Capítulo 3
Teoria do Momento Angular Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)
3.1
Rotações e Relações de Comutação do Momento Angular
Rotações Infinitesimais versus Rotações Finitas Notação: R x - rotação de um ângulo em torno do eixo x.
Física clássica
Rotações em torno de um mesmo eixo comutam. Exemplo.
R z /6 R x /3 R x /3 R z /6 → R x /2.
Rotações em torno de eixos diferentes não comutam. Exemplo.
R z /2 R x /2 ≠ R x /2 R z /2.
Rz(π/2) x
z
z
z
Rx(π/2)
z
z
z
x
x
Rx(π/2)
Rz(π/2)
x x
x
Observe na figura que os resultados são diferentes. Por que rotações em torno de eixos diferentes não comutam? No espaço euclidiano, as rotações são representadas por matrizes ortogonais. Seja o vetor V, cujas componentes são V x , V y , V z . Efetuando-se uma rotação neste vetor, suas novas componentes Representação matricial.
V ′x , V ′y , V ′z estão relacionadas com as antigas, através da matriz ortogonal R V ′x V ′y
Vx
R
V ′z
Vy Vz
RR T R T R 1 onde T significa transposta de uma matriz. Para transformações ortogonais vale a propriedade V 2x V 2y V 2z
Prof. Abraham Moysés Cohen
V ′2x V ′2y V ′2z .
Mecânica Quântica A
1
Convenção: as rotações afetam um sistema físico, mantendo-se os eixos coordenados inalterados. Rotação em torno do eixo z.
Seja R z uma rotação em torno do eixo z por um ângulo no sentido positivo
(regra da mão direita). cos − sen 0 R z
sen
cos
0
0
0
1
.
Seja R z onde é um ângulo infinitesimal. Expandindo R z até segunda ordem e desprezandos os termos de ordens mais elevadas, encontramos Rotações infinitesimais.
2 1− 2
R z
−
0
2 1− 2 0
0
.
0 1
De maneira similar: 1 R x
0
0
0 1− 2
2
2 1− 2
0
−
e
R y
2 1− 2 0
− Relação de comutação entre rotações.
0
1
0
2 0 1− 2
Sejam os produtos 2 1− 2
R x R y
2 −
0
2 1− 2
1 − 2
2
−
e 2 1− 2
R y R x
0 −
2 1− 2
− 1 − 2
Então
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
2
R x R y − R y R x 2 1− 2
2 − 1− 2
0 − 2 2 1− 2
2 − 0 − − −
2 − 1− 2 −
− − − − 1 − 2 − 1 − 2
0 − 2 0
2
0
0
0
0
0
R z 2 − 1
onde todos os termos de ordem mais elevada que 2 foram ignorados. Por exemplo, o termo em R z do tipo 4 2 1 − x para x 2 nos daria 1 − ≃ 1. 2 2 Como podemos representar 1 R qq 0 onde R qq 0 significa uma rotação de 0º em torno de qualquer eixo, então R x R y − R y R x R z 2 − R qq 0. Mecânica Quântica Aplicando uma rotação no sistema físico, espera-se que o estado ket correspondente ao sistema girado seja diferente em relação ao sistema original.
Rotações infinitesimais.
DR → operador rotação associado a uma rotação R caracterizada por uma matriz ortogonal 3 3. Este operador depende da dimensionalidade N do espaço ket em questão. Para N 2, DR é representado por uma matriz 2 2. Voltando ao argumento inicial, podemos escrever: | R DR | Para ambos os casos, os operadores infinitesimais foram
Analogia com translação e evolução temporal.
escritos na forma U 1 − iG onde G é um operador hermitiano, G G. Especificamente (a) Translação dx ′ na direção x G→
px ,
→ dx ′ .
(b) Evolução temporal para dt G → H , → dt. (c) Rotação infinitesimal ? Na clássica, o momento angular é gerador de rotações. J k → projeção do momento angular no eixo k. Rotação infinitesimal em torno do eixo k por um ângulo d será: Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
3
G → Jk ,
→ d
Caso geral: rotação em torno de um eixo caracterizado por um vetor unitário n̂ por um ângulo infinitesimal d.
Dn̂ , d 1 − i J n̂ .
Esta equação define momento angular. Uma rotação finita pode ser obtida, compondo-se sucessivamente rotações infinitesimais em torno do mesmo eixo. Por exemplo, rotação de um ângulo em torno do eixo z Rotação finita.
D z lim 1 − i Jz N→
N
N
−iJ z iJ J22 1− z − z 2 2 exp
Vamos supor que DR tenha as mesmas propriedades de
Relações de comutação do momento angular.
grupo que R Identidade:
R1 R
DR 1 DR
Fechamento:
R1R2 R3
DR 1 DR 2 DR 3
Inversos:
1
DRD −1 R 1
R −1 R 1
D −1 RDR 1
RR
−1
Associatividade: R 1 R 2 R 3
DR 1 DR 2 DR 3
R 1 R 2 R 3
DR 1 DR 2 DR 3
R1R2R3
DR 1 DR 2 DR 3 .
Comutação para R: R x R y − R y R x R z 2 − 1 Comutação para DR:
D x D y − D y D x D z 2 − 1 Mas:
D x exp −iJ x
−iJ y D y exp 2 D z 2 exp −iJ z
≃ 1 − iJ x − iJ y ≃ 1− − 2 ≃ 1 − iJ z
J 2x 2 2 2 J 2y 2 2 2
Logo, 2 D x D y − D y D x 1 − iJ z − 1
iJ z 2 −
Também, podemos reescrever D x D y − D y D x em termos de J
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
4
J 2y 2 iJ y J22 1 − iJ x − x 2 1 − − 2 2 2 J 2y 2 iJ y J22 − 1− − 1 − iJ x − x 2 2 2 2 2 J y 2 iJ x iJ y JxJy J2 ≃ 1− − − − 2 2 − x2 2 2 2 2 2 J 2y 2 iJ y JyJx J − 1 iJ x x2 2 2 2 2 2 2 JxJy JyJx − 2 2 2 2 2 −J x J y − J y J x 2 Igualando ambos os membros 2 − J x J y − J y J x 2 − iJ z 2
encontramos, J x J y − J y J x iJ z . Isto representa o comutador de J x com J y J x , J y iJ z . Repetindo os mesmos argumentos para rotações em torno dos demais eixos, obtém-se J i , J j i ijk J k conhecidas como relações de comutação fundamentais do momento angular. Resumo dos argumentos usados:
J k é o gerador de rotações em torno do eixo k.
Rotações em torno de eixos diferentes não comutam.
3.2
Sistemas de Spin ½ e Rotações Finitas
Já vimos que os S k também satisfazem as relações de comutação do momento angular. Agora considere uma rotação por um ângulo finito em torno do eixo z de um sistema de spin 1/2 que, antes da rotação estava num estado |. Após a rotação, | R D z | com
D z exp Valor esperado de S x após a rotação.
〈S x →
−iS z .
Sob uma rotação o valor esperado muda de acordo com R
| Sx |
R
| D z S x D z |
Devemos então calcular:
D z S x D z exp
iS z −iS z S x exp .
Método 1 - Forma específica de S x
Usando para S k a representação na base |, Prof. Abraham Moysés Cohen
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5
2 2i 2
Sx Sy Sz
|〈−| |−〈| , |〈−| − |−〈| . |〈| − |−〈−| .
encontramos: iS z −iS z S x exp iS z −iS z exp |〈−| |−〈| exp
exp
2 e i/2 |〈−|e i/2 e −i/2 |−〈|e −i/2 2 e i |〈−| e −i |−〈| 2 |〈−|cos i sen |−〈|cos − i sen 2 |〈−| |−〈| cos i |〈−| − |−〈| sen 2 2
2 S x cos i 2i S x sen
S x cos − S x sen Método 2 - Relações de comutação
Usando (2.3.47), encontramos iS z −iS z S x exp
exp
i
Sx
S z , S x
i
1 2!
2
S z , S z , S x iS y
iS y 2Sx
i
1 3!
3
S z , S z , S z , S x 2Sx i 3 S y
As potências pares dão S x enquanto que as ímpares, S y . Colecionando esses termos, encontra-se exp Sx
iS z −iS z S x exp 2 3 1− − Sy − 2! 3!
S x cos − S y sen . Voltando à equação do valor esperado, encontra-se 〈S x R
R
| Sx |
R
| D z S x D z |
〈S x cos − 〈S y sen onde 〈S k é o valor esperado no estado ket original. Da mesma forma, podemos mostrar que: 〈S y R 〈S y cos 〈S x sen Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
6
Para S z , enconta-se 〈S z R 〈S z Ou seja, o valor esperado de S z não muda, uma vez que este operador comuta com D z . Observação: Estes resultados mostram que, quando aplicamos o operador rotação D z no estado ket, o valor
esperado de S sofre uma rotação em torno do eixo z por um ângulo . Em outras palavras, o valor esperado do operador spin comporta-se como se fosse um vetor clássico sob rotação: 〈S k R
∑ R kl 〈S l l
Momento angular.
Do método 2, fica claro que esta propriedade também vale para o momento angular J. Em
geral 〈J k R
∑ R kl 〈J l l
Vamos examinar com mais detalhe o efeito do operador rotação sobre um ket
Até aqui tudo como esperado.
geral |
∑|a ′ 〈a ′ | |〈| |−〈−| a′
Vemos que exp
−iS z −iS z −iS z | exp |〈| exp |−〈−| e −i/2 |〈| e i/2 |−〈−|.
A presença do arco metade /2 tem uma consequência extremamente interessante. Rotação por 2.
Neste caso, | R z 2 → e −i2/2 |〈| e i2/2 |−〈−| − |〈| |−〈−|
−|
Assim, um ket girado de 360º difere do ket original pelo sinal negativo. Precisamos de uma rotação de 720º ( 4) para obtermos o mesmo ket com o sinal positivo. Este sinal negativo não aparece no valor esperado de S porque S fica de sanduiche entre | e 〈|, ambos dos quais mudam de sinal. Valor esperado.
Este sinal negativo é sempre observado?
Precessão de Spin Revisitada Hamiltoniano básico do problema.
Vamos analisar novamente este problema de um outro ponto de vista: H − mee c S B S z
onde |e|B ≡ mec . Operador evolução temporal.
Baseado neste Hamiltoniano, o operador evolução temporal é dado por
Ut, 0 exp −iHt
Comparação de Ut, 0 com D z .
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exp −iS z t .
Comparando Ut, 0 com D z dado por Mecânica Quântica A
7
D z exp
−iS z
vemos que o operador evolução temporal é precisamente o mesmo que o operador rotação com substituído por t. Desta maneira vemos imediatamente porque este Hamiltoniano causa precessão do spin. Usando os resultados da rotação, obtém-se
Por que o spin precessa?
〈S x t 〈S x t0 cos t − 〈S y t0 sen t 〈S y t 〈S y t0 cos t 〈S x t0 sen t 〈S z t 〈S z t0 Depois de t 2/, o spin retorna à sua direção original. Vamos olhar para a evolução temporal do próprio estado ket que, em t 0, é dado por | |〈| |−〈−|. Então, após o tempo t teremos Evolução temporal do estado ket.
|, t 0 0; t e −it/2 |〈| e it/2 |−〈−| Vemos que, para t 2/, |, t 0 0; t 2/ e −i2/2 |〈| e i2/2 |−〈−| e −i |〈| e i |−〈−| −|. Assim, devemos aguardar até t 4/ para obter o estado ket original com o mesmo sinal. Em resumo o período para o estado ket é duas vezes maior que o período para a precessão de spin
precessão 2 estado ket 4
Exp. de Interferometria de Nêutrons para Estudar Rotações Como detectar o sinal negativo no ket sujeito a uma rotação de 2?
Já sabemos que, se todos os estados kets no universo fossem multiplicados por um sinal negativo, não haveria nenhuma maneira de detectá-lo. A única maneira de detectar o predito sinal negativo, seria através de uma comparação entre um estado que sofreu uma rotação e um outro que não foi submetido à rotação. Como na interferência quântica induzida por gravidade, discutida na Seç. 2.6, contamos com as qualidades da interferometria de nêutrons para verificar esta extraordinária predição da mecânica quântica. A experiência.
Capítulo 3
Um feixe de nêutrons termalizados é dividido em duas partes A e B (ver. figura abaixo).
Teoria do Momento Angular
8
A
A
Região de interferência
B B B
l
Trajeto A - o feixe atravessa uma região sem campo magnético. Trajeto B - o feixe atravessa uma pequena região de comprimento l onde está presente um campo magnético
estático. O estado ket via trajeto B sofre uma variação de fase e ∓iT/2 , onde T é tempo gasto para atravessar a região de comprimento l onde existe um campo magnético B ≠ 0 e é a frequência de precessão de spin, Estado ket via trajeto B.
g eB mn p c , g n ≃ −1, 91 para o nêutron com momento magnético
g n e . 2m p c
Quando os trajetos A e B se encontram novamente na região de interferência a amplitude do nêutron chegar via trajeto B é
Região de interferência.
c 2 c 2 B 0e ∓iT/2 enquanto que a amplitude do nêutron chegar via A é c 1 , independente de B. Interferência.
