pelo 0. Para tempos posteriores, R, t 0 0; t e −iHt / | R R | R
No instante t
T /2
1 2
e −iHt / |S e −iHt / | A A
1 e −iE S t / |S e −iE A A t / | A A 2 1 e −iE S t / |S e −i E A A − E S t / | A A 2
(4.2.38)
2 , 2 E A A − E S exp
−i E A A − E S t
exp
−i E A A − E S
2 2 E A A − E S
e −i
−1.
assim, R, t 0 0; t T /2 e −iE S t / 1 | R 2 e −iE S t / 1 2
A |S e −i E A A − E S t / | A A |S − | A
| L L .
Ou seja, no instante t T /2, o sistema é encontrado no estado puro | L L . Para t T , | R R, t 0 0; t T está de volta ao estado puro | R R . Logo, em geral, a frequência de oscilação entre os estados puros | R R e | L L é dada por Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
10
E A A − E S
(4.2.39)
que corresponde a um período 2 . T 2 E A A − E S
Este comportamento oscilatório pode também ser considerado sob o ponto de vista de tunelamento em mecânica quântica. Isto é: uma partícula inicialmente confinada do lado direito pode tunelar através da região classicamente proibida (barreira central) para o lado esquerdo, voltar para o lado direito e assim sucessivamente. Comportamento oscilatório e tunelamento.
Podemos mostrar que os estados |S e | A A agora são são degenerados, Neste caso, os estados | R R e | L L são autokets de energia. De fato,
Barreira Barreira central central de altura infinita. infinita.
isto é, E S
E A A E .
H | R R H | L L
1 2 1 2
E S |S E A A A | A
E | R R
E S |S − E A A A | A
E | L L
Porém, devido a degenerescência, | R R e | L L não são autokets da paridade.
Estado si s imétrico |S〉
Estado anti-simétrico anti-simétrico |A〉
O fato de | R R e | L L serem agora autokets da energia significa que, se o sistema estiver no estado | R R no instante t 0, assim permanecerá para sempre ( o período de oscilação entre os estados | R R e | L L é agora infinito ). ). Devido a altura infinita infinita da barreira barreira central, não há possibilidade possibilidade de tunelamento. R e | L L são estados estacionários. | R
Então, quando existe degenerescência, os autokets de energia que podem ocorrer fisicamente não precisam ser autokets da paridade.
Observação No caso analisado, analisado, o estado estado fundamental fundamental é assimétric assimétrico, o, a despeito despeito do Hamiltoni Hamiltoniano ano ser simétrico simétrico por invers inversão ão espaci espacial, al, tal que que,, com a deg degene eneres rescên cência cia,, a simetr simetria ia de H não é necessariam necessariamente ente obedecida obedecida pelos autoestados de energia.
Molécula de Amônia
Um sistema que ilustra a importância do poço duplo simétrico é uma molécula de amônia, NH 3 (v. figura).
Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
11
N
H
H H H
H H
N
Os três átomos de H localizam-se sobre os vértices de um triângulo equilátero. O átomo de N pode estar acima ou abaixo deste plano, onde as posições cima e baixo são definidas porque a molécula gira em torno do eixo como mostra a figura. Essas posições de N são análogas a R e L do poço duplo de potencial. Os auto autoes esta tado doss simul simultâ tâne neos os da pari parida dade de e da ener energi gia, a, são comb combina inaçõ ções es linea lineare ress de | R R → cima e L → baixo . Assim, | L |S A | A
1 2 1 2
cima
baixo
cima − baixo
A dife difere renç nçaa de ener energi giaa E A A − E S corresponde a uma frequência de oscilação de 24.000 MHz – um comprimento de onda da ordem de 1 cm, que está na região de microondas. NH 3 é de fundamental importância para a física dos masers . Regra de Seleção de Paridade
Suponha que | e | sejam autoestados da paridade: | |
(4.2.40
| |
(4.2.40
〈|x| 0
(4.2.41)
e onde e são autovalores da paridade 1 . Pode-se mostrar que exceto para − . Em outras palavras, o operador opostas. (O dipolo elétrico é um operador deste tipo.) Demonstração.
x
(de paridade ímpar) conecta estados de paridade
Seja 〈|x| 〈| −1 x −1 | 〈| −1 x −1 |
(4.2.42)
−〈|x|
ou seja Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
12
−〈|x|, se
1
〈|x| 〈|x|,
se
Assim, para 1 (mesma paridade) 〈|x| −〈|x|, o que é impossível para valores finitos diferentes de zero. Logo, o resultado só terá sentido para −1 (paridade oposta). Regra de seleção.
