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Matemática GEOMETRÍA GEOMETRÍA ANALÍTICA AN ALÍTICA 5. PLANO CARTESIANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4.1. TEOREMA 1 (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Teorema 1. Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los lo s puntos P 1 y
P2 está dada dada por: d =d(P1,P2)= ( x 2 - x1)2 ( y 2 - y1)2
B
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO
y 2 ) x 2, y (
Teorema 2. Sean A(x1,y1) y B(x2, y2) dos
puntos en el plano. Si P(x,y) divide al segmento
AB en la razón r = x
x1 r x 2 1 r
y
P
AP >0, entonces PB
y1 r y2 1 r
A
) x, y (
,y 1 ) x 1 y (
.
CONSECUENCIAS 1)
Punto medio de un segmento
Si M(x, y) y) es el punto medio del del segmento segmento de extremos extremos A(x 1, y1) y B(x2, y2), entonces
x = 2)
x1 + x 2 2
y =
y1 + y 2 2
Baricentro de un triángulo
Si A(x1, y 1), B(x2, y 2) y C(x3, y3) son los vértices de un triángulo, el baricentro G(x,y) del triángulo ABC es
x1 + x 2 + x 3
G
3
,
y1 + y 2 + y 3 3
5.1 LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA
Si es el ángulo de inclinación formado por la parte positiva del eje x y la recta
L
de manera que
pendiente de la recta L se define como 0 , la pendiente m = tg
Si
L es
una recta no paralela al eje “y” y P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos distintos
sobre ella, entonces m será
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m
y2 x2
y1 x1
(1)
Por triángulos semejantes se puede mostrar fácilmente que si P’ 1 (x’1, y’1) y P’2 ( x2’, y2’) son otros 2 puntos también distintos sobre L , entonces: y 2' - y1' x 2' - x 1'
m=
o sea que, para una recta dada, el número m definido por la ecuación (1) es independiente de la selección P 1 y P2, y por consiguiente, dicha ecuación asocia a cada recta no paralela al eje “y” un solo número m que recibe el nombre de pendiente de la recta. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
El ángulo cuya medida es , considerada en el sentido contrario al giro de las agujas del reloj, desde la recta L 1, de pendiente m 1, a la recta L 2 de pendiente m 2, se puede obtener a partir de la
y
expresión:
tg =
L1
L2
m2 m1 1 m2m1 2
1
m1m2 1
O
x
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Teorema 5.3. Dadas dos rectas no verticales L 1 y L 2, de pendientes m 1 y m2 respectivamente. L 1 // L 2
L1
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L2
m1 = m2
m1 . m2
= 1
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ECUACIONES DE LA RECTA Teorema 5.4. La recta que pasa por el punto dado P 1 (x 1 , y1) y tiene la pendiente dada m tiene
por ecuación
y y1 = m(x x1)
Teorema 5.5. La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por
ecuación
y = mx + b
Teorema 5.6. La recta que pasa por dos puntos dados P 1(x1, y1) y P2 (x2, y2) tiene por ecuación
y y y y1 1 2 (x x1), x1 x2
x1 x 2
Teorema 5.7. La recta que pasa por los puntos (a, 0) y (0, b) con a 0
y b 0,
respectivamente, tiene por ecuación
x y 1 a b Forma general de la ecuación de una recta.
La forma general de la ecuación de una recta es L: Ax + By + C = 0 en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Teorema 5.8. Dadas la recta
L:
Ax + By + C = 0 y P(x1, y1) un punto exterior a L . La distancia
d del punto P(x 1, y1) a la recta L , está dada por:
d
Ax1 By1 C A 2 B2
y ÁREA DE UN TRIÁNGULO Teorema 5.9. Si P(x1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3)
son los vértices de un triángulo, su área está dado por
P(x , y ) 1 1
Q(x2,y 2)
x
O R(x3 ,y3)
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x1 y1 1 1 Área x y 1 2 2 2 x3 y 3 1 Forma práctica Considerando los puntos P(x 1, y1), Q(x2, y2) y R(x3, y3) en el sentido contrario al giro de las agujas del reloj, tenemos en forma practica el área
x1 1 x2 Área = 2 x3 x1
y1 y2 , donde y3 y1
x1 x2 x3 x1
y1 y2 (x1y 2 x 2y 3 x 3y1) (x 2y1 x 3y 2 x 1y 3) y3 y1
5. 2 LA CIRCUNFERENCIA Definición. Sea C un punto de R² y r número real positivo; se llama circunferencia al conjunto de puntos P tales que d(P, C) = r. y ECUACIÓN ORDINARIA La circunferencia de centro C(h, k) y radio r, tiene por ecuación C: ( x h )² + ( y k)² = r²
P(x, y) r O
x
C(h, k)
ECUACIÓN CANÓNICA La circunferencia de centro en el origen y radio r>0, tiene por ecuación
y x² + y² = r ²
P(x, y) r
O
ECUACIÓN GENERAL C:
x
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 2
D E C: x y 2 2
2
D2 E2 4F 4
Existe circunferencia, si D² + E² 4F > 0
E 1 D Centro: C , , radio : r 2 2 2
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D2 E2 4F
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ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Teorema 5.10. La ecuación de la recta tangente a la circunferencia
pasa por el punto P(x 1, y1) C es L T:
y
C :(x
h)² +(y k)² = r ², que
LT
y y1 = mT (x x1)
P(x 1, y 1)
x h Donde mT 1 es pendiente de y1 k
C LT
C(h, k) O
x
y
CONDICIÓN DE TANGENCIA Teorema 5.11. La ecuación de la circunferencia C y una recta tangente L T a C forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 . Se cumple que =b² 4ac = 0 (condición de tangencia)
P ( x , 1 y 1 ) C(h, k)
O
x
5.3 LA PARÁBOLA Definición. Sean
D una
recta y F un punto fijo en
el plano con F D . Una parábola directriz
D es
el conjunto de puntos
que equidistan de P
P con
D y F.
