Capítulo 2
Dinâmica Quântica Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)
2.1 Tempo.
A Evolução Temporal e a Eq. de Schrödinger Em MQ, o tempo não é considerado um operador, mas apenas um parâmetro contínuo.
Operador Evolução Temporal Como um estado ket varia com o tempo? |, t 0 . |, t 0 ; t.
sistema em t t 0 no estado representado por | sistema em t t 0 , que estava no estado | em t t 0 .
Como t é um parâmetro contínuo, espera-se que lim |, t 0 ; t | t→t 0
ou, numa notação abreviada, |, t 0 ; t 0 |, t 0 . Evolução temporal.
Nossa tarefa é estudar a evolução temporal do estado ket evolução temporal
|, t 0 |
|, t 0 ; t
Em outras palavras, queremos saber como o estado ket evolui sob uma mudança t 0 → t no tempo. Operador evolução temporal.
Como no caso da translação, esses dois kets estão relacionados por um operador que chamaremos operador evolução temporal Ut, t 0 : |, t 0 ; t Ut, t 0 |, t 0
(1.5)
Propriedades do operador evolução temporal Unitariedade. Exemplo
Esta propriedade é importante, uma vez que implica na conservação de probabilidade. Suponha que em t 0 o estado ket seja expandido em termos dos autokets de algum observável A: |, t 0
∑ c a´ t 0 |a´ a´
Da mesma forma, algum tempo depois teremos: |, t 0 ; t
∑ c a´ t |a´ a´
Em geral, não esperamos que os módulos dos coeficientes de expansão permaneçam os mesmos c a´ t ≠ c a´ t 0 Geralmente, devemos ter
∑ |c a´ t| 2 ∑ |c a´ t 0 | 2 a´
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a´
Mecânica Quântica A
1
a despeito da desigualdade para os coeficientes individuais. Colocado de outra maneira, se o estado ket inicialmente é normalizado à unidade, ele deve permanecer normalizado para todos os tempos posteriores: , t 0 | , t 0
1 → , t 0 ; t | , t 0 ; t 1
Como no caso da translação, esta propriedade é garantida se o operador evolução temporal for um operador unitário:
U t, t 0 Ut, t 0 1 Composição.
Outra propriedade que devemos atribuir ao operador evolução temporal é a composição
Ut 2 , t 0 Ut 2 , t 1 Ut 1 , t 0 , t 2 t 1 t 0 Esta equação nos diz que, se estamos interessados em obter a evolução temporal de t 0 a t 2 , então podemos obter o mesmo resultado, primeiro considerando a evolução temporal de t 0 a t 1 e depois de t 1 a t 2 . (A equação deve ser lida da direita para a esquerda.) Operador evolução temporal infinitesimal.
É vantajoso considerar um operador evolução temporal
infinitesimal Ut 0 dt, t 0 |, t 0 ; t 0 dt Ut 0 dt, t 0 |, t 0 Devido à continuidade, o operador infinitesimal deve reduzir-se ao operador identidade quando dt → 0 lim Ut 0 dt, t 0 1 dt→0
e, como no caso da translação, esperamos que a diferença entre Ut 0 dt, t 0 e 1 seja de primeira ordem em dt. Qual o operador que satisfaz todas essas propriedades? Operador evolução temporal infinitesimal.
Podemos assegurar que essas propriedades são satisfeitas pelo
operador
Ut 0 dt, t 0 1 − idt onde é um operador hermitiano Demonstração 1.
Devido à propriedade de composição,
Ut 0 dt 1 dt 2 , t 0 Ut 0 dt 1 dt 2 , t 0 dt 1 Ut 0 dt 1 , t 0 ou
Ut 0 dt 1 dt 2 , t 0 1 − i dt 2
1 − i dt 1
≃ 1 − idt 1 dt 2 que difere do operador identidade por um termo de primeira ordem em dt. Demontração 2.
Para a propriedade da unitariedade, podemos verificar como segue
U t 0 dt, t 0 Ut 0 dt, t 0 1 i dt
1 − i dt
1 dt 2 ≃1 desprezendo termos da ordem dt 2 ou mais elevada.
Como é o operador ? O operador tem dimensão de frequência, ou inverso do tempo. Um observável familiar com dimensão de Capítulo 2
Dinâmica Quântica
2
frequência é a energia. Na teoria antiga da mecânica quântica, a frequência está relacionada com a energia através da relação Planck-Einstein, E Vamos emprestar da mecânica clássica a idéia de que a Hamiltoniana é o gerador da evolução temporal. É então natural relacionar ao operador Hamiltoniano, H: H Em resumo, o operador evolução temporal infinitesimal é escrito como
Ut 0 dt, t 0 1 −
iH dt
onde o operador Hamiltoniano é um operador hermitiano.
Equação de Schrödinger Estamos agora em condições de derivar a equação diferencial fundamental para o operador evolução temporal Ut, t 0 . Explorando a propriedade da composição 1−
Ut dt, t 0 Ut dt, tUt, t 0
iH dt
Ut, t 0
onde a diferença t − t 0 não precisa ser diferencial. Temos
Ut dt, t 0 Ut, t 0 − i H dt Ut, t 0
ou
Ut dt, t 0 − Ut, t 0 −i H dt Ut, t 0
que pode ser escrito na forma de equação diferecial i
∂Ut, t 0 H Ut, t 0 ∂t
(1.25
Esta é a equação de Schrödinger para o operador evolução temporal. Qualquer coisa que tenha a ver com a variação no tempo segue dessa equação fundamental. Equação de Schrödinger para o estado ket.
Multiplicando ambos os lados da Eq. (2.1.25) por |, t 0 pelo lado
direito, obtém-se i ∂ Ut, t 0 |, t 0 H Ut, t 0 |, t 0 ∂t Mas |, t 0 não depende de t, tal que esta equação é a mesma que i ∂ |, t 0 ; t H |, t 0 ; t ∂t onde usamos (1.5). Observação Se for dado Ut, t 0 e, se além disso, conhecermos como Ut, t 0 atua sobre o ket inicial |, t 0 , não é necessário mexer com a equação de Schrödinger para o estado ket. O que se tem que fazer é aplicar Ut, t 0 a |, t 0 . Desta maneira, podemos obter o ket para qualquer t.
Devemos, portanto, derivar as soluções formais da equação de Schrödinger para o operador evolução temporal. Existem três casos a serem tratados separadamente: Caso 1: O Hamiltoniano é independente do tempo.
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A solução de (2.1.25) é, neste caso, Mecânica Quântica A
3
−iHt − t 0 .
Ut, t 0 exp Demonstração.
(1.28
Seja a expansão da função exponencial exp
−iHt − t 0
1−
iHt − t 0
Ht − t 0
−i 2 2
2
Como a derivada desta expansão é dada por ∂ exp −iHt − t 0 ∂t
−i 2 2
− iH
2 H
2
t − t 0
Multiplicando por i ambos os membros, encontramos −iHt − t 0 i ∂ exp ∂t
H 1−
iHt − t 0
que é a mesma (2.1.25). Uma maneira alternativa de obter essa solução, é usar a composição de operadores infinitesimais. A aplicação sucessiva desses operadores resulta em (v. figura) Demontração alternativa.
(t − t0 ) N
t0
t lim N→
−iH/t − t 0 N
N
exp
−iHt − t 0
Agora o Hamiltoniano depende do tempo, mas os H’s em tempos diferentes comutam entre si. Como exemplo, considere o momento magnético de spin sujeito a um campo magnético, cujo módulo varia com o tempo, mas a direção permanece a mesma. Neste caso, a solução formal de (2.1.25) é
Caso 2: O Hamiltoniano depende do tempo e comuta.
Ut, t 0 exp −i
t
t
dt ′ Ht ′ 0
Neste caso o Hamiltoniano depende do tempo e os H’s em tempos diferentes não comutam entre si. Considerando o exemplo do momento magnético, agora a direção do campo magnético varia com o tempo: por exempo, em t t 1 o campo aponta na direção x, em t t 1 , na direção y e assim por diante. Como S x e S y não comutam entre si, Ht 1 e Ht 2 , que contém termo do Caso 3: O Hamiltoniano depende do tempo e não comuta.
tipo S B, também não comutam. Como solução formal, podemos integrar a equação (1.2.25) com a condição de contorno Ut, t 0 | tt 0 Ut 0 , t 0 1, ou seja, i
∂Ut, t 0 H Ut, t 0 → Ut, t 0 1 −i ∂t
t
t
dt ′ Ht ′ Ut ′ , t 0 0
Esta equação integral pode ser resolvida iterativamente. Ou seja
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
4
Ut, t 0 1 Ut, t 0 1 −i Ut, t 0 1 −i 1 −i
t
0
t
dt 1 Ht 1 1 −i 0
t
t
t
dt 1 Ht 1 1
t
dt 1 Ht 1 0
−i
2
t
t1
t
dt 2 Ht 2
0
dt 1 dt 2 Ht 1 Ht 2
t
t1
t0
0
Ou, de uma maneira geral,
Ut, t 0 1 ∑ −i
n
n
t
t
dt 1 dt 2 t1
0
t0
t
t n−1
dt n Ht 1 Ht 2 Ht n
0
que é conhecida como a série de Dyson. Em aplicações elementares, apenas o Caso 1 é de interesse prático. Neste capítulo, admitiremos que o Hamiltoniano seja independente do tempo.
Autokets de Energia Vamos calcular o efeito do operador evolução temporal sobre um ket inicial geral |, através dos kets de base |a ′ usados para expandir |. Vamos supor que o operador A, cujos autokets são usados como base, comute com o Hamiltoniano. Ou seja, Efeitos do operador sobre um ket inicial |.
A, H 0. Desta forma, os autokets de A são também autokets de H, chamados de autokets de energia, cujos autovalores são denotados por E a ′ : H |a ′ E a ′ |a ′ . Expansão de U.
Vamos expandir o operador U em termos de |a ′ 〈a ′ |. Tomando t 0 0 por simplicidade,
obtém-se exp −iHt
∑ ∑ |a ′′ 〈a ′′ | exp a′
∑ ∑ |a ′′ 〈a ′′ | exp a′
a ′′
∑∑ a′
a ′′
∑
exp
a ′′
exp
a′
−iE a ′ t
−iHt |a ′ 〈a ′ | −iE a ′ t |a ′ 〈a ′ | |a ′′ 〈a ′′ |a ′ 〈a ′ | a ′ a ′′
−iE t |a ′ 〈a ′ | a′
O operador evolução temporal escrito dessa forma permite-nos resolver qualquer problema de valor inicial, uma vez que a expansão do ket inicial em termos de |a ′ é conhecida.
Observação.
Exemplo
Suponha que a expansão do ket inicial seja |, t 0 0
∑ |a ′ 〈a ′ | ∑ c a |a ′ . ′
a′
a′
Então , t 0 0; t
Eq (2.1.5)
exp −iHt |, t 0 0
ou
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Mecânica Quântica A
5
∑
, t 0 0; t
a′
exp −iHt |a ′ 〈a ′ |
∑ ∑ exp
a′
a ′′
−iE a ′′ t |a ′′ 〈a ′′ |a ′ 〈a ′ |
∑ c a t |a ′ .
(1.38)
′
a′
Em outras palavras, o coeficiente de expansão varia com o tempo: c a ′ t 0 → c a ′ t c a ′ t 0 exp
−iE a ′ t
(1.39)
com seu módulo inalterado. Note que as fases relativas entre as várias componentes variam com o tempo
porque as frequências de oscilações, E a ′ /, são diferentes. |a ′ .
Caso especial: estado inicial é um dos
Quando o estado inicial é um dos |, t 0 0
|a ′ , ou seja,
a′
em tempos posteriores, a ′ , t 0 0; t
a ′ exp
−iE a ′ t .
Importante: se o sistema estiver inicialmente num autoestado simultâneo de A e H assim permanecerá para
todos os tempos posteriores. O máximo que pode ocorrer é a modulação de fase, exp
−iE a ′ t
. É neste sentido
que um observável compatível com H é uma constante de movimento. Demonstração.
De (1.38), sabemos que , t 0 0; t
∑
|a ′′ 〈a ′′ |
a ′′
−iE a ′′ t .
Para | |a ′ encontramos a ′ , t 0 0; t
∑
|a ′′ 〈a ′′ |a ′
a ′′
∑
−iE a ′′ t
|a ′′ a ′ a ′′
a ′′
|a ′
−iE a ′ t
−iE a ′′ t
Resumo.
Na discussão precedente, a tarefa básica na mecânica quântica é reduzida a encontrar um observável que comuta com H e calcular seu autovalores. Uma vez que isso é feito, expande-se o ket inicial em termos do autokets daquele observável e aplica-se o operador evolução temporal. Este último passo é significa uma mudança da fase de cada coeficiente de expansão, como indicada em (2.1.39). Embora se tenha discutivo o caso onde apenas um observável A comuta com H, nossas considerações podem ser facilmente generalizadas quando existem vários observáveis mutuamente compatíveis, todos comutando com H. Ou seja, Mais de um observável comuta com H.
A, B B, C A, C 0, A, H B, H C, H 0. Usando o índice coletivo da Seç. 1.4, |K ′ |a ′ , b ′ , c ′ , … , tem-se exp −iHt
∑|K ′ exp K′
−iE K ′ t 〈K ′ |
(1.43
onde E K ′ é univocamente especificada uma vez que a ′ , b ′ , c ′ , … são especificados. É portanto de fundamental importância encontrar um conjunto completo de observáveis mutuamente compatíveis que também comutam
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
6
com H. Uma vez que tal conjunto é encontrado, expressa-se o ket inicial como uma superposição dos autokets
simultâneos de A, B, C, … e H. O passo final é aplicar i operador evolução temporal, escrito como (2.1.43). Desta maneira podemos resolver o problema de valor inicial mais geral com H independente do tempo.
Dependência Temporal de Valores Esperados Como o valor esperado de um observável B varia com o tempo? Suponha que em t 0 o estado inicial seja um dos autoestados do observável A, que comuta com H. Em tempos posteriores, Em relação ao autoestado de energia.
a ′ , t 0 0; t Ut, 0 |a ′ Não é necessário que o observável B comute com A ou H. Neste caso, 〈B a ′ , t 0 0; t B a ′ , t 0 0; t 〈a ′ | U t, 0 B Ut, 0 |a ′ iE a ′ t −iE a ′ t 〈a ′ | exp B exp ′ ′ 〈a | B |a
|a ′
que independente do tempo. Assim O valor esperado de qualquer observável tomado com respeito ao autoestado de energia não varia com o tempo. Por esta razão, o autoestado de energia é às vezes referido como estado estacionário.
Superposição de autoestados de energia.
Vamos considerar o valor esperado, quando tomado em relação a uma superposição de autoestados de energia, ou estado não estacionário. Suponha que incialmente se tenha |, t 0 0
∑ ca
′
|a ′ .
a′
Em tempos posteriores, |, t 0 0; t
∑ c a t |a ′ ∑ c a exp ′
′
a′
a′
−iE a ′
|a ′
onde fizemos c a ′ t 0 c a ′ . Então, 〈B 〈, t 0 0; t| B |, t 0 0; t
∑ c ∗a
′
〈a ′ | exp
a′
iE a ′
B
a′
′′
a ′′
′′
a ′′
∑ ∑ c ∗a c a 〈a ′ | B |a ′′ exp ′
∑ c a |a ′′
−iE a ′′ − E a ′ t
exp
−iE a ′′
.
Assim, desta vez o valor esperado consiste em termos oscilantes, cujas frequências angulares são determinadas pela condição de frequência de Bohr, a ′′ a ′
E a ′′ − E a ′ .