Em termos das funções de onda correspondentes, o argumento será
x
(4.2.43)
d 0
se e tiverem a mesma paridade (integrando ímpar). Este resultado, conhecido como regra de seleção , devido a Wigner, é de grande importância na discussão de transições radiativas entre estados atômicos. Essas Essas transiç transições ões aconte acontecem cem entre entre estados estados de parida paridade de oposta oposta como como consequ consequênci ênciaa formal formalismo ismo de expansão em multipolos. Eram conhecidas fenomelogicamente da análise de linhas espectrais, antes da Mecânica Quântica, como regra de Laporte. Wigner mostrou que a regra de Laporte é uma consequência da regra de seleção de paridade . Moment Momento o de dipolo dipolo..
O valo valorr espe espera rado do do mome moment ntoo de dipo dipolo lo num num auto autoes esta tado do de ener energi giaa
|n
é
proporcional a 〈n|x|n
Se o Hamiltoniano comuta com a paridade, H , 0
então |n é também um autoket da paridade, se os estados forem não degenerados (veja teorema acima). Logo, como consequência de (4.2.43), (4.2.44)
〈n|x|n 0
Para estados degenerados é perfeitamente possível haver momento de dipolo, como veremos no Capítulo 5. Generalização dos resultados.
Operadores que são ímpares sob ação da paridade, tal como p ou S x, têm
elementos de matriz não nulos somente entre estados de paridade oposta. Por outro lado, operadores que são pares conectam estados de mesma paridade.
Não-conservação da Paridade ★
Leia esta seção.
4.3
Transl Tra nslaçã ação o da Red Redee com como o Si Simet metria ria Dis Discre creta ta
Translação da rede → outro tipo de operação de simetria discreta. Considere o potencial periódico em uma dimensão, onde V x a V x ,
representado na parte (a) da figura abaixo.
Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
13
a
a
a
a
a
a
a
(a)
a
a
a
(b) Na prática, podemos considerar o movimento de um elétron numa cadeia regularmente espaçada de íons positivos. Operador translação de rede.
Seja o operador l que têm as seguintes propridades: l † xl x l,
(4.3.1)
l | x x ′ | x x ′ l
Em geral, o Hamiltoniano, H K V , não é invariante sob uma translação representada por l para arbitrário. Porém, quando l coincide com o espaçamento de rede a, temos
l
(4.3.2)
† a V x a V x a V x
A parte da energia cinética do Hamiltoniano,
K ≡
−
2
2m
∇ 2 , é invariante sob translação arbitrária. Logo, o
Hamiltoniano total satisfaz Como é unitário, †
† 1,
† a H a H
(4.3.3)
H a H a → H , a 0
(4.3.4)
encontra-se
Logo, H e a podem ser diagonalizados simultaneamente. Embora a seja unitário, ele não é um
operador operador Hermitiano. Em consequência consequência disto, espera-se espera-se que seus autovalores sejam números números complexos complexos de módulo 1. (A) Rede periódica com barreira infinita (parte (b) da figura).
Qual é o estado fundamental para o potencial
mostrado na figura (b) acima? Obviamente é o estado em que a partícula está completamente localizada em um dos sítios da rede.
Seja |n o ket correspondente à situação em que a partícula esteja localizada no n-ésimo sítio. Uma vez que a barreira de potencial é infinita, este estado é um autoket da energia com autovalor E 0 : H |n E 0 |n
Sua função de onda, 〈 x ′ |n, é finita apenas dentro do n-ésimo sítio, sendo nula fora dele. Entretanto, um estado similar localizado em outro sítio da rede tem também a mesma energia maneira que existe um número infinito de estados fundamentais n, onde − n . |n não é um autoket de a .
Prof. Abraham Moysés Cohen
E 0 ,
de
De fato, Mecânica Quântica A
14
(4.3.5)
a |n |n 1 ,
a despeito de comutar com H . Isto é consistente com o teorema sobre simetria, uma vez que existe degenerência (infinita). Quando existe degenerescência, a simetria do mundo não necessita ser a simetria dos autokets de energia.
Aqui a situação que acontece com |n é similar àquela do poço duplo (infinito) de potencial. Os estados | R R e | L L não são autokets de . Porém, podemos formar formar combinações combinações lineares simétrica e assimétrica desses kets, que são autokets de . Seja a combinação linear Autokets simultâneos de H e a .
|
∑e
in
(4.3.6)
|n
n−
onde é um parâmetro real com − ≤ ≤ . Vamos admitir que | seja um autoket simultâneo de H e a . Que | é um autoestdo de H é óbvio, uma vez que |n é um autoket com autovalor E 0 . Para o operador translação de rede, segue-se
a |
∑e
in
|n 1
e −i
n−
∑e
in1
(4.3.7)
|n 1 e −i |
n−
Note que este autoket simultâneo de H e a é parametrizado por um parâmetro contínuo autovalor da energia E 0 não depende de .
