PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 2 − CIENCIAS 2013.1
1.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que AD = 24 cm, AC = 16 cm y
2.
AB BC
=
AD CD
. Halla BC.
A. 2 cm
C. 5 cm
B. 4 cm
D. 4,5 cm
En la figura, ∠ BOD = 80° ∠ AOD − ∠ AOB = 12°
halla ∠ BOC. B
A
C
O
D
3.
A. 40° 40 °
C. 56°
B. 45° 45 °
D. 46°
En la figura L1 // L2. Calcula θ. L3
α α
β
L1
β θ
20°
L2 L4
A. 75° 75 °
C.
80°
B. 90° 90 °
D. 100 100° °
4.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B y C. Se toman los puntos medios M y N de AB y
BC respectivamente.
Si 3MN = 2MC
y AB − BN = 2 cm, halla AC.
5.
A. 8 cm
C. 10 cm
B. 4 cm
D.
6 cm
Se tienen dos ángulos, tal que la suma del complemento de la suma de los complementos y
el
suplemento
de
la
suma
de
los
suplementos es 30°. Calcula el suplemento de la suma de dichos ángulos.
6.
A. 30° 30 °
C. 45°
B. 60° 60 °
D. 36°
Se tienen dos ángulos consecutivos ∠ AOB y ∠ BOC; de modo que la suma de las medidas
→
de dichos ángulos á ngulos es e s 76°; 76°; se traza OX OX →
bisectriz del ∠ AOB, OY bisectriz del ∠ BOC, →
→
OR bisectriz del ∠ COX y OS bisectriz del ∠ AOY. Calcula la medida del ∠ ROS.
7.
A. 32° 32 °
C. 19°
B. 38° 38 °
D. 24°
Si L1 // L2, halla x.
2θ 2θ
L1 θ
x θ
3θ L2
θ
A. 90° 90 °
C. 45° + θ
B. 72° 72 °
D. 90° − θ
8.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B; C y D tal que AB = 2CD y BC 2 = AB.CD. 1
Si
9.
CD
+
1
BD
1
=
2
, calcula AB.
A. 7
C. 4
B. 6
D. 2
Se tienen los ángulos adyacentes ∠ AOB y →
→
∠ BOC, siendo los rayos OA y OC rayos
→
→
opuestos. Se trazan los rayos OP y OQ tales que: ∠ AOP ∠ POB
=
2 3
y
∠ COQ ∠ QOB
=
2 3
calcula el suplemento del complemento de la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos ∠ AOQ y ∠ COP. A. 126° 12 6°
C. 132 132° °
B. 120° 12 0°
D. 112 112° °
10. En la figura L1 // L2. Calcula x. 4θ
L1 3θ
2θ
β β
27°
x
γ
γ
L2
A. 132° 13 2°
C. 148 148° °
B. 118° 11 8°
D. 141 141° °
11. Siendo a y b las las medidas de dos ángulos y la suma del complemento de a con el suplemento de 2a es igual a 3/2 del complemento de b y a − b = 24°, calcula el complemento de a. A. 48° 48 °
C. 32°
B. 24° 24 °
D. 28°
12. Se tienen los ángulos consecutivos ∠ AOB y ∠ BOC de tal manera que: ∠ AOB + ∠ BOC = 300°
→
→
se trazan los rayos OP y OQ bisectrices de los ∠ AOB y ∠ BOC respectivamente; luego
→
→
OR
y OS bisectrices de los ángulos AOQ y COP respectivamente. Calcula la medida del ∠ ROS. A. 60°
C. 75°
B. 65° 65 °
D. 80°
13. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; tal que: ∠ COD = 3 ∠ AOC;
∠ BOD − 3 ∠ AOB = 60°
Calcula ∠ BOC. A. 12° 12 °
C. 18°
B. 20° 20 °
D. 15°
14. Sobre
una
recta r ecta
se
tienen
los
puntos
consecutivos A, B, C y D; de tal manera que: AC 3
=
CD 5
y 3BD − 5AB = 72 cm
calcula BC. A. 9 cm
C.
8 cm
B. 12 cm
D. 10 cm
15. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D; determinados por la siguiente relación (AB)(CD) = x(BC)(AD). Además se cumple que: 1
AD
+
x AB
=
calcula el valor de x. A. 6
C. 5
B. 7
D. 9
8
AC
↔
16. Sobre una línea recta X'X se considera el punto O, por dicho punto se trazan los rayos →
→
→
→
OM, OA, OB y ON (todos a un mismo lado de la recta) con la siguiente condición: ∠ MOA = ∠ BOX y ∠ BON = 22° 22 °; además adem ás los
→
→
rayos ON y OM son las bisectrices de los ∠ AOX y
∠ AOX' respectivamente. Calcula
∠ BOX.
A. 56° 56 °
C. 48°
B. 65° 65 °
D. 72°
17. El área
de
un
triángulo
rectángulo
es
numéricamente igual a su perímetro. Además, el doble de la longitud de un cateto es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. El valor del perímetro (en cm) de dicho triángulo es: A. 20
C. 26
B. 24
D. 30
18. Calcula x, si PU = UQ = SU = ST = TU.
R
x
S
P
T
Q U
A. 120° 12 0°
C. 150 150° °
B. 60° 60 °
D.
90°
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO
SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 4 − CIENCIAS 2013.1
1. En la figura: AC − HC = 12
3
cm. Calcula BP.
B H
P
θ
θ
A
C
A. 6
3
cm
C. 6 cm
B. 4
3
cm
D. 4 cm
2. En la figura, AB = BC y BI = CE. Si I es el incentro del triángulo ABC, calcula α. B α
E I A
3.
2α C
A. 30° 30 °
C. 15° 15 °
B. 18° 18 °
D. 24° 24 °
Dado un cuadrado ABCD, por el vértice B se traza una recta exterior; desde C y D se trazan las perpendiculares CF y DE a dicha recta. Si EB = 1 cm y BF = 3 cm, calcula la longitud del lado del cuadrado (B está entre E y F). A. 5 cm
C. 7 cm
B. 6 cm
D. 6,5 cm
4.
En
el
triángulo
ABC
mostrado,
circuncentro. Calcular la medida de
∠
O
es
x.
B 30° 20°
O x
A
5.
C
A. 50°
C. 80°
B. 70°
D. 75°
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 m y 8 m. Halla la distancia del incentro de dicho triángulo a la hipotenusa. A. 4 m
C. 2 m
B. 3 m
D. 1 m
6. En un triángulo ABC, AB = 6 cm; BC BC = 10 cm; se traza
CF
perpendicular a la bisectriz
exterior del ángulo externo con vértice en B; sea M punto medio de AC . Halla FM. A. 8 cm
C. 8,5 cm
B. 9 cm
D. 7,5 cm
7. Una persona realiza un recorrido de la siguiente manera: 8 km al este, luego 10 km al norte, 5 km al sur y finalmente n km al este. Si la distancia desde el punto de partida al punto de llegada es de 5
5
km, determina el valor de n.
A. 5 km
C. 2 km
B. 4 km
D. 3 km
8. En un triángulo ABC, se sabe que BC = 10 m y AC 2 + AB 2 = 250 m 2 . Luego se trazan la mediana AM y la altura AH (M y H en BC ). Si HM = 4 m, halla AH. A. 5
5
m
B. 2
15
m
C. 2
21 m
D. 3 m
9. En la figura, AM = a y MH = b. Calcula BH. BH. B
E A
M
A. (a + b) B. (a + b)
10. Halla (3 +
la 3
C
H
a
C. (a + b)
b b
b a
D. (a + b) (
a
longitud
de
PR,
b a
si
) −1
AB
mide m ide
) cm y además PA = AB = RB . A 60° P
C
B
R
A.
