: Pe Penjumlahan Vektor : "#$ Menerapk Menerapkan an konep konep penjumla penjumlahan han %ektor %ektor (&en'an (&en'an pen&ekatan 'eometri)
ujuan Pemelajaran : 1. Menjelask Menjelaskan an perbedaan perbedaan antara antara besaran besaran skalar dan dan besaran vektor vektor 2. Mengambar Mengambar vekto vektorr dan menulis menuliskan kan notasi notasi vekto vektorr 3. Menjelask Menjelaskan an sifat penjum penjumlahan lahan dan dan selisis selisis dua buah buah vektor vektor 4. Meluk Melukis is dua dua vekt vektor or yang seara searah h dan dan berl berlaw awan anan an arah dan dan mene menent ntuk ukan an result esultan an vektornya. 5. Menjel Menjelask askan an langaka langakah-la h-langk ngkah ah penjuml penjumlaha ahan n dan selisi selisi dua atau lebih lebih vekto vektorr metode metode segitiga jajar genjang dan polygon dan menentukan resultan vektornya. vektornya. !. Menent Menentuk ukan an resul resultan tan dari dua atau lebih lebih vekto vektorr denga dengan n metod metode e segiti segitiga ga poligon poligon dan jajar genjang ". Menentuk Menentukan an resulta resultan n vektor vektor dengan dengan metode metode analisis analisis yaitu mengun mengunakan akan rumus rumus kosinus kosinus rumus sinus dan penguraian vektor berdasarkan komponen # komponennya. $. Membuktik Membuktikan an hasil hasil resultan resultan vekto vektorr se%ara se%ara analisis. analisis.
I# Kon Konep ep ea earan ran %ekt %ektor or &esaran vektor adalah ... 'ontoh besaran yang termasuk besaran vektor adalah ( ... ... ... ...
&esaran skalar adalah ... 'ontoh besaran yang termasuk besaran skalar adalah (
... ... ... ...
II# Men''amar Men''amar %ektor &an menuli *otai Vektor Vektor )alam )alam gambar gambar besar besar suatu suatu vekto vektorr biasa biasa dinyat dinyatak akan an dengan dengan satuan satuan panjan panjang g atau atau skala skala tertentu. *edangkan arah vektor biasa dinyatakan dalam sudut atau arah mata angin. +otasi atau simbol sebuah vektor dapat ditulis dengan %ara ( a. ..... 'ontoh ( b. ...... 'ontoh ( &esar atau resultan resultan sebuah vektor vektor dapat ditulis dengan beberapa %ara %ara yaitu ( a.
...... 1
'ontoh ( # ..... 'ontoh ( ,entukan bagian vektor yang digambarkan dengan anak panah di bawah ini
.... .... ....
III#
Penjumlahan Vektor
Menjumlahkan vektor menentukan resultan vektor. /da dua %ara penjumlahan vektor yaitu ( metode gra0s dan metode analitis. a Metode gra0s adalah ... ,erdiri dari 3 metode%ara yaitu ( b Metode analitis adalah ...
III#/# Menentukan i0at penjumlahan &an eliih &ua uah %ektor Misalnya terdapat dua buah vektor yaitu vektor A dan B dengan + sebagai vektor satuannya tentukan resultan vektor untuk ( C = A + B
B
+ A
C = B
− A
dan
C = A − B
A
C = B
dan
enyelesaian ( a. *ifat penjumlahan dua buah vektor C = A + B
C = B
+ A
dan
A
B +,A-B Kesimpulan :
+,B B b. *ifatAselisih dua vektor C = A − B
C = B
− A
dan
+,A.B .B A
2
Kesimpulan :
+,B.A
B
.A III#$# Reultan &ua %ektor 3an' earah &an erla4anan arah ambar resultan kedua vektor searah di samping
1 2
Kesimpulan : R , 51-25
ambarkan resultan dua vektor tak searah di samping
1 2
Kesimpulan : R , 51.25
III#"# Penjumlahan %ektor &en'an meto&e 'ra6 ,erdiri dari 3 metode%ara penjumlahan vektor dengan metode gra0s adalah ( a. Metode ... )igunakan untuk menggambarkan resultan dari ...... vektor. angkah # langkahnya adalah ( 1. Lukislah vektor pertama sesuai dengan nilai dan arahnya, misalnya A 2. Lukislah vektor kedua, misalnya B, sesuai nilai dan arahnya dengan titik tangkapnya berimpit pada ujung
vektor pertama! 3. Hubungkan titik tangkap vektor pertama ( A) dengan ujung vektorkedua ( B)!
+ontoh : ambarkan resultan vektor / 6& dan /-& di bawah ini dengan metode di atas A
'/6
'/-&
b. Metode ... .... )igunakan untuk menggambarkan ............................ vektor. B angkah-langkah untuk menggambarkan vektor dengan metode ini adalah ( 1.ukis vektor pertama 2.ukis vektor kedua dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor pertama 3
3.ukis vektor ketiga dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor keduadan seterusnya hingga semua vektor yang akan di%ari resultannya telah dilukis. 4.7ektor resultan atau vektor hasil penjumlahannya diperoleh dengan menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung dari vektor yang terakhir dilukis. +ontoh : ambarkan penjumlahan vektor di bawah ini dengan metode di atas
/) )/6&-'
)/6&6'
$) B A
+ !
%. Metode ... )igunakan untuk menggambar dua vektor dan lebih. angkah-langkahnya sebagai berikut ( 1. ukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit 2. ukis sebuah jajargenjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisi 3. 8esultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang titik pangkalnya sama dengan titik pangkal kedua vektor.