.
Além disto, o
Nest Nestee caso caso,, a funç função ão de onda onda 〈 x ′ |n correspondente o ket localizado |n tem uma pequena cauda extendendo-se para os sítios vizinhos devido ao tunelamento quântico. Por conta disto, |n não é mais um autoket de H . Em outras palavras, H não é mais diagonal na base |n . Devido à invariância translacional de H , todos os seus elementos diagonais são iguais, ou seja, (B) (B) Re Rede de peri periód ódic icaa com com barr barrei eira ra fini finita ta (par (parte te (a) (a) da figu figura ra). ).
(4.3.8)
〈n | H |n E 0
independente de n, como antes. Suponha agora que as barreiras sejam muito altas (mais não infinitas). Esperamos que os elementos de matriz de H entre sítios distantes sejam desprezíveis. Vamos considerar que os únicos elementos fora da diagonal importantes conectam os vizinhos mais próximos.
n-1
n
n +1
Ou seja, 〈n ′ | H |n ≠ 0
somente se n ′
n
ou n ′
(4.3.9)
n1
Em física do estado sólido, esta suposição é conhecida como aproximação tight-binding (ou ligações fortes ). ). Vamos definir (4.3.10)
〈n 1 | H |n −Δ
Novamente, devido à invariância translacional de H , Δ é independente de n (ou do sítio onde é calculado). calculado). Usando (4.3.8) e (4.3.9), e a ortogonalidade entre |n e |n ′ quando n ≠ n ′ , obtém-se Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
15
(4.3.11)
H |n E 0 |n − Δ |n 1 − Δ |n − 1
Observe que |n não é um autoket da energia. Autokets simultâneos de H e a .
Como Como fizem fizemos os anteri anteriorm orment ente, e, vamos vamos cons constru truir ir o esta estado do | como uma
combinação linear da forma
∑e
|
in
(4.3.12)
|n
n−
Agora | continua sendo um autoket de a como antes. Para H , temos:
H |
∑e
in
H |n
n−
∑e
∑e
in
|n − Δ
n−
∑e
∑e
|n 1 − Δ
∑e
in
|n − 1
n−
in
|n −
n−
E 0 |
in
n−
E 0
E 0 |n − Δ |n 1 − Δ |n − 1
n−
E 0
in
Δe −i
∑e
in1
|n 1 − Δe
n−
i
∑e
in−1
|n − 1
n−
− Δ e −i e i |
ou seja, H | E 0
(4.3.13)
− 2Δ cos |
A grande diferença entre este caso e o anterior é que agora os autovalores da energia dependem do parâmetro real contínuo . A degenerescência é quebrada para Δ finito e encontramos uma distribuição contínua de autovalores da energia entre E 0 − 2Δ e E 0 2Δ (veja figura). banda de energia energia
E 0 + 2Δ E 0 E 0 - 2Δ
Δ Significado físico do parâmetro . a | ,
Seja a função de onda 〈 x ′ |. Para do estado transladado da rede
obtém-se (4.3.14)
〈 x ′ | a | 〈 x ′ − a |
fazendo a atuar sobre 〈 x ′ |. Mas, também podemos fazer a atuar sobre | , usando (4.3.7), ou seja, a | e −i | : (4.3.15)
〈 x ′ | a | e −i 〈 x ′ |
tal que Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
16
(4.3.16)
〈 x ′ − a | e −i 〈 x ′ |
Fazendo
Solução:
ka
e introduzindo uma função periódica com período a,
u k x ′ ,
podemos mostrar que (4.3.17)
′
〈 x ′ | e ikx u k x ′
é solução de (4.3.16). De fato, substituindo (4.3.17) em (4.3.16), obtém-se explicitamente ′
′
〈 x ′ − a | e ik x −a u k x ′ − a e −ika e ikx u k x ′ e −i 〈 x ′ |
onde usamos u k x ′ − a
u k x ′ .
Esta importante condição é conhecida como teorema de Bloch : A função de ′
onda de | , que é um autoket de a , pode ser escrita como uma onda plana e ikx vezes uma função periódica com periodicidade a.