Assim, a intensidade observável na região de interferência deve exibir uma variação senoidal cos ∓T 2
onde é a diferença de fase entre c 1 e c 2 B 0. Na prática, o tempo T é uma quantidade fixa, mas a frequência pode ser variada, de acordo com o valor do campo B. A diferença de fase, em função do campo B, é dada por Ajustes no experimento.
eg n Bl c
onde l é o comprimento da pequena região que contém o campo. Então, o valor de B necessário para uma precessão de 4 (período completo) é B 4c eg n l Vemos então que é de 4 a rotação necessária para que o ket retorne com o mesmo sinal, como requerido pelo formalismo.
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9
Formalismo de Pauli de Duas Componentes Manipulações com os kets de estado do spín 1/2 podem ser convenientemente conduzidas, usando-se o formalismo de spinor introduzido por Pauli (1926). Já sabemos: Ket.
Pode ser representado por uma matriz coluna.
Bra.
Pode ser representado por uma matriz linha.
Os coeficientes de expansão de um estado arbitrário | em relação a uma base |a ′ podem ser escritos na forma matricial. Ou seja, Revendo a Seç. 1.3.
〈a 1 | | ̇
〈a 2 |
〈|
,
〈|a 1 , 〈|a 2
Para | |a 1 , isto é, quando for um dos estados de base, encontra-se 〈a 1 |a 1 |a
1
̇
2
〈a |a
1
1
0
o mesmo raciocínio valendo para 〈a j |. Aplicação para os kets spin 1/2.
Estado arbitrário.
Neste caso, para os kets de base encontra-se | ̇
1
〈| ̇
1, 0
≡
0
|− ̇
0
〈−| ̇
0, 1
≡ −
Para um estado arbitrário | ou 〈| obtém-se | |〈| |−〈−| ̇ 〈| 〈|〈| 〈|−〈−| ̇
Capítulo 3
1
〈| 〈−| 〈|, 〈|−
Teoria do Momento Angular
10
Spinor.
〈|
Matriz coluna do tipo
é chamada de spinor de duas componentes e é escrito como
〈−|
〈|
c
≡
〈−|
c c−−
c−
onde c e c − são, em geral, números complexos. Para tem-se
c ∗ c ∗− − .
c ∗ , c ∗−
| S k |
Os elementos de matriz
Matrizes de Pauli.
≡
〈|, 〈|−
e
| S k |− , exceto pelo fator /2, são iguais aos
elementos de matriz da matriz k 2 2, conhecidas como matrizes de Pauli. Ou seja, k , , 2
| S k | ≡
| S k |− ≡
k . ,− 2
Vamos escrever o valor esperado 〈S k em termos de e k
Valor esperado em termos de e k .
〈S k | S k |
∑∑ a′
| a′
a ′ | S k |a ′′
†k 2
a ′′ |
a ′′
onde usamos a regra usual da multiplicação de matrizes. Demonstração.
Seja
∑∑ a′
| a′
|
| S k |
| −
Matrizes de Pauli.
a ′ | S k |a ′′
a ′′ |
a ′′
| |
−| S k |
| S k |−
| | −
−|
−| S k |−
−|
| k , | | k ,− − | 2 | − k −, | | − k −,− − |
2
† k . 2
〈|, 〈|−
, ,−
〈|
−, −,−
〈−|
Explicitamente, de (3.2.1) juntamente com (3.2.30), vemos que x
Propriedades das matrizes de Pauli. (1) i , j 2 ij
0 1 1 0
,
y
0 −i i
0
,
z
1
0
1 −1
.
Algumas propriedades das matrizes de Pauli são:
2i 1 i j j i 0, para i ≠ j.
(2) i , j 2i ijk k . (3)
12 21 0 1 2 − 2 1 2i 3
1 2 − 2 1 i 3 etc
(4) †i i .
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11
(5) det i −1 (6) Tr i 0. (7) a
a z
a x − ia y
a x ia y
−a z
Seja a um vetor tridimensional. Então
. a
∑ akk k
0 1
ax
1 0 0 ax
ax
0
−ia y
ia y
0
a x ia y
−a z
az
1
az
0
1 −1 0
1 −a z
Seja
∑ j a j ∑ k b k ∑ j k a j b k k
∑ jk
0
0
a x − ia y
j
i
a z
(8) a b a b i a b .
a b
0 −i
ay
jk
1 j , k 1 j , k a j b k 2 2
∑ jk i jkl l a j b k ∑ a j b j i ∑ jk
jkl l a j b k
jk
j
a b i a b (9) a 2 |a | 2 (a é um vetor real).
Seja
a a a a a i a a a a |a | 2 . 2
(10) n̂ n
1,
(n par)
n̂ (n ímpar)
. De fato, como consequência da propriedade anterior,
n̂ n a a a a |n̂ | 2 1
1,
(n par)
n̂ (n ímpar)
Rotações no Formalismo de Duas Componentes Representação matricial 2 2 do operador rotação Dn̂ , . S ̇
2
Como
encontra-se exp
−iS n̂
̇ exp
−i n̂ 2
Usando a propriedade (10), encontra-se
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
12
exp
−i n̂ 2
1 − i n̂
1−
2
2
− i n̂ 1− 1 2!
2
− i n̂
2
1 cos
2
n̂ 2 2!
2
− 2
2
i 2 n̂ 2 2!
−
n̂ 4 4! 2
n̂ 3 3! 2
1 4!
4
2
2 3
− 4
−
−
3 2 − i n̂ sen . 2
2
− 1 3!
onde 1 0
1
Forma explícita de exp
−i n̂ 2
0 1
como matriz 2 2.
− i n̂
Usando o resultado −n z
−in x − n y
−in x n y
n z
encontramos
exp
−i n̂ 2
cos
2
− i n z sen
2
−in x n y sen 2
−in x − n y sen cos 2
2
(3.2.4
i n z sen 2
que é a forma da matriz de rotação. Rotação de spinor.
−i n̂ 2 maneira:
exp
−iS n̂
Assim como o operador exp
atua sobre o ket |, a matriz 2 2
atua sobre o spinor de duas componentes . Sob rotação, o spinor transforma-se da seguinte
→ exp é invariante por rotação.
−i n̂ . 2
Os k permanecem inalterados sob rotações.
Embora possa parecer, não é um vetor. Na verdade, é † que obedece as não é um vetor. propriedades de transformação de um vetor. Ou seja, †k →
∑ R kl † l l
Demonstração:
Seja uma rotação de 1 em torno do eixo z por um ângulo
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13
i z −i z x exp 2 2
exp
2
cos
i sen
2
0
0 cos
2
− i sen
− i sen
2
2
0 1 1 0
0
0
2
cos
cos
0
cos i sen
cos − i sen
0
2
i sen
2
A matriz 0
cos i sen
cos − i sen
0
pode ser reescrita combinação das seguintes matrizes: 0
cos i sen
cos − i sen
0
cos
0 1 1 0
− sen
0 −i i 0
x cos − y sen . Ou seja, exp
i z −i z x exp 2 2
x cos − y sen ,
que é o análogo matricial de (3.2.6). Usando o formalismo dos kets, vimos que um ket | de spin 1/2, sob rotação de 2, resulta em −|. O análogo 2 2 desta afirmação é: Novamente rotação por 2.
exp
−i n̂ 2
2
1 cos
2
− i n̂ sen
2
2
−1,
para qualquer n̂ . Aplicação da matriz de rotação Como aplicação da matriz de rotação, vamos construir um autospinor de n̂ com autovalor 1, onde n̂ é um vetor unitário numa direção especificada. Seja a equação Construção de um autospinor.
n̂ .
Esta equação é a representação matricial da equação de autovalores para o ket |S n̂ ; definida por S n̂ |S n̂ ;
|S n̂ ; . 2
De fato, isto pode ser considerado como um problema autovalores, mas aqui apresentamos um método alternativo baseado na matriz de rotação. Procedimento.
Capítulo 3
Sejam e os ângulos azimutal e polar, respectivamente, que caracterizam n̂ .
Teoria do Momento Angular
14
1
Vamos iniciar com o spinor
, que representa o estado de spin para cima.
0
Em seguida, aplicamos uma rotação por um ângulo em torno do eixo y.
Sequencialmente, aplicamos outra rotação por um ângulo em torno do eixo z.
Dessa forma, o estado de spin desejado é então obtido (ver figura abaixo). Segunda rotação
β Primeira rotação
α Na linguagem do spinor, esta sequência de operações é
Procedimento na linguagem de spinor de Pauli.
equivalente a: 1
0
→ exp
→ exp −i z 2
−i y 2
1
−i y 2
exp
→
0 1 0
→
Desta forma, exp −i z 2 exp −i z 2 cos 2 sen 2
cos 2
exp
−i y 2
0
2 cos 2
− sen
1 0
− i sen 2 0
1
cos 2
− i sen 2
cos 2
i sen 2
0 cos 2
i sen 2
2 sen 2 cos
2 sen 2 cos
Ou, Prof. Abraham Moysés Cohen
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15
−i/2 e 2 i/2 sen e 2
cos
em concordância com o Problema 9 do Capítulo 1. De fato, cos
−i/2 e 2
e −i/2 cos
1 0
sen
i/2 e 2
0 1
i sen e − 2 2
a diferença ficando por conta de uma fase global sem significado físico.
3.3
SO(3), SU(2) e Rotações de Euler
Conceito de Grupo Teoria de Grupo.
As simetrias são tratadas apropriadamente num ramo da matemática conhecido como
teoria de grupo. Um conjunto de objetos, a, b, c… , forma um grupo se pudermos definir um processo que nos permita combinar quaisquer dois desses objetos, tais como a e b, para formar um objeto ab, e se as seguintes condições forem satisfeitas: O que é um grupo?
(1) Todos os resultados da combinação são membros do grupo. (2) O grupo contém a identidade ou membro unitário 1, que tem a propriedade a 1 1 a a, onde a é qualquer membro do grupo. (3) Cada membro a tem um inverso a −1 , também no grupo, tal que aa −1 a −1 a 1. (4) Combinação de grupo é associativa, tal que abc abc
Observações: (a) os membros de um grupo são chamados de elementos. (b) o termo “multiplicação” não significa multiplicação usual.
Grupo Ortogonal Seja a rotação de um vetor. Os vetores antes e depois da rotação, V e V ′ , respectivamente, são conectados por uma matriz 3 3 real e ortogonal: V′ R V
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
16
V´
V
Todas as matrizes de rotação formam um grupo: 1. A combinação (produto) de duas matrizes R 1 e R 2 é uma nova matriz R 1 R 2 . 2. A lei associativa é válida: R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 R 3 3. A matriz identidade 1 – que corresponde fisicamente a nenhuma rotação – definida por R1 1R R é um membro da classe de todas as matrizes ortogonais. 4. A matriz inversa R −1 – que corresponde fisicamente a uma rotação no sentido oposto – definida por RR −1 R −1 R 1 é também um membro.
Este grupo é denominado SO3, onde as iniciais significam: S – especial (special, em inglês); O – ortogonal; 3 – três dimensões.
Grupo Unitário Unimodular Seja a rotação do spin 1/2 discutida anteriormente. Aqui, as matrizes de rotação são 2 2, atuando sobre um spinor de duas componentes. De (3.2.45) encontramos cos Eq. (3.2.45)
2
2
− i n z sen
−in x n y sen
−in x − n y sen
2
cos
2
i n z sen
2 2
Esta matriz é unimodular. Isto significa que seu determinante é 1. Matriz unitária unimodular.
De uma maneira geral, uma matriz unimodular pode ser escrita como Ua, b
a
b
(3.3.7
−b ∗ a ∗
onde a e b são números complexos que satisfazem a condição unimodular:
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17
|a| 2 |b| 2 1 Propriedade unitária.
(3.3.8
Seja a ∗ −b
U † a, bUa, b
b
∗
a
b
−b
a
∗
|a| 2 |b| 2 1
a∗
Comparando (3.2.45) com (3.3.7), identificamos 2
Rea cos
Ima −n z sen
2
,
, Imb −n x sen
2
,
,
Reb −n y sen
2
de onde obtém-se imediatamente a propriedade unimodular de (3.3.8). As operações de multiplicação com matrizes
Propriedades de grupo das operações de multiplicação.
unitárias unimodulares satisfazem as seguintes propriedades: 1. Fechamento Ua 1 , b 1 Ua 2 , b 2
a1
b1
a2
−b ∗1 a ∗1
b2
a 1 a 2 − b 1 b ∗2
−b ∗2 a ∗2
a 1 b 2 a ∗2 b 1
−a ∗1 b ∗2 − a 2 b ∗1 a ∗1 a ∗2 − b ∗1 b 2
U a 1 a 2 − b 1 b ∗2 , a 1 b 2 a ∗2 b 1 onde a condição unimodular para a matriz produto é |a 1 a 2 − b 1 b ∗2 | 2 |a 1 b 2 a ∗2 b 1 | 2 1. 2. Inversa −1
U −1 a, b
a
b
−b ∗ a ∗
a ∗ −b b∗
a
Ua ∗ , −b
3. Identidade U1, 0
1 0 0 1
4. Associativa Ua, b exp
−i n̂ 2
Este grupo é denominado SU2: Especial, Unitário e Bidimensional. Os grupos SU2 e SO3 têm correspondência dois-para-um: Considere uma rotação por 2 e outra por 4.
