RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran
: Matematika
Materi Ajar
: Vektor
Kelas/Semester Kelas/Semester
: XI/Ganjil
Pertemuan Ke-
: ....
Alokasi Waktu
: 2 x 45 Menit
A. Standar Kompetensi Kompetensi
Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi, serta operasi dan resultanny resultannya. a. B. Kompetensi Dasar
1. Memahami vektor dalam ruang tiga dimensi. C. Indikator
1.1. Menjelaskan titik di ruang tiga dimensi. 1.2. Menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi. 1.3. Mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi. 1.4. Mencari resultan dari beberapa vektor.
D. Tujuan Pembelajaran
Setelah proses pembelajaran : 1.1.1.
Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;
1.1.2.
Siswa dapat menjelaskan titik di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;
1.2.1.
Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;
1.2.2.
Siswa dapat menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;
1.3.1.
Siswa dapat mengenal operasi penjumlahan, penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan;
1.3.2.
Siswa dapat mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;
1.4.1.
Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita kontekstual yang relevan;
1.4.2.
Siswa dapat mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan;
E. Materi Ajar
1.1.1.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.1.2.1. Pemahaman tentang titik di ruang tiga dimensi menggunakan menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual kontekstual yang relevan; 1.2.1.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.2.2.1. Pemahaman tentang bagaimana menggambar vektor garis di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.3.1.1. Pengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.3.2.1. Pengenalan operasi penjumlahan, pengurangan, pengurangan, dan perkalian dua buah vektor di ruang tiga dimensi menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.1.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan cerita kontekstual yang relevan; 1.4.2.1. Pemahaman tentang pengertian resultan vektor dan bagaimana mencari dan menentukan resultan dari beberapa vektor menggunakan model yang terkait dengan cerita kontekstual kontekstual yang relevan;
F. Pendekatan
Pendekatan yang digunakan adalah :
Pendekatan Contekstual Contekstual Teaching and Learning
G. Metode Pembelajaran
Metode:
Pengajaran langsung
Ekspositori dan demonstrasi
Diskusi kelompok
Penugasan
H. Model Pembelajaran Pembelajaran
Model pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran kooperatif.
I.
Langkah-Langkah Pembelajaran Pembelajaran
A. Pendahuluan Tahapan Kegiatan No.
Alokasi Waktu Waktu Guru
Siswa
1.
Mengucapkan salam
Menjawab salam
1 menit
2.
Memberi apersepsi kepada
Merespons apersepsi
5 menit
siswa menggunakan metode
dan antusias dalam
tanya jawab.
tanya jawab yang
Misalnya :
Guru mengingatkan definisi tentang vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Guru mengingatkan kembali
dilakukan guru.
tentang vektor dalam ruang dua dimensi, dengan cara menyuruh siswa maju secara acak ntuk menentukan vektor dari titik A (4,2) dan B (-2,-4).
Lalu dengan metode ekspositori dan demonstrasi, demonstrasi, guru menjelaskan tentang titik pada ruang tiga dimensi. Jika pada ruang dua dimensi dikenal hanya dengan 2 sumbu utama (x,y) maka pada ruang tiga dimensi terdapat 3 sumbu utama (x,y,z).
3.
Menyampaikan tujuan
Mencatat untuk
pembelajaran yang akan
dijadikan acuan dalam
dicapai siswa.
mengikuti kegiatan
4 menit
belajar selanjutnya. selanjutnya.
B. Kegiatan Inti No.
1.
Kegiatan Guru
Kegiatan Siswa
Guru membagi siswa dalam
Siswa duduk
beberapa kelompok kecil dan
berkelompok.
Alokasi Waktu
1 menit
menginstruksikan menginstruksikan murid untuk duduk berkelompok. 2.
Dengan menggunakan media
Siswa memperhatikan memperhatikan
pembelajaran yang telah
materi melalui media
disiapkan, guru mengenalkan
dan menyimak apa yang
konsep vektor dalam ruang
disampaikan guru.