Note que o único fato que usamos foi que | é um autoket de a com autovalors e −i . O teorema de Bloch continua valendo, mesmo que a aproximação tight-binding não seja uma aproximação válida. Interpretração dos resultados para |
a função de onda é uma onda plana caracterizada pelo vetor de propagação de onda k modulada por uma função periódica u k x ′ existe um corte no vetor de onda k dado por |k |
a
para variando de − a , o vetor de onda varia de − a ≤
k ≤ a,
conhecida como zona de Brillouin
os autovalores da energia, E , agora dependem de k : E k E 0
(4.3.19)
− 2Δ cos ka
que não depende da forma detalhada do potencial, quando a aproximação tight-binding é válida.
E (k )
E 0
+ 2Δ
E 0
E 0 − 2Δ
−
k
π
0
2
+
π
2
devido ao tunelamento, as degenerescências são completamente eliminadas e as energias formam uma banda contínua entre E 0 − 2Δ e E 0 2Δ
4.4
Simet Si metria ria Dis Discre creta ta de Inv Invers ersão ão Tem Tempor poral al
O termo mais correto seria reversão do movimento . Considere a trajetória de uma partícula sujeita a um campo de força (veja a figura abaixo). Em t 0, a partícula pára (fig. a) e reverte (fig. b) o movimento: p| t 0 −p| t 0. A partícula descreve de volta a mesma trajetória. Passando um filme na ordem reversa da trajetória (a) é muito difícil distinguir-se a sequência correta. (A) Inversão temporal em mecânica clássica.
Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
17
Reverte
p t
(a)
0
− p t
0
(b) Pára em t = 0
Mais formalmente, se xt é uma solução da equação mẍ
(4.4.1)
V x , −∇ V
então x−t é também uma possível solução para o mesmo potencial. Com um campo magnético, podemos ser capazes de dizer a diferença entre os dois movimentos. De fato, passando o filme da trajetória do elétron espiralando no campo magnético é possível dizer-se se o filme está na ordem certa ou reversa, ao compararmos o sentido da rotação com os pólos magnéticos marcados com N e S. Campo magnético: ponto de vista macroscópico.
S
B
trajetória do elétron
N
Porém, do ponto de vista microscópico, B é produzido por cargas em movimento via corrente elétrica; se invertermos a corrente que produz B, então a situação seria simétrica. Em termos da figura acima, poderíamos concluir que N e S estariam marcados indevidamente. Campo magnético: ponto de vista microscópico.
Outra maneira mais formal de dizer tudo isso é que as equações de Maxwell, ∇ E 4, ∇ E − 1c ∂B , ∇ B 0, ∇ B − 1c ∂E ∂t ∂t e a força de Lorentz
4 j c
(4.4.2)
F e E 1 cvB
são invariantes por transformação t → −t , com as condições E → E,
B →
−B,
−,
j →
−
j,
v→
(4.4.3)
−v
Seja a equação de Schrödinger,
(B) Inversão temporal em mecânica quântica. i
→
∂ ∂t
−
2 ∇ 2 V
(4.4.4)
2m
Suponha Suponha que x, t é uma solução. Podemos verificar que x, −t não é uma solução. Porém, uma solução. Por exemplo, seja um autoestado da energia, Prof. Abraham Moysés Cohen Mecânica Quântica A
∗ x, −t é
18
x, t u n x e −iE n t / ,
(4.4.5)
∗ x, −t u n∗ x e −iE n t /
SubstituindoSubstituindo-se se na equação de Schrödinger, podemos verificar que ambos são solução daquela equação. Então, a inversão temporal tem alguma coisa a ver com a conjugação complexa . Se em t 0 a função de onda é dada por (4.4.6)
〈x |
então a função de onda para o correpondente estado reverso temporal é dado por 〈x | ∗ . Digressões sobre Operações de Simetria
Considere a operação de simetria
Observações gerais sobre operações de simetria.
̃ | →
| → |̃ ,
Produto interno preservado ̃ ̃ 〈 |.
(4.4.8)
Isto é correto para operadores de simetria unitários (rotação, translação e paridade). No caso da inversão temporal, que tem a ver com a conjugação complexa, uma condição mais fraca deve valer ̃ ̃ |〈 | |
(4.4.10)
̃ ̃ 〈 | ∗ 〈 |
(4.4.11)
Como consequência, temos que engloba (4.4.8). Definição
A transformação | → |̃ ,
̃ | →
(4.4.12)
|
é dita ser antiunitária se ̃ ̃ 〈 | ∗
(4.4.13a
c 1 | c 2 | c ∗1 | c ∗2 |
(4.4.13b
Nesses casos, o operador é um operador antiunitário . A relação (4.4.13b) também define um operador antilinear.