Aplicação: Precessão de spin Vamos tratar um sistema extremamente simples, que ilustra porém o formalismo básico que foi desenvolvido até agora. Sistema de spin ½
Hamiltoniano do sistema
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7
H − mee c S B (e 0 para elétrons).
Campo magnétio: B Bẑ
Reescrevo H H − meB Sz ec
Observável que comuta com H.
Como H e S z diferem por uma constante, eles comutam entre si. Ou seja,
S z , H 0, o que significa que os autokets de S z , | e |−, são autoestados de energia e os autovalores de energia correspondentes são H| E | → E ∓ eB , para S z . 2m e c
Frequência de Bohr.
Define-se a frequência de Bohr |e|B E − E− mec
Reescrevo H H S z .
Operador evolução temporal.
Toda informação sobre a variação com o tempo está contida no operador
evolução temporal exp −iS z t
Ut, 0 exp −iHt
Estado em t 0.
Vamos supor que em t 0 o sistema seja caracterizado por | c | c − |−
Estado em t t.
Para determinar o estado no instante t aplica-se o operador evolução temporal ao estado no
instante t 0, ou seja, −iS z t c | c − |− |, t 0; t exp c exp −iS z t | c − exp −iS z t |− −it it c exp | c − exp |− 2 2
Estado inicial S z .
Para o sistema especificamente no estado | | (estado spin para cima ou S z ), c 1,
c− 0
Para tempos posteriores, o estado do sistema será |, t 0; t exp −it 2
|,
ou seja, o mesmo estado de spin para cima; isto não é nenhuma surpreza uma vez que o sistema inicialmente estava num estado estacionário.
Estado inicial S x .
Neste caso, de acordo com (1.4.17a), | |S x ;
1 | 1 |−, 2 2
o que nos fornece c c−
1 2
O estado final será
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
8
1 exp −it 2 2
|, t 0; t
| 1 exp it 2 2
|−
Qual a probabilidade do sistema ser encontrado no estado S x ?
Como |S x ;
1 | 1 |− 2 2
encontra-se 1 2
|〈S x ; |, t 0; t| 2
1 2
〈|
exp −it 2
1 2
〈−| |
1 2
exp it 2
2
|−
ou, |〈S x ; |, t 0; t| 2
1 exp −it 〈| 1 exp it 〈|− 2 2 2 2 1 exp −it 〈−| 1 exp it 〈−|− 2 2 2 2
1 exp −it 2 2
1 exp it 2 2
2
2
Ou seja, cos 2 t , 2
para S x
sen 2 t , 2
para S x −
|〈S x ; |, t 0; t| 2
Em t 0 o sistema encontrava-se no estado | |S x ; ; ou seja, o spin apontava para a direção positiva do eixo dos x. Com o passar do tempo, o campo magnético na direção z produz uma rotação nesse spin e, como resultado, existe uma probabilidade finita de encontrá-lo na direção negativa do eixo dos x, isto é, no estado S x −.
O que significam esses resultados ?
Probabilidade total. Valor esperado de S x .
A soma das duas probabilidades, em todos os instantes, é sempre igual a um. O valor esperado de S x pode ser calculado, usando-se (1.4.6), isto é, 〈A
∑ a ′ |〈a ′ || 2 a′
Logo, 〈S x
2 2
cos 2 t − sen 2 t 2 2 2 cos 2 t − sen 2 t 2 2
2 2
cos 2 t 2 cost
que está em concordância com a fórmula geral (2.1.47), uma vez que esta quantidade oscila com uma Prof. Abraham Moysés Cohen
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9
frequência angular correspondente à diferença entre os dois autovalores de energia dividido por . Neste caso, como (ver Eq. (1.4.17b))
Valor esperado de S y .
|S y ;
1 | 2
i |− 2
as probabilidades são 1 2
2 |〈S y ; |, t 0; t|
1 2
−i 2
〈|
exp −it 2
〈−|
|
exp it 2
1 2
2
|−
1 exp −it 〈| 1 exp it 〈|− 2 2 2 2
∓ i exp −it 〈−| ∓ i exp it 〈−|− 2 2 2 2 1 exp −it 2 2
2
2
∓ i exp it 2 2
Assim, 2
|〈S y ; |, t 0; t|
1 1 ∓ i cos t 2 2 |1 i| 2 cos t 4 2
1 ∓ i sen t 2
2
2
sen t 2
1 cos 2 t sen t 2 cos t 2 2 2 2 1 1 2 sen t cos t 2 2 2 1 1 sent 2
sen t 2
Portanto,
Valor esperado de S z .
〈S y
2
2
1 1 sent − 1 1 − sent 2 2 2 1 sent 1 − sent − 2 2 2
sent
Neste caso, |S z ; |
e |〈S z ; |, t 0; t| 2
〈| 1 2
exp −it 2
1 exp ∓it 2 2 1, 2 Capítulo 2
|
1 2
exp it 2
2
|−
2
Dinâmica Quântica
10
e, o valor esperado é 2
〈S z
1 − 2 2
1 0. 2
Fisicamente, isto significa que o spin precessa no plano xy.
Amplitude de Correlação e Rel. de Incerteza Energia-Tempo Amplitude de correlação.
A amplitude de correlação é definida como o produto escalar de dois kets em
tempos diferentes. Isto é, Ct 〈|, t 0 0; t O módulo da amplitude de correlção, |Ct|, mede a “semelhança” entre os estados kets em diferentes −iHt − t 0 , então instantes de tempo. Lembrando que |, t 0 0; t Ut, 0|, onde Ut, t 0 exp Ct | Ut, 0 | . Exemplos de amplitude de correlação O estado inicial é um autoestado |a ′ de H.
Este é um caso muito especial e o resultado que se obtém para a
amplitude de correlção é Ct a ′ | Ut, 0 | a ′ 〈a ′ | exp −iHt |a ′ −iE a ′ t exp 〈a ′ |a ′ −iE a ′ t exp e o módulo da amplitude de correlação vale |Ct| 1, o que não é surpreza em se tratando de um estado estacionário. O estado inicial é uma superposição de |a ′ .
Neste caso, |
∑ ca
′
|a ′
a′
e, portanto, Ct | Ut, 0 |
∑ ∑ c ∗a c a ′
a′
∑ ∑ c ∗a c a ′
a′
′′
a ′′
∑ ∑ c ∗a c a ′
a′
〈a ′ | exp −iHt |a ′′ ′′
exp
a ′′
∑ ∑ c ∗a c a ′
a′
a ′ | Ut, 0 | a ′′
′′
a ′′
a ′′
′′
exp
−iE a ′′ t 〈a ′ |a ′′ −iE a ′′ t a ′ a ′′
ou seja
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Ct
∑ |c a | 2 exp ′
a′
−iE a ′ t
(1.65
Observação: Como a soma sobre muitos termos oscilantes no tempo com diferentes frequências, é possível um forte cancelamento entre eles para valores moderadamente grandes de t. Assim, espera-se que o módulo de Ct comece com valor um em t 0 e decresça com o tempo. Vamos supor que em (1.65) a superposição de estados seja obtida com autokets de energia com energias similares, de maneira que podemos substituir a soma por uma integral. Ou seja, Estimativa de (2.1.65).
∑
dE E,
→
c a ′ → gE| E≃E ′ a
a′
onde E é a densidade de autoestados de energia. Assim, a expressão (1.65) torna-se
dE |gE| 2 E exp
Ct
−iEt
(1.67
sujeita à normalização
∑ |c a | 2 1 → dE |gE| 2 E 1
(1.68
′
a′
Na prática, |gE| 2 E pode ser uma função localizada em torno de E E 0 , com largura ΔE, isto é,
|g(E)|2 ρ(E)
ΔE
E
E0 Então, reescrevendo (1.67) como Ct exp −iE 0 t
dE |gE| 2 E exp
−iE − E 0 t
vê-se que, quando t torna-se grande, o integrando oscila muito rapidamente, exceto quando o intervalo de energia |E − E 0 | for pequeno comparado com /t. Relação de incerteza energia-tempo.
Se o intervalo para o qual a relação |E − E 0 | ≃ /t
seja válida, for muito mais estreito que ΔE (a largura de |gE| 2 E), não se obtém essencialmente nenhuma contribuição da integral para Ct devido aos fortes cancelamentos. O tempo característico para o qual o módulo da amplitude de correlação torna-se aprecialmente diferente de 1 é dado por t≃ Resumo.
Capítulo 2
ΔE
Em resumo, encontramos que, como resultado da evolução temporal do estado ket de um sistema Dinâmica Quântica
12
físico deixa de guardar sua forma original depois de um intervalo de tempo da ordem de /ΔE. Na literatura, isto às vezes é referido como sendo a relação de incerteza energia-tempo, Δt ΔE ≃ . Observação:
(1.71
Esta relação de incerteza é de natureza bem difetente daquela que existe entre dois observáveis
incompatíveis, discutida na Seç. 1.4.
2.4
Representação de Schrödinger versus de Heisenberg É a formulação da dinâmica quântica na qual os estados variam com o
Representação de Schrödinger.
tempo, mas os operadores não. É a formulação da dinâmica quântica na qual os operadores variam com o
Representação de Heisenberg.
tempo, mas os estados não. Quais as diferenças que existem entre essas duas abordagens?
Operadores Unitários São operadores que têm a propriedade U U UU 1. Transformações unitárias | → U | Produto escalar.
Sob uma tranformação unitária que muda os estados kets, o produto interno permanece
inalterado. Ou seja, | → U | e | → U | então 〈| → 〈|U U| 〈|. Usando o fato de que essas trasformações não afetam os operadores, podemos inferir como | X | deve mudar:
Operadores.
| X | → 〈|U X U |
〈|U XU |
Vamos escrever isto de outra maneira (usando o axioma associativo) 〈|U X U| 〈| U XU | Esta identidade matemática sugere dois enfoques para as transformações unitárias: Enfoque 1 | → U|, com os operadores inalterados. Enfoque 2 X → U XU, com os estados kets inalterados. Nota sobre a Mecânica Clássica.
Na física clássica não se introduz estados kets, mas fala-se em translação,
evolução temporal etc. Isto é possível porque essas operações realmente mudam quantidades tais como x e L, que são observáveis na mecânica clássica. Assim, uma estreita ligação com a mecânica clássica pode ser adotada, seguindo-se a abordagem 2.
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13
Exemplo (1)
Translação infinitesimal - Enfoque 1 | →
Exemplo (2)
1−
ip dx ′
x→x
|,
Translação infinitesimal - Enfoque 2 | → | ip dx ′ ip dx ′ x 1− ip dx ′ ip dx ′ 1 x 1− i ′ x p dx , x x dx ′
x→
1−
≃ x−x
ip dx ′ ip dx ′ x
Pode-se mostrar que o valor esperado x é o mesmo em ambas as abordagens. Isto é, 〈x → 〈x 〈dx ′ . Na formulação 1,
Demonstração.
〈x 1
〈| 1 −
ip d x ′
x
1−
ip d x ′
|
〈|x dx ′ |
〈|x| 〈|dx ′ |. Na formulação 2, 〈x 2 |x| |dx ′ | .
Estados Kets e Observáveis nas Representações de Schrödinger e Heisenberg Quando o operador unitário U é o operador evolução temporal, Ut, t 0 , os enfoques 1 e 2, descritas anteriormente referem-se às representações de Schröndiger e Heisenberg, respectivamente. Representação de Schrödinger Estados kets. Operadores.
Os estados kets variam com o tempo. Os operadores correspondentes a observáveis, tais como x, p x e S z , permanecem fixos no
tempo. Representação de Heisenberg Estados kets.
Os estados kets permanecem fixos no tempo, “congelados” por assim dizer no que eram a
t t0. Operadores.
Os operadores correspondentes a observáveis agora variam com o tempo.
Relação entre as duas representações Operadores.
Vamos considerar t 0 0 por simplicidade:
Ut, t 0 0 ≡ Ut exp −iHt
De acordo com a abordagem 2, define-se o operador na representação de Heisenberg como A H t U t A S Ut
(2.10
onde os superescritos H e S referem-se a Heisenberg e Schrödinger. Capítulo 2
Dinâmica Quântica
14
Em t 0, os observáveis nas duas representações, A H 0 A S , coincidem. Os estados kets também coincidem nas duas representações em t 0; para tempos posteriores, t, o estado na representação de Heisenberg fica congelado na forma que tinha em t 0: Estados kets.
|, t 0 0; t H |, t 0 0 independente de t. Isto é radicalmente diferente dos estados kets na representação de Schrödinger: |, t 0 0; t S Ut|, t 0 0 Valores esperados.
O valor esperado 〈A é o mesmo em ambas as representações, S 〈, t 0
0; t| A S |, t 0 0, t S 〈, t 0 0| U tA S Ut |, t 0 0 H 〈, t 0 0; t| A H t |, t 0 0, t H
Equação de Movimento de Heisenberg Admitindo que A S não dependa explicitamente do tempo, o que é o caso na maioria das situações físicas de interesse, obtém-se [diferenciando a Eq. (2.2.10)] dA H d U t A S Ut dt dt dU t S dUt A Ut U t A S dt dt 1 1 S − U tHA Ut U t A S HUt i i − 1 U tHUtU tA S Ut 1 U t A S UtU tHUt i i − 1 U tHUtA H 1 A H U tHUt i i 1 H A , U tHUt i onde usamos (2.1.25) dU 1 HU, dt i
dU − 1 U H dt i
Como Ut exp − iHt , este operador comuta com H. Então
U tHUt U tUtH H de maneira que dA H 1 A H , H dt i
(2.2.
que é conhecida como equação de movimento de Heisenberg. ★ Leia o restante da seção.
Partículas Livres; Teorema de Ehrenfest Tanto na formulação de Schrödinger como na de Heisenberg, devemos saber como construir o operador Hamiltoniano. Quando tratamos sistemas físicos que têm análogos clássicos, admitimos que o Hamiltoniano tem a mesma forma como na física clássica, onde substituímos
Sistema tem análogo clássico.
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15
grandezas → operadores
Assim, x i e p i são substituídos pelos correspondentes operadores em MQ. Neste caso, tenta-se “adivinhar” a estrutura do Hamiltoniano, fazendo-se várias tentativa até que nos levem a resultados que concordem com observações experimentais.
Sistema não tem análogo clássico.
Às vezes é necessário calcular relações de comutação
Relações de comutação entre funções de x j e p j .
entre funções de x j e p j . Ou seja, x i , Fp ih ∂F , dp i p i , Gx −i ∂G , dx i
x i , Gx 0,
(2.23
p i , Fp 0.
Equação de movimento de Heisemberg para a partícula livre Para uma partícula de massa m, o Hamiltoniano é considerado ser da mesma forma como na mecânica clássica: H Equação de movimento para p i .
p2
2m
p 2x p 2y p 2z 2m
Como p i comuta com qualquer função de p j , logo dp i 1 p i , H 0 dt i
onde consideramos p i p H i . Então, para a partícula livre o operador momento é uma constante de movimento, o que significa que p i t é igual a p0 para todos os tempos. De uma maneira geral, é evidente da equação de movimento de Heisenberg que, se o operador A H comuta com o Hamiltoniano, A H é uma constante de movimento.
Equação de movimento para x i .