20 menit
dimensi tiga dengan menyajikan permasalahan yang telah disinggung pada apersepsi mengenai titik dan garis pada ruang dimensi tiga. Setelah diberikan apersepsi tentang titik pada ruang tiga dimensi, guru menjelaskan tentang menggambar vektor garis pada ruang tiga dimensi . Misalnya vektor akan terbentuk jika terdapat minimal dua titik pada ruang tiga dimensi, dan memiliki besar dan arah. Misal titik A (0,2,4) dan B (4,6,8) sehingga ketika dua titik dihubungkan dari A ke B akan membentuk vektor AB. Contoh :
3.
Selanjutnya Selanjutnya guru menjelaskan
Siswa memperhatikan memperhatikan
tentang operasi penjumlahan,
materi melalui media
pengurangan, pengurangan, dan perkalian
dan menyimak apa yang
pada vektor tiga dimensi.
disampaikan guru.
a. Penjumlahan :
a + b = PQ + QR = PR
15 menit
b. Pengurangan A-B = A + (-B) c. Perkalian
Perkalian Titik (vektor dengan vektor) A.B = AB cos θ AB cos θ meru pakan
bilangan biasa (skalar).
Perkalian Vektor dengan Skalar
4.
Masih menggunakan media
Siswa memperhatikan memperhatikan
pembelajaran, pembelajaran, guru
materi melalui media
menjelaskan kepada siswa
dan menyimak apa yang
bagaimana mencari resultan
disampaikan guru.
10 menit
dari beberapa vektor dalam ruang tiga dimensi. R2 = |A2| + |B2| 5.
Guru memberikan memberika n suatu tanya
Siswa merespons
jawab terhadap siswanya
pertanyaan yang
sebagai indikator akan
disampaikan oleh guru
pemahaman siswa terkait
dan berusaha
pengajaran dan pembelajaran
memecahkan soal yang
tentang konsep vektor dalam
diberikan.
ruang tiga dimensi. 1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2),
10 menit
dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = ….
2. Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 , sinus sudut antara a danb adalah
1 3 2
nilai | a b | = ...
1 2 5 , 3. Jika a = 4 , b = 9 3 3 1 c = 2 dan p = a – 2b + 3c , maka panjang p =...
C. Penutup No.
Kegiatan Guru
1.
Guru membimbing siswa
Setiap siswa membuat
untuk membuat
kesimpulannya.
kesimpulan dari yang telah disampaikan. Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Titik pada ruang tiga dimensi (x,y,z). Minimal dua titik pada ruang dimensi tiga akan membentuk vektor garis
Kegiatan Siswa
Alokasi Waktu
3 menit
pada ruang dimensi tiga. Adapun operasi pada vektor yaitu penjumlahan, pengurangan, pengurangan, perkalian, serta resultan dari beberapa vektor dengan beberapa cara. 2.
Guru memberikan tugas-
Siswa mengerjakan tugas-
tugas kepada siswa
tugas yang diberikan oleh
terkait materi dari
guru.
20 menit
konsep-konsep yang telah dipelajari. (Tugas terlampir pada LKS) 3.
Menutup pembelajaran
Menjawab salam yang
dengan mengucap salam.
diucapkan guru.
1 menit
Penilaian : Jumlah soal : 50 soal Pedoman Penilaian: Tiap soal jika benar bernilai 2, dan jika salah bernilai 0. Total nilai maksimum yaitu 100.
J. Alat dan Sumber Belajar Belajar
Buku Teks, LCD projektor, laptop, spidol, papan tulis, bahan ajar materi, LKS.
LEMBAR KERJA SISWA Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang tiga dimensi diperlukan patokan mula. Salah satu patokan mula yang diambil adalah tiga garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus yang biasanya diberi nama sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. sistem ini dinamakan system koordinat cartesius dalm ruang tiga dimensi. Dalam system ini suatu titik ditentukan oleh pasangan tiga bilangan (tripel), misalnya P( x1 , y1 , z1 ). Disebut koordinat absis, y
y atau ordinat dan z disebut disebut koordinat y
koordinat z atau aplikat dari titik P. tiap dua sumbu menentukan sebuah bidang yang dinamakan bidang koordinat. Tiga bidang koordinat yaitu xy, yz, dan xz membagi ruang menjadi 8 ruang bagian yang masing-masing disebut oktan.
Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainnnya dibawah bidang xy . Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berturut-turut berada tepat tepat dibawah oktan oktan oktan I, II, III dan IV.
Pada gambar berikut berturut-turut berturut-turut adalah contoh contoh letak titik P (2,3,4) dan Q (4,-2,3) :
Jarak dua titik
Jarak dua titik P( x1 , y1 , z1 ) dan Q ( x2 , y 2 , z 2 ) adalah
|PQ | =
( x2
x1
)
2
( y 2
y1
)
2
2
( z 2
z1 )
Vektor dalam ruang tiga dimensi Vector posisi titik P ( x1 , y1 , z1 ) terhadap titik asal O adalah OP=( x1 , y1 , z1 )=
x1i y1 j z1k , i,j,k disebut vektor-vektor basis yang berturut-turut berturut-turut adalah vectorvektor satuan yang searah dengan sumbu x positif, y positif dan z positif.
Rumus perbandingan vektor
Jika a =( x1 , y1 , z1 ) adalah vektor posisi dari titik A, dan b=( x2 , y2 , z 2 ) adalah vector posisi titk B, serta titik C berada pada ruas garis AB sedemikian sedemikian sehingga |AC| : |CB| |CB| = m : n , maka vektor posisi titik C adalah
c
n a mb
mn
Jika vector posisi titik C adalah mx2
nx x
c
1
y c
mn
= ( xc yc zc ) diperoleh hubungan bahwa ,
ny1 my2
,
;
z c
mn
nz1 mz2 mn
Jika
a
= ( a1 , a2 , a3 ) maka panjang vector a adalah:
2
a
Jika
;
c
a
1
a
a2
2
a3
2
=( a1 , a2 , a3 ) adalah vector posisi A, dan b =( b1 , b2 , b3 ) vect vector or posi posisi si B, B, maka maka
| AB |= (b1 a1 )
2
(b2
a2
)
2
(b3
a3
)
2
Perkalian dua vektor
= (u1 , u 2 , u3 ) dan
Jika
u
uv
u
v
= (v1 , v2 , v3 ) maka perkalian titiknya adalah
v cos dengan 0< <
Mengingat
i
j
(1,0,0) ,
dan k
(0,1,0)
(0,0,1)
Maka, mudah dimengerti dari sefinisi tersebut bahwa
i j
i i
j k
j j
i k
k k
0
dan
1
Sehingga dapat diturunkan uv
(u1 , u2 , u3 ) (v1 , v2 , v3 )
u v u1v1 u 2 v2 u3 v3
Hasil kali kedua vector adalah suatu skalar. Jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol uv
0u
v
atau
u
0 atau v
0
Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor dapat digunakan rumus:
cos
u v
u
v
Atau u1v1 u 2 v2 u3 v3
cos
2
u1
u2
2
u3
2
2
v1
v2
2
v3
2
,
,
u v v 1 2 v3
Kosinus arah suatu vector
Misalkan a
(a1 , a2 , a3 ) (a1 i a2 j a3 k ) adalah vektor posisi titik A dengan A
berimpit dengan O, sudut-sudut sudut-sudut antara vektor a dengan vektor satuan i j k maka ,
sudut-sudut arah vektor a . Sudut-sudut dan ,
Maka
cos
cos , cos , dan
a i
a
cos
i
a2
a j
cos
a
k
2
a
a3
a k
a1 a
a j
cos
a
2
2
Dengan cos cos cos 1
,
Hasil kali silang dua vektor
a a1 i a2 j a3 k dan b b1 i b 2 j b 3 k =sudut yang dibentuk oleh a dan b dengan 0< <
ab
a
b sin sin
Dengan u = vektor satuan, maka a b
a
b a
b
b sin sin
a
sin sin ( u)
sin (u) = - a b sin = -( a b ) b a = -( a b ) sifat anti komutataif
Apabila ab
a
sejajar dengan b yaitu =0 maka,
a
a b = 0
b sin sin u
Hasil kali silang dua vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor yaitu: a (b c)
(a b) (a c)
(a b) c (a c) (b c) Untuk vektor i , j dan k :
i j
i
i j
k
j
sin
2
k
Dengan cara yang sama kita peroleh:
j k i
j i
k i
k j
j
k
o
i
j j
i
k k o
i k
ii
o
Selanjutnya Selanjutnya dapat diturunkan teknik perhitungan dengan menggunakan determinan: determinan:
i
j
k
a b a1
a2
a3
b1
b2
b3
ba
(a b)
Sifat determinan
Luas jajaran genjang
Luas jajaran genjang yang sisi-sisinya a dan b adalah;
ab
a b sin
Volume balok genjang
Volume balok genjang yang rusuknya a1
a2
a3
a b c = b1
b2
b3
c1
c2
c3
a, b
dan
c
adalah a b c
LATIHAN Nama
:
Kelas
:
No. Absen
:
Pelajaran
: Vektor
1.
Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 ,sinus sudut antara
a danb adalah
3.
1
5
a+b|=
3.
2
Diketahui | a | =
, |b|=
9
dan |
besar sudut sudut antara a dan
2
b adalah... Nilai | a b | =... a. 45o a. 7
c. 3
b. 6
d.
e.
b. 60o
c. 120o
d. 135o
e. 150o
6
7
4.
Diketahui a = 3 i – 4 j – 4 k , k , b = 2 = 2 i – j + 3 k dan k dan c = 4 i – 3 j +5 k Panjang k Panjang
2.
Diketahui panjang proyeksi vektor
3 3 1
3 , pada b p 3
a
proyeksi ( a + b ) pada c adalah...
=
a. 3 2
3
adalah
.
b. 4 2
c. 5
2
d. 6
2
e. 7 2
2
Nilai p = . . . . . 26
a. 4
b.
9
c. 2 d.
1 2
e.
1 4
5.
Diketahui A ( 1, 2, 3 ), B ( 3, 3, 1 ) dan C ( 7, 5, -3 ). Jika A, B, dan C segaris (kolinier ), perbandingan AB : BC = ... a. 1 : 2 e. 7 : 5
b. 2 : 1
c. 2 : 5
d. 5 : 7
6.
Diketahui vektor u = a i +2 j + 4 k , k , v = 4 i + 2 j + 2k dan w = 4 i + 2 j + 6 k . Jika u dan v saling tegak lurus, maka u + w
a. – 11
b. – 10
c. 8
d. 10
e. 11
adalah ... a. i + 4 j + 10 k
b. i – 4 j + 10 k
c. 3 i + 4 j + 10 k
d. 3 i – 4 j + 10 k
10. Diketahui vektor a = 2i = 2i – 6j – 3k dan 3k dan b = 4i + 2j – 4k .
e. 4 i + j + 10 k Panjang proyeksi vektor a pada b adalah ... 7.
Vektor a dan vektor b membentuk sudut
. Diketahui | a | = 6 , | b | = 6 ,
a.
4 3
b.
8 9
c.
3 4
d .
3 8
e.
8 36
dan cos = 0,7 maka nilai dari a.( a + b ) = ... 11. Jika titik A ( 1 , 2 , - 1 ) , B ( 3 , 0 , 2 ) , a. 49
b. 89
c. 99 d. 109
e. 115
dan C ( 5 , - 2 , a + 1 ) t erletak pada satu garis lurus , nilai a = …
8.
Diketahui | a | = 2 , | b | = 1 . kosinus kosinus
a. – 6
b. – 4
c. 4
d. 5
e. 6
sudut antara a dan b adalah 0,5. Nilai | a + b | = ... 12. Dikethui a = 2 i + x j + y k , b = y = y i + 2 a. 7
b. 6
c. 3
d.
7
e.
6
j + z k dan a = x i + z j + 2 k , Jika a + b = c maka ... a. x = 1 ,
9.