Na linguagem SO3, as matrizes representando essas rotações são ambas matrizes identidades 3 3. Mais geralmente, Ua, b e U−a, −b correspondem a uma única matriz 3 3 nesta linguagem.
Na linguagem SU2, as matrizes são −1 vezes a matriz identidade 2 2 e a matriz identidade, respectivamente.
Rotações de Euler Rotação arbitária de um corpo rígido pode ser descrita em três passos, conhecidas como ângulos de Euler. Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
18
Três passos: 1
R z y → y ′
2
R y ′ z → z ′
3 R z ′ y ′ → y ′′
Em termos de matrizes ortogonais 3 3, o produto dessas três operações pode ser escrito como R, , R z ′ R y ′ R z Aqui aparecem dois tipos de rotação: em torno dos eixos do corpo e dos eixos fixos no espaço. Isto é inconveniente. Vamos expressar as rotações em torno dos eixo do corpo, R y ′ e R z ′ , em termo de rotações em torno dos eixo fixos no espaço. R y ′ R z R y R −1 z R z ′ R y ′ R z R −1 y ′ Assim. R, , R z ′ R y ′ R z ′ R y ′ R z R −1 y ′ R y R z
R y ′ R z R z R z R y R −1 z R z R z R z R y R −1 z R z R z comutam
R z R y R z Portanto R, , R z R y R z onde todas as matrizes do lado direito referem-se a rotações em torno de eixos fixos.
Aplicação a sistemas de spin ½ O produto de operadores de rotação no espaço ket corresponde ao produto de matrizes ortogonais:
D, , D z D y D z Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
19
A representação matricial deste produto é exp −i z 2
e −i/2 0
−i y 2
exp
−i z 2
cos/2 − sen/2
0 e
exp
i/2
sen/2
cos/2
e −i/2 0
0 e
i/2
e −i/2 cos/2 −e −i−/2 sen/2 e i−/2 sen/2
e i/2 cos/2
onde usamos (3.2.44). Esta matriz é claramente da forma unimodular unitária. Inversamente, a forma mais geral da matriz unimodular unitária 2 2 pode ser escrita nesta forma dos ângulos de Euler.
3.4
Operadores de Densidade e Ensembles Puros e Mistos
★ Leia esta seção.
3.5
Autovalores e Autoestados do Momento Angular
Relações de Comutação e Operador Escada As relações de comutação entre as três componentes de J já foram derivadas J x , J y iJ z J y , J z iJ x J z , J x iJ y Estas relações podem ser escritas numa forma mais compacta J J iJ
Para estudarmos os autovalores e autovetores do momento angular, vamos introduzir um novo conjunto de operadores Novo conjunto de operadores.
1 J 2 ≡ J 2x J 2y J 2z 2 J ≡ J x iJ y O operador J 2 comuta com todos os J k : J 2 , J k 0, k x, y, z Comutador J 2 , J z 0.
Para demonstrar esta relação fazemos J 2 , J z J 2x J 2y J 2z , J z J x J x , J z J x , J z J x J y J y , J z J y , J z J y J x −iJ y −iJ y J x J y iJ x iJ x J y −iJ x J y − iJ y J x iJ y J x iJ x J y 0
Como J x , J y e J z não comutam entre si, não podemos diagonalizar J x , J y e J z simultaneamente. Porém, podemos escolher um dos J k para ser diagonalizado simultaneamente com J 2 . Por convenção, a escolha recai sobre J z . Vamos denotar os autovalores de J 2 e J z por a e b, respectimente: Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
20
J 2 |a, b a |a, b
J z |a, b b |a, b Para determinar os valores de a e b é conveniente trabalhar com os operador escada, J . As relações de comutação são J , J − 2J z , J z , J J , J 2 , J 0. Qual o significado físico de J .
Vamos examinar como J z age sobre J |a, b: J z , J J J z |a, b
J z J |a, b
J |a, b J J z |a, b J |a, b bJ |a, b b J |a, b Ou seja: O ket J |a, b é ainda um autoket de J z , exceto que agora o autovalor e aumentado ou abaixado − por uma unidade de . Assim, vemos por que J , que sobe ou desce degrau a degrau a “escada” dos autovalores de J z , são conhecidos como operadores escadas. J e os autovalores de J 2 . os autovalores de J 2 :
Embora J mudem os autovalores de J z por uma unidade de , eles não mudam J J 2 |a, b a J |a, b
J 2 J |a, b
Os kets J |a, b são simultaneamente autokets de J 2 e J z com autovalores a e b h. Podemos então escrever
Resumo.
J |a, b c |a, b onde as constantes c serão determinadas mais adiante a partir da condição de normalização dos autokets do momento angular.
Autovalores de J 2 e J z Imagine que apliquemos J n vezes sobre o autoket de J 2 e J z : J J … J |a, b |a, b n n vezes
Mas existe um limite superior para b. De fato, para um dado a (autovalor de J 2 a ≥ b2. Demonstração.
(3.5.
Vamos escrever J 2 em termos de J e J z J 2 − J 2z 1 J J − J − J 1 J J † J † J .
2
2
O valor esperado deste operador é 〈a, b| J 2 − J 2z |a, b 1 〈a, b| J J † |a, b 1 〈a, b| J † J |a, b 2 2 Como o bra de J |a, b são Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
21
CD
CD
J |a, b 〈a, b| J † ,
J † |a, b 〈a, b| J
Ou seja, CD
J |a, b c |a, b 〈a, b| J † 〈a, b | c ∗ CD
J † |a, b c ∗ |a, b ∓ 〈a, b| J 〈a, b ∓ | c Logo, 〈a, b| J J † |a, b 〈a, b| J
J † |a, b
〈a, b − | c c ∗ |a, b − |c | 2 ≥0 Da mesma forma 〈a, b| J † J |a, b ≥ 0. Portanto, 〈a, b| J 2 − J 2z |a, b ≥ 0 Deve existir um b b max tal que J |a, b max 0 Ou seja: o autovalor de b não pode aumentar além de b max . Disto obtém-se J − J |a, b max 0 Mas, J − J J 2x J 2y − iJ y J x − J x J y J 2 − J 2z − J z . Assim, J 2 − J 2z − J z |a, b max a − b 2max − b max |a, b max 0 Como |a, b max não é um ket nulo, conclui-se que a − b 2max − b max 0 ou a b max b max .
(3.5.2
Da mesma forma, deve existir um b min tal que J − |a, b min 0 Escrevendo J J − J 2 − J 2z J z encontramos que J J − |a, b min 0 ou J 2 − J 2z J z |a, b min a − b 2min b min |a, b min 0 ou Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
22
a b min b min −
(3.2.2
Comparando (3.2.25) com (3.2.22), ou seja, a b max b max b min b min − conclui-se que b max −b min
(3.2.2
Com b max 0, podemos inferir que os valores de b estão no intervalo − b max ≤ b ≤ b max .
(3.2.2
Aplicando-se sucessivamente, um número de vezes finito, o |a, b max a partir de |a, b min . operador J ao ket |a, b min , podemos obter o ket |a, b max . Seja por exemplo,
Obtenção de
|a, b max J J … J |a, b min |a, b min n n vezes
Logo, b max b min n,
(3.2.2
onde n é um número inteiro. Como resultado, obtém-se b max −b max n ou b max n . 2 Convenção.
(3.2.2
Por convenção, vamos utilizar j ao invés de b max , da seguinte forma b max j
Ou seja, j n. 2 Assim, o valor máximo do autovalor de J z é agora j, onde j é qualquer inteiro ou semi-inteiro. A Eq. (3.5.22) torna-se a 2 jj 1. Vamos também definir m tal que b m. Assim, − j ≤ m ≤ j ou − j ≤ m ≤ j. Ou seja, se j é um inteiro, todos os valores de m serão inteiros; se j for semi-inteiro, todos os valores de m serão semi-inteiros. Os valores permitidos de m para um dado j são m −j, − j 1, … , j − 1, j
(3.5.3
2j1 estados
Usando esta convenção, fazemos a substituição Prof. Abraham Moysés Cohen
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23
|a, b |j, m para denotar os autokets simultâneos de J 2 e J z . As equações básicas de autovalores, são agora J 2 |j, m jj 1 2 |j, m
(3.5.3
J z |j, m m |j, m
(3.5.3
onde j é qualquer inteiro ou semi-inteiro, e m é dado por (3.5.33). As Eqs. (3.5.34) representam a quantização do momento angular. Ela é uma consequência direta das relações de comutação que, por sua vez, segue da propriedade das rotações juntamente com a definição de J k como gerador de rotação.
Elementos de Matriz dos Operadores Momento Angular Os autokets
|j, m
formam uma base de kets normalizados para o operador momento angular: 〈j ′ , m ′ |j, m j ′ j m ′ m .
Elementos de matriz de J 2 e J z .
Os elementos de matriz do operador J 2 nesta base são
〈j ′ , m ′ | J 2 |j, m jj 1 2 〈j ′ , m ′ |j, m jj 1 2 j ′ j m ′ m e 〈j ′ , m ′ | J z |j, m m〈j ′ , m ′ |j, m m j ′ j m ′ m Para este caso, primeiro vamos considerar os elementos de matriz do operador Este operador pode ser escrito como
Elementos de matriz de J .
J † J .
J † J J − J J 2 − J 2z − J z Assim, 〈j, m| J † J |j, m 〈j, m| J 2 − J 2z − J z |j, m jj 1 2 − m 2 2 − m 2 2 jj 1 − mm 1 Mas J |j, m c jm |j, m 1 então 〈j, m| J † J |j, m 〈j, m| J
J |j, m
〈j, m 1| c ∗ jm
c jm |j, m 1
2
|c jm | . Portanto, 2
|c jm | 2 jj 1 − mm 1 2 j − mj m 1 A constante c jm é determinada a menos de um fator de fase arbitrário. É costume (convenção) escolher esta constante como sendo real e positiva: c jm
j − mj m 1
Logo, J |j, m
j − mj m 1 |j, m 1.
De uma maneira similar, podemos obter
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
24
J − |j, m
j − mj − m 1 |j, m − 1
Finalmente, os elementos de matriz de J são: 〈j ′ , m ′ | J |j, m
j − mj m 1 j ′ j m ′ ,m1
(3.5.4
Elementos de Matriz do Operador Rotação Para uma rotação R especificada por n̂ e , os elementos de matriz do operador rotação são
D mj′ m R 〈j, m ′ | exp
−J n̂
(3.5.4
|j, m
Estes elementos de matriz são conhecidos como funções de Wigner. Observe que os elementos de matriz de DR entre estados com j’s diferentes se anulam: DR |j, m é ainda um autoestado de J 2 com o mesmo autovalor jj 1 2 . De fato, J 2 DR|j, m DRJ 2 |j, m
jj 1 2 DR|j, m uma vez que J 2 , DR 0 como consequência de J 2 , J k 0 e, portanto, J 2 , FJ k 0, onde FJ k significa qualquer função de J k . Rotações não mudam o valor j, o que é um resultado absolutamente lógico. Representação irredutível.
D
j m ′ m R
Às vezes, a matriz de dimensãoes 2j 1 2j 1 formada pelos elementos
é referida na literatura como representação irredutível 2j 1-dimensional do operador rotação DR.
A matriz que corresponde a um operador rotação arbitrária no espaço ket não necessariamente caracterizado por um único valor j pode, com uma escolha apropriada da base, ser colocado na forma bloco-diagonal:
(3.5.4 onde cada quadrado sombreado é uma matriz quadrada 2j 1 2j 1 formada pelos elementos D mj′ m R com qualquer valor definido de j. Além disto, cada matriz quadrada não pode ser quebrada em blocos menores
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25
k
2j+1
2j+1-k
k
2j+1-k
(3.5.4
para qualquer escolha da base. Grupo das matrizes de rotação.
As matrizes de rotação para um dado j formam um grupo:
É um elemento do grupo, um vez que a matriz de rotação correspondedo a nenhuma rotação 0 é a matriz identidade 2j 1 2j 1.
Identidade.
Também um elemento do grupo, correspondendo à inversão do ângulo de rotação → −, mantendo o eixo de rotação n̂ . Inversa.
As matrizes possuem esta propriedade, uma vez que o produto de qualquer duas delas é também um elemento do grupo. Explicitamente, temos Fechamento.
∑ D jm m R 1 D mjm R 2 D jm m R 1 R 2 ′′
′
′
(3.5.4
′′
m′
onde o produto R 1 R 2 representa uma única rotação. A matriz de rotação é unitária, uma vez que o correspondente operador é unitário. Explicitamente, temos Unitariedade.
D mj′ m R −1 D j∗ mm ′ R Significa físico da matriz de rotação Seja o estado |j, m; sob rotação encontramos |j, m → DR |j, m. Embora a rotação não mude o j, geralmente obtém-se estados com valores m diferentes do valor original. Amplitude de probabilidade para |j, m ′ .
