GEOMETRíA
A) D)
SEGMENTOS - ÁNGULOS
1.
En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E; siendo: AD + BE = 20 y BD = AE . Calcule BD. 4 A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C
D
a
*
G
*
x = EO + 2MT x a 2 3b x 4k 6 3k x 4k 18k 18k 22k 22k.... ...... .... .... .... .... ..((II) II) (I)en (II) 36 x 22 33 24
C) 3 u
RPTA.: D
4.
RESOLUCIÓN 6
En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y PQ = 2 QR 3 RS . Calcule QS RS QR
C
A) 4 D) 7
X
Dato :
a 4 4k b 3 3k
3 4k 4 3k 36 12k 12 12k 36 24k 36 36 k .... ...... .... .... .... .... ..((I) 24
Se tiene los puntos consecutivos A, B, C; tal que: (AB).(AC) = 2(AB2–BC2 ), AC = 6u. Calcule BC.
6-x
T 3b
3a + 4b = 36
RPTA.: B
B
b
a
*
a=4
A
M
Del dato: 3a = 4b
b
B) 2 u E) 5 u
O
*
De dato AD + BE = 20
A) 1 u D) 4 u
E 2a
E
4ab + a+b = 20 5a = 20
2.
C) 31
36
4a B
B) 39 E) 35
RESOLUCIÓN
C) 5
RESOLUCIÓN
A
27 33
AB x AC = 2(AB2 – BC2) (6 x) x AC = 2(AB+ BC)(AB – BC) 6 x = 2(ABBC) 6 x = 2(62x) 3x = 6 x =2
B) 5 E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN 2a 2 P
Q
a R
RPTA.: B
3.
En una recta se tienen los puntos consecutivos: G, E, O, M y T, siendo GE MT , OM , GT 36 y “O” es punto 2 3 medio de GT . Calcule EO + 2MT. EO
GRUPO SAN MARCOS
Datos: PQ = 2(RS) = 2a QR = 2 PQ 2 QR 3 RS ......() QR RS
S
GEOMETRíA
Piden: QS = (2 + a) = ?
D) 20
RESOLUCIÓN
Reemplazando en () 2a 2(2) 3(a) a a a² = 4 + 3a
2a+b a+b A
RPTA.: C
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si (AB)2 + b(AC) = (AC)2 + (BC)2 ; calcule BC. A) b D) b/4
B) 2b E) 4b
X
a Z
b B
b Y
C
Datos: X punto medio de AB (AX=XB) Y punto medio de BC (BY = YC) Z punto medio de XY (XZ=ZY) AB BC = 36
Resolviendo: a=4 QS = 6 5.
E) 8
Piden:
ZB = a = ? BY = YC = b XZ = ZY = a + b AX = XB = 2a + b
C) b/2
Reemplazando : AB BC = 36 (4a + 2b) (2b) = 36
RESOLUCIÓN
4a = 36 a=9
x
RPTA.: C
A
B
C
7. Datos: (AB)² + b(AC) = (AC)² + (BC)²
En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S. Si (QR)(RS) = K(RS – RQ) y PR RS 1 . PQ PR
Calcule PR
Piden: BC = x = ? Reemplazando y ordenando el dato: AB ² BC ² AC ² b AC
A) 2K D) K/2
B) K E) K/4
RESOLUCIÓN x
DIFERENCIA DE CUADRADOS
AB BC AB BC AC AC b (AC) (ABBC) = AC(AB+BC b) (ABBC) = (AB + BC b) b = 2BC b BC 2
P
Sobre la línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, luego se ubican los puntos medios X de AB , y de BC y Z de XY . Si: AB – BC = 36, calcule ZB. A) 12
B) 18
GRUPO SAN MARCOS
C) 9
Q
R a
Datos: (QR) (RS) = K (RS RQ).... (I) PR RS 1 .....................(II) PQ PR
RPTA.: C
6.
C) K/3
Piden: PR = x = ? De (I):
S b
GEOMETRíA
1 RS RQ 1 1 1 K QR RS QR RS K QR RS 1 1 1 ...(III) K a b De (II) x b 1 x a x (x a)x = x² b(x a) (x a) (x + b) = x² x² + bx ax ab = x²
9.
En una recta se tienen los puntos consecutivos P, Q, R, S; siendo: 1 1 1 1 y PQ .RS = m. Calcule QR RS PQ PS PS.QR A)
D) m
C) 2m
RESOLUCIÓN P
ab = x (ab) 1 1 1 x a b
Q
R
a
S
y
b
x
De (III) 1 1 k x k
Adecuando el dato: 1 1 1 1 QR PS PQ RS 1 1 1 1 y x a b
RPTA.: B
8.
B) m 2 E) 3m
2m
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos O ,A, B y C. Calcule OA, Si: 1 1 1 , (AB).(AC) = 289 OC
OB
A) 11 D) 17
OA
B) 13 E) 19
x y b a x y ab yx ab
C) 15
ba ba yx ab
RESOLUCIÓN
a
b a-x
x
O
b-a
B
A
yx ab yx a b m C
RPTA.: E
b-x 1 1 OC OB
10. En una recta se tienen los puntos consecutivos: A, B, C; siendo AC = 10, luego se ubican los puntos medios: M, N, R y Q de AB,BC,AN y MC respectivamente. Calcule RQ.