5
cm
C. 2
B.
3
cm
D.
11. En un triángulo ABC,
∠
3 6
cm
cm
BAC = 2
∠
BCA. Por
el vértice B, se traza una recta perpendicular a BC que
intersecta a la prolongación de CA en
J. Si JA = 2 cm y AC = 6 cm, halla AB. A. 2 cm
C. 3 cm
B. 4 cm
D. 6 cm
12. Dado el triángulo ABC, sobre AC se tiene un punto F de modo que AF = 3FC. En el triángulo ABF se traza la mediana AM cuya prolongación
intersecta
a
AM = 17 cm, halla MN. A. B.
17 7 3 2
cm
cm
C.
9 5
cm
D. 2 cm
BC
en
N. Si
13. En la figura, AB = BC, AE biseca el BM
∠
A,
// // AC y EM ⊥ BM . Halla EB, si
AB = 12 cm y BM = 3 cm. B
M
E
C
A A. 6 cm
C. 3 cm
B. 4 cm
D. 5 cm
14. En la figura, BN = 5 cm, CM =
40
cm y, M y N
son puntos medios de AB y AC , respecrespectivamente. Halla BC. B
M
A A.
13
B. 2
C
N
cm
13
C. 4 cm
cm
D. 13 cm
15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH , se toman los puntos M y N en
HB
∠ AMN
A.
1 3
B. 1
y
HC
respectivamente, tal
= 90° y BM = MH. Halla HN/NC. C. 2 D.
1 2
que
16. Calcula “x”
del gráfico,
si ABCD es un
cuadrado.
B
C θ 6 cm
θ
5 cm
4 cm
θ
x θ
A
D
A. 2 cm
C. 4 cm
B. 3 cm
D. 5 cm
17. En la figura, P es punto medio de la mediana AQ
y QR es paralelo a CP . Calcula QR, si CP
= 45 cm. B R Q P A
C
A. 15 cm
C. 22,5 cm
B. 30 cm
D. 20 cm
18. Si la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm y forma un ángulo de 30° con el cateto mayor, entonces la distancia del baricentro al vértice opuesto al cateto menor es: A. B.
5
3 13
5
13 3
cm cm
C. D.
5
3
12 5
cm
13 6
cm
19. En la siguiente figura, halla BD: B
30°
30°
A
D
C
a
A. B.
a
C.
2
a
3
3
D.
a 3
a
2
3
20. En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa mide 2 cm, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de las medianas relativas a los catetos es: A. 10 cm 2
C. 5 cm 2
B. 8 cm 2
D. 2 cm 2
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 5 − CIENCIAS 2013.1
1.
El área de un triángulo rectángulo es numéricamente igual a su perímetro. Además, el doble de la longitud de un cateto es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. El valor del perímetro (en cm) de dicho triángulo es: A. 22
C. 30
B. 18
D. 24
2. Sobre los catetos
AB
y
BC de
un triángulo
rectángulo ABC se ubican los puntos M y N, respectivamente, de modo que el triángulo MBN y el trapezoide AMNC son equivalentes y tienen el mismo perímetro. Si AB = 3 cm y BC = 4 cm, calcula MN. A. B. 2
3.
cm
6
6
cm
C. 5 cm D. 2,5 cm
En un triángulo ABC, el segmento que une el baricentro con el incentro es paralelo al lado AC. Si AC = 8 cm y el inradio mide 2 cm, calcula el área de la región triangular ABC. A. 21 cm 2
C. 16 cm 2
B. 24 cm 2
D. 28 cm 2
4. Si G es el baricentro del triángulo ABC cuya área mide 72 m 2 , halla el área del triángulo AGB. A. 18 m 2
C. 30 m 2
B. 24 m 2
D. 36 m 2
5.
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se construye exteriormente el cuadrado ACDE, si AB = 7 cm y BC = 4 cm, halla el área de la región triangular ABD.
6.
A. 32,5 cm 2
C. 42,5 cm 2
B. 38,5 cm 2
D. 48,5 cm 2
El lado de de un triángulo equilátero mide 6
6
m.
El triángulo es cortado por dos paralelas a uno de los lados que divide al triángulo en tres figuras de áreas iguales. Calcula la longitud de la paralela más próxima al lado paralelo del triángulo.
7.
A. 8 m
C. 2
B. 10 m
D. 12 m
6
m
En el gráfico, la razón entre el área de la región sombreada y la región triangular ABC de baricentro G es: B
G
A
C
A. 2/9.
C. 5/9.
B. 2/5.
D. 1/3.
8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB = 6 m y BC = 9 m. Se toma un punto P en AB
y otro Q en
BC
tal que 2AP = AB y
3QC = BC, halla la longitud de A. B.
5
3
m 5
C. 4 m
D. 2
5 5
PQ .
m m
9.
En un un triángulo rectángulo, el pie de la perpendicular, trazada desde el baricentro a la hipotenusa, la divide en dos segmentos que miden 6 cm y 8 cm. Halla la longitud de la altura relativa a la hipotenusa del triángulo. A. 3
10
B. 2
5
cm
cm
C. 3
5
cm
D. 2
10
cm
10. Se tiene un triángulo ABC, recto en B, cuyas medianas
y
AM
BN
se cortan perpendi-
cularmente. Si AB = 1 m, calcula el perímetro del triángulo ABC. A. (1 +
2
+
3
)m
B. (1 +
2
+
6
)m
C. (1 + D. (1 + 2
11. Se
+
3
2
tiene
6
)m
)m
un
triángulo
(AB = BC). Si AC = AH
=
isósceles 6
ABC
cm y la altura
5 cm, halla halla AB.
A. 2,5 cm
C. 2 cm
B. 1,5 cm
D. 3 cm
12. En un triángulo ABC, recto en B, se toma un punto H en AC y se trazan las mediatrices de AH y HC que cortan a AB y BC en M y N, respectivamente. Si AM = 3 cm y NC = 4 cm, calcula MN. A. 7 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 4 cm
13. Se quiere tender
un cable
a lo
largo
del perímetro de un terreno triangular de vértices A, B y C, recto en B. Si se sabe que AC = 25 m, que la altura relativa a
AC mide
12 m y que el precio de 1 m de cable es $ 0,3, ¿cuánto
costará
comprar
necesario? A. $ 6
C. $ 12
B. $ 9
D. $ 18
todo
el
cable
14. En la figura, determinar d eterminar el perímetro del polígono ABCDEF. F 8
2
E
A
8 2 3
a 3 2a C
B
B. C. D.
a 3
(3
2a 3
a 3
a 3
a
D 60°
A.
a
3
(3
+9+
3
2
)
+ 9 + 29
(3
3
+ 58
(3
3
+ 9 + 58
2
)
2
) 2
)
15. Se sabe que el lado del triángulo equilátero ABC mide 15 cm. Si RT // AB
PT
//
BC , QT
, halla PT + QT + RT. B P T
A
Q
C
R
A. 7,5 cm
C. 15 cm
B. 12 cm
D. 30 cm
//
AC
y
16. En la figura, M y N son puntos medios de AB
y
AD
respectivamente. Los lados del
rectángulo miden AB = 8 cm y AD = 12 cm. Halla el área del cuadrilátero NPOQ. C
B O
M
P
Q
A
D
N
A. 14 cm 2
C. 12 cm 2
B. 8 cm 2
D. 10 cm 2
17. ¿Cuál es la longitud de la línea quebrada B|EFD construida en el rectángulo ABCD donde AB = 6 cm y BC = 8 cm? C
B F
E D
A A. 10,8 cm
C. 12,4 cm
B. 11,6 cm
D. 7,6 cm
18. Si
al
suplemento
del
suplemento
del
suplemento de la medida de un ángulo se le añade el complemento del complemento del complemento del doble de la medida de dicho ángulo, se obtiene el triple de la medida del ángulo mencionado. Halla el complemento del ángulo. A. 60° 60 °
C. 30° 30 °
B. 45°
D. 55
19. En la figura, calcula
DF BC
, sabiendo que AB = 39 m
y AC = 65 m. B F
A A. B.