Diketahui vektor vektor vektor a =
b=
1 2 , 1
c=
0 4 x
dan a . ( b + c ) = a . a Nilai x = ...
1 1, 1
y=3 , z=3
b. x = 3 , y = 3 , z = 1 c. x = – 1 , y = 1 , z = 1 d. x = 3 ,
y=–1 , z=1
e. x = 1 ,
y=–1 , z =3
1 4 9
13. Jika a =
, b =
b. 4 6
a. 12
4 3
14. Jika a =
,c =
1 2
b =
c. – 3
3 1 2
,
d. 2
b. 8
, jika c = p a + q b , maka p.q = …
e. 3
( a , b ) = 60o maka | a - b | = …
d. 2 17
c. 14
e. 2 38
2 7
c =
15. Jika | a | = 10 , | b | = 6 dan
a. 4
dan p = a – 2b + 3c , maka panjang p = ...
d. 3 17
14
c 3
,
a. – 1 b. – 2
2 5 3
e. 2 19
16. Pada segi empat sembarang OABC , S dan T masing-masing titk tengah OB dan AC .
Jika u =
a.
1 u
1
2
1 u
2
e.
v =
v
2
c.
,
OA
u
1 v
2
w
b.
2
2
1
1
v
1 w
2
1
u
2
2
1
dan w =
OB
d.
1 u
2
1
OC maka ST
v
2
1 v
=…
1 w
2
2
1 w
2
1 w
2
17. Diketahui titik A ( 0 , 1 , 5 ) , B ( 0 , - 4 , 5 ) dan C ( 3 , 1 , - 2 ) . Titik P membagi AB sehingga AP : PB = 3 : 2 maka vektor yang diwakili diwakili
a.
3 1 7
b.
3 3 3
c.
3 3 7
d.
3 3 7
e.
3 3 7
PC
adalah ...
18. Diketahui A ( - 2 , - 2 , - 2 ) , B ( 1 , 0 , - 1 ) dan titik M membagi membagi AB di luar sedemikian sehingga MB : MA = 1 : 2 Panjang Panjang vektor posisi M adalah... a.
b.
13
c.
20
42
d.
34
50
e.
19. Diketahui segi tiga ABC dengan A ( -2 , 3 , 5 ) B ( 4 , 1 , 3 ) C ( 4 , -1 , 1 ) . Koordinat titik titik berat segi tiga ABC adalah... a. ( 2 , 3 , 3 )
b. ( 2 , 3 , 9 )
c. ( 2 , 1 , 9 )
d. ( 2 , 1 , 3 )
e. ( 3 , 1
1 2
, 4 12 )
20. Diketahui P ( -3 , -1 , -5 ) , Q ( -1 , 2 , 0 ) dan R ( 1 , 2 , -2 )Jika PQ a dan QR
PR
maka a . b = ... ... a. 16 b. 22
21. Diketahui
c. 26 d. 30
e. 38
1 1 1 , b 2 , a 1 1
a. – 11 b. – 10
c. 8 d. 10
22. Besar sudut antara
a. 180o b. 90o
3 a 2 4
c. 60o
,
c
0 4 dan x
a . ( b + c ) = a . a , nilai x = …
e. 11
2 3 b 3
d. 30o
adalah…
e. 0o
23. Diketahui titik titik A ( 2 , -1 , 4 ) , B ( 4 , 1 , 3 ) dan C ( 2 , 0 , 5 ) . Nilai kosinus sudut antara AB dan AC adalah... 1
a.
1 b.
6
1 2
6
c.
1 d .
3
1 2
3
e.
2 2
b
24. Diketahui
3 1 a 2
a. – 5 b. – 1 c. 0
, dan
d. 1
2 4 b x
saling tegak tegak lurus lurus nilai x adalah ...
e. 5
25. Diketahui P ( a , 0 , 3 ) , Q ( 0 , 6 , 5 ) dan R ( 2 , 7 , c ) agar PQ tegak lurus QR , maka a – c = … a. – 3 b. – 2 c. 2 d. 3
e. 5