+ontoh : ambarkan resultan vektor di bawah ini dengan metode di atas /) '/6&
A
'/-&
B
$) +
B
A III#7# Penjumlahan %ektor &en'an meto&e analiti a) Menentukan reultan %ektor &en'an men'unakan rumu koinu 9ntuk menentukan vektor resultan se%ara matematis dapat digunakan rumus kosinus yaitu (
Keterangan :
4
Soal : Diketahui dua buah vektor, masingmasing besarnya " dan #
".$entukan nilai resultan kedua % vektor tersebut, jika titik pangkalnya berimpit dan membentuk sudut #& &!
Pen3eleaian :
/# Menentukan arah reultan %e8tor &en'an rumu inu )iketahui bahwa vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai dan arah.
9ntuk
menentukan arah dari vektor resultan terhadap salah satu vektor komponennya dapat digunakan persamaan sinus. erhatikanambar dibawah ini )iketahui dua buah vektor 91 dan 92 membentuk sudut :. *udut antara vektor resultan =R dengan vektor 91 adalah ; <2 :-; :
; <2
8
sedangkan sudut antara resultan =R dan vektor 92 adalah :-;. *e%ara matematis persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut(
Keterangan :
5
Contoh : Diketahui dua buah vektor masingmasing panjangnya 'm dan # 'm.ika kedua vektor berimpit dan
saling tegak lurus, maka tentukan arah resultan vektor tersebut terhadap kedua vektor tersebut!
Pen3eleaian :
/# Men'urai Vektor *ebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor atau lebih.
a) Menentukan komponen %ektor 3an' ear &an arahn3a &iketahui Vektor komponen adalah .... y erhatikan gambar disamping Misalkan diketahui sebuah vektor
9 yang dapat diuraikan menjadi vektor komponen pada sumbu X yaitu 9> dan ve%tor komponen pada sumbu Y yaitu 93. ?ika sudut antara vektor 9 dengan sumbu X positif adalah : maka besar
<
vektor
:
>
<> F x
=
F y
=
komponen
9> dan
9y
dapat
diperoleh
dengan
menggunakan persamaan sinus dan kosinus.
.... ....
!
) Menentukan ear &an arah euah %ektor jika ke&ua %ektor komponenn3a &iketahui Misalkan jika komponen-komponen vektor 9 adalah 9> dan 9y maka besar vektor 9 dapat ditentukan dengan menggunakan dalil hytagoras pada segitiga siku-siku. /rah vektor tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri tangen. &esar vektor 9 adalah sebagai berikut (
/rah vektor < adalah sebagai berikut (
9ntuk menentukan arah vektor =sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif kamu harus memperhatikan tanda F dan F3 tanda tersebut akan membantu
dalam menentukan
kuadran pada vektor koordinat. erhatikan tabel dan gambar berikut @uadran <>
A 6 6
AA 6
AAA -
A7 6 -
@uadran AA @uadran A BCCDED1$CC CC DEDBCC @uadran AAA @uadran A7 1$CCDED2"CC2"CC DEDBCC
8) Menjumlahkan %ektor melalui %ektor.%ektor komponenn3a Menjumahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu > dan sumbu y pada koordinat kartesius metode seperti ini disebut metode uraian. &erikut ini adalah tahap-tahap untuk men%ari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian ( 1. &uat koordinat kartesius >-y 2. etakan titik tangkap semua vektor terhadap titik asal =CC. Angat arah vektor tidak boleh diubah. 3. 9raikan setiap vektor yang tidak berimpit dengan sumbu > dan sumbu y menjadi komponen- komponenya pada sumbu > dan sumbu y. 4. ,entukan komponen resultan vektor pada setiap sumbu misalnya ( a. F8> resultan vektor-vektor komponen pada sumbu > b. F8y resultan vektor-vektor komponen pada sumbu y 5. &esar resultan vektornya
)an arahnya terhadap sumbu G positif (
"
Contoh : $iga buah vektor gaya masingmasing besarnya *+ *& ", 2 + 3&
", dan
3 + 2& ". rah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. $entukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya). Penyelesaian :
S;AL < S;AL LAI=A* 1. )iketahui vektor M lukislah vektor-vektor berikut ( a. #M b. 3M %. -2M 2. )ua buah vektor gaya <1 dan <2 masing-masing besarnya 3+ dan 4+ dan bekerja pada suatu benda dengan titik angkap berimpit jika sudut apit antara kedua buah vektor itu 45 C tentukan resultan vektor dan arah vektor 3. ,entukan besar dan arah vektor serta gambarkan jika komponenya sebagai berikut ( a. 7> 4%m dan 7y !%m b. <> !+ dan <> -$ + 4. ,iga vektor masing-masing <1 1C + <2 1! + dan <3 12 + disusun seperti pada gambar. ?ika :3"C hitunglah besar resultan dan arah ketiga vektor tersebut 5. ,entukan besar komponen-komponen vektor dari sebuah vektor
gaya
sebesar 2C + pada arah !CH terhadap sumbu X positif
$
!. ,entukanlah
komponen-komponen
vektor
yang besarnya 5C + dan membentuk sudut
gaya
9
3C
terhadap sumbu > positif (lihat gambar)
". ,entukan besar dan arah vektor perpindahan
=L di
mana komponen sumbu >-nya 3C m dan komponen sumbu y-nya 4C m.