C
D
2
C.
3 3
D.
5
16 25 12 25
20. Calcula la razón entre las áreas del paralelogramo APGQ y el triángulo ABC, si se sabe que G es el baricentro del triángulo ABC. B
P
G
A A. 1/3 B. 1/6
C C. 2/9 D. 2/5
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 6 − CIENCIAS 2013.1
1.
En un cuadrado ABCD de lado L, se toman M y N puntos medios de mente. Si
DM
y
AB
y
DN cortan
BC respectiva-
a
AC en
P y Q
respectivamente, calcula el área de la región PMBNQ. A. B.
2.
L
2
C.
6
L
2
L
2
4 2
D.
3
2 L 9
La figura muestra un pedazo de tripley, el cual será pintado: ABD de azul, BDM de rojo y DMC de blanco. Si D es punto medio de
AC ,
BM = 20 cm y MC = 16 cm, halla la relación entre el área de la región pintada de blanco y el área de la región pintada de azul. B
M
A
3.
C
D
A. 2/5
C. 2/3
B. 4/9
D. 1/2
En la figura, I es el incentro del triángulo ABC. Si
∠ ADB
= 111 ° y ∠ AHB = 93°, calcula ∠ C. B
H I A
C
D
A. 72°
C. 86°
B. 74°
D. 76°
4.
En un triángulo triángulo ABC, AB = 20 m, ∠
∠
C = 45°. Si se traza la ceviana
A
≈
37° y
AN tal
que
3 BN = 4 NC, calcula aproximadamente el área de la región triangular ABN.
5.
A. 96 m 2
C.
B. 192 m 2
D. 108 m 2
En
la
figura
72 m 2
mostrada
BN
=
3
cm
y
NC = 11 cm. Halla AB.
Q θ
B
θ
N A
C
M
A. 7 cm
C. 8 cm
B. 6 cm
D. 9 cm
6. En el gráfico, halla BC, BC, siendo AB = 12 cm y AH = 4 cm. B
A
C
H
A. 12
2
cm
C. 24
2
cm
B. 10
2
cm
D. 20
2
cm
7.
En un trapecio rectangular ABCD, ABCD, recto en A y B, se traza PQ paralela a BC (P en AB y Q en CD ). Si
∠
AQD = 90°,
BP
PA
=
2
3
=
QD 4
y
AD = 8 cm, halla BC. A. B.
8.
12 5 13 6
cm
C.
cm
D.
13 7 12 7
cm cm
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B; la la perpendicular levantada por A a
AC intersecta
a la bisectriz interior del ángulo C en F. Halla AF ,
si AB = 8 cm y BC = 6 cm.
A. 4 cm
C. 6 cm
B. 5 cm
D. 7 cm
9. Rosa compró en el 2008 un terreno de forma cuadrada de 3 600 m 2 y, al año siguiente, adquirió el terreno contiguo triangular de lados iguales como se muestra en la figura. Si dificultades económicas obligaron a Rosa a vender el área de la región ADE, halle dicha superficie. B
C
E
A
D
A. 450 m 2
C. 900
B. 900 m 2
D. 1 800 m 2
3
m2
10. En la figura, el e l área sombreada sombr eada es igual a 350 cm 2 . Halla el área del triángulo CFG. V 5 cm
G 4 cm
F
3 cm
E
A3 cm B 5 cm C
2 cm
D
7 cm
A. 210 cm 2
C. 350 cm 2
B. 140 cm 2
D. 630 cm 2
11. El ángulo A de un triángulo ABC mide 75 °; sobre la altura BH se ubica el punto O de modo que AC = BO. Si M y N son puntos medios de AB y
OC
respectivamente, halle
∠AMN.
A. 44°
C. 60°
B. 70°
D. 40°
12. Halla el área del triángulo ABC. 6 cm
B
D
α
α
A
2 cm
C
H
A. 60 cm 2 B. 24 cm 2
C. 40 cm 2 D. 30 cm 2
13. En un triángulo rectángulo rectá ngulo ABC, se traza tra za la altura BH relativa a la hipotenusa. Si HC = 2AB, halla A.
2
B.
2
‒1 +1
BC BH
. C.
2 /
D.
2
2
+2
14. Dos
medianas
de
un
triángulo
cuyas
longitudes son 12 cm y 6 cm, forman un ángulo de 60°. Determina el área de dicha región triangular. A. 72 cm 2
C. 18
3
cm 2
B. 12 3 cm 2
D. 24
3
cm 2
15. En la figura, halla h alla el área de la región sombreada. B P 10 cm 53° A
C
Q 20 cm
A. 96 cm 2
C. 72 cm 2
B. 24 cm 2
D. 62 cm 2
16. Se tiene un cuadrado ABCD, en AD se ubican los puntos E y F tal que AE = 3 cm, EF = 2 cm y FD = 1 cm. Halla la longitud del segmento determinado en A. B.
6
2
11 8
2
11
AC por BE y BF .
cm
C.
cm
D.
3 2 11 8
5
13
cm cm
17. Se tiene un triángulo rectángulo y sobre sus catetos se construyen exteriormente dos triángulos equiláteros cuya suma de sus áreas es 90 m 2 . ¿Qué área tiene el triángulo equilátero construido exteriormente sobre la hipotenusa? A.
45 m 2
B. 180 m 2
C. 120 m 2 D.
90 m 2
18. Por el baricentro G de un triángulo equilátero ABC, se traza una recta secante que interseca a AB y
BC
en P y Q respectivamente. Si
PB = 20 cm y BQ = 30 cm, halla AP + QC. A. 22 cm
C. 24 cm
B. 16 cm
D. 20 cm
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO
SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 7 − LETRAS 2013.1 1. En un polígono regular el número de diagodiagonales que se pueden trazar desde un vértice es 27. Calcula la medida del ángulo exterior. A. 15°
C. 18° 18 °
B. 12°
D. 20° 20 °
2. Si los ángulos externos e internos de un polígono regular se encuentran en la relación de 2 a 7, el polígono se denomina: A. hexágono.
C. dodecágono.
B. pentágono.
D. nonágono.
3. El área de un cuadrado es 2 304 cm 2 . Calcula el área del hexágono regular que tiene igual perímetro que el cuadrado mencionado. A. 1 236
3
cm 2
C. 1 536
3
cm 2
B. 1 320
3
cm 2
D. 1 982
3
cm 2
4. Calcula el perímetro del polígono regular cuyo lado mide 5 m, si tiene en total 35 diagonales. A. 25 m
C. 35 m
B. 30 m
D. 50 m
5. En un hexágono regular ABCDEF de lado 10 m, calcula el perímetro del triángulo BDF. A. 30
3
B. 30 m
m
C. 15 m D. 15
3
m
6. Determina el número de lados lados de un polígono cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos. A. 6
C. 9
B. 8
D. 10
7. Halla la relación en la que se encuentran los perímetros de un triángulo equilátero y un hexágono regular circunscritos a una misma circunferencia. A. 2 B.