Neste caso, dx i 1 x , H i dt i
como H
1 ∑ p 2 e x i , Fp ih ∂F , encontramos 2m j j dp i dx i 1 x , H 1 i dt i i
1 2m
∑ j
∑ p 2j
xi, 1 2m
∂ p2 1 2m dp i j
j
∂p j ∑ 2p j dp i
1 1 ih ∂ i 2m dp i
∑ p 2j j
p mi
j
Ou seja, dx i p i p i 0 m m dt cuja solução é x i t x i 0
p i 0 m
(2.27
t
que recorda a equação da trajetória clássica para o movimento retilíneo uniforme. É importante notar que, embora se tenha x i 0, x j 0 0 Capítulo 2
Dinâmica Quântica
16
em tempos iguais, o comutador não se anula em tempos diferentes. Isto é, x i t, x j 0
x i 0
p i 0 m
t, x j 0
p i 0 m
t, x j 0
−it m Aplicando (1.4.53) a este comutador, ou seja, ΔA 2
ΔB 2 ≥ 1 |〈A, B| 2 4
obtém-se Δx i 2
t
Δx i 2
t0
−it m
≥ 1 4
2
2 2 t 4m
(2.30
Entre outras coisas, esta relação implica que, mesmo se a partícula é bem localizada em t 0, sua posição torna-se mais e mais incerta à medida que o tempo passa. Partícula sujeita a um potencial Vx Agora vamos adicionar um potencial Vx ao Hamiltoniano da partícula livre: H
p2
2m
Vx
(2.31
Nota: Vx é considerado uma função dos operadores x, y e z.
Usando (2.2.23)
Equação de movimento para p i .
∂Vx dp i 1 p i , H 1 p i , Vx 1 −i dt dx i i i i
−
∂Vx dx i
(2.32
Neste caso,
Equação de movimento para x i .
dx i 1 p , H p i i m dt i ainda vale, uma vez que x i comuta com o termo Vx . Vamos usar novamente a equação de movimento de Heisenberg, ou seja, d dt
dx i dt
2 d x2 i 1 i dt
dx i , H dt
1 i
pi 1 dp i m , H m dt
Combinando com (2.2.32), 2 ∂Vx m d x2 i − dx i dt
ou m d 2x −∇Vx dt 2
(2.35
Isto é o análogo quântico da segunda lei de Newton. Tomando os valores esperados de ambos os lados com respeito ao estado ket de Heisenberg, que não varia com o tempo, obtém-se a relação 2 d〈p m d 2 〈x −〈∇Vx dt dt
(2.36
que é conhecida como teorema de Ehrenfest. Observação 1: Este teorema, escrito na forma de valor esperado, tem sua validade independente da representação que usamos, uma vez que esta quantidade é igual nas duas representações. Ao contrário, na forma de operador (2.2.35), tem
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17
significado apenas se os operadores x e p forem dados na representação de Heisenberg. Observação 2: Observa-se que não aparece em (2.2.36); portanto, não de se surpreender que o centro de um pacote de onda move-se tal como uma partículas clássica sujeita a um potencial Vx .
Kets de Base e Amplitudes de Transição Um erro muito comum é pensar que todos os kets movem-se na representação de Schrödinger e são estacionários na representação de Heisenberg. Devemos dinstinguir entre o comportamento dos estados kets e dos kets de base. Quando introduzimos os espaços dos kets na Seç. 1.2, observamos que os autokets dos observáveis seriam usados como kets de base. O que acontece, em relação ao tempo, com a equação de autovalores, Kets de base.
A |a ′ a ′ |a ′ ? Na representação de Schrödinger, A não varia com o tempo e, portanto, os kets de base, obtidos como solução desta equação de autovalores em t 0, por exemplo, permanecem inalterados.
Schrödinger.
Na representação de Heisenberg a situação é bem diferente. A equação de autovalores é aqui para operadores que dependem do tempo,
Heisenberg.
A H t U A0U. De (2.2.37), calculada em t 0, quando as duas representações coicidem, A0|a ′ a ′ |a ′ deduz-se
U A0UU |a ′ a ′ U |a ′ o que implica numa equação de autovalores para A H A H U |a ′ a ′ U |a ′
(2.40
Assim, à medida que o tempo flui, os kets de base da representação de Heisenberg, U |a , denotados por |a ′ , t H , movem-se de acordo com a equação Kets de base na representação de Heisenberg.
′
|a ′ , t H U |a ′
(2.41
Devido à presença do operador U , ao invés de U, os kets de base da representação de Heisenberg parecem girar em sentido oposto aos dos estados ket na representação de Schrödinger. Especificamente, |a ′ , t H satisfazem a equação de Schrödinger de sinal errado i ∂ |a ′ , t H −H |a ′ , t H ∂t
(2.42
Quanto aos autovalores, vemos de (2.2.40) que eles não mudam com o tempo. Isto é consistente com a equivalência unitária de observáveis, onde A e U AU são ditos equivalentes (Seç. 1.5). Note também a seguinte expansão para A H t em termos dos kets e bras de base da representação de Heisenberg:
Autovalores da representação de Heisenberg.
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
18
A H t
∑ |a ′ , t H a ′H H 〈a ′ , t| a′
∑ U |a ′ a ′ 〈a ′ |U a′
U
∑ |a ′ a ′ 〈a ′ |
U
a′
U A S U o que mostra que tudo é consistente, desde que os kets de base da represaentação de Heisenberg mudem de acordo com (2.2.41). Os coeficientes de expansão de um estado ket em termos dos kets de base são os mesmos em ambas as representações: Coeficientes de expansão.
c a ′ 〈a ′ | U|, t 0 0, (representação de Schrödinger) estado ket
base bra
c a ′ 〈a ′ |U |, t 0 0,
(representação de Heisenberg)
ket de base
es
o ta d
ke
ket de base
estado ket
base bra
t
es
Schrödinger Função de onda.
o ta d
ke
t
Heisenberg
Em particular, a função de onda 〈x ′ | pode ser considerada como:
(1) o produto interno do autobra estacionário da posição com o estado ket movendo-se (representação de Schrödinger), ou
(2) o produto interno do autobra da posição movendo-se com o estado ket estacionário (representação de Heisenberg). Para ilustrar ainda mais a equivalência entre as duas representações, vamos estudar as amplitudes de transição, que terão um papel fundamental na Seç. 2.5. Suponha que existe um sistema físico preparado em t 0 para estar num autoestado do observável A com autovalor a ′ . Num tempo t mais tarde, podemos querer saber: Amplitues de transição.
Qual é a amplitude de probabilidade (conhecidade como amplitude de transição) para que o sistema possa ser encontrado num autoestado do observável B com autovalor b ′ ?
Na representação de Schrödinger, o estado ket no instante t é dado por U |a ′ , enquanto que os kets de base |a ′ e |b ′ não variam com o tempo. Assim, para essa amplitude de transição, temos
Schrödinger.
〈b ′ | U|a ′ base bra
Heisenberg.
estado ket
Na representação de Heisenberg o estado ket é estacionário, isto é, permanece o mesmo |a ′
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Mecânica Quântica A
19
para todos os tempos, enquanto que os kets de base evoluem no sentido oposto no tempo. Assim, a amplitude de transição nesta representação vale 〈b ′ |U base bra
|a ′ estado ket
Obviamente, estas duas amplitudes são iguais. Ambas podem ser escritas como 〈b ′ | Ut, 0 |a ′
(2.47
Com certa liberdade, podemos dizer que isto representa a amplitude de transição para “ir” do estado |a ′ ao estado |b ′ . Resumo das Diferenças entre as Representações. Estado ket
2.3
Schrödinger
Heisenberg
Movimento: (2.15), (2.27)
Estacionário
Obaservável Estacionário
Movimento: (2.10), (2.19)
Ket de base
Movimento oposto: (2.41), (2.42)
Estacionário
Oscilador Harmônico Simples
O oscilador harmônico simples é um dos mais importantes problemas em MQ. Do ponto de vista pedagógico, serve para ilustrar os conceitos e métodos básicos em MQ.
Autokets de Energia e Autovalores de Energia Hamiltoniano.
O Hamiltoniano básico é H
2 2 p2 m x 2m 2
(3.1)
onde é a frequência angular do oscilador clássico relacionada com a constante de mola k na lei de Hooke via
k/m . Os operadors x e p são, evidentemente, hermitianos. É conveniente definirmos dois operadors não
hermitianos m 2
a
ip x m ,
a
m 2
ip x − m
(3.2)
conhecidos como operador de destruição e operador de criação, respectivamente, por razões que em breve serão evidentes. Relações de comutação.
Usando as relações de comutação canônicas para esses operadores, obtém-se
imediatamente ip ip x m , x − m a, a m 2 ip ip m x, − m m m , x 2 2
1 2
−i x, p i p, x i
1 2
−i
1 Operador número.
Com esses dois operadores, podemo construir um outro operador (hermitiano)
denominado de operador número N aa Capítulo 2
Dinâmica Quântica
(3.4) 20
Usando as definições de a e a podemos mostrar que N aa
m 2
m 2
m 2
m 2
ip x − m
ip x m
ixp ipx p2 x 2 m − m 2 2 m 2 p i x, p x2 2 2 2 m p2 x2 2 2 − 1 2 m
Ou seja, N H − 1 2 de onde encontramos uma relação importante entre o operador número e o operador Hamiltoniano H N 1 2
(3.6)
Uma vez que H é uma função linear de N, N pode ser diagonalizada simultaneamente com H. Vamos representar um autoket de N por seu autovalor n, tal que Autovalores de energia.
N |n n |n Devido a (3.6), temos também H |n E n |n → N 1 |n n 1 |n 2 2 o que significa que os autovalores de energia são dados por E n n 1 2 Significado físico de a, a e N.
(3.9)
Para compreendermos o significado físico de a, a e N, vamos primeiro
observar que N, a a a, a a a, a a , a a −a Da mesma forma, N, a a a, a a a, a a , a a a Como resultado, temos Na |n Na − a N a N|n N, a a N|n a a N |n N 1a |n n 1a |n e Na|n Na − aN aN|n N, a aN|n −a a N |n N − 1a |n n − 1a |n Estas relações implicam que a |n a |n
são também autokets de N com autovalores aumentado (diminuído)
de um. Como o acréscimo (decréscimo) de n por um significa a criação (destruição) de um quantum de energia , o termo operador de criação (operador de destruição) para a a torna-se apropriado.
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21
Propriedades dos operadores de criação e de destruição As equações N a |n n 1a |n N a|n n − 1a|n sugerem podem ser reescritas como N|n 1 n 1|n 1 N|n − 1 n − 1|n − 1 o que implica em a |n e |n 1 a|n e |n − 1
serem o mesmo a menos de uma constante multiplicativa. Por
exemplo, vamos escrever a |n c |n − 1 onde c é uma constante numérica, que é determinada exigindo-se que tanto |n como |n − 1 sejam kets normalizados. Multiplicando ambos os membros por 〈n − 1| c ∗ , encontra-se 〈n − 1| c ∗ a |n |c| 2 〈n − 1|n − 1 e, lembrando que 〈n − 1| c ∗ 〈n|a , temos 〈n| a a |n |c| 2 onde usamos a normalização de |n − 1. Notando que a a é o operador número, N, podemos ainda simplificar 〈n| N |n |c| 2 → |c| 2 n → c
n
onde também usamos a normalização de |n. Logo, a |n c |n − 1 → a |n
n |n − 1
(3.16
Similarmente, podemos mostrar que a |n c |n 1 → a |n Aplicações sucessivas do operador a.
n 1 |n 1.
(3.17
Aplicando-se sucessivamente o operador a a ambos os membros de
(3.16) obtém-se a |n aa |n
n a |n − 1
→ a 2 |n
aa 2 |n
nn − 1 a |n − 2 → a 3 |n
n |n − 1 nn − 1 |n − 2 nn − 1n − 2 |n − 3
Esta sequência de operações mostra que é possível obtermos autokets com n cada vez menores até que a sequência termine, o que só pode acontecer se começarmos com um n positivo. Mas n pode ser negativo? Podemos responder a esta questão, calculando-se a norma de a |n que, por definição é sempre positiva ou nula. Assim, Autokets do operador número.
〈n|a a |n
def
≥ 0
Mas, isto pode ser reescrito como n| a a | n ≥ 0 → n| N | n ≡ n ≥ 0. Logo, n só pode ser inteiro não negativo. Portanto, a sequência deve terminar quando n 0. Capítulo 2
Dinâmica Quântica
22
Uma vez que o menor valor de n é zero, a energia do estado fundamental,
Energia do estado fundamental.
|0, do oscilador harmônico é E 0 1 2 Aplicação sucessiva de a ao estado fundamental.
(3.20
Aplicando-se agora sucessivamente o operador a ao
estado fundamental |0, usando-se (3.17) na forma a n1
|n 1
|n
obtém-se |1 a |0 |2
a 2
|3
a 3
|1
a 2 2
|0
|2
a 3 3!
|0
a n n!
|0
(3.21
|n
a n1
|n − 1
Desta maneira construimos os autokets simultâneos de N e H com autovalores de energia E n n 1 , n 0, 1, 2, … 2 De (3.16) e (3.17) e da normalização dos |n, obtém-se os elementos de matriz do operador de destruição a. Ou seja,
Elementos de matriz.
n ′ | a |n 〈n ′ | n |n − 1
n n ′ ,n−1
n ′ | a |n 〈n ′ | n 1 |n 1
n 1 n ′ ,n1
De (3.2), obtém-se x
a a , 2m
p i m −a a 2
Agora podemos derivar os elementos de matriz de x e p. n ′ | x |n
n ′ | a a |n 2m
2m
n ′ | p |n i m n ′ | −a a |n i m 2 2
n n ′ ,n−1 n 1 n ′ ,n1 − n n ′ ,n−1 n 1 n ′ ,n1
Note que tanto x quanto p são não-diagonais na representação N. Isto é porque x e p, tal como a e a , não comutam com o operador N. Podemos também usar o método dos operadores para encontar as autofunções da energia no espaço das posições (funções de onda). Vamos começar com o estado fundamental definido por Funções de onda do oscilador.
a |0 0 que, na representação x, interpreta-se como Prof. Abraham Moysés Cohen
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23
m 〈x ′ | x ip m 2
x ′ | a |0
|0 0
De (1.7.17) x ′ | p | −i ∂ ′ 〈x ′ |, ∂x podemos interpretar a equação anterior como uma equação diferencial. Ou seja, m 2
x ′ | a |0
i 〈x ′ | p |0 0 〈x ′ | x |0 m
ou d 〈x ′ |0 0 x ′ 〈x ′ |0 m dx ′ ou, finalmente, x ′ x 20 d ′ dx
〈x ′ |0 0
onde introduzimos m
x0 ≡
que fixa uma escala de comprimento do oscilador. Esta equação é do tipo x 20
dfx xfx 0 dx
ou df − x2 dx f x0 cuja solução é 2 ln f − x C 2x 0
ou fx C exp − 1 2
2
x x0
onde C podemos escolher através da normalização, |C| 2 exp − 1 2
x x0
2
2
1
Mas,
−
exp − 1 2
x x0
2
2
x0
então C
1 1/4 x 0
Logo, 〈x ′ |0
1
1/4 x 0
exp − 1 2
x′ x0
2
(3.30
Da mesma forma, podemos obter as autofunções de energia para os estados excitados, calculando-se Capítulo 2
Dinâmica Quântica
24
1 2 x0
〈x ′ |1 〈x ′ |a |0
x ′ − x 20 d ′ dx
〈x ′ |0,
1 2!
1 2 x0
2
〈x ′ |2
1 2
x ′ |a 2 |0
x ′ − x 20 d ′ dx
2
〈x ′ |0
Em geral, as soluções são 〈x ′ |n Valores esperados de x 2 e p 2 .