foco F y
P del
plano
Es decir
P R ² / d(P, D ) d P; F
Elementos de la parábola
F
: foco : directriz D E : eje focal V : vértice ST : cuerda MN : cuerda focal LR : lado recto MF : radio focal
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ECUACIONES Teorema .1. La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje, el eje X es Y
D
y² = 4px
P(x,y) N
En donde el foco es el punto F(p, 0) y la ecuación de la directriz es D: x = p. O
i)
Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha
ii)
Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
F(p,0) X
x=-p Si el eje de una parábola coincide con el eje “Y” y el vértice esta en el origen, su ecuación es Y
x² = 4py
F(0,p)
P(x,y)
En donde el foco es el punto F(0, p) y la ecuación de la directriz es i) ii)
D:
y = p.
O
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
D
X N
y=-p
Teorema 2. La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma
(y k)² = 4p (x h) siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. i) Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha ii) Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda. Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma ( x h )² = 4p( y k ) i) ii)
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
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CONDICIÓN DE TANGENCIA Teorema .3. La ecuación de la parábola P y una recta tangente L T a P forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 . Se cumple que =b² 4ac = 0 (condición de tangencia)
Teorema 4. La tangente a la parábola y ² = 4px en cualquier punto P 1(x1, y1) de la curva tiene por
ecuación
y1y = 2p( x + x 1 )
Teorema 5. La tangente de pendiente m a la parábola y ² = 4px tiene por ecuación
y = mx +
p , m 0 m
PARABOLA DE EJE INCLINADO
E
Dada la directriz D:
Ax +By + C = 0
P
La ecuación de la parábola es P:
P:
F(a,b)
d(P, D ) = d( P; F)
Ax By C A 2 B2
= x a 2 y b 2
5. 4. LA ELIPSE Definición. Es el conjunto de puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre constante, mayor que la distancia entre los puntos fijos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
P
V’
F’
F
V
Si d(F’, F) = 2c, P elipse E d(P,F’) + d(P, F) = 2a donde 2a es una constante con a > c
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2c 2a
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Elementos de la elipse l
: eje focal (recta que pasa por los focos F’ y F) V’ y V : vértices (puntos de intersección de la l’ elipse y el eje focal) A E P V'V : eje mayor L MB C : centro (punto medio del segmento que une los focos) V l V’ C : eje normal (recta que pasa por el centro y l’ F F’ es perpendicular al eje focal) E’ A’ y A : puntos de intersección de la elipse y el eje M’ L’ normal. B’ A’ A'A : eje menor B'B : Cuerda (segmento que une dos puntos de la elipse). E'E : Cuerda focal (cuerda que pasa por uno de los focos). : Lado recto (cuerda focal perpendicular al eje focal). L'L y M'M La elipse tiene dos lados rectos. Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor y b la del semieje menor. a, b y c están ligados por la relación a² = b² + c². D y D ’
E
: directrices
Distancia de la directriz al centro de F’
C(h,k)
E
a2 d(D’,C) = d(D ,C) = c
F
D
D’
2b 2 La longitud de cada lado recto es . a c La excentricidad está dada por e = . a ECUACIONES Teorema 6. La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal al eje X, distancia focal Y
igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:
x2 y2 + 2 =1 2 a b
A
P(x,y)
V´ F´(-c,0)
O
F(c,0)
V X
A´
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Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, c) y (0, c), la ecuación de la elipse es:
x2 y 2 1 b2 a2
Teorema 7. La ecuación de la elipse de centro el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje x , está
dada por la segunda forma ordinaria
(x h)2 (y k)2 1 a2 b2
Si eje focal es paralelo al eje “ Y”, su ecuación está dada por la segunda forma ordinaria
(x h)2 (y k)2 1 2 2 b a Teorema 8. Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real. CONDICIÓN DE TANGENCIA Teorema 9. La ecuación de la elipse
E
y una recta
tangente L T a E forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática cumple que
ax² + bx + c = 0 . Se
=b² 4ac = 0 (condición de tangencia)
(x h)2 (y k)2 Teorema 10. La ecuación de la recta tangente a la elipse E: 1 en el punto a2 b2
P0(x 0,y0 ) E es
Teorema 11.