8.
3 2
C. D.
4 3 5 3
En un polígono regular la suma de los ángulos interiores excede en 720° a la suma sum a de los ángulos exteriores. ¿De qué polígono se trata?
9.
A. Pentágono
C. Heptágono
B. Hexágono
D. Octógono
Si la circunferencia mayor tiene radio “a”, ¿cuál es el valor del lado del cuadrado menor?
A. 2a
C. a/2
B. a
D. 3a/2
10. En la región interior a un hexágono regular ABCDEF se construye el pentágono regular APQRF. Calcula la medida del ángulo BFP. A. 5°
C. 9°
B. 6°
D. 10° 10 °
11. En la figura, BC = CD = DA, ∠A
∠C
= 60° y
= 45°. Calcula el ángulo x.
B C
x
D
A A.85 A.85°
C. 75°
B.65 B.65°
D. 60°
12. En un hexágono regular ABCDEF, ABCDEF, M es punto medio de
CD .
Calcula la longitud de AM , si el
perímetro del hexágono mide 12 cm. A. 2 B.
13
11
cm
cm
C.
13
cm
D. 10 cm
13. En un cuadrado se inscribe un octógono regular. La razón entre el perímetro del cuadrado y el perímetro del octógono regular es: A. B.
2 −1 2 2
+2
C. D.
2 − 1 2 +1 2
14. El número de diagonales de un polígono regular es igual a la suma del número de vértices, número de lados y número de ángulos centrales. Halla el número de lados de dicho polígono. A. 6
C.
9
B. 8
D. 12
15. En un polígono regular se cumple que las sumas de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior interi or es 210°. 210°. Calcula el número total de diagonales. A. 12
C. 30
B. 27
D. 54
16. Se tiene un decágono decágono regular ABCDE. Halla la la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de AB y ED . A.
36°
C. 54° 54 °
B. 108 108° °
D. 72° 72 °
17. En un trapecio rectangular ABCD, recto en A y B, se traza PQ paralela a BC (P en AB y Q en
CD ).
Si
∠
AQD = 90°,
BP
=
2
PA 3
=
QD 4
y
AD = 8 cm, halla BC. A. B.
12 5 13 6
cm
C.
cm
D.
13 7 12 7
cm cm
18. Si el número de lados de un polígono convexo disminuye en 2, el número de diagonales del nuevo polígono es menor en 15. Calcula la suma de las medidas de ángulos internos del polígono original. A. 1 440 440° °
C. 1 320 320° °
B. 1 200 200° °
D. 2 160 160° °
19. Desde
un
punto
P
exterior
a
una
circunferencia, se trazan dos secantes PBC y PDE a una circunferencia cuyo radio mide Si
BD = R R 2
y
CE = R R 3
, calcula ∠ CPE.
A. 20°
C. 25° 25 °
B. 15°
D. 30° 30 °
R R .
20. Halla el área de la región sombreada, en el hexágono regular de lado 2 cm. B
C
A
D
F A. B.
3 3 2
cm 2 3
cm 2
E C. 3
3
cm 2
D. 4
3
cm 2
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 8 − CIENCIAS 2013.1
1.
Una circunferencia es tangente a los lados AB y AD de un rectángulo ABCD, pasa por el vértice C e intersecta a
CD en
un punto N. Si
AB = 9 cm y AD = 8 cm, calcula el área de la región interior al rectángulo y exterior a la circunferencia. A. (48 − B. (36 − C. (48 − D. (36 −
25 π 2 25
π)
cm 2
π)
cm 2
π)
cm 2
2 13 2 13 2
) cm 2
2. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 cm. Hallar la longitud del lado del cuadrado EFGH. B
C F
A
3.
G
E
H
D
A. 6 cm
C. 8 cm
B. 3 cm
D. 7,5 cm
En la figura: LC = 12 cm y DE DE = 8 cm. cm. Halla BL. B
D L F
θ
A
θ
E
A. 3 cm
C. 4 cm
B. 2 cm
D. 2,5 cm
C
4.
ABCD es un romboide y FB = 2 cm. Si además además Q y R son puntos medios de
BC
y AD
respectivamente, calcula QO. Q
B
C
θ
F O θ
A
5.
D
R
A. 0,8 cm
C. 1,5 cm
B. 1 cm
D. 1,8 cm
En la la figura, si AOB es un cuadrante de radio R, calcula el área de la región sombreada. A
M
N 30° 30° 30°
B
O A. B.
6.
R
π
2
12
R
π
8
u2
C.
u2
D.
2
R
π
2
10
R
π
u2
2
u2
7
En el gráfico mostrado ABCD es un un paralelogramo cuya área mide 120 cm 2 . Calcula el área de la región sombreada. B
C Q N
P A
M
D
A. 40 cm 2
C. 30 cm 2
B. 35 cm 2
D. 28 cm 2
7.
Las bases bases de un trapecio miden 3 cm y 9 cm, los lados no paralelos miden 4 cm y 6 cm. Una recta paralela a las bases divide al trapecio en dos trapecios de igual perímetro. Halla la razón en que quedan divididos los lados no paralelos.
8.
A. 3:1
C. 2:1
B. 5:1
D. 4:1
En un romboide ABCD, la mediatriz de intersecta a
BC
CD
en su punto medio M y
luego se traza MH perpendicular a AD . Si AH = 8 cm y HD = 2 cm, calcula el área de la región ABCD.
9.
A. 8
21
cm 2
C. 8
B. 10
21
cm 2
D. 10
19
cm 2
19
cm 2
En la figura se tiene que OAB es un cuadrante y OMNP es un rectángulo. Si AM = 1 cm y PB = 2 cm, halla el radio de la circunferencia que puede inscribirse en el triángulo mixtilíneo PNB. A M
O A. 4(
5
B. 4(
5 −
N
B
P
+ 2) cm
C. 8(
5 − 2)
2) cm
D. 8(
5
cm
+ 2) cm
10. Los catetos de un triángulo miden 6 cm y 8 cm. Halla la distancia del incentro al circuncentro del triángulo. A.
3
cm
B. 2 cm
C.
5
cm
D. 2,5 cm
11. Si se triplica el número de lados de un polígono, la suma de sus ángulos internos queda quintuplicada. Halla el número de lados de dicho polígono. A. 4
C. 6
B. 3
D. 8
12. En la figura,
AC
y AD son diámetros. Si
BM = MH y (AH)(CD) = 27 cm 2 , calcula BH.
B
M
A
H C
O
A. 3
2
cm
C. 6 cm
B. 6
2
cm
D. 6
3
D
cm
13. En un rectángulo MNPQ (NP < PQ), R T∈
MQ ,
∈ PQ ,
tal que ∠NRT = 90°.
Si : = {S},
NQ ∩ RT ∠RNS
= ∠RQS,
NP = 9 cm y SR = 6 cm, halle NT. A. 5
7
cm
C. 6
7
cm
B. 7
7
cm
D. 3
7
cm
14. En un triángulo ABC, AB = 5 cm, B = 15 cm y ∠ABC
= 106°. Halle la distancia del punto
medio de
AC
a la bisectriz del ángulo B. B.
A. 5 cm
C. 4 cm
B. 3 cm
D. 2,5 cm
15. En la figura, EF = 4 m. Calcula el área del círculo inscrito. B
C E
F
A A. 2 B.