1/4
1 2 n n!
x ′ − x 20 d ′ dx
1 x n1/2 0
n
exp − 1 2
x′ x0
2
(3.32
É instrutivo analisar os valores esperados de x 2 e p 2 para o estado
fundamental. Seja x2
a 2 a 2 a a aa 2m
Assim, 〈x 2
〈a 2 a 2 a a aa 2m 0| a 2 |0 0| a 2 |0 0| a a |0 0| aa |0 2m 2 x0 2 2m
2m
0| aa |0
p2
i m −a a 2
Da mesma forma, i m −a a 2
− m a 2 − aa − a a a 2 2 o que nos fornece 〈p 2 − m 〈a 2 − aa − a a a 2 2 m 〈aa 2 m 2 Relações de incerteza.
Das definições de x e p em termos dos operadores a e a , podemos mostrar que 〈x 0,
〈p 0.
Logo, Δx 2 〈x 2 − 〈x 2 〈x 2
2m
e Δp 2 〈p 2 − 〈p 2 〈p 2 m 2 satisfazem o produto de incerteza mínimo Δx 2
Δp 2
m 2 . 4 2m 2
uma vez que a função de onda tem a forma gaussiana. Para os estados excitados os produtos de incerteza são maiores
Prof. Abraham Moysés Cohen
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25
Δx 2
Δp 2 n 1 2
2
2.
Evolução Temporal do Oscilador Nota: Nesta seção os x, p, a e a são dependentes do tempo, embora não se escreva explicitamente x H t etc.
Representação de Heisenberg As equações de movimento para p e x são, de acordo com (2.2.32) e (2.2.33), dx p m dt
dp − dV −m 2 x, dx dt Como ip x m ,
a
m 2
m 2
dx i dp , m dt dt
m 2
a
ip x − m
então da dt
da dt
m 2
dx − i dp m dt dt
m 2
p m − i x
m 2
p m i x
ou da dt
m 2
p i 2 m m −m x
−i m 2
ip x m
i a
e da dt
m 2
i m 2
p i 2 m − m −m x ip x − m
ia
Logo, as equações diferenciais para x e p (acopladas) podem ser substituídas pelas correspondentes para a e a da −ia, dt
da ia dt
cujas soluções são at a0 exp−it,
a t a 0 expit
(3.43
Casualmente, essas relações mostram explicitamente que os operadores N e H são independentes do tempo. Por exemplo, N a tat a 0 expit a0 exp−it |a0| 2 . Substituindo (3.43) nas expressões para x e p, x
a a , 2m
p i m −a a 2
encontra-se
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
26
2m
xt
ip0 x0 m
m 2
2m
exp−it
ip0 x0 − m
m 2
ip0 1 x0 m exp−it 2 expit exp−it x0 2
expit
1 x0 − ip0 expit m 2 p0 expit − exp−it m 2i
ou p0 m
xt x0 cost
sent
Da mesma forma pt −mx0 sent p0 cost. Estas equações parecem muito com as equações clássicas do movimento. Vemos que os operadores x e p “oscilam” da mesma forma que seus análogos clássicos. Lema de Baker-Hausdorff Seja a função de operadores e iG Ae −iG , onde A é um qualquer operdor, G é um operador hermitiano e é um parâmetro real: Como expandir esta função numa série de Taylor? Vamos chamar esta função de A e iG Ae −iG . Vamos derivar esta função sucessivamente em relação a . Ou seja, dA iGe iG Ae −iG − ie iG Ae −iG G iG, A d d 2 A dA dA d i G, i 2 G, G, A d d d d 2 d 2 A d 3 A i G, i 3 G, G, G, A d 3 d 2 Expandindo A numa série de Taylor, em torno de 0, A A0
2 d 2 A0 dA0 2! d 2 d
e lembrando que A0 A, encontra-se, i22 2!
A A iG, A inn 2!
G, G, A
G, G, … G, A
…
ou finalmente e iG Ae −iG A iG, A
inn 2!
i22 2!
G, G, A
G, G, … G, A
…
(3.47
que é conhecida como Lema de Baker-Hausdorff. Derivação alternativa da evolução temporal do oscilador Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
27
Vamos aplicar o lema de Baker para encontrar a evolução temporal a partir de xt exp iHt x0 exp −iHt Aplicando (3.47), obtém-se A x0, G H, t/ : it H, x0
xt x0
i2t2 2! 2
H, H, x0
p0 2 m 2 x0 2 , uma vez que H não depende do tempo, podemos calcular os comutadores, 2m 2 usando repetidamente,
Como H
H, x0
m 2 x0 2 p0 2 , x0 2m 2
1 p0 2 , x0 2m
1 p0p0, x0 1 p0, x0p0 −i p0 m 2m 2m
e m 2 x0 2 p0 2 , p0 2m 2
H, p0
2 m x0 2 , p0 2
2 2 m x0x0, p0 m x0, p0x0 im 2 x0 2 2
Então, exp iHt x0 exp −iHt −
1 t 2 2 x0 − 1 2! 3!
x0
p0 t m
t 3 3 p0 m
colecionando os termos, temos finalmente xt x0 cos t
p0 m
sen t,
em concordância com (2.3.45a). ★ Leia o restante da seção.
2.4
Equação de Onda de Schrödinger
Nesta seção volta-se à represntação de Schrödinger para examinar a evolução temporal de |, t 0 ; t na representação x.
Função de Onda Dependente do Tempo Vamos estudar o comportamento da função de onda x ′ , t 〈x ′ |, t 0 ; t
(4.1)
como função do tempo |, t 0 ; t é um autoket na representação de Schrödinger no instante t, e 〈x ′ | é o autobra da posição (que é independente do tempo na representação de Schrödinger) com autovalor x ′ . Seja o Hamiltoniano da forma H
p2 Vx 2m
(4.2)
O potencial Vx é um operador hermitiano; é também local, no sentido de que, na representação x, tem-se x ′ | Vx | x ′′ Vx ′ 3 x ′ − x ′′ Capítulo 2
Dinâmica Quântica
(4.3) 28
onde Vx ′ é uma função real de x ′ . Equação de onda de Schrödinger.
Vamos agora derivar a equação de onda de Schrödinger dependente do
tempo. De (2.1.27) i ∂ |, t 0 ; t H |, t 0 ; t ∂t que, multiplicada escalarmente pelo autobra (estacionário) 〈x ′ | enconta-se i ∂ 〈x ′ |, t 0 ; t 〈x ′ |H |, t 0 ; t ∂t Lado direito de (2.4.4).
(4.4)
Usando (1.7.20), ou seja, n x ′ | p nx |, t 0 ; t −i n ∂ ′n 〈x ′ |, t 0 ; t, ∂x
#
encontramos para a contribuição da energia cinética do lado direito de (2.4.4) 〈x ′ |
2 p 2x |, t 0 ; t −i 2 ∂ ′2 〈x ′ |, t 0 ; t 2m ∂x
ou, para 3 dimensões 〈x ′ |
2 −i 2 ′2 ′ p2 ∇ 〈x |, t 0 ; t − ∇ ′2 〈x ′ |, t 0 ; t |, t 0 ; t 2m 2m 2m
Para a contribuição da energia potencial, temos 〈x ′ |Vx ′ Vx ′ 〈x ′ | onde aqui Vx ′ é uma função e não um operador. Combinando tudo, encontramos 2 ∇ ′2 〈x ′ |, t 0 ; t Vx ′ 〈x ′ |, t 0 ; t i ∂ 〈x ′ |, t 0 ; t − 2m ∂t
(4.7)
que reconhecemos ser a famosa equação de onda de Schrödinger dependente do tempo, geralmente escrita como 2 ∇ ′2 x ′ , t Vx ′ x ′ , t i ∂ x ′ , t − 2m ∂t
(4.8)
Nota: A mecânica quântica baseada na equação de onda (2.4.8) é conhecida como mecânica ondulatória. Esta equação é, de fato, o ponto de partida de muitos livros de texto sobre mecânica quântica. Porém, em nosso formalismo, isto é apenas a equação de Schrödinger para o estado ket escrita explicitamente na base x, quando o operador Hamiltoniano adotado é da forma (2.4.2).
A Equação de Onda Independente do Tempo Já vimos que a dependência temporal de um estado estacionário é dada pelo fator exp−iE a ′ t/, de maneira que a função de onda desse estado pode ser escrita como 〈x ′ |a ′ , t 0 ; t 〈x ′ |a ′ exp−iE a ′ t/
(4.9)
onde estamos supondo que o sistema está preparado inicialmente num autoestado simultâneo de A e H com autovalores a ′ e E a ′ respectivamente. Vamos agora substituir (2.4.9) na equação de Schrödinger dependente do tempo (2.4.7): 2 ∇ ′2 〈x ′ |a ′ exp−iE a ′ t/ i ∂ 〈x ′ |a ′ exp−iE a ′ t/ − 2m ∂t Vx ′ 〈x ′ |a ′ exp−iE a ′ t/
ou
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Mecânica Quântica A
29
2 ∇ ′2 〈x ′ |a ′ Vx ′ 〈x ′ |a ′ E ′ 〈x ′ |a ′ a 2m
−
(4.10
Nota: Esta equação diferencial parcial é satisfeita pela autofunção de energia 〈x ′ |a ′ com autovalor de energia E a ′ . Realmente, em mecânica ondulatória, onde o Hamiltoniano é dado como função de x e p, como em (2.4.2), não é necessário referir-se explicitamente ao observável A que comuta com H, uma vez que sempre podemos escolher A como uma função dos observáveis x e p que coincide com H.
Então, podemos omitir a referência a a ′ e simplesmente escrever (2.4.10) como uma equação diferencial parcial que será satisfeita pela autofunção da energia u E x ′ : 2 ∇ ′2 u E x ′ Vx ′ u E x ′ E u E x ′ 2m
−
(2.4.
Esta é a equação onda de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver esta equação, precisamos impor algumas condições de contorno.
Condições de contorno. Solução para E V.
Se procuramos soluções com Vx ′ E lim ′ |x |→
onde a desigualdade vale para |x ′ | → em qualquer direção, a condição de contorno apropriada para este caso é u E x ′ → 0,
para |x ′ | →
(4.13
Fisicamente, isto significa que a partícula está ligada ou confinada dentro de uma região finita do espaço. Para este caso, as soluções u E possuem as seguintes propriedades. Sabemos da teoria das equações diferenciais que (2.4.11) sujeita à condição de contorno (2.4.13) somente possuem soluções não triviais para um conjunto de valores discretos de E. É neste sentido que a equação de Schrödinger independente do tempo produz a quantização dos níveis de energia. Propriedades das soluções u E para partícula confinada.
★ Leia o restante da seção.
Interpretação da Função de Onda Como a função de onda está relacionada com o coeficiente de expansão, 〈x |, t 0 ; t, do estado |, t 0 ; t em termos dos autokets da posição |x ′ , podemos Função de onda como coeficiente de expansão. ′
assciar || 2 com uma densidade de probabilidade. Seja então esta densidade definida como x ′ , t |x ′ , t| 2 |〈x ′ |, t 0 ; t| 2
(4.14
A quantidade x ′ , t d 3 x ′ nos dá a probabilidade, num instante t, de encontrar a partícula dentro de um pequeno elemento de volume d 3 x ′ em torno da posição x ′ . Equação da continuidade.
Usando a equação de Schrödinger dependente do tempo podemos mostrar
facilmente que ∂ ∇j 0 ∂t
(4.15
onde representa || 2 como antes, e jx, t é conhecido como fluxo de probabilidade, dado por Capítulo 2
Dinâmica Quântica
30
m
i ∗ ∇ − ∇ ∗ 2m
jx, t −
Im ∗ ∇
(4.16
Integrando (2.4.16) sobre todo o espaço, obtemos
Fluxo de probabilidade e momento.
jx, td 3 x
1 ∗ x, t−i∇ x, td 3 x 2m 〈p − 1 −i∇ ∗ x, tx, td 3 x m t 2m
onde usamos (1.7.19). Nota: A Eq. (4.15) nos lembra a equação da continuidade em dinâmica dos fluidos, que caracteriza um fluxo hidrodinâmico de um fluido numa região sem fontes nem sumidouros. De fato, historicamente Schrödinger foi o primeiro a 2
2
interpretar || como uma densidade real de matéria, ou e|| como uma densidade real de carga elétrica. Se adotarmos tal ponto de vista, ficaremos diante de algumas consequência estranhas. Um argumento típico para a medida da posição seria este: Um elétron atômico é considerado como uma distribuição contínua de matéria, preenhcendo toda a região em torno do núcleo; mas, quando se realiza uma medida para verificar que o elétron está em algum ponto particular, esta distribuição contínua de matéria subitamente se contrai na forma de uma partícula sem extensão espacial.
A interpretação estatística mais satisfatória de || 2 foi dada pela primeira vez por M. Born. Significado físico da função de onda Vamos escrever a função de onda na forma x, t
x, t exp
iSx, t
exp −iS ∇
exp iS
(4.18
onde S é real e 0. Significado de S.
Note que ∗ ∇
∇
i ∇S
e ∇ ∗ ∇
exp −iS
exp iS
∇
− i ∇S
Logo, j −
i ∗ ∇ − ∇ ∗ − i 2m 2m
2i ∇S
∇S m
(4.20
Agora vemos que a função de onda tem muito mais coisa do que simplesmente a densidade de probabilidade dada por || 2 : o gradiente da fase S contém uma peça de informação vital. Da Eq. (2.4.20) vemos que a variação espacial da fase da função de onda caracteriza o fluxo de probabilidade; quanto mais forte for a variação da fase, mais intenso será o fluxo. A direção de j em qualquer ponto x é normal à superfície de fase constante que passa por aquele ponto (definição de gradiente). Onda plana.
Um exemplo particularmente simples é o da onda plana (autofunção do momento) x, t exp
ip x − iEt
(4.21
onde p significa o autovalor do operador momento. Neste caso, a fase S vale Sx, t p x − Et e, portanto, Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
31
∇S p
(4.22
Mais geralmente, é tentador considerar ∇S/m como alguma espécie de “velocidade”, “v” ∇mS e escrever a equação da continuidade (2.4.15) como ∂ ∇ “v” ∂t
0
da mesma forma como na dinâmica dos fluidos. Porém, devemos tomar cuidado com uma interpretação tão literal de j como vezes a velocidade definida em todos os pontos do espaço, uma vez que medidas simultâneas precisas da posição e velocidade violam o princípio da incerteza.
O Limite Clássico Agora vamos discuitir o limite clássico da mecânica ondulatória. Seja a equação de Schrödinger dependente do tempo, 2 ∇ 2 V . i ∂ − 2m ∂t
Para
exp iS
encontramos i ∂ ∂t
exp iS
−
2 ∇2 2m
exp iS
V
exp iS
ou i
∂ ∂t
i
∂S ∂t
−
2 2m
− 12
∇2 |∇S| 2
i
2i
∇
∇S
∇2S V
(4.25
Aproximação para pequeno.
Até aqui a expressão é exata. Vamos supor que, em algum sentido, possa ser considerada uma quantidade pequena, admitindo que |∇ 2 S| |∇S| 2
(4.26
e assim por diante. Vamos então colecionar os termos que não dependem de : − ∂S 1 |∇S| 2 V 2m ∂t ou 1 |∇Sx, t| 2 Vx ∂Sx, t 0 2m ∂t
(4.27
A Eq. (2.4.27) é a equação de Hamilton-Jacobi da mecânica clássica, onde Sx, t representa a função principal de Hamilton. Assim, não é por acaso que, no limite → 0, a mecânica clássica esteja contida na mecânica ondulatória de Schrödinger. Temos uma interpretação semiclássica para a fase da função de onda: vezes a fase é igual à função principal de Hamilton, desde que possa ser considerado como uma Equação de Hamilton-Jacobi.
quantidade pequena.