Um operador antiunitário pode ser escrito como (4.4.14)
UK
onde U é um operador unitário e K é o operador conjugado complexo, que toma o conjugado complexo de qualquer coeficiente que multiplica um ket. Ou seja, (4.4.15)
Kc| Kc| c ∗ K |
Observação (1) O operador K atuando sobre os kets de base não muda esses kets. De fato, seja | escrito na base |a ′ . Logo, |
∑ |a 〈a | → K | |̃ ∑ K 〈a ||a ∑ 〈a | ∗ K |a ′
′
′
a′
a′
′
′
′
a′
∑ 〈a | ∗ |a ′
a
′
(4.4.16)
′
Não há nada o que mudar em |a ′ :
Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
19
0
0 ′
|a
(4.4.17)
1 0
0
Observação (2) Por exemplo, se usarmos S z como base, os autokets de S y devem mudar pela ação de K K
1 | 2
i |− 2
1 | ∓ 2
→
i |− 2
(4.4.18)
Mas se os próprios autokets de S y forem usados como base, K não muda os autokets de S y .
É sempre mais seguro trabalharmos com a ação de
| → |̃
UK sobre
os kets. Se 〈|
̃ | ̃ 〈|. → 〈
Então
UK |a ∑〈a | ∗ UK | ′
′
a′
U |a ∑〈a | ∗ U | ′
′
a′
U |a ∑〈|a U | ′
′
a′
Para | ̃ | → |
CD
U |a ↔ ∑〈a | ∗ U | ′
′
∑〈a | 〈a | U
̃
′
a′
′
†
a′
Logo, ̃ ̃
∑∑ a ′′
′′
′′
U |a ′ 〈|a ′ | U † U |
a′
∑ ∑〈a | ′′
a ′′
〈|a ′ U | U |a ′
a′
∑ ∑〈a | 〈a a ′′
〈a ′′ | 〈a ′′ | U †
〈a ′′ | a ′ 〈|a ′
a′
a ′′ a ′
∑〈a | 〈 |a ∑〈|a 〈a | ′
′
′
a′
′
a′
(4.4.21)
〈| 〈| ∗
Operador Inversão Temporal Notação Usaremos a seguinte notação: - operador antiuinitário geral e Θ - operador inversão temporal.
Considere (4.4.22)
| → Θ|
onde Θ| é o estado de inversão temporal (ou de movimento reverso ). ).
Se | é um autoket do momento temporal.
|p ′ ,
Θ| → |−p ′ .
Da mesma forma,
J
também reverte por inversão
Considere Considere um sistema representado representado pelo ket Num tempo imediatamente postorior, digamos t t , o sistema é encontrado em
Propriedades fundamentais do operador t 0.
então
Prof. Abraham Moysés Cohen
Θ.
Mecânica Quântica A
|
no instante instante
20
|, t 0 0; t t
1 − iH t |
(4.4.23)
onde H é o Hamiltoniano do sistema. Operações que levam ao mesmo estado (a)
primeiro aplicamos Θ em t 0 e, em seguida, deixamos o sistema evoluir sob a influência de H : 1 − iH t Θ|
(4.4.24
ou (b)
primeiro consideramos um estado ket no instante t −t e então aplicamos o operador Θ Θ|, t 0 0; t
(4.4.24
−t
veja a figura abaixo. Momento antes da inversão
Momento antes da inv ersão ersão
Momento após a inversão
t = 0 t = 0 Momento após a inversão
t = +δt
t = -δt
(a)
(b)
Matematicamente, 1 − iH t Θ| Θ 1 − iH −t |
(4.4.25)
ou, se for válida para qualquer ket, então − iH Θ
ΘiH
(4.4.26)
ΘiH
(4.4.27)
ou ainda, em termos de uma equação de operadores − iH Θ
Observação O operador Θ tem que ser um operador antiunitário. Leia os argumentos no livro de texto.
Sendo assim, ΘiH
(4.4.30)
−iΘ H
e, portanto, (4.4.31)
H Θ Θ H → H , Θ 0
Observação Como alertamos anteriormente, é melhor evitar o uso de um operador antiunitário sobre um estado bra. Porém, podemos usar 〈 |Θ|
Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
(4.4.32)
21
que sempre será entendido como 〈 | Θ|
(4.4.33)
〈 |Θ |
(4.4.34)
e nunca como
Comportamento de operadores por inversão temporal
Seja | Θ |
(4.4.35)
〈 | X | 〈̃ | Θ X † Θ −1 |̃
(4.4.36)
|̃ Θ | ,
Identidade:
Demonstração:
Vamos definir |
onde X é um operador linear
CD
≡ X † | 〈 |
X a| b| aX | bX |
〈 | X
, mas não necessariamente Hermitiano. Então,
X | 〈 | 〈̃ |̃ 〈 | X | 〈 | X ̃ |Θ| 〈 ̃ |Θ X † | 〈 ̃ |Θ X † Θ −1 Θ| 〈 ̃ ̃ |Θ X † Θ −1 | 〈
que prova a identidade. Em particular, para observáveis Hermitianos A, obtemos 〈 | A | 〈̃ |Θ A † Θ −1 |̃ 〈̃ |Θ AΘ −1 |̃
(4.4.40)
Existem duas classes de observáveis físicos que obedecem essas regras de transformação: (4.4.41)
Θ AΘ −1 A
São chamados de pares ou ímpares por transformação de inversão temporal, repectivamente. Assim, 〈 | A | 〈̃ | A |̃ 〈̃ A |̃ ∗
Valores esperados.