5
m2
5 π m
2
D C. 5 π m 2 D. 10π m 2
16. En un rectángulo la distancia entre los pies de las
perpendiculares
trazadas
desde
los
vértices opuestos del rectángulo sobre una diagonal que une los otros dos vértices es 8 cm. Si el lado menor del rectángulo mide 8 cm, halle el lado mayor. A. 8
2
cm
B. 16 cm
C. 8
3
cm
D. 10 cm
17. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa
determina
sobre
esta,
dos
segmentos que están en relación 9 a 16. Si el cateto menor mide 39 cm. Calcula la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A. 12 cm
C. 11,7 cm
B. 20,8 cm
D. 31,2 cm
18. En el rectángulo mostrado ABCD, se tiene que: AM = MN = ND. Si AC = 10 cm, halla EF. B
C
F E A
N
M
A. 5 cm
C. 3,5 cm
B. 4 cm
D. 4,5 cm
D
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 9 − CIENCIAS 2013.1
1.
En la figura AQ = 52 cm, AP = 48 cm, P, T y B son puntos de tangencia. Calcula la longitud BC. C T
Q
A
2.
P
B
0
A. 52 cm
C. 45 cm
B. 48 cm
D. 42 cm
Halla el área de la región sombreada en la figura.
B
M
40 cm 2
P 84 cm 2
30 cm 2
A
W
35 cm 2
C
N
A. 56 cm 2
C. 66 cm 2
B. 72 cm 2
D. 52 cm 2
3. La altura de un prisma triangular regular ABC
− DEF
mide 3 cm. El plano AEF forma
con el plano de la base DEF un ángulo de 45°; 45°; calcula el área de la superficie total de prisma. A. 36
3
cm 2
C. 12
3
cm 2
B. 24
3
cm 2
D. 24
5
cm 2
4. Las aristas básicas de un paralelepípedo miden 4 cm y 6 cm, y su altura mide 8 cm. Por la mayor arista básica se traza un plano que es secante al sólido y forma con la base un ángulo diedro de 37° . Calcula el volumen de la mayor parte en que ha quedado dividido el sólido.
5.
A. 165 cm 3
C. 144 cm 3
B. 148 cm 3
D. 156 cm 3
El un cuadrilátero ABCD las prolongaciones de BC y AD se intersect intersectan an en E. E. Calcula Calcula DE, DE, si AB = 3 cm, CD = 2 cm y AD = 4 cm; además ∠ ABC
6.
=
∠ BCD.
A. 8 cm
C. 6 cm
B. 4 cm
D. 9 cm
Partiendo de un vértice de un paralelepípedo de dimensiones 6 cm; 6 cm y 8 cm, se trazan las diagonales de dos caras vecinas y se unen los extremos de las diagonales trazadas. Calcula el área de la región formada por estas diagonales.
7.
A. 2
21 cm
2
C. 4
41
cm 2
B. 4
21 cm
2
D. 6
41
cm 2
Halla el volumen volumen de un rectoedro, sabiendo que las diagonales de las caras miden 34
A.
cm,
58
75 cm 3
B. 105 cm 3
8.
cm y
74
cm.
C. 100 cm 3 D.
83 cm 3
El desarrollo desarrollo de la superficie lateral de un prisma cuadrangular regular es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio R. Calcula el volumen del sólido. A. B.
R
3
3
27
R
3
8
2
u3
C.
u3
D.
R
3
3
9
R
3
16
2
u3 u3
9.
Un prisma recto tiene por por bases cuadrados inscritos en circunferencias de radios R. La superficie lateral es igual a nR 2 . Calcula la altura del prisma. 2 nR
A.
8 2 nR
B.
2 nR
C.
4 2 nR
D.
6
12
10. Halla el volumen de un prisma regular de base cuadrangular sabiendo que la distancia del centro de una base al centro de una cara lateral es 5 cm. Además, la distancia del centro de la misma base a un vértice de la otra base es 8 cm. 72
7
cm 3
C. 123
3
cm 3
B. 132
6
cm 3
D. 144
7
cm 3
A.
11. En la figura se muestra un paralelepípedo rec1
tangular. Si BC =
2
AB, AB =
2 3
CG, halla la
relación relación entre GI y BC . H
G I
E
F C
D A A. B.
4
35
7 3
35
7
B C. D.
2
35
21 1
35
7
12. Calcula el volumen de un prisma triangular recto si la base es un triángulo rectángulo circunscrito a una circunferencia que determina sobre la hipotenusa dos segmentos de 6 cm y 4 cm. Además, la arista lateral mide 10 cm. A. 120 cm 3
C. 200 cm 3
B. 240 cm 3
D. 100 cm 3
13. La arista lateral de un paralelepípedo rectangular mide 4 cm y las otras dos medidas están en relación de 1 a 3. Si el área total es 88 cm 2 , calcula, en cm 3 , el volumen del paralelepípedo. A. 32
C. 21
B. 48
D. 36
14. En la figura se tiene una semicircunferencia de diámetro AB . Si AP = 8 cm y AM = 6 cm, calcula MN. P N M
A A. B.
H 15 4
cm
C.
3 cm
14 3
B
cm
D. 2,75 cm
15. En un trapecio isósceles la suma de las bases es 24 cm y su altura mide 5 cm. Calcula la suma de las longitudes de las diagonales. A. 20 cm
C. 28 cm
B. 26 cm
D. 32 cm
16. Halla la longitud de la altura trazada desde M en el triángulo QMR; si en el triángulo PQR, obtuso en Q, se trazan la bisectriz interior y las alturas
PS
y RT respectivamente con
PS = m y RT = n. A. B.
mn m−n m−n mn
QM
C. D.
mn m+n m+n mn
17. En el
gráfico
mostrado,
calcula
AP, si:
DR = 8 cm y RT = 2 cm. Además: DQ = 5 AQ. T R P
Q
A
0
D
A. 3,2 cm
C. 4,8 cm
B. 4,5 cm
D. 3,6 cm
18. Es un cuadrado ABCD se traza (P
∈
BC ,
Q
∈
AD
PQ ⊥ AD
) intersectando a la
semicircunferencia de diámetro
AD
en el punto
F (F en el interior del cuadrado). Si AF = 6 cm y la distancia de B al segmento
AP
es 2 cm,
halla AP. A. 12
2
cm
C. 16 cm
B. 18 cm
19. En
La
D. 36
figura,
R = (3 + 2
2
ABCD
2
cm
es
un
cuadrado c uadrado
) cm. Calcula el área del círculo
de centro F, tangente a
BC y
a los arcos de
circunferencia. B
C
F
O R
D
A
A. B.
2π 2
cm 2
2 π cm
2
C. π cm 2 D.
π
2
cm 2
20. En la figura, AB es diámetro, QC = 4.AM y (PM) (PQ) = 16 cm 2 . Calcula QC. P
C
Q A
B
M
A. 5 cm
C. 7 cm
B. 6 cm
D. 8 cm
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 10 − CIENCIAS 2013.1
1. Se tiene una esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular. Cada arista lateral de la pirámide mide 3 mide 6
2
5
cm y la diagonal de la base
cm. Calcula el volumen del sólido
comprendido entre la pirámide y la esfera. A. 4
(3 − π) cm 3
3
B. 12
3
C. 4
3
(6 − π) cm 3
(3 − π) cm 3 D. 4
3
(9 − π) cm 3
2. En un octógono regular ABCDEFGH de lado a, las diagonales
BE
y
DH
se cortan en L.
Calcula AL. A.
3 2
B. a
a
2
C. a D.
3
2 3
2
a
6
3. En un triángulo rectángulo ABC, ABC, recto en B, se traza la mediatriz de la mediana a
BC
BM
que corta
en P. Calcula el mayor ángulo del
triángulo MPC, sabiendo que ∠ BAC = 70°. A. 100° 10 0°
C.