1 OA
1 1 1 ab 1 (a b).x ab b a x ab x
A) 2,0 D) 3,0
(AB).(AC) = 289 (a-x).(b-x) = 289 ab (a b)x x 2
B) 2,5 E) 3,5
RESOLUCIÓN
289
ab – ab +x2 = 289 x2 = 289
a A
x = 17 RPTA.: D
b 2
M a
a B R
a
a b 2
x
b 2 Q
b
C
N
a b 2 10
GRUPO SAN MARCOS
C) 2,8
b
GEOMETRíA
complementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de dichos ángulos.
a
a 2b a 10 b a x b 10 2 2 ba5
A) 2/3 D) 3/7
3 a b x 10 2 3 5 x 10 2
Sean los ángulos: a + b = 100º ................. (I) C(a) C(b) = 20º ..............(II) P iden: a ? b En (II) (90º a) (90º b) = 20º b a = 20º En (I) a + b = 100º Resolvemos: a = 40º b = 60º a 40º 2 b 60º 3
x 2,5 RPTA.: B
11. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD , tal que: m AOB m BOC luego se traza 5 3
OM
bisectriz del AOC, de tal forma que: m AOM - m COB+m COD = 40º. Calcule m MOB + m COD B) 35º E) 60º
C) 40º
M
B C
5 3
4 4
RPTA.: A
13. Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB y BOC, luego se trazan las bisectrices OM,ON,OR y OS de los ángulos AOB, BOC, AON y MOC respectivamente. Calcule m ROS .
RESOLUCIÓN
A
C) 1/4
RESOLUCIÓN
x 10 7,5
A) 30º D) 45º
B) 1/3 E) 2/9
A) 15º D) 22,5º
D
B) 18,5º E) 25º
C) 20º
RESOLUCIÓN R o
A
m AOB = 5 m BOC = 3
M
B
2 N
OM : bisectriz del AOC (m MOB = ) m AOM m COB + m COD = 40º .............(I)
C
o
* 2 + 2 = 90º + = 45º
Reemplazando en (I) 4 3 40º
*
40º RPTA.: C
12. Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas es 100º y la diferencia de sus GRUPO SAN MARCOS
m MOB + m COD = + = ?
+ =
S
x
2
x
2
90 º
2
GEOMETRíA
3 90º 2 3 x 45º 90º 2 x 22,5º
B
x
x RPTA.: D
14. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que: m AOD=m BOE=m COF y m DOF + m AOD=224º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE , si : m BOC = 52º. A) 52º D) 82º
B) 60º E) 102º
C) 70º
RESOLUCIÓN C
R
A
O n 3
A) /n
B) n
n 4 C) n 1 E) n 1 n 2
n 2 D) n 1
B
D
RESOLUCIÓN B
x O
A
X
E F “OR” es la bisectriz del COD.
*m AOD=m BOE = m COF=++2
X
*m AOF = 224º 2+2+2 = 224º ++ = 112º .….. (I)
A
O
“n” rayos interiores entonces son “(n+1)” ángulos interiores m AOB = (n+1)= =
*m BOC = 52º = 52º.… (II) (II ) en (I) +52º + = 112º + = 60º
(n 1)
x = - 3
x = + = 60º RPTA.: B
n 2 = x = - 3
n 1
n 1
RPTA.: D
15. Si: m AOB = , calcule “x” si el AOB es dividido en partes de medidas iguales por “n” rayos interiores.
16. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo. A) 120º D) 60º
GRUPO SAN MARCOS
B) 45º E) 75º
C) 135º
GEOMETRíA
2 + (80º + 2) = 100º 4 = 20º = 5
RESOLUCIÓN Sea “x” el ángulo
SS
x C x
2C S
x CC x
.......(I)
m BOC = 80º + 2 = 90º
S(2X) = ?
RPTA.: A
Resolviendo (I) 180º[(180x)(90x)]= 2[90º(180xx)]
180º [90º] = 2[2x 90º] 90º = 2 (2x 90º) 45º = 2x 90º 2x = 135º S(2x) = S(135) = 45º
1
x RPTA.: B
NOM determina con OB un ángulo que mide 20º.
B
Q 20º
L6
A) 25° D) 30°
B) 40° E) 20°
C) 10°
RESOLUCIÓN L3
C) 80º x x
L4
6x
L1
3x
M
20º
L5
2x
40º
L2
2x
C
A
L1
L5
RESOLUCIÓN N
L4
6x
B) 40º E) 70º
y
L3
bisectrices ON y OM . Calcule la medida del ángulo BOC si la bisectriz del ángulo
A) 90º D) 60º
L 5 // L 6 . Calcule el valor de “x”.