Se |
|,
(4.4.42)
obtém-se (4.4.43)
〈 | A | → 〈 | A | 〈̃ | A |̃ ∗ 〈̃ | A |̃
onde 〈̃ | A |̃ é o valor esperado tomado em relação ao estado de tempo reverso. Exemplo 1: Valor esperado de
p.
O valor esperado de
p
no estado de tempo reverso deve ter o sinal
oposto ao do estado original. Então 〈 | p | − 〈̃ | p |̃
tal que p é um operador ímpar, ou seja, −p
(4.4.45)
−ΘpΘ −1 Θ|p ′ −Θp|p ′ −p ′ Θ |p ′
(4.4.46)
Θ p Θ −1
Isto implica que p Θ |p ′
o que concorda com a asserção anterior de que Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
22
exceto por uma fase
Θ |p ′ |− p ′
De maneira similar, obtém-se
Exemplo 2: Valor esperado de x.
ΘxΘ −1 x
exceto por uma fase
Θ |x ′ |x ′
da condição necessária de que 〈 | x | − 〈̃ | x |̃
Invariância Invari ância das relaçõe relações s de comuta comutação ção fundam fundamentais entais (a) Posição-momento.
Neste caso, x i , p j
i ij
Aplicando Θ em ambos os lados desta equação, Θ x i , p j
→ Θ x i , p j Θ −1 Θ
Θi ij
−i ij Θ
ou x i , − p j Θ
(b) Momento angular.
−i ij Θ
x i , p j Θ
i ij Θ
De maneira similar, para preservar (4.4.52)
J i , J j j i ijk J k k
o operador momento angular deve ser ímpar por inversão temporal, ΘJΘ −1
(4.4.53)
−J
o que é consistente para sistemas sem spin, uma vez que, neste caso J ΘJΘ −1 Θx pΘ −1 x ΘpΘ −1
−x p
x p.
De fato,
−J
Função de onda
Partícula no instante t 0 no estado | . Sua função de onda, 〈x ′ |, aparece no coeficiente de expansão na representação da posição: |
d x
3 ′
|x ′ 〈x ′ |
Aplicando o operador Θ, encontra-se
d x d x
Θ |
onde usamos Θ|x ′
|x ′ .
3 ′
Θ |x ′ 〈x ′ |
3 ′
|x ′ 〈x ′ | ∗
Em termos de função de onda, x ′ , t 0 → Θ x ′ , t 0 ∗ x ′ , t 0 .
Parte angular de x .
A parte angular de x ,
Y m l ,
tranforma-se como m
m m∗ −m Y m l , → ΘY l , Y l , −1 Y l ,
Como Y ml , é uma função de onda para |l, m , deduz-se que (4.4.58)
m
Θ|l, m −1 |l, −m
Funç Função ão de onda onda do tipo tipo x
Ca p í t u l o 4
Rr Y m l , .
Para Para a funç função ão de onda onda dest destee tipo tipo,, a corr corren ente te de
Simetria em Mecânica Quântica
23
probabilidade jx, t
(2.4.16)
Im ∗ ∇
m
tem direção contrária ao movimento dos ponteiros do relógio, enquanto que para o estado de tempo reverso, tem sentio oposto a esse (v. figura abaixo).
~
j
j
Teorema Suponha que H é invariante por inversão temporal e o autoket da energia |n é não degenerado; então, a corresponde correspondente nte autofunção autofunção da energia energia é real (ou ma mais is geralm geralment ente, e, uma função função real real vezes vezes um fator fator de fase fase independente de x ). Prova:
Observe inicialmente que (4.4.59)
H Θ|n Θ H |n E n Θ|n ,
tal que |n e Θ|n têm a mesma energia. Com a hipótese de estado não degenerado, conclui-se que |n e Θ|n
representam o mesmo estado, o que, do contrário, teríamos dois estados diferentes com a mesma
energia E n , que estaria em contradição com a hipótese inicial. Sejam então as funções de onda para |n e Θ|n
representadas por 〈x ′ |n e 〈x ′ |n ∗ . Como elas são iguais, devemos ter (4.4.60)
〈x ′ |n 〈x ′ |n ∗
para todos os propósitos – ou, mais precisamente, podem diferir no máximo por um fator de fase independente de x.