Para determinar a amplitude de probabilidade de encontrar o estado
′
em |j, m , vamos expandir o estado final como segue:
DR |j, m
∑ |j, m ′ 〈j, m ′ |DR |j, m m′
∑ |j, m ′ D mjm R
(3.5.4
′
m′
Ângulos de Euler e a matriz D Como já sabemos, os ângulos de Euler, , , , podem ser usados para caracterizar a rotação mais geral. Assim, para um j arbitrário
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
26
−J y D mj′ m , , 〈j, m ′ | exp −J z exp
′
e −im m 〈j, m ′ | exp
−J y
−J z
exp
|j, m
|j, m
A rotação central, de um ângulo em torno do eixo y, mistura diferentes valores de m. É conveniente definirmos uma nova matriz d j como −J y
d mj′ m 〈j, m ′ | exp
(3.5.5
|j, m
Logo,
D mj′ m , , e −im m d mj′ m ′
Exemplos Caso j 1/2.
Neste caso, os valores de m são m −1,1. 2 2
Escrevendo J y
2
y e usando (3.2.44) − y 2
exp
cos/2 − i y sen/2
A matriz d 1/2 torna-se d mj′ m 〈j, m ′ | exp
− y 2
|j, m
〈j, m ′ | 1 cos/2 − i y sen/2 |j, m cos/2 m ′ m − i sen/2〈j, m ′ | y |j, m Como 0 −i
y
i
0
encontra-se d j cos/2
1 0
0 −i
− i sen/2
0 1
cos/2
0
0
cos/2
i
0
0
− sen/2
sen/2
0
ou m 1/2
d j
Caso j 1.
cos 2 sen 2
m −1/2
2 cos 2
− sen
Agora os valores de m são m −1, 0, 1
o que deve resultar numa matriz 3 3. Neste caso não contamos mais com as propriedades das matrizes de Prof. Abraham Moysés Cohen
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27
Pauli. Mas, como Jy J − J− 2i podemos usar (3.5.41), para j j ′ , ou seja, 〈j, m ′ | J |j, m
j − mj m 1 m ′ ,m1
Assim, a matriz J y pode ser obtida a partir da relação 〈j, m ′ | J y |j, m 1 〈j, m ′ | J |j, m − 1 〈j, m ′ | J − |j, m 2i 2i Mas, 〈m 1| J |m
1 − m2 m
〈1| J |0 〈0| J |−1
〈m − 1| J − |m
1 − m2 − m
2 ,
〈0| J − |1
2
2
〈−1| J − |0
2
sendo nulos os demais elementos. Logo, m 1 m 0 m −1 1 J j1 2i
0 − 2i
2
0
m′ 1
0
0
− 2i
m′ 0
0
0
0
m ′ −1
e m 1 m 0 m −1 2
− 1 J j1 2i
0
0
0
m′ 1
2i
0
0
m′ 0
0
2i 0
m ′ −1
Portanto, m 1 m 0 m −1 J j1 y
− 2i
0
m′ 1
2i
0
− 2i
m′ 0
0
2i
0
m ′ −1
0
2
Como já conhecemos a representação matricial de J j1 , agora podemos obter a expansão de Taylor de y exp−iJ y /. Seja a expressão exp
−iJ y
1 − i
Jy
Jy − 1 2 2!
2
Jy 1 i 3 3!
3
Pode-se mostrar que
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
28
Jy
n
2
Jy
n par
Jy ,
n ímpar
Assim, exp
−iJ y
Jy
1 − i
1
2
Jy − 1 2 2!
Jy
2
Jy
2
Jy 1 i 3 3!
2 2!
−1 1 −
−i
3
Jy
−
Jy
sen
3 3!
cos
1
Jy
cos − 1 − i
sen
ou exp
−iJ y
→ 1−
2
Jy
1 − cos − i
Logo, −J y |j, m Jy 2 Jy 〈j, m ′ | 1 − 1 − cos − i
′ d mj1 ′ m 〈j, m | exp
2
Jy
m ′ m − 1 − cos 〈j, m ′ |
sen
|j, m Jy
|j, m − i sen 〈j, m ′ |
|j, m
Como iJ j1 y 1 2
0
2
0
− 2
0
2
0
− 2
0
e J j1 y
1 2
2
− 2i
0
2i
0
− 2i
0
2i
0
2
2
1 2
0
1
0 −1
0
2
0
−1 0
1
então 1 0 0 d 1
− 1 2
0 1 0 0 0 1
− 1 2
1
0 −1
0
2
0
−1 0
1
0
2
0
− 2
0
2
0
− 2
0
1 − cos
sen
ou Prof. Abraham Moysés Cohen
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29
1 0 0 d 1
−
0 1 0 0 0 1
1 1 − cos 0 − 1 1 − cos 2 2 0 0 1 − cos 1 1 − cos − 1 1 − cos 0 2 2 1 2
0 −
−
1 2
sen
sen 1 2
0 −
0
0
1 2
sen
sen
sen
0
Finalmente, agrupando os termos obtém-se 1 1 cos − 2 d 1
1 2
sen
1 2 cos
1 1 − cos 2
1 2
1 1 − cos 2
sen
sen
1 2
−
sen
1 1 cos 2
Evidentemente este método torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que o j aumenta. Na Seç. 3.8 estudaremos um método muito mais fácil de obter d mj′ m para qualquer j.
3.6
Momento Angular Orbital
O momento angular foi definido como sendo o gerador de rotações infinitesimais. Existe uma outra maneira de estudar o assunto, quando o momento angular de spin é nulo ou pode ser desprezado. O momento angular J para uma partícula é então o mesmo que o momento angular orbital L, definido como L r p.
(3.6.
Momento Angular Orbital como Gerador de Rotações Como foi definido em (3.6.1), o momento angular L satisfaz as relações de comutação para momento angular: L i , L j i ijk L k
(3.6.2
em virtude das relações de comutação entre as componentes de r e p. Isto pode ser facilmente demonstrado: Seja L x yp z − zp y L y zp x − xp z então
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
30
L x , L y yp z − zp y , zp x − xp z yp z , zp x zp y , xp z yp z zp x − zp x yp z zp y xp z − xp z zp y yp x p z , z p y xz, p z ixp y − yp x iL z . e assim por diante. Agora considere o operador 1−i
Lz 1 − i xp y − yp x
atuando sobre um autoket arbitrário da posição |x ′ , y ′ , z ′ para examinarmos se ele pode ser interpretado como o operador de rotações infinitesimais em torno do eixo z por um ângulo . Como o momento linear é um gerador de translações [v. Eq. (1.6.32)], isto é,
Tdx ′ 1 −
ip d x ′
ou seja,
Tdx ′ |x ′ 1 − i
p
dx ′ |x ′ |x ′ dx ′
encontra-se 1−i
L z |x ′ , y ′ , z ′
x ′ p y − y ′ p x |x ′ , y ′ , z ′ py p 1−i x ′ i x y ′ |x ′ , y ′ , z ′ py p 1−i x ′ − i x −y ′ |x ′ , y ′ , z ′ x ′ − y ′ , y ′ x ′ , z ′ 1−i
Isto corresponde a uma rotação infinitesimal de um ângulo em torno do eixo z. De fato, numa rotação em torno do eixo z, as coordenadas x, y, z transormam-se de acordo com x ′ x cos − y sen y ′ x sen y cos Para um ângulo infinitesimal , valem as aproximações cos ≃ 1 sen ≃ Assim, para as coordenadas transformadas, obtém-se x ′ x − y y ′ y x z′ z que é o resultado obtido. Suponha agora que a função de onda para um estado arbitrário seja dada por 〈x ′ , y ′ , z ′ |. Após uma rotação por um ângulo em torno do eixo z, a função de onda do estado transformado será
Função de onda.
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31
L z | 〈x ′ y ′ , y ′ − x ′ , z ′ |
〈x ′ , y ′ , z ′ | 1 − i Coordenadas esféricas.
(3.6.6
Mudando a base para coordenadas esféricas, isto é 〈x ′ , y ′ , z ′ | → 〈r, , |
o estado tranformado torna-se, de acordo com (3.6.6) L z | 〈r, , − |
〈r, , | 1 − i
〈r, , | − ∂ 〈r, , | ∂ Como 〈r, , | é um autoklet arbitrário da posição, podemos identificar 〈x ′ |L z | −i ∂ 〈x ′ | ∂
(3.6.9
que é um resultado bem conhecido da mecânica ondulatória. Vamos agora considerar uma rotação em torno do eixo x por um ângulo x . Em analogia com (3.6.6) podemos escrever Rotação em torno do eixo x.
〈x ′ , y ′ , z ′ | 1 − i
x
L x | 〈x ′ , y ′ z ′ x , z ′ − y ′ x |
(3.6.
Expressando x ′ , y ′ e z ′ em coordenadas esféricas, podemos mostrar que 〈x ′ |L x | −i − sen ∂ − cotg cos ∂ ∂ ∂
〈x ′ |
(3.6.
De maneira similar, 〈x ′ |L y | −i cos ∂ − cotg sen ∂ ∂ ∂
〈x ′ |
(3.6.
Usando essas duas relações e as definições de L , encontramos 〈x ′ |L | −ie i i ∂ − cotg ∂ ∂ ∂
〈x ′ |
(3.6.
Finalmente, usando L 2 L 2z
1 L L − L − L 2
(3.6.
juntamente com (3.6.9) e (3.6.13), encontramos 〈x ′ |L 2 | − 2
∂2 1 ∂ sen ∂ 1 2 sen ∂ ∂ sen ∂ 2
〈x ′ |
(3.6.
Exceto pelo fator 1/r 2 , esta é a expressão para a parte angular do operador Laplaciano em coordenadas esféricas. Relação entre L 2 e a parte angular de ∇ 2 .
Uma outra maneira de se obter esta relação é trabalhar
diretamente com o operador energia cinética. Vamos primeiro considerar uma importante identidade de operadores: L 2 x 2 p 2 − x p 2 i x p
onde x 2 ≡ x x e p 2 ≡ p p. Demonstração.
Capítulo 3
O operador L 2 pode ser escrito na forma Teoria do Momento Angular
32
L2
∑ LkLk k
Mas Lk
∑ ijk x i p j ij
então L2
∑ k
∑ ijk x i p j
∑ lmk x l p m lm
ij
∑ ijk x i p j lmk x l p m ijlmk
∑ ijlm
x i p j x l p m ∑ ijk lmk k
Como
∑ ijk lmk il jm − im jl k
encontra-se L2
∑ il jm − im jl x i p j x l p m ijlm
∑
il jm x i p j x l p m − im jl x i p j x l p m
ijlm
∑
il jm x i x l p j − i jl p m − im jl x i p j p m x l i lm
ijlm
∑ il jm x i x l p j − i jl p m − ∑ im jl x i p j ijlm
p m x l i lm
ijlm
Cada termo pode ser reescrito como
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33
∑ il jm x i x l p j − i jl p m ijlm
∑ il jm x i x l p j p m − i ∑ il jm jl x i p m ijlm
ijlm
∑ il x i x l ∑ jm p j p m − i ∑ ∑ il jm jl il
jm
∑ x i x i ∑ p j p j − i ∑ ∑ il jl i
j
xipm
jl
im
jm x i p m
l
ijm
x 2 p 2 − i ∑ ij jm x i p m ijm
x 2 p 2 − i ∑ im
∑ ij jm
xipm
j
x 2 p 2 − i ∑ im x i p m im
x 2 p 2 − i ∑
∑ im x i
pm
i
m
x p − i ∑ x m p m 2 2
m
x p − ix p 2 2
e
∑ im jl x i p j
p m x l i lm
ijlm
∑ im jl x i p j p m x l i ∑ im jl x i p j lm ijlm
ijlm
∑ im jl x i p m p j x l i ∑ im jl lm x i p j
ijlm
ijlm
∑ im jl x i p m x l p j − i jl i ∑ im jl lm x i p j ijlm
ijlm
∑ im jl x i p m x l p j − i ∑ im jl jl x i p m i ∑ im jl lm x i p j ijlm
ijlm
∑ im x i p m ∑ jl x l p j − i ∑ x i p i ∑ jl jl jl
im
ijlm
i ∑ lm x m p l
jl
i
lm
∑ x i p i ∑ x j p j − i ∑ x i p i ∑ 1 i ∑ x l p l i
j
i
j
l
3
x p 2 − 3ix p ix p x p 2 − 2ix p Substituindo estes resultados na equação para L 2 , encontra-se L 2 x 2 p 2 − ix p −x p 2 2ix p
ou Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
34
L 2 x 2 p 2 − x p ix p 2
Elementos de matriz de cada termo de L 2 .
