Matemat ika Teknik Teknik
RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM
Berkaitan dengan matriks A∈ M mxn
adalah dua sub ruang khusus yakni ruang
Null Null dari dari A dan dan ruan ruang g kolo kolom m dari dari A yang yang dino dinota tasi sika kan n secar secaraa bert bertur urut-tur ut-turut ut deng dengan an N(A) N(A) dan C(A). C(A). N(A) N(A) merup merupaka akan n himpu himpuna nan n solusi solusi dari dari SPL SPL homo homoge gen n deng dengan an A sebagai matriks koefisiennya, sedangkan C(A) merupakan ruang vektor yang dibangun oleh vektor kolom dari A ( ruang kolom dari A ) atau dapat juga dikatakan sebagai himpunan yang memuat B∈ ℜm sehingga SPL, AX = B konsisten. Ruang Null dari matriks A, N(A) tidak lain merupakan ruang solusi sebagaimana yang dibahas pada pembahasan pembahasan sebelumnya. Dimensi ruang Null dari dari matriks A dikatakan Nulitas ( A ). Sedangkan ruang kolom akan dibahas bersamaan dengan ruang baris, sebab keduanya mempunyai hubungan yang sangat dekat. Misal diberikan matriks A
= (aij ) dengan i = 1,2, .. ., m dan j = 1,2, .. ., n .
atau A∈ M mxn . Maka vektor -vektor :
= (ai1, ai2 ,. .. , ain )
dengan i = 1,2, .. ., m disebut vektor baris dari A dan vektor-vektor : ri
c j
a1 j a2 j . = . . amj
dengan j
= 1,2 ,. .. , n.
disebut vektor kolom dari A n
Sub ruang dari ℜ yang direntang oleh vektor-vektor vektor-ve ktor baris disebut ruang baris m dari A. Sedangkan sub ruang dari ℜ yang direntang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom dari A. Basis ruang kolom dari A didapatkan dengan melakukan OBE pada A. Vektor kolom yang merupakan unsur basis ditentukan oleh adanya bilangan satu ( 1 ) utama pada pada kolo kolom m yang yang berses bersesuai uaian an.. Sedang Sedangkan kan basis basis ruang ruang baris baris dari dari A didap didapatk atkan an deng dengan an t melakukan OBE pada A . Dimensi ruang kolom suatu matriks sama dengan dimensi ruang barisnya dan dinamakan rank dari A. Ada keterkaitan antara N(A) dan C(A), yakni jumlah dimensi dari kedua sub ruang vektor tersebut akan sama dengan banyak kolom matriks A . Misal A∈ M mxn . Maka Nulitas (A) + Rank (A ) = n Contoh : Diketahui matriks A,
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Teknologi Telkom , Bandu Bandu ng
Matemat ika Teknik
1 − 2 A = 3 5
2
3
1
0
1 0
1
− 1
Tentukan : a. Semua vektor baris dan vektor kolom dari A. b. Basis dan dimensi ruang kolom dari A. c. Basis dan dimensi ruang baris dari A Jawab : a. Vektor baris : r1
= (1,2,3), r2 = ( − 2,1,0) , r3 = (3,1,1)
Vektor kolom : 1
b.
− 2 , c c1 = 3 2 5 1 2 − 2 1 A = 3 1 5 0
dan
2 3 1 0 = dan c3 = 1 1 0 − 1 3 1 2 3 0 0 1 6 5 → . 1 0 0 1 − 1 0 0 0
c.
= (5,0 ,−1)
Bilangan satu ( 1 ) utama terletak di semua
kolom maka basis dari ruang kolom adalah S
1 − 2 3 0 → 0 1 − 1 − 1 0 0 1
= { c1, c2 , c3} . 5 − 2 . Bilangan 2
1 − 2 At = 2 1 3 0
1
dari A, yaitu: S
= {r1 , r2 , r3} . Dimensi ruang baris dari A sama dengan 3.
3
5
r4
satu utama terletak pada
1 kolom 1, 2 dan 3. Oleh karena itu vektor kolom ke 1, 2 dan 3 merupakan unsur basis t dari ruang kolom dari A . Jadi baris ke-1, 2 dan 3 merupakan unsur basis ruang baris
Untuk menentukan basis dari ruang yang direntang oleh sejumlah vektor dilakukan dengan membentuk sebuah matriks dengan vektor kolomnya adalah vektorvektor tersebut. Kemudian melakukan OBE sehingga diperoleh bilangan satu utama seperti cara menentukan basis ruang kolom. Contoh : Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut : u
= (1,1,−4,−3) , v = (2,0,2, −2 ) dan w = (2,−1,3,2 )
Jawab :
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom , Bandu ng
Matemat ika Teknik
1 2 2 1 1 0 1 − → 0 A = − 4 2 3 0 − 3 − 2 2 0
2 1 0 0
3 2 . 1 0 2
Satu utama terletak di kolom 1, 2 dan 3. Basis
dari ruang kolom A sama dengan basis dari ruang yang direntang oleh ketiga vektor tersebut, misal S, yaitu : S
= {u , v , w}
Contoh : Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut : u
= (11 , ,1) , v = (2,2,0) dan w = (11 , ,0 )
Jawab :
1 A = 1 1
2 2 0
1
1 → 0
1 2 1 1 0 0 0 → 0 0 − 2 − 1 0
2
1
0
0 . Satu utama terletak di kolom 1dan 2.
1
1
2
Basis dari ruang kolom A sama dengan basis dari ruang yang direntang oleh ketiga vektor tersebut, yaitu : S
= {u, v}
Soal Latihan
( 1 sd 3 ) Tentukan : (a ) Basis ruang kolom , (b) basis ruang baris dan ( c ) rank dari matriks berikut :
1.
2.
3.
1 1 2 1 1 0 1 2 2 1 3 4 1 − 1 3 2 2 0 − 1 1 − 2 1 1 1 3 − 2 − 3 3 1 − 3 2 2 1 0 3 6 0 − 2 2 − 3 − 2 4 4 3 − 3 6 6 3 5 − 3 10 10 5
( Nomor 4 sd 6 ) Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut : 4. ( 1,1,0,0 ), ( 0,0,1,1 ), ( -2,0,2,2 ) dan ( 0,-3,0,3 ) 5. ( 1,-1,5,2 ) , ( -2,3,1,0 ), ( 4,-5,9,4 ) dan ( 0,4,2,-3 ) dan ( -7,18,2,-8 ) 6. ( 1,0,1,1 ) , ( -3,3,7,1 ) , ( -1,3,9,3 ) dan ( -5,3,5,-1 )
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom , Bandu ng
Matemat ika Teknik
( Nomor 7 sd 11 ) Carilah basis dan dimensi dari ruang Null matriks A bila,
1 4 5 2 7. A = 2 1 3 0 − 1 3 2 2 1 − 1 3 8. A = 5 − 4 − 4 7 − 6 2 1 2 0 1 0 1 2 1 9. A = 1 2 1 3 0 1 2 3 1 4 5 6 3 −2 1 4 10. A = −1 0 −1 − 2 2 3 5 7 1 2 2 1 5 0 4 11. A = 6 3 − 8 − 2 1 12. Diketahui SPL,
− 1 − 1 8 − 1 1 − 1 9
AX = B dengan
1 A = 2 − 1
4
5
1
3
3
2
2
2
0 . Carilah matriks B sehingga
SPL tersebut : a. Konsisten b. Tidak konsisten.
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom , Bandu ng