95° 95 °
B. 110° 11 0°
D. 120 120° °
4. Hallar el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado.
B
C
O1
A
6 cm
O2
D
A. 6π cm
C. (8π + 4) cm
B. (6π + 4) cm
D. (8π + 2) cm
5. Si el perímetro de la figura figura mide (6 + 2π) m y las tres circunferencias mostradas tienen el mismo radio, hallar el área de uno de los círculos.
A. 4π m 2 B.
π m
C. 36π m 2
2
D. 9π m 2
6. En el gráfico P, S y Q son puntos de tangencia. tangencia . →
→
Si L1 // L2, PB = 9 cm y AS = 4 cm, calcula el área de la región sombreada. P B
L1
S A
L2
Q
A. 8(14 − 3π) cm 2 B. 6(13 − 3π) cm 2 C. 8(13 − 3π) cm 2 D. 6(14 − 3π) cm 2
7. En la figura mostrada, el triángulo triángulo ABC es isósceles. O es el centro de la semicircunferencia y
MN
es tangente a la semi-
circunferencia. Si AM = a y NC = b, halla AC. B
N M
A A. B. 2
ab
ab
C
O C. D.
a a
2
2
+ b +b
4
2
2
8. En un triángulo ABC, la mediana
AM
interseca
a la ceviana BP en O. Si las áreas de los triángulos AOB y AOP son de 17 cm 2 y 7 cm 2 respectivamente, halla el área del triángulo POC. A. 10 cm 2
C. 12 cm 2
B. 11 cm 2
D. 15 cm 2
9. La altura de un prisma triangular regular ABC
− DEF
mide 3 cm. El plano AEF forma
con el plano de la base DEF un ángulo de 45°; 45°; calcula el área de la superficie total de prisma. A. 36
3
cm 2
C. 12
3
cm 2
B. 24
3
cm 2
D. 24
5
cm 2
10. Las aristas básicas bás icas de un paralelepípedo miden 4 cm y 6 cm, y su altura mide 8 cm. Por la mayor arista básica se traza un plano que es secante al sólido y forma con la base un ángulo diedro de 37° . Calcula el volumen de la mayor parte en que ha quedado dividido el sólido. A. 165 cm 3
C. 144 cm 3
B. 148 cm 3
D. 156 cm 3
11. Calcula el volumen de un cilindro circular recto, si el desarrollo de su superficie lateral es un cuadrado de lado a. A. B.
a
3
4π a
u3
C.
u3
D.
3
2π
a
3
8π a
u3
3
3π
u3
12. En la figura, AC = 8 m y AD = 18 m. Calcule AB, si
CB
y
DB son
tangentes.
A D
C
B A. 10 m
C. 14 m
B. 12 m
D. 8
13. En el
2
m
triángulo rectángulo
ABC que
se
muestra: QR = RC, BC = 17 cm y HC = 15 cm. Calcula PQ. B
P
A
Q
H
R
A. 1,5 cm
C. 2,5 cm
B. 1 cm
D. 2 cm
C
14. Al aumentar en 6 m el radio de un cilindro circular recto, su volumen aumenta en x m 3 . Si la altura del cilindro original se aumenta en 6 m, el volumen queda aumentado igualmente en x m 3 . Calcule el radio original del cilindro, si la altura original mide 2 m. A. 3 m
C. 6 m
B. 4 m
D. 2 m
15. En un romboide ABCD, la mediatriz de intersecta a
BC
luego se traza
CD
en su punto medio M y
MH
perpendicular a
AD
. Si
AH = 8 cm y HD = 2 cm, calcula el área de la región ABCD. A. 8
21
cm 2
C. 8
19
cm 2
B. 10
21
cm 2
D. 10
19
cm 2
16. Los catetos de un triángulo miden 6 cm y 8 cm. Halla la distancia del incentro al circuncentro del triángulo. A.
3
cm
C.
B. 2 cm
5
cm
D. 2,5 cm
17. Si el área del cuadrado ABCD mide 16 m 2 , calcule el perímetro de la región sombreada. B
C
A
D
A. 8π m B. 12π m
C. 16π m D. 25π m
18. El lado del cuadrado ABCD es a. Cada cuadrado se forma con los puntos medios del cuadrado anterior. Determina el área de la región sombreada.
A. ( B.
a
C
A
D
2
4
a
B
) u2
C.
2
8
u 2
D.
a
2
16 a
u 2
2
32
u 2
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 11 − CIENCIAS 2013.1 1.
Si sec θ =
7 (θ:
agudo); calcula:
P = tan 2 θ +
2.
42
sen θ
A. 10
C. 14
B. 12
D. 18
En un triángulo rectángulo ABC ABC recto en B, se cumple que 3 tan A = 2 csc C; C; calcula: M=
3.
5
tan A + 6 sec C
A. 5
C.
9
B. 7
D. 11
En el gráfico se cumple AD = DE = EB. Halla P=
(tan θ + tan β ) cot α .
C
A
β
θ
α
D
E
A. 1
C. 3
B. 2
D.
2
B
4.
La altura de un cono circular recto es h y el ángulo formado por dos generatrices y un diámetro es 2α como se muestra en la figura. Halla en función de h y de α, el radio de la esfera circunscrita al cono.
2α
O
5.
A. 0,5 h sen 2 α
C. 0,5 h sec 2 α
B. 0,5 h cos 2 α
D. 0,5 h csc α
Una antena de radio de 15 m de longitud se encuentra en la azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base el edificio las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son α y β respectivamente.
Si
tan
α =
0,76
tan β = 0,19, determina la altura del edificio.
6.
A. 5 m
C. 7 m
B. 6 m
D. 8 m
Si ABCD es un cuadrado, calcula: E = tan φ + cot φ. B
C
φ
2
1
3 D
A A. 19/6
C. 17/6
B. 13/6
D. 11/6
y
7. En un triángulo ABC (C = 90°) se cumple cumple que: B 2 tan A = A 4 + cot 2 2 + cot
Calcula: 2
W=
sec B − cot A 4
+
2
csc A
A. 1
C. 1/3
B. 1/2
D. 2
8. En la figura, AB = 4 cm y BD = DC. Halla tan α. C α
D
30°
A
B
A.
3 /
9
C.
3 /
5
B.
3 /
6
D.
3 /
4
9. En la figura mostrada ∠ ABC = 90°. Si tan A =
12 11
x y 10(6c − b) = b − c, calcula x. C
b a
A
c
B
A. 5
C. 3
B. 2
D. 6
10. En la figura mostrada AB = BC. Si M es punto medio de A
, halle tan α.
A
M
D
60° B
A. B.
C
6 +
3
C.
11 4+
3
D.
11
6 −
3
11 4 −
3
11
11. En la figura O es el centro de los sectores sector es circulares AOB y DOE. Si S y 2S son las áreas de las regiones sombreada, calcula x/y.
S
D
E
A
B
x
2S y
O
A. B.
(2 +
6)
2 ( 6 − 2) 2
C.
6 /
D. 1/2
2
12. En el gráfico mostrado ABCD es un rectángulo. Además se sabe que
CE = 2 ED = 2 cm.
calcula AG en términos de θ. B
C
θ F
E A
D
G
A, 2 sen θ tan θ
C. 3 sen θ cos θ
B. 2 sen θ cos θ
D. 3 sen θ tan θ
13. Una persona de 1,8 m de estatura observa la parte superior de un edificio de 21,8 m de altura con un ángulo de elevación θ. En la misma dirección la persona se acerca 12 m al edificio, y el nuevo ángulo de elevación con que
observa
el
mismo
punto
es
el
complemento de θ. Calcula : P = 10 tan θ + 3 A. 9
C.