LT
(x0 - h)(x - h) (y 0 - k)(y - k) + = 1 . a2 b2
La tangente de pendiente
m a la elipse
E:
x 2 y2 1, tiene por ecuación a2 b2
y = mx a2m2 b 2
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ELIPSE DE EJE INCLINADO
La ecuación de la elipse es E:
d (P,F’) + d(P,F) = 2a
E:
5.5
2 2 2 2 x p y q + x r y s =2a
HIPERBOLA
Definición. Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano, con la propiedad de que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos del mismo plano llamados focos es constante (2a, a 0) . Elementos 1 L F1 , F2 : Focos L F : Eje focal
L N
V1 , V2 : Vértices C: centro. L N : Eje normal.
D E1
F 2
A 1
1
V1V2 : Eje transverso, V1V2 2a
B 1
F 1
B1B 2 : Cuerda.
L 2
V 2 V 1
A1A 2 : Eje conjugado.
LF
P(x,y)
A 2
D 2
E2
E1E 2 : Cuerda focal. L1L 2 : Lado recto
B 2
F1 P, F2P : Radios vectores.
D1 , D 2 : Rectas directrices. ECUACIONES DE LA HIPERBOLA 1. Ecuación de la hipérbola de centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los ejes de coordenadas. Y P(x, y) 1.1 Eje focal el eje X
C(0, 0) : punto medio del segmento F1F2 . Focos: F1 (c, 0) y F2 (c, 0), c constante positiva. F1(-c, 0)
F1P F2 P 2a, a c
V1 C
F2(c, 0)
X
Desarrollando y simplificando se tiene (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) Haciendo b c a 2
2
2
se tiene H
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:
x2 a2
y2 b2
1
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Elementos de la hipérbola Vértices : V1 (a, 0) y V2 (a, 0) F1 ( c, 0) y F2 (c, 0)
Fo cos :
La longitud del eje transverso: 2a Longitud del eje conjugado: 2b 2 b 2
Longitud del lado recto es igual a Excentricidad (e): e
a 2 b2 a
a
x
Directrices:
1.2
c
a
.
1
a e
Eje focal el eje Y
Y
En este caso las coordenadas de los son F1 (0, c) y F2 (0, c) .
focos
Siguiendo el mismo procedimiento anterior, se tiene que la ecuación de la hipérbola es H
y2
:
a2
x2 b2
F1(0,c)
y= x
y= - x V1(0,a) V2(0,-a)
1
X
F2(0,-c) Estas ecuaciones constituyen las ecuaciones canónicas de la hipérbola.
2.
Ecuación de la hipérbola de centro coordenadas.
C(h,k) y ejes paralelos a los ejes de
Eje focal paralelo al eje X La ecuación de la hipérbola con centro C(h, k) y con eje focal paralelo al eje X, esta dado por
H
:
(x h)2 a2
(y k) 2 b2
1 ; a 0 b 0
Focos:
F1 (h c, k)
F2 (h c, k)
Vértices:
V1 (h a, k)
V2 (h a, k)
Ecuación del eje focal: Ecuación del eje normal:
y k x=h
Ecuaciones de las directrices: Ecuaciones de las asíntotas Excentricidad e
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c a
c a 2 b2
x h y
a2 c
b(x h) a
k
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Hipérbola de eje focal paralelo al eje Y La ecuación ordinaria de la hipérbola con centro C(h, k) y con eje focal paralelo al eje Y, esta dado por
H
:
(y k)
2
a2
(x h)
2
b2
1 ; a 0 b 0
Focos:
F1 (h, k c)
F2 (h, k c)
Vértices:
V1 (h, k a)
V2 (h, k a)
Ecuación del eje focal: Ecuación del eje normal:
c a 2 b2
x k y= h
y k
Ecuaciones de las directrices:
y
Ecuaciones de las asíntotas:
a2 c
a(x h) b
k
Distancia focal: 2c Longitud del eje transverso: 2a Longitud del eje conjugado: 2b. Longitud del lado recto
LR
2b 2
a Estas formas reciben el nombre de ecuaciones ordinarias de la hipérbola. Ecuación de la tangente Si P0 (x 0 , y0 ) es el punto de tangencia de la hipérbola H :
(x h) 2 a2
(y k)2 b2
1 , entonces la
ecuación de la recta tangente esta dado por
LT :
(x 0 h)(x h) a
2
(y0 k)(y k) b
2
1
5.6. ECUACIONES CUADRÁTICAS Teorema 10.12. Dada la ecuación general de segundo grado
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Sea el discriminante: = B2 – 4AC, entonces: Si < 0, la ecuación representa una ELIPSE Si = 0, la ecuación representa una PARABOLA Si > 0, la ecuación representa una HIPÉRBOLA
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