Então, por exemplo, se temos um estado ligado não degenerado, sua função de onda é sempre real.
No átomo de hidrogênio com l ≠ 0 e m ≠ 0, a autofunção da energia caracterizada pelos números quânticos n, l, m é complexa porque Y ml é complexa; mas, isto não contradiz o teorema, uma vez que |n, l, m e |n, l, −m são degenerados. Similarmente, a função de onda de uma onda plana e ipx/ é complexa, mas ela é degenerada com e −ipx/ . O operad operador or Θ depend depende e da repres representação entação usada
Para t 0, vimos que, para um sistema sem spin, a função de onda para o estado de tempo reverso é obtida, tomando-se apenas o complexo conjugado. Neste caso Θ K , pois K e Θ têm o mesmo efeito quando atuam nos kets de base |a ′ ou |x ′ . Logo, Θ K x x , onde o índice x é para lembrar que usamos os autokets da posição como base.
Autokets da posição, |x ′ , como base.
Autokets do momento, |p ′ , como base.
Agora a situação é diferente, porque
Θ
tranforma |p ′ em |−p ′ .
Logo, |
d p 3
′
|p ′ 〈p ′ | → Θ|
d p 3
′
|−p ′ 〈p ′ | ∗
d p 3
′
(4.4.61)
|p ′ 〈−p ′ | ∗
Para a função de onda p , por inversão temporal transforma-se em Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
24
p ′ → ∗ −p ′
Neste caso, Θ
K p p .
sto mostra que a forma particular de Θ depende da representação particular que é usada.
Inversão Temporal para um Sistema de Spin ½
Seja |n̂ ; o autoket do operador S n com autovalor /2, dado na Seç. 3.2, ou seja, |n̂ ; D z n̂ , D y n̂ , | e −iS z / e −iS y / |
onde n̂ é caracterizado pelos ângulos polar e azimutal . Então Θ |n̂ ; Θ e −iS z / e −iS y / | ̂ ; Θ e −iS z / Θ −1 Θe −iS y / Θ −1 Θ|n ∗
∗
̂ ; e −i−S z / e −i−S y / Θ|n
e −iS z / e −iS y / Θ|n̂ ;
− .
|n̂ ;
onde usamos (4.4.53). Por outro lado, pode-se verificar facilmente que |n̂ ;
−
e −iS z / e −iS y / |
ou seja, e −iS z / e −iS y / Θ|n̂ ; e −iS z / e −iS y / |
Portanto e −iS z / e −iS y / Θ e −iS z / e −iS y / e −iS y /
ou, escrevendo Θ
UK ,
e observando que K |
| ,
obtém-se
Θ e −iS y / K
Usando a relação (3.2.44), ou seja, e −in̂ /2 cos
para n̂
ŷ,
e n̂
y
2S y
2
− i n̂ sen
2
encontra-se e −iS y /
−i
2S y
Logo, Θ e −iS y / K
−i
2S y
(4.4.65)
K
onde é uma fase arbitrária (um número complexo de módulo igual a 1). Observe que
Efeito de Θ sobre um estado mais geral de spin ½. e −iS y / |
−i
2S y
−i 2
|
−i 2 S y |
0
−i
1
2
i
0
0
−i
0 i
0 1
|−
Da mesma forma, Ca p í t u l o 4
Simetria em Mecânica Quântica
25
e −iS y / |−
−i
2S y
|−
−i 2
−i 2 S y |−
0
−i
0
2
i
0
1
−i
−i
0
−1 0
− |
Assim, e −iS y / K c | c − |− e −iS y / c ∗ | c ∗− |−
Θ c | c − |−
c ∗ |−
− c ∗− |
Aplicando Θ novamente, Θ 2 c | c − |−
e −iS y / K c ∗ |−
− c ∗− |
e −iS y / ∗ c |−
− ∗ c − |
−| | 2 c | | | 2 c − |− − c | c − |−
(4.4.69)
ou Θ2
(4.4.70)
−1
(onde −1 significa −1 vezes o operador identidade), para qualquer orientação de spin. Generalização para J.
Podemos provar que Θ 2 | j j
semi-inteiro Θ 2 | j j inteiro
− | j j semi-inteiro | j j inteiro
(4.4.72 (4.4.72
então os autovalores de Θ 2 são dados por −1 2 j . Demonstração.