B. 109
D. 12
126
14. Dado el cuadrado ABCD, determina cot θ, además: 4EC = AD. C
B θ
E
D
A A. 3
C. 2
B. 1
D. 1/2
15. La diferencia entre los volúmenes de dos es3
feras concéntricas es 60π cm . Si la menor tiene 1 cm de radio, ¿cuál es el volumen de la esfera mayor? 184
A.
184π cm 3
C.
B.
61π cm 3
D. 184 cm 3
3
π cm 3
16. En la figura, halla A2 / A1.
4a
5b A1 7b
6a
A2
A. 2
C. 4
B. 3
D. 5
17. En la figura mostrada, AOB es un cuarto de circunferencia. Si OD = 2CD, halla cot θ. A θ
O A.
6
B.
8 ‒
D
+2
C.
5
+2
2
D.
11 ‒ 2
B
18. En la figura, A; B y C son puntos de tangencia. Si AL // CE y el área de la región triangular OLE es A, calcule el área del circulo de centro O.
A O
C 30°
L
A. B.
B
π 3 Α 4 2π Α 3
C. D.
E
π 3 Α 2 3π Α 4
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 12 – CIENCIAS 2013.1
1.
ABCD es un paralelogramo y O es el centro de la
circunferencia. Halla
el área del
paralelogramo, si AE = 5 cm y ED = 3 cm.
C
B
O A
A. 2 39 cm 2 B.
2.
39 /
2 cm 2
D
E C. 4 39 cm 2 D. 39 cm 2
Determina x en el gráfico, siendo AB = m y BC = n.
B
C
θ
A
D x
A. m sen θ + n cos θ B. m tan θ + n sec θ C. (m + n) sen θ cos θ D. m cos θ + n sen θ
3.
Simplifica: E = (sen x + cos x + 1)(sen x + cos x − 1) A. sen x cos x
C. 2 sen x cos x
B. 2 sen x
D. 2 cos x
4.
En el gráfico mostrado, halla la medida de A
, siendo DB = 120 cm.
C
A
5.
60°
30°
B
D
A. 50 3 cm
C. 60 3 cm
B. 40 3 cm
D. 30 3 cm
En la figura mostrada: L1 // L2 // EC. Si BC = 1 cm y CD = 2 cm, halle AB.
E
A
B L1
6.
D
C L2
A. 3 cm
C. 3,5 cm
B. 4 cm
D.4,5 cm
José está en la azotea del edificio donde vive, cuya altura mide 120 m. En cierto instante observa que un auto se acerca a la base de su
edificio
a
velocidad
constante.
Si
inicialmente lo observa con un ángulo de depresión de 37° y 7 segundos después con un ángulo de depresión de 53°, ¿con qué velocidad aproximadamente se acerca el auto? A. 10 m/s
C. 20 m/s
B. 15 m/s
D. 22 m/s
7.
Se tiene un recipiente en forma de pirámide hexagonal regular cuyo apotema de su base y su arista lateral miden 3 3 cm y 6 5 cm, respectivamente. Halle el volumen de agua que puede llenar todo el recipiente. A. 160 3 cm 3
C. 300 3 cm 3
B. 216 3 cm 3
D. 648 3 cm 3
8. Si: A=
sen
2
45° + cos 60° csc 30°
B = (sec 53° + tan 53°) cos 60° C = (tan 2 60° + 5 sen 37°) sen 30° calcula aproximadamente A + B + C. A. 6
C. 2
B. 5
D. 8
9. En la la figura mostrada, ABCD es un rectángulo. Si AD = 4CD, CE = CD y ∠BFA = α, halla: W
=
3 + 7 tan α
E
B
C F
D
A
A. 3
C. 1
B. 2
D. 3/2
10.En la figura mostrada, ∠BCA = ∠DAB = α. Si las regiones triangulares ABD y ADC son equivalentes, halla el valor de: W = cos 2α . csc 2 α A
D
C
B
A. 4
C. 2
B. 3
D. 1
11. En un triángulo ABC, la mediana ceviana
BR
AM
corta a la
en el punto F. Si AR = 2RC y
AM = 10 cm, halla FM. A. 2 cm
C. 3 cm
B. 2,5 cm
D. 3,5 cm
12. En un triángulo ABC de área 26 cm 2 , AB = 8 cm y BC = 10 cm. La mediana la bisectriz interior
BD
AM
y
se intersecan en el
punto P. Halla el área de la región triangular BPM. A. 6 cm
C. 5 cm
B. 4 cm
D. 7,5 cm
13. En la figura, B es punto de tangencia y BD // AF AF . Si AB = 18 cm y BC = 10 cm, halla AF. B
C
D E
A
α α
F
A. 12,8 cm B. 15 cm
C. 14,4 cm D. 13,2 cm
14. En la figura:
P
B
C
A
D
E
// AD , AP y DC son bisectrices de ∠ BAD ∠ BDE, y respectivamente. Si, además, BD − AB = 3 cm, halla la medida de PC . BC
A. 3 cm
C. 9 cm
B. 6 cm
D. 4,5 cm
15. Simplifica: E=
(sec
x
2
− tan x) + 1
csc x (sec
A. 2 tan x B. 2 sec x
x
− tan x)
C. 1 D. − 1
16. Se tiene un triángulo ABC, recto en B, cuyas medianas
AM
y
BN
se cortan perpendicular-
mente. Si AB = 1 m, calcular el perímetro del triángulo ABC. A. (1 +
2
+ 3 ) m C. (1 +
B. (1 +
2
+ 6 ) m D. (1 + 2 2 ) m
3
+ 6)m
17. Halla el valor de θ que verifica: sec (3θ − 15°) 2
=
sen 10°
+
sen
20° + sen 30° + ... + sen 80°
cos 10° + cos 20° + cos 30° + ... + cos 80°
siendo θ un ángulo agudo. A. 20° B. 25°
C. 32° D. 30°
18. Sabiendo que sen γ =
a
+1 4
+
a
− 2 3
, donde γ
∈ IV cuadrante, determinar el intervalo de
valores que puede tomar a. A. ] 0; 1 [ B. ]
5 7
;1[
C. ] − 1; 2 [ D. ] − 1;
5 7
[
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 13 − CIENCIAS 2013.1
1. Calcula: 1749π + 4
R = 4 tan
327π 4
5 cot
A. 1
C. ‒ 1
B. 2
D. ‒ 1
2. En la figura el triángulo ABC es equilátero y AM MB
=
5 3
. Halla csc α ‒ cot α. B
M
α A
C
A.
3
/9
B.
3 /
12
C.
3 /
15
D.