Tomando-se os elementos de matriz de cada termo de L 2 ,
encontramos 〈x ′ | x p | x ′ −i∇〈x ′ | −ir ∂ 〈x ′ | ∂r Da mesma forma, 〈x ′ | x p 2 | 〈x ′ | x p x p | x ′ −i∇〈x ′ |x p | −ix ′ ∇〈x ′ |x p | −ir ∂ 〈x ′ |x p | ∂r −ir ∂ x ′ −i∇〈x ′ | ∂r − 2 r ∂ r ∂ 〈x ′ | ∂r ∂r 2 − 2 r 2 ∂ 2 〈x ′ | r ∂ 〈x ′ | ∂r ∂r Então, 〈x ′ |L 2 | 〈x ′ |x 2 p 2 | − 〈x ′ |x p 2 | i〈x ′ |x p| Como x 2 x x r 2 , obtém-se 2 〈x ′ |L 2 | r 2 〈x ′ |p 2 | 2 r 2 ∂ 2 〈x ′ | r ∂ 〈x ′ | 2 r ∂ 〈x ′ | ∂r ∂r ∂r
ou 〈x ′ |p 2 | − 2 Energia Cinética.
∂ 2 〈x ′ | 2 ∂ 〈x ′ | 1 〈x ′ |L 2 | r ∂r ∂r 2 r2
Em termos da energia cinética p 2 /2m, temos 1 〈x ′ |p 2 | − 2 ∇ ′2 〈x ′ | 2m 2m −
∂ 2 〈x ′ | 2 ∂ 〈x ′ | − 1 〈x ′ |L 2 | r ∂r ∂r 2 2r2
2 2m
parte radial do Laplaciano
parte angular
em concordância com (3.6.15).
Harmônicos Esféricos Vamos considerar uma partícula sem spin sujeita a um potencial com simetria esférica. Sabe-se que a equação de onda em coordenadas esféricas admite separação de variáveis e as autofunções da energia pode ser escrita como
Partícula num potencial com simetria esférica.
〈x ′ |n, l, m R nl rY ml ,
(3.6.2
Um Hamiltoniano esfericamente simétrico comuta com L z e L 2 e seus autoestados são também autoestados de L 2 e L z . Como L k satisfazem as relações de comutação do momento angular, as equações de autovalores para L 2 e L z serão: Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
35
L 2 |n, l, m ll 1 2 |n, l, m
L z |n, l, m m |n, l, m onde m −l, −l 1, … , l − 1, l. Como a dependência angular é comum para todos os problemas com simetria esférica, podemos isolá-la e considerar Dependência angular.
〈n̂ |l, m Y ml , Y ml n̂
(3.6.2
onde definimos um autoket da direção |n̂ . Deste ponto de vista, Y ml , é a amplitude de probabilidade para o estado caracterizado por l e m ser encontrado na direção n̂ especificada por e . Assim, partindo da equação de autovalores para L z , L z |l, m m |l, m multiplicando pela esquerda pelo bra de |n̂ , encontra-se 〈n̂ |L z |l, m m 〈n̂ |l, m e, usando (3.6.9), 〈n̂ |L z |l, m −i ∂ 〈n̂ |l, m ∂ obtém-se − i ∂ 〈n̂ |l, m m 〈n̂ |l, m ∂ Ou, − i ∂ Y ml , m Y ml , ∂ o que implica que a dependência em de Y ml , comporta-se como e im . Por outro lado, de L 2 |l, m ll 1 2 |l, m
encontra-se 〈n̂ | L 2 |l, m ll 1 2 〈n̂ |l, m De (3.6.15), 〈n̂ |L 2 | − 2
∂2 1 ∂ sen ∂ 1 2 sen ∂ ∂ sen ∂ 2
〈n̂ |
segue-se − 2
∂2 1 ∂ sen ∂ 1 2 sen ∂ ∂ sen ∂ 2
〈n̂ | ll 1 2 〈n̂ |l, m
ou ∂2 1 ∂ sen ∂ 1 2 sen ∂ ∂ sen ∂ 2
ll 1 Y ml 0.
(3.6.2
que é a equação diferencial parcial satisfeita por Y ml . Ortogonalidade.
A relação de ortogonalidade, 〈l ′ , m ′ |l, m l ′ l m ′ m
fornece Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
36
d n 〈l ′ , m ′ |n̂ 〈n̂ |l, m l l m m ′
′
ou
d n̂ Y ml ∗ , Y ml , 0
d d sen Y ml ∗ , Y ml ,
0
d dcos Y ml ∗ , Y ml ,
2
′
′
2
′
0 1
′
−
l′l m′m
(3.6.3
onde usamos a completeza para os autokets da direção,
d n̂ |n̂ 〈n̂ | 1
(3.6.3
Para obtermos os Y ml vamos partir com o caso m l. Aplicando o operador levantamento L ao ket |l, l devemos obter um ket nulo, ou seja, Cálculo de Y ll .
L |l, l 0, uma vez que a ação de L sobre o valor de m é aumentar por uma unidade um valor que já é o máximo. Multiplicando pela esquerda pelo bra de |n̂ e usando o resultado dado em (3.6.13), obtém-se − ie i i ∂ − cotg ∂ ∂ ∂
〈n̂ | l, l 0
Lembrando que a dependência em é dada por e im e il , e fazendo 〈n̂ | l, l e il 〈n̂ | l encontra-se i ∂ − il cotg 〈n̂ | l 0 ∂ ou seja d 〈n̂ | l l cotg 〈n̂ | l d 〈n̂ | l c l e
l
cotg d c e l 12 l
ln2−2 cos 2
c l 2 − 2 cos 2 l l
c l 2 − 21 − sin 2 − sin 2 c l 4 sin 2
l
c l sen l onde o fator 2 foi englobado na constante c l . Logo, 〈n̂ | l, l Y ll , c l e il sen l
(3.6.3
A constante c l é determinada pela condição de normalização (3.6.30), obtendo-se cl
−1 l 2 l l!
2l 12l! 4
(3.6.3
Cálculo dos demais Y m l .
Partindo de (3.6.34) e aplicando sucessivamente o operador abaixamento L − , podemos obter todos os Y ml . De uma maneira geral, podemos escrever 〈n̂ |l, m − 1
〈n̂ | L − |l, m l ml − m 1
uma vez que Prof. Abraham Moysés Cohen
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37
L − |l, m
l ml − m 1 |l, m − 1
dado na Eq. (3.5.40). Usando novamente (3.6.13), encontra-se 〈n̂ |l, m − 1
1 −ie −i i ∂ − cotg ∂ ∂ ∂ l ml − m 1 1 e −i l ml − m 1
∂ i cotg ∂ ∂ ∂
〈n̂ | l, m
〈n̂ | l, m
(3.6.3
0 −l Fazendo-se m l, l − 1, … , obtém-se sucessivamente Y ll , Y l−1 l , … , Y l , … Y l . O resultado geral, para m ≥ 0 é
Y ml ,
−1 l 2 l l!
2l 1 l m! im 1 d l−m e sen 2l m 4 sen dcos l−m l − m!
(3.6.3
∗ m m Y −m l , −1 Y l ,
(3.6.3
e definimos Y −m através da relação l
Dependência em .
Independente de m ser positivo ou negativo, a dependência em de Y ml , é sen |m| vezes um polinômio em cos , com a maior potência valendo l − |m|. Para m 0, obtém-se Y 0l ,
2l 1 P l cos 4
(3.6.3
★ Podemos mostrar que os valores de l devem ser inteiros. Leia os argumentos no final da seção.
Harmônicos Esféricos como Matrizes de Rotação Neste contexto, vamos construir o autoket |n̂ a partir de |ẑ , aplicando operadores de rotação apropriado DR, tal que
HE sob o ponto de vista das MR.
|n̂ DR|ẑ
(3.6.4
Isto pode ser obtido, usando-se a mesma técnica para a construção do autospinor de n̂ na Seç. 3.2 (veja figura abaixo): (1) rotação em torno do eixo y; (2) rotação em torno do eixo z.
z Segunda rotação
|ẑ θ β
|n̂ Primeira rotação
y
α φ
x Em termos dos ângulos de Euler, , e , temos
D , , 0. Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
38
A equação |n̂ DR|ẑ pode ser reescrita como uma expansão em termos de |l, m |n̂
∑ ∑ DR |l, m〈l, m|ẑ l
m
onde |n̂ contém todos os possíveis valores de l. Projetando no estado 〈l ′ , m ′ | apenas um termo na soma l contribui, isto é, 〈l ′ , m ′ |n̂
∑ ∑ DR 〈l, m ′ |l, m〈l, m|ẑ l
m
∑ ∑〈l ′ , m ′ | DR |l, m〈l, m|ẑ l
m
∑ D ml m , , 0 〈l ′ , m|ẑ ′
′
m
uma vez que D só conecta estados com o mesmo valor de l ou j . Ou seja 〈l, m ′ |n̂
∑ D mlm , , 0 〈l, m|ẑ
(6.6.4
′
m
Por definição 〈n̂ |l, m Y ml , então 〈ẑ |l, m Y ml 0, indeterminado e portanto 〈l, m|ẑ Y m∗ 0, indeterminado l é um número. Sabe-se que, para 0, Y ml se anula para m ≠ 0, uma vez que |ẑ é um autoket de L z com autovalor zero. Assim, 〈l, m|ẑ Y m∗ 0, indeterminado m0 l
2l 1 P l cos 4
m0 cos 1
2l 1 m0 4
Voltando à Eq. (3.6.49), obtém-se ′
Y ml ∗ ,
∑ D mlm , , 0 〈l, m|ẑ ′
m
2l 1 4
∑ D mlm , , 0 m0 ′
m
2l 1 D ml′ 0 , , 0 4
ou
D l m0 , , 0 Caso m 0.
4 Y m∗ , 2l 1 l
(3.6.5 ,
Para m 0, que é de particular importância, partindo de
D mj′ m , , e −im m d mj′ m , ′
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
39
com m m ′ 0, encontramos j D j 00 , , 0 d 00
Logo, d j 00
4 Y 0∗ , 2l 1 l
4 2l 1
2l 1 P l cos 4
ou seja, d j 00
3.7
P l cos .
(3.6.5
Adição de Momentos Angulares
Aplicações em todas as áreas da física moderna além de oferecer uma excelente oportunidade para ilustrar os conceitos de mudança de base discutiva no Capítulo 1.
Exemplos Simples de Adição de Momento Angular Neste exemplo vamos estudar sistemas de spin 1 sem ignorar os outros graus de liberdade, como fizemos até agora. Uma descrição realística de uma 2 partícula com spin deve levar em conta tanto os graus de liberdade espaciais quanto os graus de liberdade internos. Exemplo (1): Adição de momento angular orbital e de spin.
Base ket para uma partícula de spin 1 .
A base ket para uma partícula de spin 1 pode ser visualizada como 2 2 sendo o espaço produto-direto do espaço ket infinito dimensional dos autokets da posição |x ′ e o espaço bidimensional do spin, | e |−. Explicitamente, para a base ket, temos |x ′ , |x ′ ⊗ | onde qualquer operador no espaço descrito por
|x ′
(3.7.
comuta com qualquer operador no espaço descrito por
|. Neste espaço, o operador rotação tem ainda a forma exp−iJ n̂ /, mas J, o gerador de rotações, agora possui duas partes:
Operador rotação.
J LS
(3.7.2
J L ⊗ 1 S 1 x′ ⊗ S
(3.7.3
Forma mais evidente:
onde 1 S é o operador indentidade no espaço do spin e 1 x ′ é o operado identidade no espaço de dimensão infinita dos autokets da posição. Uma vez que L e S comutam, podemos escrever
DR D
R ⊗ D spin R −iJ n̂ −iS n̂ ⊗ exp exp
Função de onda.
orb
(3.7.4
A função de onda para uma partícula com spin é escrita como 〈x ′ , | x ′
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
(3.7.5 40
As duas componentes às vezes são dispostas na forma de matriz coluna x ′ − x ′ onde | x ′ | 2 representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula na posição x ′ com spin para cima e para baixo −. Base alternativas
Ao invés da base |x ′ para a parte espacial, podemos usar
Base formada pelos autokets de L 2 , L z , S 2 e S z .
|n, l, m que são autokets de L 2 e L z , ou seja, L 2 |n, l, m ll 1 2 |n, l, m
L z |n, l, m m |n, l, m e para a parte de spin |, que são autokets de S 2 e S z , ou seja, S 2 | 1
2
1 1 2 | 3 2 | 4 2
S z | 1 |. 2 Base formada pelos autokets de J 2 , J z , L 2 e S 2 . 2
2
Como veremos mais adiante, podemos também usar uma
2
base formada pelos autokets de J , J z , L e S . Em outras palavras, podemos expandir um estado ket de uma partícula com spin em termos dos autokets simultâneos de L 2 , L z , S 2 e S z ou em termos dos autokets simultâneos de J 2 , J z , L 2 e S 2 . Neste exemplo, vamos estudar duas partículas de 1 spin – digamos, dois elétrons – com o grau de liberdade orbital ignorado. 2 Exemplo (2): Adição de dois momentos angulares de spin.
O operador spin total é geralmente escrito como S S1 S2
(3.7.7
S S1 ⊗ 12 11 ⊗ S2
(3.7.8
que deve ser entendido como
onde 1 1 representa o operador identidade no espaço de spin do elétron 1, e 1 2 , no espaço de spin do elétron 2. Como sabemos, S 1x , S 2y 0, …
(3.7.9
Dentro do próprio espaço, temos as relações de comutação usuais: S 1x , S 1y iS 1z , S 2x , S 2y iS 2z , …
(3.7.