Vamos olhar para os estados estacionários com dependência temporal exp−iEt/. Neste caso, a Hamiltoniana clássica não depende explicitamente do tempo e a função de principal de Hamilton
Estados estacionários.
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
32
é separável: Sx, t Wx − Et
(4.28
onde Wx é chamada de função característica de Hamilton. ***
Substituindo em (4.27), 1 |∇Wx − Et| 2 Vx ∂Wx − Et 0 2m ∂t podemos eliminar o tempo, obtendo-se, 1 |∇Wx| 2 Vx E 2m ***
Da Eq. (2.4.27) vê-se que, à medida que o tempo passa, uma superfície de S constante avança da mesma maneira que avança uma superfície de fase constante em óptica - uma frente de onda. O momento da teoria clássica de H-J é dado por p clássico ∇S ∇W
que é consistente com nossa identificação anterior de ∇S/m com alguma tipo de velocidade.
Aproximação Semiclássica (WKB) Vamos obter a solução de estado estacionário aproximada da equação de Schrödinger restrita a uma dimensão. Da equação 1 2m
2
dWx dx
Vx E
obtém-se facilmente W, integrando-se a equação dWx 2mE − Vx dx ou seja, Wx dx ′ 2mE − Vx ′ x
Região classicamente permitida (E V) Logo, Sx, t é dado por Sx, t Wx − Et dx ′ 2mE − Vx ′ − Et x
onde estamos interessados na região classicamente permitida, E V. Estados estacionários.
Para estados estacionários, temos ∂ 0 ∂t
o que, devido à equação da continuidade na forma (2.4.24), ∂ 1 ∂S ∂ m ∂x ∂x ∂t
0 → ∂ ∂S ∂x ∂x
0.
implica em ∂S constante ∂x Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
33
Como ∂S ≡ ∂x
dWx 2mE − Vx constante dx
então
constante E − Vx ′ 1/4
1 v clássica
Combinando essas equações na expressão exp iS
encontramos, x, t
constante E − Vx 1/4
i
exp
x
dx ′ 2mE − Vx ′ − iEt .
(4.35
Esta solução aproximada é conhecida com solução WKB (Wentzel, Kramers e Brillouin). O que significa dizer é pequeno?
A condição |∇ 2 S| |∇S| 2
é equivalente em problemas unidimensionais a 2 d S2 dx
dS dx
2
.
Como dS dWx 2mE − Vx dx dx então d2S dx 2 dS dx
2
2m 2
dVx 1 E − Vx dx
2m|E − Vx|
Logo, 2 d S2 dx
dS dx
2
→ m 2
1 E − Vx
dVx dx
2mE − Vx
para E V, ou 2mE − Vx
dVx dx
2mE − Vx
Em termos do comprimento de onda de de Broglie dividido por 2,
2mE − Vx
2mE − Vx |dVx/dx|
a condição torna-se
(2.4.3
Em outras palavras, deve ser pequeno comparado com a distância característica sobre a qual o potencial varia apreciavelmente. Grosso modo, o potencial deve ser essencialmente constante sobre muitos Capítulo 2
Dinâmica Quântica
34
comprimentos de onda. Logo, vemos que a aproximação semiclássica é confiável no limite de pequenos comprimentos de onda.
Região classicamente proibida (E V) Vamos considerar agora o caso onde E − Vx 0, cujos valores de x são conhecidos como região classicamente proibida. A teoria clássica de Hamilton-Jacobi não faz sentido neste caso, tal que nossa solução aproximada(2.4.35) tem que ser modificada. Solução análoga para a região V E.
x, t
Pode-se mostrar, por substituição direta, que a função
constante Vx − E 1/4
exp 1
x
dx ′ 2mVx ′ − E − iEt
(4.38
satisfaz a equação de onda, com a condição de que / 2mV − E seja pequeno comparado com a distância característica na qual o potencial varia. Nenhuma das soluções semiclássicas tem sentido próximas de um ponto de retorno clássico, definido pelo valor de x para o qual
Pontos de retorno.
Vx E uma vez que (ou i) torna-se infinito naquele ponto, levando a uma forte violação da condição (2.4.37). De fato, é uma tarefa não trivial “casar” as duas soluções através do ponto de retorno. O procedimento padrão é baseado nas seguintes etapas: 1. Lineariza-se o potencial Vx nas proximidades do ponto de retorno x 0 , definido pela raiz de Vx 0 E. Ou seja, Vx ≃ Vx 0
dV dx
xx 0
x − x 0
2. Resolve-se a equação diferencial d2uE − dx 2
2m 2
dV dx
xx 0
x − x 0 u E 0
exatamente, para obter uma terceira solução envolvendo as funções de Bessel de ordem 1/3 (funções de Airy) válida próximo de x 0 . 3. “Casa-se” esta solução às outras duas, escolhendo-se apropriadamente várias constantes de integração.
Aproximação WKB para um poço de potencial Vamos aplicar os resultados da análise da aproximação WKB para um poço de potencial (estados ligados), mostrado esquematicamente na figura abaixo. Nesta figura, as regiões são caracterizada pelas seguintes condições: Região I:
E Vx, Eq. (2.4.38)
Região II:
E Vx, Eq. (2.4.35)
Região III: E Vx, Eq. (2.4.38)
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Mecânica Quântica A
35
V(x)
E Região II Região III
Região I
x1
x2
x
As soluções são: Regiões I e III I,III x, t
C1 Vx − E 1/4
exp 1
x
dx ′ 2mVx ′ − E − iEt
Região II II x, t
C2 E − Vx 1/4
exp
i
x
dx ′ 2mE − Vx ′ − iEt
Regiões de transição Nos pontos de retorno, x x 1 e x x 2 , temos que resolver a equação de Schrödinger exata para o potencial linearizado. Ou seja, d 2 u E − 2 x − x u 0 0 E dx 2 onde dV dx
2m 2
1/2 xx 0
1 2mV ′ x 0
1/2
Fazendo uma mudança de variável do tipo z 2/3 x − x 0 1 2mV ′ x 0
1/3
x − x 0
encontra-se d d dz dx
dz dx
2/3 d dz
e
d 2 4/3 d 2 dx 2 dz 2
Portanto, 2 2 4/3 d u2E − 2/3 z u E 0 dz
ou Capítulo 2
Dinâmica Quântica
36
d2 − z uE 0 dz 2 cuja solução são as funções de Airy, Aiz, 1 Aiz
0 d cos
1 3 z 3
O comportamento assintótico dessa função é 1/2
1 2
1
exp − 2 z 3/2 , 3
z
z 0, V E
Aiz
. 1/2
1 −z
cos 2 z −z , z 0, E V 3 4
Uma vez que Vx Vx 0 V ′ x 0 x − x 0 → x − x 0
V − E V′
onde V ′ dV/dx, temos z 2/3 x − x 0 2/3 V −′ E V Então, o comportamemto assintótico de Aiz para z 0 V E é
Comportamento assintótico na região II.
1/2
V′
Aiz
cos − 2 x 0 − x 3/2 − 3 4
E − V 2/3
Notando que o argumento do cosseno pode ser obtido através da integral
x
x
x 0 − x dx ′ − 2 x 0 − x 3/2 3 0
então, a forma assintótica torna-se 1/2
V′
Aiz
x
x
cos
E − V 2/3
0
x 0 − x dx ′ 4
ou Aiz
1/2
V′ 2/3 E − V
1
x
cos 1
x
cos
x 0
2mV ′ E −′ V V
dx ′ 4
e, finalmente Aiz
V′ E − V 2/3
1/2 x 0
2mE − Vx ′ dx ′ 4
(*)
Da mesma maneira podemos obter a forma assintótica para as regiões
Forma assintótica nas regiões I e II.
onde V E x 0. Encontramos Aiz
V′ E − V 2/3
1/2
exp − 1
Continuidade da função através dos pontos x 1 e x 2 .
Prof. Abraham Moysés Cohen
x
x
2mVx ′ − E dx ′
(**)
0
Queremos agora que a solução (aproximada) da Mecânica Quântica A
37
equação de Schrödinger seja contínua através de x x 1 , ao passarmos da região I para a região II. Então, esta solução tem que ser da forma de (*). Ou seja, u 1 II x
C1
1/2
V′
cos 1
E − V 2/3
x
x 1
2mE − Vx ′ dx ′ − 4
Da mesma forma com o ponto x 2 , ao passarmos da região III para a região II: u 2 II x
C2
1/2
V′
cos 1
2/3 E − V
x
x 2
2mE − Vx ′ dx ′ 4
Como a solução na região II deve ser única, os argumentos dos cossenos diferem, no máximo, por um múltiplo inteiro de . Logo,
Solução única.
1
x
x 1
2mE − Vx ′ dx ′ − 4
−
1
x
x 2
2mE − Vx ′ dx ′ 4
n
ou 1 x 2 2mE − Vx ′ dx ′ x 2mE − Vx ′ dx ′ x2 x1 x − 1 2mE − Vx ′ dx ′ 4 x2
− 4
n
e, finalmente,
x
x2 1
2mE − Vx ′ dx ′ n 1 , n 0, 1, 2… 2
(4.43
Esta equação é simplesmente a condição de quantização de Bohr-Sommerfel (exceto pelo fator 1/2, escrita como
p dq nh
onde a integral é calculada sobre um período completo do movimento clássico, de x 1 a x 2 , ida e volta. Aplicação de (4.43) - Bola quicando sobre o solo Considere o problema de uma bola quicando sobre uma superfície dura:
V(x)
⎧mgx, V (x) = ⎨ ⎩∞,
x x=0
x>0 x < 0.
x
Para este potencial, os pontos de retorno, Vx E, serão x1 0 As funções se anulam em x 0.
Capítulo 2
e
E x 2 mg
Por isso, é melhor usarmos as soluções ímpares de um problema Dinâmica Quântica
38
modificado definido por:
V(x)
V (x) = mg| x |,
|x|
(−∞< x < ∞)
x Neste caso, nossos pontos de retorno serão E x 1 − mg
E . x 2 mg
e
A condição de quantização (4.43), para as soluções ímpares, nos fornece,
Condição de quantização.
−E/mg dx E/mg
2mE − mg|x| n ímpar 1 , 2
n ímpar 1, 3, 5, …
ou, de forma equivalente,
0
E/mg
dx 2mE − mgx n − 1 , 4
n 1, 2, 3, …
A integral pode ser feita facilmente, fornecendo
0
E/mg
dx 2mE − mgx
Logo, 2 2 3g
E 3 n − 1 , m 4
ou 8 E3 n − 1 4 9g 2 m
2
22
e, finalmente, En
3 n− 1 4 2
2/3
mg 2 2 1/3
para os níveis de energia quantizada de uma bola quicando sobre o chão. ★ Leia o restante da seção.
2.5
Propagadores e Int. de Caminho de Feynman
Propagadores em Menânica Ondulatória Já vimos que a solução do problema de evolução temporal com um Hamiltoniano dependente do tempo pode ser resolvido, expandindo-se o ket inicial em termos dos autokets de um observável que comuta com H. Ou seja,
Problema geral da evolução temporal.
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
39
|, t 0 ; t exp
∑ a′
−iHt − t 0 |, t 0 −iE a ′ t − t 0 |a ′ 〈a ′ |, t 0 exp
Multiplicando ambos os lados pela esquerda por 〈x ′ | encontramos 〈x ′ |, t 0 ; t
−iE a ′ t − t 0
∑ 〈x ′ |a ′ 〈a ′ |, t 0 exp a′
(5.2)
que é da forma x ′ , t
−iE a ′ t − t 0
∑ c a t 0 u a x ′ exp ′
′
a′
onde usamos u a ′ x ′ 〈x ′ |a ′ , para representar a autofunção do operador A com autovalor a ′ . Note também que 〈a ′ |, t 0
d 3 x ′ 〈a ′ |x ′ 〈x ′ |, t 0
(5.5)
reconhecida com a regra usual em mecânica ondulatória para obter os coeficientes de expansão do estado inicial c a ′ t 0
d 3 x ′ u ∗a x ′ x ′ , t 0 . ′
Tudo isto é direto e familiar. A Eq. (2.5.2), com a ajuda de (2.5.5), pode também ser visualizada como alguma espécie de operador integral atuando sobre uma função de onda inicial, resultando na função de onda final. De fato, substituindo (2.5.5) em (2.5.2) obtém-se
Propagador.
x ′′ , t
∑ 〈x ′′ |a ′ d 3 x ′ 〈a ′ |x ′ 〈x ′ |, t 0 a′
d 3 x ′ ∑ 〈x ′′ |a ′ 〈a ′ |x ′ exp a′
d 3 x ′ ∑ 〈x ′′ |a ′ 〈a ′ |x ′ exp a′
exp
−iE a ′ t − t 0
−iE a ′ t − t 0 〈x ′ |, t 0 −iE a ′ t − t 0
x ′ , t 0
ou x ′′ , t
d 3 x ′ Kx ′′ , t; x ′ , t 0 x ′ , t 0 .
(5.7)
aqui o núcleo (kernel) do operador integral, conhecido como propagador em mecânica ondulatória, é dado por Kx ′′ , t; x ′ , t 0
∑ 〈x ′′ |a ′ 〈a ′ |x ′ exp a′
−iE a ′ t − t 0
(5.8)
Em qualquer que seja o problema, o progador depende apenas do potencial e é independente da função de onda inicial. Pode ser construído uma vez que as autofunções da energia e seus autovalores sejam conhecidos.
A evolução temporal da função de onda é completamente predita se Kx , t; x , t 0 é conhecido e x , t 0 é dado inicialmente. Evolução temporal da função de onda. ′′
′
′
Neste sentido, a mecânica ondulatória de Schrödinger é uma teoria perfeitamente causal. A evolução temporal de uma função de onda sujeita a algum potencial é tão determinística como qualquer outra Teoria causal.
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
40
coisa em mecânica clássica, desde que o sistema não seja perturbado. Talvez a única característica peculiar é que quando se realiza uma medida, a função de onda muda abruptamente, de uma maneira incontrolável, para uma das autofunções do observável que está sendo medido. Propriedades do propagador.
Existem duas propriedades do propagador:
1) Para t t 0 , Kx ′′ , t; x ′ , t 0 satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo nas variáveis x ′′ e t, com x ′ e t 0 fixos. Demonstação:
De fato, como Kx ′′ , t; x ′ , t 0
∑ 〈x ′′ |a ′ 〈a ′ |x ′ exp a′
−iE a ′ t − t 0
pode ser reescrito como Kx ′′ , t; x ′ , t 0
∑
exp
a′
iE a ′ t 0
u ∗a ′ x ′
exp
−iE a ′ t u a ′ x ′′
∑ u ∗a x ′ , t 0 u a x ′′ , t. ′
′
a′
Como u a ′ x ′′ , t satisfaz a equação de onda de Schrödinger, uma combinação linear (desde que x ′ e t 0 sejam fixos) também a satisfaz e, portanto, K deve também satisfazer a mesma equação de onda. 2) O limite de Kx ′′ , t; x ′ , t 0 quando t → t 0 vale lim Kx ′′ , t; x ′ , t 0 3 x ′′ − x ′ . t→t 0
Demonstração.