3 /
10
3. Simplifica: R=
cot 52°
+
tan 16°
tan 54°
−
cot 74°
A. 4
C. 3
B. 2
D. 1
−
tan 38°
tan 22°
4. En la figura, tan x =
1 2
y 3RS = 2SC, halla
tan y. A
S y
R
x
B A. 7/8
C. 11/5
B. 11/10
D. 7/4
C
5. En un trapezoide ABCD se cumple que ∠ A = ∠ C = 90°, BC = CD y la distancia del
vértice C a AD es 7 cm, calcula el área de la región ABCD. A. 49 cm 2
C. 24,5 cm 2
B. 98 cm 2
D. 28 cm 2
6. Si tan(α tan(α − β) = 3 ; tan (β − θ) = 2. Calcula: K = tan(α tan(α − θ) A. − 4
C. − 2
B. − 1
D. 1
7. Si csc α. tan α = 3, halla: W = cos 4 α ‒ sen 4 α + sec 4 α ‒ tan 4 α A. 7/146
C. 9/146
B. 9/14
D. 146/9
8. Simplifica: tan tan
x
x − tan y
+
cot cot
x
x − cot y
A. – 1
C. – 2
B. 1
D. 2
9. Simplifica: N = (senx + cos x)(cosy + seny) – sen(x + y) A. sen(x – y)
C. tan(x − y)
B. cos (x – y)
D. sen(y – x)
10. ABCD es un cuadrado. Halla tan θ. C
B
θ
D
A A. 1
C. 1/2
B. 2
D. 4
11. En un triángulo obtusángulo isósceles ABC, AB = 8 cm y ∠ ACB + ∠ BAC = 45° 45°. Halla la distancia del vértice B al baricentro de dicho triángulo. A. B.
8
2
3 4
2
3
+
2
−
2
cm
C.
cm
D.
2
2
−
2
cm
2
−
2
cm
3 8 3
12. En la figura la longitud del lado del cuadrado ABCD es 4 cm. Halla el área de la región sombreada. B
A A. ( B. ( C. ( D. (
π 3
+
2π 3 3π 2
π 3
3
) cm 2
−
3
) cm 2
−
2
) cm 2
+
2
) cm 2
C
M
D
13. Si α y β son agudos tales que: α = (
x
+ y + 60° 60°) y
β = (
x
10°), ‒ y + 10°
además sen α . sec β ‒ 1 = 0. Halla x. A. 81° 81°
C. 100 100°°
B. 64° 64°
D. 121 121°°
14. Al desarrollar el área lateral de un cilindro se obtiene un cuadrado de lado 8 cm. Halla el volumen del cilindro. A. 128 cm 3 B.
64
C.
cm 3
π
128
π
cm 3
D. 64 cm 3
15. Siendo ABCD un cuadrado y M punto medio del lado AD, calcula: R=
6 tan α
+
tan β
+
tan θ
C
D α β
M θ
B
A
A. 1
C. 3
B. 2
D. − 2
16. Si tan (A ‒ 45 45°°) = a
A. 1
B.
+ a
2
a 2
a −1
a −1 a +1
, halla sen 2A. 2a
C. 1
D.
+ a2 2a
2 a −1
17. Simplifica: E=
−1 sec 2 x + 1 sec 2 x
A. cot x
C. csc x
B. tan x
D. sec x
18. Tomando como base un círculo mayor de una esfera, se construye un cono circular recto equivalente a la mitad de la esfera. Si el radio de la esfera mide 5 cm, calcula la medida del radio del segundo círculo de intersección. A. 3,5 cm
C. 3 cm
B. 4,5 cm
D. 4 cm
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 14 − CIENCIAS 2013.1 1.
En la figura, M y N son puntos medios de DC respectivamente.
BC y
¿Qué parte del área del
cuadrado ABCD es el área de la región no sombreada? M
B
C
N
A
D
A. 7/20
C. 7/10
B. 13/20
D. 9/20
2. En la figura, PQRS es un cuadrado y QT = 6 cm. Halla el área del triángulo sombreado. Q
P
T
S
3.
R
A. 15 cm 2
C. 18 cm 2
B. 24 cm 2
D. 21 cm 2
Si
−
2
α = sen α cos α 1
cos
valor de E = A. B.
7 45 4 45
3 4
;
0< α <
α − sen α . 1 + sec α
cos
C. D.
8 45 6 45
π 2
. Calcula el
4.
Calcula tg θ. Si: sen α =
1 5
3
y tg β =
2
. D
A θ
β
B
α
A. 6
C. 8
B. 5
D. 4
C
5. En un trapecio de bases 2 cm y 5 cm, calcula el
coseno
del
ángulo
que
forman
sus
diagonales, cuyas longitudes son 3 cm y 6 cm.
6.
A. − 1/9
C. − 2/9
B. − 4/9
D. − 1/3
Halla la menor solución positiva de: 2
7.
2
sen(x + 45) + sen x =
A. 15° 15°
C. 45° 45°
B. 30° 30°
D. 60° 60°
4 cos x
+
3
2
Si α y β son ángulos complementarios y sen
3
α
=
A. 7/24 B. − 7/24
sen β
4
, halla tan (α (α − β). C. − 7/6 D. 7/6
8. Del gráfico, halla tan α. C 1 α
D 2
A
9.
3
M
B
2
A. 7/9
C. 13/16
B. 11/16
D. 8/9
Dado el cuadrado ABCD, donde M y N son puntos medios de
BC y CD ,
halla el área de la
región sombreada, si AB = a. M
B
C
N
A
D
A. a 2 /24
C. a 2 /128
B. a 2 /16
D. a 2 /20
10. En el cuadrado de la figura adjunta, se tiene que:
MP PN
=
3 4
. Halle:
R = tan α + 16 tan β. B
A β α
60 cm
M
H P
N
A. 17
C. 19
B. 14
D. 15
11. En la figura se tienen 2 semicircunferencias y un triángulo equilátero ABC de 2 cm de lado. Calcula el área de la región sombreada. B
A
A. ( B. (
3 3 2
+
π
) cm 2
2
+
C
2π
) cm 2
3
3
C. (
2 3
D. (
2
+ π) cm 2 π
+
2
) cm 2
12. Resuelve la siguiente ecuación: cos x + 1 = sen x en el intervalo [ 0, 2π 2π [. A. C.S. = { B. C.S. = {
3π 2
π 2
}
}
C. C.S. = { D. C.S. = {
π 2
π 2
13. Halla tan θ, si AB = DE. D
C
θ A
37° 37° E
A. 1/4
C. 1/2
B. 1
D. 1/6
B
; π} ;
3π 2
}
14. En la figura el área del círculo circunscrito al triángulo equilátero ABC es 16π 16π u 2 . Calcula el área de la región sombreada, si B es centro del arco EMF y M: punto de tangencia. B
E
F
A
A. π u 2 B. ( 8
3 −
C
M
C. ( 8 2π 3
) u2
D. 8
3 − 3
π) u 2
u2
15. Calcula el área del triángulo sombreado. (O: centro)
O
16 m
2m A. 40 m 2
C. 30 m 2
B. 20 m 2
D. 10 m 2
16. Si tan x + cot y = 2, x + y = 180 180°°, x pertenece al segundo cuadrante, halla cot x. A. ‒1 ‒
C.
2
B. ‒ 1 +
D.
2
2 − 1 2 3
‒ 3
17. Halla el área del trapecio ABCD; si el área del triángulo ABH es 8 m 2 , además: (CD)(AH) = 24 m 2 A
D
B
C
H
A. 20 m 2
C. 30 m 2
B. 24 m 2
D. 32 m 2
18. En el gráfico, AM = MD, calcula el área de la región sombreada. (D y O: centros). AOB es un cuarto de circunferencia. A
M
O 2 cm B
D
A. 2π 2π cm 2
C. 4π cm 2
B. 3π 3π cm 2
D. 5π cm 2
19. En la figura adjunta, calcula: sec x, si cot α =
35
, BC = 24 cm y CD = 10
12
3
cm.
D
C
x α
A
B
A. 37/35
C. 38/37
B. 36/35
D. 37/36
20. El sólido mostrado es un hexaedro regular. Si M es punto medio de la arista CD, halla cos θ. B
C θ
A
D F
E
M
G H
A. − 1/4
C. − 1/5
B. 1/4
D. 1/5