Como consequência das anteriores, as relações de comutação para o operador spin total são S x , S y iS z , … Autovalores dos operadores spins.
Prof. Abraham Moysés Cohen
(3.7.
Os autovalores para os vários operadores de spin são listados abaixo
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41
Operador
Autovalor
S S 1 S 2 2
2
→ ss 1 2
S z S 1z S 2z
→ m
S 1z
→ m1
S 2z
→ m2
Podemos expandir um estado de spin arbitrário em termos dos autokes de S e S z ou em termos dos autokets de S 1z e S 2z . As duas possibilidades são:
Expansão de um estado de spin arbitrário. 2
1. A representação m 1 , m 2 baseada nos autoketes de S 1z e S 2z : |m 1 , m 2 |, , |, − |−, e |−, − 2. A representação s, m (representação singleto-tripleto) baseada nos autokets de S 2 e S z : |s, m |s 1, m 1, |s 1, m 0, |s 1, m −1, |s 0, m 0. onde s 1 s 0 tripleto de spin (singleto de spin).
Observe que em cada conjunto existem quatro kets de base. A relação entre os dois conjuntos é: |s 1, m 1 |, |s 1, m 0
a
1 2
|, − |−,
b
|s 1, m −1 |−, − |s 0, m 0
(3.7.
c
1 2
|, − − |−,
d
O lado direito de a nos diz que temos ambos os elétrons com spin para cima; esta situação só pode corresponder a s 1 e m 1. A b pode ser obtida de a, aplicando-se o operador abaixamento
Demonstração.
S − S 1− S 2− S 1x − iS 1y S 2x − iS 2y
(3.7.
S − |s 1, m 1 S 1− S 2− |,
(3.7.
a ambos os lados de a. Ou seja, onde S 1− S 2− afeta apenas a primeira (segunda) entrada de |, . Lembrando que J |j, m
j ∓ mj m 1 |j, m 1
encontramos para este caso: 1 1 2 2
1 11 − 1 1 |s 1, m 0
1 1 2 2
1 − 1 1 2 2
|−,
1 − 1 1 |, − 2 2
ou 2 |s 1, m 0 |−, |, − |s 1, m 0
Capítulo 3
1 2
|−, |, −
Teoria do Momento Angular
42
Da mesma forma, podemos obter c: 1 2
S − |s 1, m 0
S 1− S 2− |−, |, −
ou 1 01 − 0 1 |s 1, m −1
1 2
S 1− |−, S 1− |, − S 2− |−, S 2− |, −
1 2
0 S 1− |, − S 2− |−, 0
1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 − 1 1 2 2
1 − 1 1 2 2
|−, −
|−, −
ou 2 |s 1, m −1
2 |−, − |s 1, m −1 |−, −.
Finalmente, a d pode ser obtida, exigindo que este seja ortogonal aos outros três kets, em particular ao b. Os coeficientes que aparecem do lado direito de (3.7.15) são o exemplo mais simples dos coeficientes de Clebsch-Gordan, que serão discutidos mais adiante. Eles representam simplesmente os elementos da matriz de transformação que conecta a base m 1 , m 2 à base s, m.
Coeficientes de Clebsch-Gordan.
Uma outra maneira de se obter esses coeficiente é escrever a
Outra forma de obter os coeficientes.
representação matricial do operador S 2 S 1 S 2 2 S 21 S 22 2S 1 S 2
S 21 S 22 2S 1z S 2z S 1 S 2− S 1− S 2
(3.7.
na base m 1 , m 2 . Ou seja 〈m 1 , m 2 | →
S 2 ̇
〈, | 〈, −| 〈−, | 〈−, −|
2
|m 1 , m 2 ↓
2
0
0
0
|,
0
2
1
0
|, −
0
1
2
0
|−,
0
0
0
2
|−, −
Como se pode observar, esta matriz quadrada não é diagonal, devido aos operadores S 1 e S 2 que conectam estados |m 1 , m 2 com |m 1 1, m 2 1. Mas podemos mostrar que esta matriz é diagonalizado por uma matriz unitária do tipo
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
43
1 0 U 0 0
0 1 2 1 2
0 − 1 2 1 2
0
0
0 0 0 1
uma vez que 1
−1 2
U S U
0 1 0 2 0 − 1 2
0 1 2 1 2
0
0
0
0
1 2 0 0 0
0
0 2 1 0 0 1 2 0
0
0 0
0 0 0 2 1
0
0 1 2 1 2
0 − 1 2 1 2
0
0
0 0 0 1
2 0 0 0 0 3 0 0
0 0 1 0 0 0 0 2
Os elementos da matriz U que diagonaliza S 2 são os coeficientes de Clebsch-Gordan para este problema.
Teoria Formal da Adição de Momento Angular Considere dois operadores momentos angulares J 1 e J 2 . Suas componentes satisfazem as relações de comutação usuais para momento angular: J 1i , J 1,j i ijk J 1k
(3.7.2
J 2i , J 2,j i ijk J 2k
(3.7.2
J 1k , J 2j 0
(3.7.2
e
Porém,
entre os pares de operadores de diferentes subespaços. Operador rotação infinitesimal.
O operador rotação infinitesimal que afeta ambos os subespaços, 1 e 2, é
escrito como 1−
iJ 1 n̂
⊗ 1−
iJ 2 n̂
1−
iJ 1 ⊗ 1 2 1 1 ⊗ J 2 n̂
(3.7.2
O momento angular total é definido por J J1 ⊗ 12 11 ⊗ J2
(3.7.2
J J1 J2
(3.7.2
que é mais comumente escrito como
Rotação finita.
A versão de ângulo finito de (3.7.22) é
D 1 R ⊗ D 2 R exp Capítulo 3
iJ 1 n̂
⊗ exp
iJ 2 n̂
Teoria do Momento Angular
(3.7.2 44
Devido a (3.7.20) e (3.7.21), o momento angular total satisafaz as
Relação de comutação do momento total.
relações de comutação J i , J j i ijk J k Escolha da base.
(3.7.2
Temos duas opções para a escolha da base:
Opção A - Base formada pelos autokets simultâneos de J 21 , J 22 , J 1z e J 2z , denotado por |j 1 j 2 ; m 1 m 2 . Esses operadores comutam entre si. As equações de autovalores para esses operadores são J 21 |j 1 j 2 ; m 1 m 2 j 1 j 1 1 2 |j 1 j 2 ; m 1 m 2 J 1z |j 1 j 2 ; m 1 m 2 m 1 |j 1 j 2 ; m 1 m 2 J 22 |j 1 j 2 ; m 1 m 2 j 2 j 2 1 2 |j 1 j 2 ; m 1 m 2 J 2z |j 1 j 2 ; m 1 m 2 m 2 |j 1 j 2 ; m 1 m 2 Opção B - Base formada pelos autokets simultâneos de J 2 , J 21 , J 22 , e J z . Esses operadores comutam entre si. Denotamos esta base por |j 1 j 2 ; jm. As equações de autovalores para esses operadores são J 21 |j 1 j 2 ; jm j 1 j 1 1 2 |j 1 j 2 ; jm J 22 |j 1 j 2 ; jm j 2 j 2 1 2 |j 1 j 2 ; jm J 2 |j 1 j 2 ; jm jj 1 2 |j 1 j 2 ; jm J z |j 1 j 2 ; jm m|j 1 j 2 ; jm
Embora se tenha J 2 , J z 0,
(3.7.3
esta relaçao não vale para as componentes z de J 1 e J 2 , ou seja, J 2 , J 1z ≠ 0 e
J 2 , J 2z ≠ 0
(3.7.3
como pode se demonstrado, escrevendo-se J 2 J 21 J 22 2J 1z J 2z J 1 J 2− J 1− J 2 . Mudança de base.
Vamos considerar a transformação unitária que conecta as duas bases: |j 1 j 2 ; jm
∑ ∑ |j 1 j 2 ; m 1 m 2 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm m1
(3.7.3
m2
onde usamos
∑ ∑ |j 1 j 2 ; m 1 m 2 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 | 1 m1
(3.7.3
m2
Os elementos de matriz 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm desta transformação são os coeficientes de Clebsch-Gordan, C mjm1 m 2 . Propriedades dos coeficientes de Clebsch-Gordan 1m2 são nulos, exceto para 1. Os coeficientes C m jm
m m1 m2. Demonstração:
Seja J z J 1z J 2z . Então J z |j 1 j 2 ; jm J 1z J 2z |j 1 j 2 ; jm → m m 1 m 2 .
2. Os coeficientes
1m2 Cm são nulos, exceto para jm
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45
|j 1 − j 2 | ≤ j ≤ j 1 j 2 .
(3.7.3
Esta é a versão quântica do modelo vetorial da adição de dois momentos angulares, onde visualisamos J como a soma vetorial de J 1 e J 2 . Porém, é importante verificá-la, mostrando que, se (3.7.38) é válida, então a dimensionalidade do espaço definido por |j 1 j 2 ; m 1 m 2 é a mesma de |j 1 j 2 ; jm. No primeiro caso, a dimensão vale Demonstração:
N 2j 1 1 2j 2 1
(3.7.3
Para o segundo caso, considerando j 1 ≥ j 2 , vemos que, para cada valor de j, existem 2j 1 estados e, de acordo com (3.7.38) j pode variar desde j 1 − j 2 até j 1 j 2 . Assim, j 1 j 2
N
∑ 2j 1
jj 1 −j 2
2j 1 j 2 1 2j 1 − j 2 12j 2 1 2j 1 1 2j 2 1 2
Uma vez que ambas as contagem dão o mesmo valor de N, vemos que (3.7.38) é consistente (veja prova no Apêndice B). Além disso, os elementos de matriz, por convenção, são tomados como sendo reais. Uma consequência imediata disto, é que Os coeficientes de Clebsch-Gordan forma uma matriz unitária.
〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm 〈j 1 j 2 ; jm|j 1 j 2 ; m 1 m 2 ou seja, os inversos são iguais aos próprios coeficientes. Uma matriz unitária real é ortogonal. Assim,
∑〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm〈j 1 j 2 ; m ′1 m ′2 |j 1 j 2 ; jm m m m m 1
′ 1
2
(3.7.4
′ 2
jm
ou seja,
∑〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm〈j 1 j 2 ; m ′1 m ′2 |j 1 j 2 ; jm jm
∑〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm〈j 1 j 2 ; jm|j 1 j 2 ; m ′1 m ′2 jm
〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; m ′1 m ′2 m 1 m ′1 m 2 m ′2 devido à ortogonalidade dos estados |j 1 j 2 ; m 1 m 2 , juntamente com a condição de que os coeficientes são reais. Da mesma forma,
∑ 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; j ′ m ′ jj mm ′
(3.7.4
′
m 1, m 2
ou seja,
∑ 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; j ′ m ′ m 1, m 2
∑ 〈j 1 j 2 ; jm|j 1 j 2 ; m 1 m 2 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; j ′ m ′ m 1, m 2
〈j 1 j 2 ; jm|j 1 j 2 ; j ′ m ′ jj ′ mm ′ onde usamos argumentos similares. Normalização de |j 1 j 2 ; jm.
Capítulo 3
Como caso especial deste último, façamos j ′ j, m ′ m m 1 m 2 . Obtém-se
Teoria do Momento Angular
46
∑ 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm m 1, m 2
∑ |〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm| 2 1 m 1, m 2
que é justamente a condição de normalização para |j 1 j 2 ; jm. Os coeficientes de Clebsch-Gordan podem também ser escritos em termos dos
Símbolo 3j de Wigner.
símbolos 3j de Wigner: 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; jm −1 j 1 −j 2 m 2j 1
j1j2j
(3.7.4
m1m2 − m
Relações de Recorrência para os Coeficientes de Clebsch-Gordan Fixando-se j 1 , j 2 e j, os coeficientes com diferentes valores de m 1 e m 2 estão relacionados entre si através de relações de recorrência. Partindo com J |j 1 j 2 ; jm J 1 J 2 ∑ ∑ |j 1 j 2 ; m ′1 m ′2 m ′1
m ′2
e usando (3.5.39) e (3.5.40) obtemos j ∓ mj m 1 |j 1 j 2 ; j, m 1
∑∑ m ′1
j 1 ∓ m ′1 j 1 m ′1 1 |j 1 j 2 ; m ′1 1, m ′2
m ′2
j 2 ∓ m ′2 j 2 m ′2 1 |j 1 j 2 ; m ′ , m ′2 1 〈j 1 j 2 ; m ′1 m ′2 |j 1 j 2 ; jm Multiplicando agora o resultado por 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 | e usando a ortogonalidade, que significa contribuições não nulas para o lado direito apenas se m 1 m ′1 1, m 2 m ′2 , m 1 m ′1 ,
primeiro termo
m 2 m ′2 1, segundo termo.