Isto pode ser mostrado, usando-se a completeza da base |a ′ . De fato, a Eq. (2.5.8), Kx ′′ , t; x ′ , t 0
∑ 〈x ′′ |a ′ 〈a ′ |x ′ exp a′
−iE a ′ t − t 0
reduz-se a Kx ′′ , t; x ′ , t 0 〈x ′′ |x ′ exp
−iE a ′ t − t 0
e, portanto, usando a ortogonalidade dos |x ′ encontramos Kx ′′ , t; x ′ , t 0 3 x ′′ − x ′ exp
−iE a ′ t − t 0 .
Agora, tomando o limite quando t → t 0 , esta expressão torna-se lim Kx ′′ , t; x ′ , t 0 3 x ′′ − x ′ . t→t 0
Devido a essas duas propriedades, o propagador, quando considerado como função de x é simplesmente a função de onda, no instante t, de uma partícula que estava precisamente localizada no ponto x ′ num instante anterior t 0 . De fato, esta interpretação segue, talvez de uma maneira mais elegante, da observação de que (2.5.8) também pode ser escrita como Interpretação física do propagador. ′′
Kx ′′ , t; x ′ , t 0 〈x ′′ | exp
−iE a ′ t − t 0 |x ′ .
(2.5.
onde o operador evolução temporal atuando sobre |x ′ é justamente o estado ket no instante t de um sistema que estava precisamente localizado na posição x ′ no instante t 0 t. Solução geral usando o propagador.
Prof. Abraham Moysés Cohen
Se quisermos resolver um problema mais geral, onde a função de onda Mecânica Quântica A
41
inicial, não está localizada, mas extende-se sobre uma região finita do espaço, tudo que precisamos fazer é multiplicar a função de onda inicial x ′ , t 0 pelo propagador Kx ′′ , t; x ′ , t 0 e integrar sobre todo o espaço (isto é, sobre x ′ ), como nos mostra a Eq. (2.5.7): x ′′ , t
d 3 x ′ Kx ′′ , t; x ′ , t 0 x ′ , t 0 .
Esta solução é semelhante ao problema para encontrar o potencial eletrostático de uma distribuição de carga: inicialmente resolve-se o problema de uma carga puntiforme, multiplica-se pela distribuição e integra-se: Propagador como função de Green.
x
d3x′
1 |x − x ′ |
x ′
(potencial eletronstático).
(potencial de q1)
O propagador pode então ser considerado como a função de Green para a equação de onda dependente do tempo: Equação de Green para o propagador.
−
2 ∇ ′′2 Vx ′′ − i ∂ 2m ∂t
Kx ′′ , t; x ′ , t 0 −i 3 x ′′ − x ′ t − t 0 .
(5.12
com a condição de contorno Kx ′′ , t; x ′ , t 0 0,
t t0.
(5.13
A forma do propagador depende do potencial ao qual a partícula está sujeita. O momento é o observável que comuta com o Hamiltoniano. Portanto, |p ′ é um autoket simultâneo dos operadores p e H:
Propagador para a partícula livre.
p |p ′ p ′ |p ′ ,
p ′2 |p ′ . 2m
H |p ′
As autofunções do momento são do tipo onda plana [v. (1.7.32)]: 〈x ′ |p ′
1 expip ′ x ′ . 2
Substituindo esta função em (2.5.8), obtém-se Kx ′′ , t; x ′ , t 0 Cálculo da integral.
1 2
ip ′ x ′′ − x ′ ip ′2 t − t 0 − 2m
dp ′ exp
.
Esta integral pode ser facilmente calculada, completando-se o quadrado na exponencial
′
do termo p . Ou seja, mx ′′ − x ′ 1 dp ′ exp − it − t 0 p ′2 2p ′ 2 − 2m t − t 0 2 1 dp ′ exp −a p ′ b − b 2 2 − 1 expab 2 dp ′ exp −ap ′ b 2 2 −
Kx ′′ , t; x ′ , t 0
onde a
it − t 0 , 2m
b
mx ′′ − x ′ t − t 0
Mas,
− e −apb dp Capítulo 2
2
Dinâmica Quântica
a 42
Logo, Kx ′′ , t; x ′ , t 0
1 2
expab 2 a
1 2
exp it − t 0 2m
m exp 2it − t 0
Integral espacial envolvendo Kx ′′ , t; x ′ , t 0 .
m 2 x ′′ − x ′ 2 t − t 0 2
it − t 0 2m
imx ′′ − x ′ 2 2t − t 0
.
Certas integrais envolvendo Kx ′′ , t; x ′ , t 0 são de grande interesse.
Considere a integral sobre todo espaço de Kx ′′ , t; x ′ , t 0
−iE a ′ t
∑ 〈x ′′ |a ′ 〈a ′ |x ′ exp a′
para x ′ x ′′ t 0 0: Gt ≡
d 3 x ′ Kx ′ , t; x ′ , 0 d 3 x ′ ∑ |〈x ′ |a ′ | 2 exp a′
∑ a′
exp
−iE a ′ t
d 3 x ′ |〈x ′ |a ′ | 2 ∑
−iE a ′ t
exp
a′
−iE a ′ t
onde usamos a normalização das autofunções 〈x ′ |a ′ . Então
∑
Gt
exp
a′
Continuação analítica de t.
−iE a ′ t
(5.20
Tomando t imaginário puro, podemos definir it
e representar Gt como Gt
∑
exp−E a ′ ,
a′
que podemos identificar com a função partição: Z
∑
exp−E a ′ .
a′
Por este motivo, algumas técnicas encontradas no estudo dos propagadores em MQ são també úteis em mecânica estatística. Integral
temporal
envolvendo
Kx ′′ , t; x ′ , t 0 .
Outra integral importante envolve a transformada de
Laplace-Fourier de Gt: ̃ E − i G
0 dt Gt expiEt/.
Ou seja ̃ E − i G
0 dt ∑ exp−iE a t/ expiEt/
− i
′
a′
∑ 0 dt exp
iE − E a ′ t/
a′
Como o integrando oscila indefinidamente, vamos fazer
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
43
E → E i onde é uma pequena parte imaginária positva. Após calcularmos a integral, fazemos → 0: ̃ E, − i G
∑ 0 dt exp
iE i − E a ′ t/
a′
−i
∑ 0 dt exp
−i
∑
− − iE − E a ′ t/
a′
a′
− iE iE a ′
∑ a′
−i − iE iE a ′
̃ E, encontramos No limite lim →0 G ̃ E G
∑ a′
1 . E − E a′
̃ E no plano complexo E Observe agora que o espectro de energia completo aparece como pólos simples de G . Se desejarmos conhecer o espectro de energia de um sistema físico, basta estudar as propriedades ̃ E. analíticas de G
Propagador como uma Amplitude de Transição Definimos a função de onda como o produto interno de um bra 〈x ′ | fixo com um estado ket movendo-se |, t 0 ; t. Ou seja, Função de onda.
x ′ , t 〈x ′ |, t 0 ; t. Podemos também definir esta função, na representação de Heisenberg, como o produto interno de bra da posição que se move no sentido oposto no tempo, 〈x ′ , t|, com o estado ket |, t 0 fixo no tempo: x ′ , t 〈x ′ , t|, t 0 . Propagador.
Da mesma forma, podemos definir o propagador como Kx ′′ , t; x ′ , t 0
∑ 〈x ′′ |a ′ 〈a ′ |x ′ exp a′
∑ 〈x ′′ | exp a′
−iE a ′ t − t 0
−iE a ′ t iE a ′ t 0 |a ′ 〈a ′ | exp
|x ′
x ′′ , t | x ′ , t 0 . onde |x ′ , t 0 e 〈x ′′ , t| são, respectivamente, autoket e autobra do operador posição na representação de Heisenberg. O que significa um produto da forma
b′, t | a′
?
Na Seç. 2.2 vimos que
b ′ , t | a ′ , na notação da
representação de Heisenberg é a amplitude de probabilidade para um sistema, originalmente preparado num autoestado de A com autovalor a ′ no tempo inicial t 0 0, ser encontrado num tempo posterior t num autoestado de B com autovalor b ′ . Foi o que se chamou de amplitude de transição para ir do estado |a ′ para o estado |b ′ . E o que significa Kx ′′ , t; x ′ , t 0 x ′′ , t | x ′ , t 0
?
A diferença com o caso anterior fica por conta da escolha de
t 0 0. Mas o que é relevante aqui é a diferença t − t 0 . Portanto, podemos identificar x ′′ , t | x ′ , t 0
como a
amplitude de probabilidade para a partícula preparada no instante t 0 com autovalor da posição x ′ ser encontrada num instante posterior t na posição x ′′ . Grosso modo, Kx ′′ , t; x ′ , t 0 é a amplitude de probabilidade para uma partícula ir
de um ponto espaço-temporal x ′ , t 0 para outro ponto espaço-temporal x ′′ , t. Capítulo 2
Dinâmica Quântica
44
Outra interpretação para Kx ′′ , t; x ′ , t 0 x ′′ , t | x ′ , t 0 .
Sabemos que na representação de Heisenberg o
estado é fixo e a base se movimenta. Nessa representação, |x ′ , t 0 é o autoket da posição no instante t 0 com
autovalor x ′ . Em qualquer instante, podemos escolher os autokets de um observável como kets de base. Logo, x ′′ , t | x ′ , t 0
pode ser considerada como a transformção que conecta as duas bases em tempos diferentes. Vamos usar uma notação mais simétrica para as coordenadas espaciais e temporais. Ou seja, faremos a substituição
Notação simétrica.
x ′′ , t | x ′ , t 0
→ x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′
Na representação de Heisenberg os kets da posição formam um conjunto completo, em qualquer instante. Podemos então definir o operador identidade para esse conjunto como
Operador identidade.
d 3 x ′′ |x ′′ , t ′′ 〈x ′′ , t ′′ |
1.
Podemos usar esse operador identidade para escrever a evolução temporal de um sistema físico do instante t ′ para o instante t ′′′ . Para isso, podemos dividir o intervalo t ′ , t ′′′ em duas partes, Evolução temporal.
t ′ , t ′′ e t ′′ , t ′′′ . Logo, x ′′′ , t ′′′ | x ′ , t ′
d 3 x ′′
x ′′′ , t ′′′ | x ′′ , t ′′
x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ ,
t ′′′ t ′′ t ′ .
Isto é conhecido como propriedade da composição da amplitude de transição. Evidentemente, podemos dividir o intervalo de tempo em subintervalos cada vez menores na quantidade que desejarmos. Logo, Subintervalos menores.
x ′′′′ , t ′′′ | x ′ , t ′
d 3 x ′′′ d 3 x ′′
x ′′′′ , t ′′′′ | x ′′′ , t ′′′
x ′′′ , t ′′′ | x ′′ , t ′′
x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ ,
t ′′′′ t ′′′ t ′′ t ′
(5.29
e assim por diante. Subintervalos infinitesimais.
Se de algum modo adivinhássemos a forma de x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ para um intervalo
de tempo infinitesimal (entre t ′ e t ′′ t ′ dt), poderíamos obter a amplitude x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ para um intervalo de tempo finito compondo as amplitudes de transição apropriadas para intervalos de tempo infinitesimais de maneira análoga a (2.5.29). Este tipo de raciocínio levou a uma formulação independente da mecânica quântica devida a Feynman.
Integrais de Caminho como a Soma sobre Caminhos Sem perda de generalidade vamos nos restringir a problemas unidimensionais. Vamos também substituir expressões incovenientes por outras mais simples. Por exemplo: N vezes
x ′′′′′′ → x N Amplitude de transição de x 1 , t 1 x N , t N .
Com esta notação, vamos considerar a amplitude de transição para uma partícula indo do ponto espaço-temporal inicial x 1 , t 1 para o final x N , t N . Vamos dividir o intervalo total entre t 1 e t N em N − 1 partes iguais: t j − t j−1 Δt
t N − t 1 N−1
Explorando a propriedade da composição, obtemos Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
45
xN, tN | x1, t1
dx N−1 dx N−2 dx 2
x N , t N | x N−1 , t N−1
x N−1 , t N−1 | x N−2 , t N−2 x 2 , t 2 | x 1 , t 1 que é igual ao propagador Kx N , t N ; x 1 , t 1 . Significado das integrais.
A figura abaixo serve para visualizar graficamente o procedimento que será
descrito.
t (xN, tN)
tN tN-1 tr t3 t2 t1
(x1, t1)
x
Caminhos no plano x − t. Considere o plano espaço-tempo. Os estados inicial e final são pontos fixos neste plano: x 1 , t 1 e x N , t N , respectivamente. Para cada segmento de tempo, digamos entre t n−1 e t n , devemos considerar a amplitude de transição para ir de x n−1 , t n−1 até x n , t n ; integra-se então sobre x 2 , x 3 , … , x N−1. Isto significa que devemos somar sobre todos os possíveis caminhos no plano espaço-tempo, mantendo-se fixos os pontos das extremidades. Caminhos na mecânica clássica Suponha que se tenha uma partícula sujeita a um campo de força derivável de um potencial Vx. A Lagrangeana clássica é escrita como Como aparecem?
2 L clássica x, ẋ mv − Vx 2
Dada esta Lagrangeana, com os pontos das extremidades especificados, existe apenas um único caminho que corresponde ao movimento real da partícula. Exemplo.
Dados Vx mgx,
x 1 , t 1 h, 0,
x N , t N
0,
2h g
onde h pode significar a altura da Torre Inclinada de Pisa, o caminho clássico no plano x − t pode ser apenas x h−
gt 2 . 2
De uma maneira geral, de acordo com o princípio de Hamilton, o caminho único é aquele que minimiza a ação, definida como a integral temporal da Lagrangeana: dt L clássica x, ẋ 0 t2
(5.35
t1
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
46
do qual a equação de movimento de Lagrange pode ser obtida.
Formulação de Feynman Diferença entre clássica e quântica.
A diferença básica entre as mecânicas clássica e quântica está na associação de caminhos no plano x-t ao movimento da partícula.
Clássica: caminho único (definido).
Quântica: todos os possíveis caminhos, mesmo aqueles que não têm nenhuma semelhança com os caminhos clássicos. Além disso, de algum modo deve reproduzir a mecânica clássica no limite → 0 de maneira suave.
Observação de Dirac
Como fazer isto?
exp i
t2 t1
dt L clássica x, ẋ
“corresponde a”
x2, t2 | x1, t1 .
Postulados de Feynman Lembrando: x N , t N | x 1 , t 1 é a amplitude de probabilidade para a partícula, saindo de x 1 no instante t 1 , chegar a x N no instante t N . xN, tN | x1, t1
(1)
é a soma de infinitas amplitudes parciais, uma para um cada dos caminho conectando x 1 , t 1 com
x N , t N . (2) A amplitude parcial x N , t N | x 1 , t 1
Γ
associada com um desses caminhos Γ é determinada da seguinte maneira: seja
S Γ a ação clássica calculada ao longo de Γ, isto é, SΓ
Γ dt L clássica x, ẋ
onde L clássica x, ẋ é a Lagrangeana clássica da partícula. Então xN, tN | x1, t1
Γ
exp iS Γ
Portanto, xN, tN | x1, t1
∑
xN, tN | x1, t1
Γ
2.6
Γ
∑ exp Γ
iS Γ
Potenciais e Transformações de Calibre
Potenciais Constantes A energia de ponto zero da energia potencial não tem significado físico em mecânica clássico. De fato, as variáveis dinâmicas, tais como xt e Lt não dependem do fato de usarmos Vx ou Vx V 0 com V 0 constante no espaço e tempo. A força que aparece na segunda lei de Newton depende apenas do gradiente do potencial; constantes aditivas são irrelevantes. Mecânica clássica.
Mecânica quântica.