Para um j arbitrário, (4.4.73)
Θ e −i J y y / K
Para um ket | expandido na base dos | jm jm , ou seja, |
jm 〈 jm | ∑| jm jm
obtém-se jm 〈 jm | ∑ Θ | jm
Θ 2 | Θ
Θ
m
Θ
∑ e −
i J y y /
K | jm jm 〈 jm |
m
∑ e−
i J y y /
jm 〈 jm | ∗ | jm
m
∗
∑ e−
2i J y y /
jm 〈 jm | | jm
m
2
| | e −2i J y y /
jm 〈 jm | ∑ | jm
(4.4.74)
m
Mas, (4.4.75)
j
2 e −2i J y y / | jm jm −1 | jm jm
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
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com é evidente das propriedades dos autoestados de momento angular por rotação de 2. O estado j inteiro
Para um sistema de dois elétrons,
pode significar estado de spin.
j inte inteir iroo
em
(4.4.72b) pode significar o estado de spin 1 | − |− 2
(4.4.76)
O importante é que apenas o j seja um número inteiro. Da mesma maneira, configuração.
j
semi-inteiro
,
pode significar, por exemplo, um sistema de
3
elétrons em qualquer
Observação Para um sistema constituído exclusivamente de elétrons, qualquer sistema com um número ímpar ( par ) par de elétrons – idependentemente de sua orientação espacial (por exemplo, momento angular orbital relativo) – é ímpar ( par ) pela aplicação de Θ 2 ; não precisam nem ser autoestados de J 2 . par ★
Leia o restante da seção.
Interações com Campos Elétricos e Magnéticos; Degenerescência de Kramers (a)) (a
Inte In tera raçõ ções es co com m ca camp mpos os el elét étri rico cos s
Partícula carregada num campo elétrico, H
K V ,
sendo (4.4.85)
V x ex
onde x é o potencial eletrostático. Como é uma função real do operador (par)
x,
então (4.4.86)
Θ, H 0
Apesar de Θ comutar com o Hamiltoniano, isto não leva a uma lei de conservação. A razão é que ΘU t , t 0 | U ∗ t , t 0 e −i J y y / K | U ∗ t , t 0 Θ|
ou seja, ΘU t , t 0
Degene Degeneres rescên cência cia de Kramers Kramers..
(4.4.87)
≠ U t , t 0 Θ
Outr Outraa cons conseq equê uênc ncia ia da inva invari riân ânci ciaa por por inve invers rsão ão temp tempor oral al é a
degenerescência de Kramers. Suponha que Θ, H 0 e seja |n e Θ|n o autoket da energia e seu estado de tempo reverso, pertencente a mesmo autovalor da energia E n H |n E n |n H Θ|n Θ H |n E n
Questão: |n e Θ|n representam o mesmo estado?
Em caso positivo, (4.4.88)
Θ|n e i |n
Aplicando Θ novamente, Θ 2 |n Θe i |n e −i Θ
(4.4.89)
| n
Esta relação é impossível de se concretizar para sistemas com j semi-inteiro, vale sempre −1. Assim, somos levados a concluir que, para sistemas compostos de um
Sistemas com j semi-inteiro.
para os quais, Ca p í t u l o 4
Θ2
Simetria em Mecânica Quântica
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número ímpar de elétrons num campo elétrico externo E, cada nível deve ser pelo menos duplamente degenerado , não importando quão complicado E possa ser. (b)
Intera Int erações ções com cam campos pos mag magnéti néticos cos
Neste caso, o Hamiltoniano pode conter termos do tipo S B,
p A A p,
B
∇
(4.4.90)
A
onde o campo magnético é considerado com um campo externo. Os operadores transformação de inversão temporal; portanto, essas interações levam a
S
e
p
são ímpares por (4.4.91)
Θ H ≠ H Θ
Como exemplo trivial, para um sistema de spin ½, o estado spin para cima | e seu estado de tempo reverso |− não têm a mesma energia num campo magnético externo. Em geral, a degenerescência de Kramers num sistema contendo um número ímpar de elétrons pode ser levantada, aplicando-se um campo magnético externo. Observação (1) Note que, quando tratamos B como um campo externo, não mudamos B por inversão temporal; isto é devido ao elétron atômico ser visualizado como um sistema quântico fechado , ao qual aplicamos o operador inversão temporal.
Observação (2) Não devemos confundir a observação (1) com as observações anteriores relacionadas à invariância das equações de Maxwell (4.4.2) e da equação da força de Lorentz fazendo t → −t e (4.4.3). Ali, aplicamos a inversão temporal a todo o universo, por exemplo, até às correntes no fio que produzem o campo B.
Prof. Abraham Moysés Cohen
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