Desta forma, obtém-se as relações de recorrência desejadas: j ∓ mj m 1 〈j 1 j 2 ; m 1 m 2 |j 1 j 2 ; j, m 1
j 1 ∓ m 1 j 1 m 1 1 〈j 1 j 2 ; m 1 ∓ 1, m 2 |j 1 j 2 ; jm j 2 ∓ m 2 j 2 m 2 1 〈j 1 j 2 ; m 1 , m 2 ∓ 1|j 1 j 2 ; jm
(3.7.4
Suprimindo a j 1 j 2 da notação, isto é, |j 1 j 2 ; jm → |jm e |j 1 j 2 ; m 1 m 2 → |m 1 m 2 podemos escrever j ∓ mj m 1 〈m 1 m 2 |j, m 1
j 1 ∓ m 1 j 1 m 1 1 〈m 1 ∓ 1, m 2 |jm j 2 ∓ m 2 j 2 m 2 1 〈m 1 , m 2 ∓ 1|jm
(3.7.4
Representando os valores dos m ′ s no plano m 1 m 2 , as relações de diz-nos que os coeficientes para m 1 , m 2 estão relacionados aos coeficientes para
Visualização das relações de recorrência.
recorrência para J
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47
m 1 − 1, m 2 e m 1 , m 2 − 1. Da mesma forma, para J − , a relação de recorrência relaciona os três coeficientes cujos valores de m 1 e m 2 são dados na figura da direita. (m1-1,m2) (lado direito)
(m1,m2+1) (lado direito)
(m1,m2) (lado esquerdo)
J+ J(m1,m2-1) (lado direito)
(m1+1,m2) (lado direito)
(m1,m2) (lado esquerdo)
Considere o plano m 1 m 2 com j 1 , j 2 e j fixos. Na parte (a) da figura abaixo, plotamos o contorno da região permitida determinado por
Os coeficientes de Clebsch-Gordan e as relações de recorrência.
|m 1 | ≤ j 1 ,
|m 2 | ≤ j 2 ,
− j ≤ m m 1 m 2 ≤ j.
m2 = j2 m1 + m2 = j
A m1 = - j1
A proibido!
D J+
m1 = j1
E
J-
J-
B
x
J+ m1 + m2 = - j
F m2 = - j2
J-
C
(b)
(a) Partimos com o canto direito superior representado por A.
Aplicamos a relação de recorrência para J − (sinal inferior) com m 1 , m 2 1 correspondendo a A. Observe que esta relação só conecta A com B, porque o sítio correspondendo a m 1 1, m 2 é proibido por m 1 ≤ j 1 . Como resultado, obtemos os coeficientes de C-G de B em termos dos coeficientes de A.
Em seguida, forma-se o triângulo J com A, B e D. Isto permite encontrar o coeficientte de D, uma vez que o coeficiente de A seja especificado.
Conhecendo-se B e D, podemos obter E.
Conhecendo-se B e E podemos obter C e assim por diante.
Adição de j 1 l e j 2 s 1 2 Considere o seguinte exemplo de adição do momento angular orbital com o momento angular de spin 1/2: Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
48
j 1 l,
inteiro , m 1 m l
j2 s 1 , 2 Valores de j permitidos .
(3.7.5
m2 ms
Neste caso, os valores de j permitidos são j l 1 , l 0. 2 1 l 0. j , 2
(3.7.5
Assim, para cada l, existem dois valores permitidos para j j l 1 2
e l− 1 . 2
Por exemplo, para l 1 (estado p), os valores permitidos de j são: j 3 e 1 . Na notação espectroscópica, 2 2 p 3/2 e p 1/2 onde o subscrito refere-se a j. O plano m 1 m 2 , ou melhor, o plano m l m s deste problema é particularmente simples: os sítios permitidos formam apenas duas linhas. A linha superior, para m s 1 , e a inferior, para m s − 1 . 2 2 Caso j l 1 . Vamos estudar o caso específico j l 1 . Uma vez que m s não pode ser maior que 1 , 2 2 2 1 podemos usar a recorrência de J − de maneira que sempre estaremos na linha superior m 2 m s , 2 enquanto que o valor de m l varia por uma unidade, cada vez que consideramos um novo triângulo J − . De (3.7.49) (sinal inferior), para m 1 m l m − 1 e m 2 m s 1 , ou seja, 2 2 Plano m 1 m 2 .
j mj − m 1 〈m l m s |j, m − 1
j 1 m 1 j 1 − m 1 1 〈m l 1, m s |jm j 2 m 2 j 2 − m 2 1 〈m l , m s 1|jm
encontramos fazendo m → m 1: l 1 m1 2
lm 1 2
l 1 − m 〈m − 1 , 1 |l 1 , m 2 2 2 2
l−m 1 2
m 1 , 1 l 1 ,m 1 2 2 2
Logo, 〈m − 1 , 1 |l 1 , m 2 2 2
lm 1 l−m 1 2 2 1 1 l m1 l −m 2 2 m 1 , 1 l 1 ,m 1 2 2 2
ou m − 1 , 1 l 1 ,m 2 2 2
lm 1 2 lm 3 2
m 1 , 1 l 1 ,m 1 2 2 2
Fazendo m → m 1, sucessivamente, nesta equação, até que m l, encontramos Prof. Abraham Moysés Cohen
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49
m 1 , 1 l 1 ,m 1 2 2 2
lm 3 2 lm 5 2
m 3 , 1 l 1 ,m 2 2 2 2
m 3 , 1 l 1 ,m 2 2 2 2
lm 5 2 lm 7 2
m 5 , 1 l 1 ,m 3 2 2 2
m 5 , 1 l 1 ,m 2 2 2 2
lm 7 2 lm 9 2
m 7 , 1 l 1 ,m 4 2 2 2
l − 1, 1 l 1 , l − 1 1 2 2 2
2l 2l 1
l, 1 l 1 , l 1 2 2 2
e, portanto, m − 1 , 1 l 1 ,m 2 2 2 lm 1 lm 2 lm 3 lm 2
2l 2l 1 lm 1 2 2l 1
1 2 3 2
lm 3 2 5 lm 2
l, 1 l 1 , l 1 2 2 2 l, 1 l 1 , l 1 . 2 2 2
ms
x
x
x
J-
(3.7.5
J-
Jml
Configuração de valores máximos: m 1 l e m 2 1 .
Neste caso, o valor total m m 1 m 2 vale m l 1 , 2 2 1 1 que só será possível para j l e não para j l − . Assim: 2 2 m l l, m s 1 j l 1 , m l 1 2 2 2 onde é um fator de fase. Tomando este fator de fase real e positivo, igual à unidade, por convenção, encontramos m l l, m s 1 j l 1 , m l 1 2 2 2
≡ l, 1 l 1 , l 1 2 2 2
1
(3.7.5
Assim, de (3.7.57)
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
50
lm 1 2 2l 1
m − 1 , 1 l 1 ,m 2 2 2
(3.7.5
Estados j l 1 , m e j l 1 , m .
Como m m l m s , os valores de m l e m s podem ser, para ambos os 2 2 estados: a m l m − 1 e m s 1 e b m l m 1 e m s − 1 . Assim, esses estados conectam ambos. 2 2 2 2 Logo, j l 1 , m a ml m − 1 , ms 1 2 2 2 1 1 1 j l − , m c ml m − , ms 2 2 2
b ml m 1 , ms − 1 2 2 1 1 d ml m , ms − 2 2
O parâmetro a pode ser facilmente obtido de (3.7.59), sendo dado por a j l 1 ,m 2
lm 1 2 . Portanto, 2l 1
lm 1 2 2l 1
ml m − 1 , ms 1 2 2 b ml m 1 , ms − 1 . 2 2 j l − 1 , m c ml m − 1 , ms 1 2 2 2 d ml m 1 , ms − 1 2 2 Isto pode ser escrito na forma matricial j l 1 ,m 2 j l − 1 ,m 2
m− 1, 1 2 2 1 m ,− 1 2 2
a b c d
Devido à ortogonalidade, espera-se que a matriz de transformação seja da forma, a b c d Como cos a
→
cos
sen
− sen cos
lm 1 2 , podemos encontrar 2l 1 sen b
1 − cos 2
1−
lm 1 2 2l 1
2l 1 − l − m − 1 2 2l 1
l−m 1 2 2l 1
Portanto, a matriz de transformação será: lm 1 2 2l 1 −
Prof. Abraham Moysés Cohen
l−m 1 2 2l 1
l−m 1 2 2l 1 lm 1 2 2l 1
Mecânica Quântica A
51
3.8
Modelo de Oscilador de Schwinger do Momento Angular
Existe uma conexão entre a álgebra do momento angular e a álgebra de dois osciladores desacoplados. Vamos considerar dois tipos de oscilador: oscilador tipo mais e oscilador tipo menos. Os operadores de criação e destruição são denotados por a e a † . Os operadores números são definidos por N ≡ a † a
(3.8.
Admitimos que as relações de comutação para a, a † e N são do mesmo tipo que
Relações de comutação.
dos osciladores. Ou seja, a , a † 1,
a − , a †− 1,
N , a −a , N − , a − −a − , N , a †
a † ,
N − , a †−
(3.8.2
a †− .
Para osciladores diferentes (desacoplados), a , a †− 0, …
(3.8.3
Como N e N − comutam, podemos definir autoestados simultâneos desses operadores, |n , n − , ou seja, N |n , n − n |n , n − , Ação dos operadores a e a † .
Em
N − |n , n − n − |n , n −
analogia com o problema do oscilador, segue que
a † |n , n −
n 1 |n 1, n − , a †− |n , n −
a |n , n −
n |n − 1, n − ,
Ket |n , n − a partir do vácuo |0, 0.
(3.8.4
a − |n , n −
n − 1 |n , n − 1,
(3.8.5
n − |n , n − − 1.
Para obter o ket |n , n − basta aplicar sucessivamente a † e a †− ao vácuo
|0, 0. Isto é a † a †− |0, 0 |1, 1 →
|1, 1 a † a †− |0, 0
a † a †− |1, 1
2 2 |2, 2 → |2, 2
a † 2 a †− 2 a † a †− |1, 1 |0, 0 2 2 2 2
a † a †− |2, 2
3 3 |3, 3 → |3, 3
a † a †− |2, 2 3 3
a † 3 32
a †− 3 |0, 0 32
onde a |0, 0 0
(3.8.6
De uma maneira geral |n , n −
a † n a †− n − |0, 0 n! n−!
(3.8.7
Agora definimos J ≡ a † a − , Jz ≡
J − ≡ a †− a
a † a − a † a − − 2
(3.8.8 N − N − 2
(3.8.8
Estes operadores satisfazem as relações de comutação de momento angular:
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
52
J z , J J ,
J , J − 2J z
(3.8.9
Definindo o operador número total, N, como N ≡ N N − a † a a †− a − , podemos mostrar que 1 J J − J − J 2
J 2 ≡ J 2z Demonstração.
Como
J 2 J 2x J 2y J 2z
e
escrevendo
2 2
N N 1 . 2
J J x iJ y ,
obtém-se
J x 1 J J − 2
e
J y 1 J − J − , então 2i J 2 J 2x J 2y J 2z
J 2z 1 J J − 2 − 1 J − J − 2 4 2 1 2 J z J J J J − J − J J − J − − J J J J − J − J − J − J − 4 2 J z 1 2J J − 2J − J 4 2 J z 1 J J J − J 2 Como J ≡ a † a − e J − ≡ a †− a , a , a † 1 e a , a †∓ 0 encontramos J J − 2 a † a − a †− a 2 a † 1 a †− a − a 2 a † a 1 a †− a − 2 N 1 N − Da mesma forma J − J 2 a †− a a † a − 2 a †− 1 a † a a − 2 a †− a − 1 a † a 2 N − 1 N assim como, J 2z
2 4
N − N − 2
2 4
N 2 N 2− − 2N N −
onde usamos N , N − 0. Logo, J 2 J 2z 1 J J − J − J
2
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
N 2 N 2− − 2N N −
2 2
N 1 N − N − 1 N
N 2 N 2− − 2N N − N NN− N− N−N 2 N 2 N 2− − 2N N − 2N N − 4N N − 2 2 N 2N 2 N N 1 2
como foi antecipado.
Interpretação Física 1) interpretação 1
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Mecânica Quântica A
53
spin para cima uma unidade quântica do oscilador tipo “mais”.
spin para baixo uma unidade quântica do oscilador tipo “menos”.
2) interpretação 2
uma “partícula” de spin 1/2 com spin para cima cada uma unidade quântica do oscilador tipo “mais”.
uma “partícula” de spin 1/2 com spin para baixo cada uma unidade quântica do oscilador tipo “menos”.
Os autovalores n representam o número de spins para cima e para baixo −.
J a † a −
destrói uma unidade de spin para baixo, com componente z do momento angular −/2 e cria uma
unidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2: a componente z do momento angular
aumenta uma unidade de .
J − a †− a destrói uma unidade de spin para cima, com componente z do momento angular /2 e cria uma unidade de spin para baixo, com componente z do momento angular −/2: a componente z do momento angular diminui uma unidade de .
J z N − N − /2 calcula o produto de /2 pela diferença de n e n − , exatamente a componente z do momento angular total.