E na mecânica quântica tem alguma situação análoga?
Vamos olhar para a evolução temporal de um estado ket na representação de Schrödinger sujeito a algum potecial. Seja Evolução temporal.
|, t 0 ; t →
Vx
|, t 0 ; t → Ṽ x Vx V 0 Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
47
com a condições iniciais tais que |, t 0 ; t → |, t t 0 |, t 0 ; t → |, t t 0 . ambos coincidem com | em t t 0 . De acordo com a teoria, |, t 0 ; t Ut, t 0 |, t 0 onde Ut, t 0 exp−iHt − t 0 /. Portanto, |, t 0 ; t exp −i
|, t 0 ; t exp −i
p2
2m p2
2m
Vx
t − t 0
Vx V 0
|
t − t 0
|
Portanto, podemos escrever |, t 0 ; t exp
−iV 0 t − t 0
|, t 0 ; t
Em outras palavras, o ket calculado sob a influência do potencial Ṽ x Vx V 0 tem uma dependência temporal que difere apenas pelo fator de fase exp−iV 0 t − t 0 / em relação àquele sob a influência do potencial Vx.
Estados estacionários.
No caso de estados estacionários, −iEt − t 0 |, t 0 .
|, t 0 ; t Então para o ket |, t 0 ; t, encontramos |, t 0 ; t exp
−iV 0 t − t 0 −iE V 0 t − t 0 |, t 0 ; t exp |, t 0
Em outras palavras, a dependência temporal calculada com Ṽ no lugar de V equivale à seguinte mudança: E → E V0. Efeitos observáveis, tais como valores esperados de 〈x e 〈S sempre dependem da diferença de energias tal que não mudam por um fator de fase constante.
Este é o primeiro exemplo de uma classe de transformações conhecidas como transformações de calibre (ou de gauge). A mudança na convenção para energia de ponto zero do potencial deve ser acompanhada por uma mudança no estado ket. Ou seja, Transformações de calibre.
Vx → Vx V 0 |, t 0 ; t → exp
−iV 0 t − t 0 |, t 0 ; t
Em termos da função de onda isto implica em x ′ , t → exp
−iV 0 t − t 0 x ′ , t
Potenciais Espacialmente Uniformes Se o potencial V 0 V 0 t varia com o tempo, então
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
48
|, t 0 ; t → exp −i dt ′ t
t0
V 0 t ′
|, t 0 ; t
Fisicamente o uso de Vx V 0 t em lugar de Vx significa que devemos escolher um novo ponto zero da escala de energia em cada instante de tempo. Embora a escolha da escala absoluta de potencial seja arbitrária, diferenças de potencial têm significado físico não trivial e pode ser detectado da seguinte maneira: Diferença de potencial.
Montagem.
Veja a figura e, em seguida, a explicação da montagem. V 2(t)
ΔV = V2-V 1
Região de interferência
V 1(t)
um feixe de partículas carregadas divide-se em 2 partes e cada uma delas entra num guia metálica (v. figura abaixo).
pode-se aplicar uma ddp entre os dois guias através de uma bateria.
cada partícula no feixe pode ser visualizada como um pacote de onda.
Experiência.
Considere a experiência relativa à figura acima.
Aplica-se uma ddp depois que os pacotes de onda (partículas carregadas) entrem nos guias e desliga-se antes que os pacotes deixem os guias.
O potencial dentro dos guias é espacialmente uniforme: região metálica. Por isso, não há forças atuando sobre as partículas (o campo elétrico no interior do metal é nulo).
Recombina-se as duas componentes do feixe numa região de interferência indicada na figura. Devido à existência do potencial, cada componente do feixe sofre uma mudança de fase indicada por (2.6.7), ou seja, V 0 t ′
t
exp −i dt ′ t0
|, t 0 ; t
Como resultado disso, existe um termo de interferência observável na intensidade do feixe na região de interferência, isto é cos 1 − 2 ,
sen 1 − 2
onde 1 − 2
1
tf
t
dt V 2 t − V 1 t
i
Portanto, embora a partícula não sofra a influência de uma força, existe um efeito observável que depende se a ddp V 2 t − V 1 t foi ou não aplicada.
Gravidade em Mecânica Quântica Efeitos gravitacionais em mecânica clássica.
Considere a equação de movimento clássica para um corpo em
queda livre Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
49
mẍ −m∇ grav −mgẑ → ẍ − gẑ . Como a massa não aparece na equação, na ausência da resistência do ar, uma pena e uma pedra comportam-se da mesma maneira - de acordo com Galileo - sob a influência da gravidade.
Conclusão.
Agora vamos examinar o mesmo problema sob o ponto de vista da mecânica quântica. Neste caso, o análogo da equação de Newton é a equação de onda:
Efeitos gravitacionais em mecânica quântica.
−
∂ 2 ∇2 m . grav i 2m ∂t
(6.11
Neste caso a massa não se cancela, mas aparece como combinação de /m, tal que, nos problemas onde esperamos que m também apareça.
Conclusão.
Teorema de Ehrenfest.
Partindo da equação de Schrödinger, podemos derivar o teorema de Ehrenfest: d 2 〈x −gẑ . dt 2
Observe que nem nem m aparece na equação. Entretanto, para observarmos os efeitos gravitacionais através da mecânica quântica, devemos estudar efeitos nos quais (e, portanto, m) aparece explicitamente. Até 1975, a única evidência experimental que estabelecesse a foi observada na queda livre de partículas elementares; porém, a equação clássica
Queda livre de partículas elementares.
presença do termo m grav
do movimento (ou teorema de Ehrenfest, onde não aparece) é suficiente para explicá-lo. A força gravitacional é muito fraca para que seja facilmente observada. Comparada com a força elétrica, a força de Coulomb nas mesmas condições é maior por um fator 2 10 39 . A força gravitacional é fraca.
Interferência quântica induzida por gravidade Um feixe de partículas monoenergéticas (na prática, nêutrons termalizados em equilíbrio térmico com o meio) é dividido em duas partes no ponto A da trajatória e recomposto no ponto D (v. figura abaixo: interferômetro de nêutrons). Vale o conceito de trajetória clássica: tamanho do pacote de onda é muito menor do que as dimensões macroscópicas do circuito formado por dois caminhos alternativos A → B → D e A → C → D. Interferômetro de nêutrons.
D B D
B
l2 A
l2 sen δ δ
l1
C
A
C
(b)
(a)
Considere que os caminhos A → B → D e A → C → D estão num plano horizontal. Uma vez que o zero absoluto do potencial devido à gravidade não é importante, podemos fazer V 0 para qualquer fenômeno que ocorra neste plano [Fig. (a)]. Experimento 1: Plano horizontal.
Girando o plano horizontal em torno do segmento BC por um ângulo , o potencial no nível BD é maior do que o do nível AC pela quantidade mgl 2 sen . Isto significa que o estado ket associado com o caminho BD “gira mais rápido”, levando a uma diferença de fase induzida pela gravidade Experimento 2: Plano inclinado.
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
50
entre as amplitudes para os dois pacotes de onda que chegam em D. Pacote de onda chegando a D via ABD sofre uma mudança de fase exp
−im n gl 2 T sen
onde T é tempo gasto para o pacote ir de B a D (ou de A a C) e m n é a massa do nêutron. Pode-se controlar esta fase, girando o plano de 0 a /2, ou de 0 a −/2. Como /p /m n v pacote , ou v pacote /m n , então T l 1 /v pacote m n l 1 /, obtém-se a seguinte expressão para a Controle da fase.
diferença de fase ABD − ACD −
m 2n gl 1 l 2 sen . 2
Desta maneira, predizemos um efeito de interferência que depende do ângulo , que lembra as franjas de interferência no interferômetro de Michelson em óptica. Para 1, 42 Å e l 1 l 2 10 cm 2 então m 2n gl 1 l 2 55, 6 2 Logo, ABD − ACD −55, 6 sen . Variando gradualmente o ângulo até 90º predizemos que a intensidade na região de interferência apresenta 55, 6 ≃ 9 oscilações. uma série de máximos e mínimos; quantitativamente seriam 2
0
π 2
δ
Resultado experimental obtido por R. Colella, A. Overhauser and S. A. Werner. Phys Rev. Lett. 34, 1472 (1975).
Resultado experimental.
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
51
Colella, Overhauser and Werner - Phys. Rev. Lett. 34,
Transformações de Gauge em Eletromagnetismo Campos elétrico e magnéticos derivados de potenciais escalar e vetorial, x e Ax : E −∇,
B ∇A
A Hamiltoniana clássica para uma partícula carregada com carga e (e 0 para o elétron) sujeita a um campo eletromagnético:
Hamiltoniana.
H
1 p − eA c 2m
2
e
Em MQ, e A são funções do operador posição x da partícula carregada. Como p e A não comutam, deve-se ter cuidado ao interpretar a Hamiltoniana. O procedimento mais seguro é escrever
Hamiltoniano.
p − ecA
2
e c
→ p2 −
pAAp
e c
2
A2.
Neste forma o Hamiltoniano é hermitiano.
Dinâmica da partícula carregada Representação de Heisenberg.
Cálculo da derivada temporal de x dx i x i , H dt i
Como H
1 p − eA c 2m
2
e, então
x i , H x i , 1 2m xi, 1 2m 1 xi, 2m 1 xi, 2m
p − ecA
2
p − ecA
2
p − ecA p − ecA
e
2 x i , e x i , 1 p − ecA 2m e p − cA 1 x i , p − ecA p − ecA 2m e A p− c 1 p − ecA x i , p − ecA 2m
onde usamos A, BC A, BC BA, C. Como x i , A 0 (A é uma função de x), então
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
52
x i , p − ecA
xi, ∑ pjêj
x i , p
j
∑ ê j x i , p j ∑ ê j i ij iê i j
j
Logo, 1 x, 2m i i ê i 2m i m pi −
x i , H
p − ecA p − ecA
p − ecA 1 p − ecA 2m i p − ecA ê i 2m
x i , p − ecA
eA i c
Portanto, i p − eA i c dx i x i , H m i dt i i
p i − eA i /c m
que mostra que o operador p definido neste livro como sendo o gerador das translações, não é o mesmo que mdx/dt. O momento p (gerador das rotações) é chamado de momento canônico para diferenciar do momento mecânico
Momento canônico e momento mecânico.
≡ m dx p − ecA dt Relações de comutação.
Embora p i , p j 0
para o momento canônico, para o momento mecânico o comutador não se anula: i , j p i − ec A i , p j − ec A j 2 p i , p j − ec p i , A j − ec A i , p j ec A i , A j − ec p i , A j − ec A i , p j − ec p i , A j A i , p j Mas, como B ∇ A, B i ijk ∂ j A k , onde ∂ j ≡ ∂/∂x j . Usando a representação do operador p i −i∂/∂x i , encontramos p i , A j A i , p j → p i , A j A i , p j ∂A j ∂ ∂ ∂A i iA j − iA i i −i ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j ∂A j ∂ ∂ ∂ −i − iA j iA j − iA i ∂x i ∂x i ∂x i ∂x j ∂ i ∂A i iA i ∂x j ∂x j ∂A j −i − ∂A i ∂x i ∂x j Logo, p i , A j A i , p j −i
∂A j − ∂A i ∂x i ∂x j
−i∇ A k −i ijk B k
Então Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
53
i , j − ec p i , A j A i , p j − ec −i ijk B k ie ijk B k . c
Usando o momento mecânico , podemos reescrever a Hamiltoniana
Reescrevendo a Hamiltoniana.
2 H e 2m
Agora sabemos que 2 m d 2x d F L dt dt
onde F L é força de Lorentz. Força
de
quântica. Vamos e E 1c dx B , ou seja
Lorentz:
FL e E 1 cvB
versão
a
versão
quântica
da
força
de
Lorentz,
dt
FL e E 1
2c
Equação de movimento.
usar
dx B − B dx dt dt
Portanto, a equação de movimento da partícula carregada na presença de E e B
será 2 m d 2x d e E 1 2c dt dt
dx B − B dx dt dt
que é o teorema de Ehrenfest escrito na representação de Heisenberg.
Equação de Schrödinger com e A Vamos estudar a equação de onda de Schrödinger na presença de e A. Como vimos, esta equação é dada por 〈x ′ |H |, t 0 ; t i ∂ x ′ | , t 0 ; t . ∂t Inicialmente vamos calcular 〈x ′ | H |, t 0 ; t, onde H
1 p − eA c 2m
2
e
Lembrando que 〈x ′ | p | −i∇ ′ x ′ | encontramos para o primeiro termo de H 〈x ′ | p −
eAx c
〈x ′ | p −
eAx c
2
|, t 0 ; t p−
eAx |, t 0 ; t c
−i∇ ′ −
eAx ′ c
〈x ′ | p −
−i∇ ′ −
eAx ′ c
−i∇ ′ −
eAx |, t 0 ; t c eAx ′ c
x ′ | , t 0 ; t
Combinando todos os termos, encontramos
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
54
′ 1 −i∇ ′ − eAx c 2m
−i∇ ′ −
eAx ′ c
x ′ | , t 0 ; t
ex ′ x ′ | , t 0 ; t i ∂ x ′ | , t 0 ; t ∂t ou ′ 1 −i∇ ′ − eAx c 2m
−i∇ ′ −
eAx ′ c
x ′ , t
ex ′ x ′ , t i ∂ x ′ , t ∂t A partir da equação acima podemos obter a equação da continuidade da seguinte
Equação da continuidade.
maneira: ̃ ′ ∇′ − Usando a notação ∇
ieAx ′ , encontramos c 1 ∗ −i∇̃ ′ −i∇̃ ′ e ∗ i ∗ ∂ 2m ∂t ∗ ∂ ′∗ ′∗ 1 i∇̃ i∇̃ ∗ e ∗ −i 2m ∂t
Subtraindo as duas equações 1 ∗ −i∇̃ ′ 2m ′∗ − 1 i∇̃ 2m
′
−i∇̃
e ∗ − ∂ ∂ ∗ i ∂t ∂t
′∗
i∇̃ ∗ − e ∗ i ∗
ou i
2 2 ∂ ∗ ′ ′ ′∗ ′∗ − ∗ ∇̃ ∇̃ ∇̃ ∇̃ ∗ 2m 2m ∂t
ou ainda ∂ ∗ i 2m ∂t
′
′
′
′
∗ ∇̃ ∇̃ − ∗ ∇̃ ∇̃
∗
Como z − z ∗ 2i Imz, encontra-se ∂ ∗ ∂t
m
′
′
Im ∗ ∇̃ ∇̃
0
Voltando às variáveis antigas obtém-se ′
′
∗ ∇̃ ∇̃ ∗
∇ ′ − ieA
c
∇ ′ − ieA c
∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∗ ∇ ′ A − ie ∗ A ∇ ′ − c c
e c
2
|A | 2 ∗
∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∗ ∇ ′ A − ie ∗ A ∇ ′ − ie ∗ A ∇ ′ c c c −
e c
2
|A | 2 || 2
ou Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
55
′ ′ ∗ ∇̃ ∇̃ ∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∇ ′ A ∗ − 2ie A ∗ ∇ ′ − c c
∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∇ ′ A || 2 − 2ie A ∗ ∇ ′ − c c
e c
2
2
e c
|A | 2 || 2
|A | 2 || 2
Devemos observar que: ∗ ∇ ′ ∇ ′ ∇ ′ ∗ ∇ ′ − ∇ ′ ∗ ∇ ′ ∗
∇ ′ ∗ ∇ ′ − ∇ ′ ∇ ′ ∇ ′ ∗ ∇ ′ − |∇ ′ |
2
Por outro lado, o termo ∗ ∇ ′ pode ser calculado, lembrando que ∇ ′ ∗ ∗ ∇ ′ ∇ ′ ∗
Como ∗ || 2 constante, então ∇ ′ ∗ 0. Logo ∗ ∇ ′ ∇ ′ ∗ 0 e, portanto, ∗ ∇ ′ −∇ ′ ∗ Mas, ∇ ′ ∗ ∗ ∇ ′
∗
Logo, ∗ ∇ ′ −∇ ′ ∗ − ∗ ∇ ′
∗
Ora, quando z −z ∗ , isto significa que z é imaginário puro e, portanto, neste caso iz é um número real. Ou seja, ∗ ∇ ′ iV, onde V é um vetor real. Assim: m
′
′
Im ∗ ∇̃ ∇̃
m
Im ∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∇ ′ A || 2 − 2ie A ∗ ∇ ′ − c c 2 2 ie ′ ′ ′ ∗ ′ m Im ∇ ∇ − |∇ | − c ∇ A || 2 − 2e A V − e |A | 2 || 2 c c 2 ie ′ ′ ∗ ′ m Im ∇ ∇ − c ∇ A || 2 e ′ ′ ∗ ′ m Im∇ ∇ − mc ∇ A || 2 e ∗ ′ ∇′ m Im ∇ − mc A||
e c
2
|A | 2 || 2
Finalmente, a expressão ∂ ∗ ∂t
m
′
′
Im ∗ ∇̃ ∇̃
0
pode ser reescrita como ∗ ∂ ∇ ′ j 0, ∂t onde o fluxo de probabilidade é definido por
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
56
j
m
Im ∗ ∇ ′ −
2 e mc A ||
que é exatamente como se esperava da substituição ̃ ′ ∇′ − ∇′ → ∇ Função de onda como
expiS/.
ie A. c
Escrevendo a função de onda desta maneira, encontramos uma
forma alternativa para j, ou seja, j
m Im exp−iS/∇ expiS/ − e i m Im ∇S − mc A ∇S − ecA m
e mc A
(6.33
que é análoga a (2.4.20), isto é, j
∇S m
Esta forma é mais conveniente para se discutir supercondutividade, quantização de fluxo etc. Valor esperado do momento mecânico .
A integral espacial de j dá o valor esperado do momento mecânico (não do momento canônico) dividido por m. Ou seja 2 e ∗ ′ m Im ∇ − mc A || 2 e 1 ′ ∗ d3x′ m Im i −i∇ − mc A || e 1 d 3 x ′ ∗ −i∇ ′ − 3 ′ ∗ m mc d x A e〈A 〈p 〈p −eA/c 〈 m − mc m m
d 3 x ′ jx ′ d 3 x ′
Transformações de Calibre no Eletromagnetismo Transformação: → , A → A.
Com estas transformações, onde é uma constante, os campos estáticos
dados por E −∇,
B ∇ A,
permanecem inalterados. Esta transformação corresponde a uma mudança no ponto zero da escala de energia. Transformação: → , A → A ∇.
Esta transformação é mais interessante. é uma função de x. Ambas as transformações são casos especiais de → − 1c ∂ , A → A ∇ ∂t
que deixam os campos, dependentes do tempo, dados por ∂A , E − ∇ − 1 c ∂t
B ∇ A,
inalterados. Trataremos aqui de campos e pontenciais estáticos e as transformações de gauge referem-se a → , A → A ∇.
Partícula carregada num campo magnético na direção z Resultado clássico Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
57
Na física clássica, efeitos observáveis tais como a trajetória de uma partícula carregada é independente do gauge usado, isto é, da particular escolha de que resolvemos adotar. Demonstração.
Seja uma partícula carregada num campo magnético na direção z, B Bẑ .
Este campo magnético pode ser obtido do potencial vetorial escrito na forma −By , 2
Ax
A y Bx , 2
Az 0
(6.40
ou também na forma A x −By,
A y 0,
A z 0.
(6.41
Esta forma é obtida daquela, através da transformação Bxy . 2
A → A−∇
De fato, ∇
Bxy 2
x̂ ∂ ŷ ∂ ẑ ∂
∂x By x̂ 2
∂y
Bxy 2
∂z
ŷ Bx 2
e, portanto, A x̂
−By 2
ŷ Bx 2
− x̂
By 2
− ŷ Bx 2
By x̂ .
Agora, podemos mostrar que, independentemente do qual A nós usarmos, a trajetória da partícula carregada com um dado conjunto de condições iniciais, é a mesma; tem a forma helicoidal - isto é, um movimento circular quando projetado no plano xy, superposto com um movimento retilíneo uniforme. O momento p não é invariante por calibre.
Embora a trajetória seja indepedente do qual A for usado (invariante por calibre), o mesmo não acontece com o momento canônico p. Por exemplo, vamos analisar p x e p y . No caso de usarmos A na forma da Eq. (2.6.41), isto é, A −By x̂
a Hamiltoniana clássica da partícula no campo magnético é dada por H
1 p − eA c 2m
2
1 p eBy x̂ c 2m
2
e a equação de movimento de Hamilton para o momento p x é dada por dp x − ∂H 0 dt ∂x uma vez que H não depende de x. Assim, neste caso o momento p x é uma constante de movimento. Por outro lado, usando a forma (2.6.40), a Hamiltoniana torna-se H
1 p eBy x̂ − eBy ŷ 2c 2c 2m
2
e, portanto, dp x − ∂H ≠ 0 dt ∂x deixando de ser uma constante de movimento. Ao contrário do momento canônico, o momento mecânico , ou Capítulo 2
Dinâmica Quântica
58
mdx/dt, que define a trajetória da partícula é uma quantidade invariante por transformação de calibre. Resultado Quântico Podemos requerer que os valores esperados em mecânica quântica se comportem de maneira similar às correspondentes quantidades clássicas sob transformações de calibre. Assim, 〈x e 〈 não mudariam sob essas transformações, enquanto p sim. Valores esperados.
Ket na presença de A.
Vamos denotar por | o estado ket na presença de A; o estado ket para a mesma
situação física, quando à A ∇
é usado no lugar de A é denotado por |̃ . Aqui tanto , quanto A, é função do operador posição x. Nossas exigências básicas são | x | ̃ | x |̃ e | p − ecA
| ̃ | p − ecÃ
|̃ .
Além disso, vamos exigir, como de costume, que a norma do estado ket seja preservada: | ̃ | ̃ . Operador G.
Vamos definir o operador G que relaciona |̃ e |. Ou seja: |̃ G|
A propriedade da invariância é garantida se:
G xG x
(6.48
e
G p − ecà G ≡ G p − ecA − e∇c G p − ecA
(6.48
O operador G que fará tal tarefa é definido como
G exp Propriedades de G expie/c.
(1) É um operador unitário.
iex . c
(6.49
Este operador tem as seguintes propriedades:
Isto implica que | ̃ | ̃ , como se deseja.
Isto significa que G xG x, uma vez que podemos escrever (2) Comuta com qualquer função de x. G xG xG G x. A parte (b) da Eq (6.48) também pode ser demonstrada:
G p − ecA − e∇c G G pG − ecA − e∇c uma vez que os dois últimos termos do segundo membro são função de x. Mas,
G pG exp −ie p exp ie c
c
exp −ie c
p, exp ie
c
p.
Usando (2.2.23b), ou seja p, Gx −i ∇G. encontra-se Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
59
G pG exp −ie
p, exp ie p −i c c −i ie −ie ∇ exp ie p c c c e ∇ c p
−ie ∇ exp ie c c
p
Portanto,
G p − ecA − e∇c G e∇c p − ecA − e∇c p − ecA como se queria. ★ Leia a demonstração alternativa feita diretamente sobre a equação de onda de Schrödinger. Quando potenciais vetoriais em diferentes gauges são usados para a mesma situação física, os correspondentes estados kets (ou funções de onda) deve ser necessariamente diferentes. Porém, apenas uma pequena mudança é necessária: multiplicar o ket correspondente ao potencial A por expie/c para obter o ket correspondente ao outro potencial A ∇. O momento canônico p depende do gauge no sentido de que seu valor esperado depende do gauge particular escolhido, enquanto que o momento mecânico e o fluxo de probabilidade são invariantes por essas transformações.
Resumo.
O Efeito Aharonov-Bohm Este efeito origina-se da presença de um potencial vetorial necessário para produzir campo magnético aplicado. Considere uma partícula de carga e completamente confinada numa casca cilíndrica, de paredes rígidas, de raio interno a e raio externo b (figura (a)). Neste caso, a função de onda deve se anular na parede interna a e na parede externa b , assim como no topo e na base do cilindro.
Versão de estado ligado.
ρb
ρa L
(a)
(b)
1) Sem campo magnético
A solução deste problema requer as técnicas dos problemas de valores de contorno da física matemática. Por exemplo, para estados estacionários, devemos resolver a equação de onda de Schrödinger independente do tempo (em coordenadas cilíndricas): Solução.
0 ∇ 2 2mE 2 Em cordenadas cilíndricas , , z, tem-se Capítulo 2
Dinâmica Quântica
60
∂ 1 ∂ ∂ ∂
∂2 ∂2 12 2mE 0 ∂z 2 ∂ 2 2
Como neste problema se aplica a técnica de separação de variáveis, isto é, a função de onda pode ser escrita como o produto , , z RZz, as condições de contorno, R a R b 0, ZL/2 0 podem ser facilmente aplicadas, resultando na obtenção do espectro de autovalores. 2) Com campo magnético confinado na região a
Neste caso, a casca cilíndrica envolve uma região contendo um campo magnético uniforme, como mostrado na parte (b) da figura acima. Nenhum campo magnético penetra na região definida por a b onde a partícula está confinada. Intuitivamente, poderíamos conjecturar que o espectro de energia fosse o mesmo do caso anterior (sem campo), uma vez que a região onde o campo é aplicado torna-se inacessível para a partícula devido à presença de paredes rígidas. A MQ NOS DIZ QUE ESTA CONJECTURA NÃO É CORRETA. Embora o campo magnético se anula na região onde a partícula está confinada, o potencial vetorial não é nulo nessa região!
Então, por que essa conjectura não é verdadeira? Cálculo de A que produz B Bẑ .
Como B ∇ A, podemos obter A através do fluxo, usando o teorema de
Stokes. Ou seja,
S B n da S ∇ A nda
A dl
C
Como o campo é uniforme e está confinado apenas no círculo de raio a , o fluxo é dado por
S B n da S Bẑ n da 2a B. a
Por outro lado,
A dl 2A
C
Igualando, obtém-se 2A 2a B → A
B 2a 2
Em termos vetoriais, A
B 2a 2
̂
onde ̂ é um vetor unitário na direção azimutal (ver figura abaixo).
ρa
ρb Solução da equação de Schrödinger.
Prof. Abraham Moysés Cohen
A
campo magnético
ρ
Como vimos da definição de fluxo de probabilidade, Eq. (2.6.32), para Mecânica Quântica A
61
resolver problemas a presença de um potencial vetorial basta substituir ie A. c
∇ → ∇−
Em coordenadas cilíndricas, isto equivale à seguinte substituição: ∇ → ∇− ̂ ∂ ∂ ̂ ∂ ∂
ie  ̂ ∂ ̂ 1 ∂ ẑ ∂ − ∂ ∂ ∂ c 2 1 ∂ ẑ ∂ − 1 ie B a ̂ c 2 ∂ ∂ 2 ∂ − ie B a ẑ ∂ 1 ̂ 2 ∂ ∂ c
ie  c
Então, basta substituir ∂ → ∂ − ∂ ∂
ie c
B 2a 2
A equação de Schrödinger torna-se, neste caso, ∂ 1 ∂ ∂ ∂
12
∂ − ∂
B 2a 2
ie c
∂ − ∂
ie c
B 2a 2
∂2 k2 0 ∂z 2
Ou seja, ∂ 1 ∂ ∂ ∂
∂2 ∂2 12 2 ∂z 2 ∂
2mE − 2
e c
2
B 2a 2
2
0
ou ∂ 1 ∂ ∂ ∂
̃ ∂2 ∂2 12 2mE 2 2 2 ∂z ∂
onde Ẽ E − 2m
e c
2
B 2a 2
2
mostrando explicitamente que o espectro de energia é modificado em relação ao caso com B 0. Este resultado é muito marcante, uma vez que, embora a força magnética (Lorentz) sobre a partícula seja nula, o espectro de energia depende se o campo magnético está presente ou não na região oca, que é inacessível para a partícula. A figura abaixo ilustra o efeito Aharonov-Bohm em sua versão original: um feixe de elétrons se divide em duas partes e atravessa uma região desprovida de campo magnético, reencontrando-se na região de interfência.
Versão original.
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
62
Fluxo Magnético Eletron
Como a probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende do fluxo magnético?
Método das integrais de Feynman
cilindro impenetrável
região de fonte
C1
G B≠0
A
B região de
interferência
C2
G B=0
Na presença de campo magnético, obtém-se daquela em que o campo está ausente,
Lagrangeana e ação.
da seguinte maneira: sem campo m Lagrangena L 0 clássica 2
com campo
dx dt
2
S 0 n, n − 1
Ação
e dx L 0 clássica c dt A tn → S 0 n, n − 1 ec dt dx A t n−1 dt →
A integral e c
t
tn
dt
n−1
dx A dt
ec
t
tn
A ds
n−1
onde ds é o elemento diferencial de linha ao longo do segmento do caminho. De acordo com (2.5.47) e (2.5.49): x N , t N |x 1 , t 1
x
xN
N
Dxt
1
exp n2
i
Sn, n − 1
todos os Dxt exp caminhos
i
SN, 1
Então, a amplitude de probabilidade na presença de campo é obtida daquela em que o campo está ausente, através da substituição
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
63
N
exp
i
n2
S 0 n, n − 1
N
→
exp
S 0 n, n − 1
i
n2
x
xN
ie c
exp
A ds
1
Mas,
todos os Dxt exp
i
caminhos
SN, 1
C
Dxt exp i 1
C2
SN, 1
Dxt exp i
SN, 1
onde C 1 são todos os caminhos que passam acima do cilindro e C 2 , abaixo. Logo, na presença do campo, teremos que fazer a seguinte substituição
C →
C
Dxt exp i 1
Dxt exp i 1
C2
S 0 N, 1
C2
Dxt exp i
0
S N, 1
exp
S 0 N, 1 Dxt exp i
x
xN
ie c
exp
A ds C1
1
x
xN
ie c
S 0 N, 1
A ds C2
1
A probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende do quadrado do módulo da amplitude de transição total e, portanto, da diferença de fase entre a contribuição dos caminhos C 1 (acima) e C 2 (abaixo). Na presença de B, a diferença de fase é
Diferença de fase.
e c
x
xN 1
A ds
− C1
e c
x
xN 1
A ds
C2
e c
A ds cil
e B c
uma vez que (teorema de Stokes)
A ds S ∇ A n da S B n da B C
onde B é o fluxo do campo magnético dentro do clilindro impenetrável (ver figura acima). Isto significa que a probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende da componente senoidal nessa probabilidade, com um período dado por uma unidade fundamenta de fluxo magnético, ou seja 2c 4, 135 10 −7 Gauss-cm 2 . |e| Como no caso de estado ligado, aqui também a força magnética sobre a partícula é nula. Mesmo assim, o padrão de interferência depende da presença ou ausência do campo magnético. Em ambos os casos, os efeitos dependem apenas do fluxo de B, B. ★ Leia o restante da seção.
Capítulo 2
Dinâmica Quântica
64