Ação de J e J z sobre |n , n − .
Estes operadores atuam sobre |n , n − da seguinte maneira:
J |n , n − a † a − |n , n − n − n 1 |n 1, n − − 1
n − n 1 |n 1, n − − 1,
(3.8.
J − |n , n − a †− a |n , n − n n − 1 |n − 1, n − 1 J z |n , n −
n n − 1 |n − 1, n − 1,
(3.8.
N − N − |n , n − 2
(3.8.
1 n − n − |n , n − 2
Note que em todas essas operações, a soma n n − , que corresponde ao número total de de partículas de spin 1/2, permanece constante. Essas expressões podem ser reduzidas às formas familiares de momento angular, fazendo-se n j m,
n− j − m
(3.8.
Assim, n − n 1
j − mj m 1 ,
n n − 1
j mj − m 1 ,
(3.8.
Também, os autovalores de J 2 , definido em (3.8.12) será J 2 |n , n −
2 2 2 2
N N 1 |n , n − 2 n n − n n − 1 |n , n − 2
Assim, como n n − j m j − m 2j 2 2
n n − n n − 1 2
2 2
2j
2j 1 2
2 jj 1
Relação entre os elementos de matriz do oscilador e do momento angular De (3.8.14), podemos usar
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
54
j ≡ 1 n n − , 2
m ≡ 1 n − n − , 2
no lugar de n e n − , para caracterizar autokets simultâneos de J 2 e J z . Ou seja, |n , n − |j, m. Ação de J sobre |j, m.
Como vimos, o operador J atuando sobre |n , n − muda n para n 1 e n − para
n − − 1, ou seja, J |n , n −
n − n 1 |n 1, n − − 1
Usando , isto será J |n , n − J j n n − , m n − n − j − mj m 1 2 2 1 − 1 n n 1 − n − − 1 n − j′ , m′ 2 2 n n n − j − mj m 1 j ′ , m′ − n− 1 2 2 onde j → j ′ j e m → m ′ m 1: J |j, m
j − mj m 1 |j, m 1.
De forma similar para J − . A Eq. (3.8.7), ou seja, |n , n −
a † n a †− n − |0, 0 n! n−!
pode ser escrita agora para o autoket mais geral de N , N − a † jm a †− j−m |0 j m!j − m!
|j, m Caso de interesse.
(3.8.
Seja m j, que fisicamente significa que o autovalor de J z é o maior possível para um
dado j. Logo, |j, j
a † 2j |0 2j!
(3.8.
Podemos imaginar este estado como sendo o estado de 2j partículas de spin 1/2 com todos os spins apontando na direção positiva do eixo z. Observação (1) Em geral, notamos que objetos complicados com valores altos de j podem ser visualizados como sendo constituídos de partículas de spin 1/2, das quais j m com spins para cima e j − m com spins para baixo. Observação (2) Embora nem sempre se possa considerar literalmente um objeto de momento angular j como um sistema composto de partículas de spin 1/2, é sempre possível afirmar que, enquanto estamos considerando as propriedades de transformação sob rotações, podemos visualizar qualquer objeto de momento angular j como um sistema composto de 2j partículas de spin 1/2 formado da maneira indicada pela Eq. (3.8.18).
★ Leia o restante da seção.
Fórmula Explícita para Matrizes de Rotação O esquema de Schwinger pode ser usado para obter, de uma maneira bastante simples, uma fórmula fechada para as matrizes de rotação. Vamos aplicar o operador DR a |j, m. Na notação dos ângulos de Euler, a única rotação não trivial é aquela em torno do eixo y Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
55
DR D, , | 0 exp
−iJ y
Assim, a † jm a †− j−m |0 j m!j − m!
DR |j, m DR
DRa † D −1 R
jm
DRa †− D −1 R
j−m
(3.8.2
j m!j − m!
Como −iJ y |0 −i 1 Jy 1 2!
DR|0 exp
−i
2
J 2y |0
e com J y 1 J − J − a † a − − a †− a , 2i 2i J y |0 a † a − − a †− a |0 2i 0 devido a (3.8.6). Assim,
DR|0 |0. Logo,
DRa † D −1 R exp
−iJ y iJ y a † exp
(3.8.2
Usando o lema de Baker-Hausdorff com A → a † ,
G→
−J y , →
Calculando os diversos comutadores do tipo G, A, G, G, A, … encontramos −J y † , a
−1 a † a − − a †− a , a † 2i −1 a † a − , a † − a †− a , a † 2i −1 2i a † a − , a † a † , a † a − − a †− a , a † − a †− , a † a
−1 a † 0 0 a − − a †− a , a † − 0 a 2i 1 a† a, a† − 2i 1 a† − 2i −J y −J y † , 1 a †− 1 , a− 2i 2i 1 a† 4
−J y ,
−J y † , a
Assim Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
56
−iJ y iJ y a † exp −J y † i 2 −J y a † i , a , 2! −J y −J y † i 3 −J y , , , a 3! exp
−J y † , a
ou exp
−iJ y iJ y a † exp
a † i
i 2!
1 a† − 2i
2
1 a† − 4
Finalmente, exp
−iJ y iJ y a † exp
a †
† a − 2 −
a † cos
2
2
2
i 2!
a † 1 −
2
i 2!
1 a† 4 2
a †− 2
a † . 2
a †− sen
ou seja, exp
−iJ y iJ y a † exp
a † cos
2
a †− sen
2
(3.8.2
exp
−iJ y iJ y a †− exp
a †− cos
2
− a † sen
2
(3.8.2
Da mesma forma
Substituindo estas duas últimas expressões em (3.8.21), encontra-se
DR |j, m jm j−m DRa † D −1 R DRa †− D −1 R j m!j − m! 2
a † cos
a †− sen
|0
jm a †− cos 2 2 j m!j − m!
2
− a † sen
j−m
|0
Recorrenco ao teorema binomial, x y N
∑ k
N! x N−k y k N − k! k!
(3.8.2
encontramos jm a †− sen 2 2 j m! a † cos 2 j m − k! k!
a † cos
∑ k
jm−k
a †− sen
2
k
a †− cos
2
l
e j−m − a † sen 2 2 j − m! −a † sen 2 j − m − l! l!
a †− cos
∑ l
Prof. Abraham Moysés Cohen
j−m−l
Mecânica Quântica A
.
57
Logo,
D 0, , 0 |j, m 1 j m!j − m!
j m! a † cos 2 j m − k! k!
∑∑ k
l
j − m! −a † sen 2 j − m − l! l!
j−m−l
2
a †− cos
jm−k
a †− sen
2
k
l
|0
Ou,
D 0, , 0 |j, m
∑∑ k
l
j m!j − m! j m − k! k!j − m − l! l! 2
−1 j−l−m a † 2j−k−l a †− kl cos
2
jm−kl
sen
jk−l−m
(3.8.2
|0
Outra maneira de expressar este resultado é usar (3.5.49), (3.5.5.1) e (3.8.18) , isto é,
D 0, , 0 |j, m
∑ |j, m ′ d jmm ′
m′
∑
′
a † jm a †− j−m
d j mm ′
′
j m ′ !j − m ′ !
m′
(3.8.3
|0
Comparando as duas expressões, podemos obter uma forma explícita para d j mm ′ , através da igualdade dos coeficientes das potências de a † . Especificamente, a † 2j−k−l a † jm
′
o que nos fornece 2j − k − l j m ′ l j − k − m ′
(3.8.3
Para m ′ constante, esta relação nos diz que as somas em k e l não são independentes. Eliminando l de acordo com (3.8.31), a †− kl a †− j−m
′
fica automaticamente satisfeita. Os expoentes do sen/2, cos/2 e −1 ficam, com esta substiuição 2
jm−kl
sen 2
jk−l−m
cos
2
jm−kj−k−m ′
cos
sen 2
jk−jkm ′ −m
−1 j−l−m −1 k−mm
2
cos
sen 2
2j−2km−m ′
2k−mm ′
′
Portanto, (3.8.29’), após eliminarmos a soma em l, torna-se
D 0, , 0 |j, m
∑ k
′
a † jm a †− j−m
′
j m!j − m! j m ′ !j − m ′ ! j m − k! k!j − m − l! l!
j m ′ !j − m ′ ! ′
−1 k−mm cos
2
2j−2km−m ′
sen
2
2k−mm ′
|0
Comparando com (3.8.30) para um m ′ fixo, encontramos
Capítulo 3
Teoria do Momento Angular
58
d mj′ m
∑−1 k−mm
j m!j − m! j m ′ !j − m ′ !
′
j m − k! k!j − m − l! l!
k
cos
2j−2km−m ′
2
sen
2
2k−mm ′
(3.8.3
que é a fórmula de Wigner para d mj′ m .
3.9
Medida de Correlação de Spin e Desigualdade de Bell
Correlações em Estados Singletos de Spin Sistema de dois elétrons num estado singleto.
Considere dois elétrons com spin total zero. O estado ket pode
ser escrito como singleto
1 2
|ẑ ; ẑ − − |ẑ −; ẑ
(3.91
Existe uma chance de 50% de se obter (numa medida) qualquer uma das componentes do spin para cada um dos elétrons, uma vez que o sistema composto pode estar em |ẑ ; ẑ − ou |ẑ −; ẑ com igual probabilidade.
Medida da componente de spin de um dos elétrons.
Suponha que um dos elétrons esteja, com certeza, no estado de spin para cima, o outro elétron está necessariamente no estado de spin para baixo. Conhecendo a componente do spin de um dos elétrons.
Quando a componente do spin do elétron 1 está para cima, o aparelho de medida seleciona o primeiro termo, |ẑ ; ẑ −, de (3.9.1); uma medida subseqüente da componente do spin do elétron 2 deve confirmar que o estado ket do sistema composto é dado por |ẑ ; ẑ −.
Medida.
Este tipo de correção pode persistir mesmo quando as duas partículas estão muito separadas e já interagem uma com a outra. A exigência é que à medidas que elas se afastem não exista nenhuma mudança em seus estados de spin.
Correlação.
Considere a figura que representa um sistema de duas partículas de spins ½, movendo-se em direções opostas. Visualização.
B
Partícula 2 Partícula 1
A
O observador A mede S z da partícula 1 (indo para a direita), enquanto que o observador mede o S z da partícula 2 (esquerda).
Observadores.
Se A encontrar S z , então mesmo antes de B realizar sua medida, A pode predizer com certeza que o resultado de B será S z − para a partícula 2.
O observador A realiza medida.
Sem realizar sua medida, A pode apenas afirmar que o resultado de B tem 50% de chance para encontrar S z ou S z −.
O observador A não realiza medida.
Podemos dizer: “é parecido com o caso de uma caixa que contém uma bola preta e uma branca. Quando, sem olhar, retiramos uma delas, existe uma chance de 50% de tirarmos a bola preta ou a branca. Mas se a primeira for a bola preta, então podemos dizer com certeza que a segunda bola será a branca.” Este resultado parece não ser tão estranho.
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
59
De fato, os observadores podem querer medir S x ao invés de S z . Em termos da analogia com a caixa, é como se o mesmo par de “bolas quânticas” pudesse ser analizado em termos de preto e branco ou em termos de azul e vermelho.
A situação quântica é mais complexa.
S x em termos de S z .
Para um único spin, sabemos que |x̂ ,
1 2
|ẑ |ẑ −
→ |ẑ ,
1 2
|x̂ |x̂ −
(3.9.3
Logo, para nosso sistema composto, singleto
1 2
|x̂ −; x̂ − |x̂ ; x̂ −
(3.9.4
Pode medir tanto S z como S x da partícula 1, bastando apenas mudar a orientação do analizador de spin.
Observador A.
Observador B.
Só pode medir S x para a partícula 2.
Se A obtém S z para a partícula 1, a medida de B pode resultar numa das duas S x ou S x −, com igual chance. Mesmo conhecendo-se o S z da partícula 2, sua componente S x é completamente indeterminada. O observador A realiza uma medida de S z .
O observador A realiza uma medida de S x .
Se A também obtém S x para a partícula 1, então com certeza o
observador encontrar S x − para a partícula 2. O observador A não realiza medida.
Neste caso, B terá uma chance de 50% para obter S x ou S x −.
Resumo: 1. Se A mede S z e B mede S x , existe uma correlação completamente aleatória entre as duas medidas. 2. Se A e B medem S x , existe 100% de correlação de sinais opostos entre as duas medidas. 3. Se A não realiza medida, as medidas de B apresentam resultados aleatórios.
Neste caso, todos os resultados possíveis dessas medidas de correlação de spin são mostradas na tabela abaixo: Os observadores A e B podem medir S x ou S z .
Medida de A
Capítulo 3
Resultado de A Medida de B Resultado de B
z
z
−
z
−
x
x
−
z
−
x
−
z
z
x
−
x
x
−
z
x
x
−
x
z
−
z
z
−
x
−
x
z
x
z
−
Teoria do Momento Angular
60
★ Leia o restante da seção.
3.10
Operadores Tensoriais
Leia esta seção.
Prof. Abraham Moysés Cohen
Mecânica Quântica A
61