17. Se tiene dos ángulos adyacentes, AOB y BOC, cuya suma de sus medidas es 100º (m AOB< m BOC). Se trazan las
3
el gráfico L //L 2 y L //L 4
18. Según
L2
2x
L6
o
Datos: m AOB + m BOC = 100º -
ON bisectriz del AOB (m NOA = m NOB = ) NOM OQ bisectriz del (M NOQ = m QOM = 20º+) m QOB = 20º
Del gráfico (en L5 ) 6x + 3x = 180° x = 20 RPTA.: E
19. Si: L1 //L 2 , calcule el valor de “X”. L1
2 x
OM bisectriz del BOC (m BOM = m MOC = + 40º) Piden: m BOC = 80º + 2 = ? Reemplazando: m AOB + m BOC = 100º
GRUPO SAN MARCOS
L2
A) 150° D) 160°
B) 130° E) 135°
C) 120°
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN x
L1
2
x
100°
2 2
L2
i)
ii)
Propiedad: 4 = 90º 2 = 45º ...............................(I) Por ángulos de lados perpendiculares x + 2 = 180º ....................... (II)
2
A) 40° D) 60°
B) 45° E) 80°
RESOLUCIÓN
De la figura: B x°
De (I) y (II) x = 135°
P 100°
RPTA.: E
c) 50°
A
20. Si: L1 //L 2 . Calcule la relación de m y n. L1
bº
aº
2
APC: 2 +
2
C
2 + 100 = 180° + = 40°
Luego: : + +x = 100° 40 +x = 100 x = 60° RPTA.: D
mº
nº bº
A) 1 D) 2,5
22. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”
aº
B) 1,5 E) 3
c
C) 2 b
RESOLUCIÓN n
aº
2xº
L1
bº
a A) 10º D) 40º
a+bº mº n
Si: a + b + c = 130° aº
TRIÁNGULOS I
21.
RESOLUCIÓN
nº bº
B) 20º C) 30º E) 22º 30´
L2
c° b°
2x°
En la figura, calcule el valor de “x”
a°
x°
2x°
3x°
Propiedad del cuadrilátero: a + b = 2x + 90º .................e a b c 2x 90º GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
130º = 2x + 90º 2x = 40º
AC = CE = ED AB = BC
B RPTA.: D
23. En el gráfico: ABC es equilátero y
L1 //L2 . Calcule: “x”.
3
B
ABC
x
C
B) 98º E) 110º
RPTA.: D
C) 105º
es equilátero: B 30°30°
25. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de modo que AC=AD, mADC=80º y mBCD=15º. Calcule la mBAD. A) 15º D) 45º
L1
x°
- x ° 0 ° 1 8
B) 20º E) 55º
x°
60°
60°
L2
B AB = BC AC= AD
C
D
(30°) + (180° -x°) = x° 210° = 2x° x° = 105°
80°
x
A
RPTA.: C
24. Calcule el valor de “” , si AB= BC y AC=CE=ED. B
65°
20°
C
En el ABC x + 20° = 65° x = 45° RPTA.: D
3
A) 10º D) 18º
15°
26. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es:
E
A
C) 35º
RESOLUCIÓN
x°
A
D
10 = 180° = 18°
RESOLUCIÓN
El
2
4 180 4 2 L2
A
2
C
ACE:
x
A) 100º D) 120º
4 4
A L1
E
3
B
D
C
B) 15º E) 24º
C) 12º
E
b° D
c°
RESOLUCIÓN
a° A
GRUPO SAN MARCOS
F
C
GEOMETRíA
A) C) E)
bc 2 ac b 2 ac b 2
D) a
bc 2
RPTA.: C
28. En la figura, calcule x + y, si: m + n = 150º
RESOLUCIÓN B D A
b° 60°
a°
( 2) en (1) 1 + 1 + 2 = 360° x + y +z=4
B) a-b-c = 0
a
E
y
60°
x
c° ° 0 6
C
F
Como el DEF es equilátero se cumple:
n
A) 150° D) 255°
60° + b = +a .............. ( 1) +c = 60 + a .............. ( 2) De (1) a (2) a
m
B) 200° E) 270°
C) 225°
RESOLUCIÓN
1)
bc 2
2) RPTA.: D
3) 27. En la figura se cumple: x+ y + z = 360°; siendo x ; y, z; números enteros . Calcule: x+y+z
4) 5)
n 2 m y = 90º + 2 n m ...(I) suma x + y = 180 + 2 x = 90º +
Dato: m + n = 150º ...........(II) (II) en (I) x + y = 180 +
150º 2
x + y = 180 + 75º x + y = 255º
RPTA.: D
29. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado AB. Si la mC = 15º. Calcule la mABF.
n m
n
m
A) 50º D) 70º A) 6 D) 3
B) 5 E) 2
C) 4
n
n c n
D
E
Se cumple: m + n + + = 360° ...... ( 1 ) m +n = + ................ ( 2 ) GRUPO SAN MARCOS
RESOLUCIÓN
x x
B
A m m
C) 45º
B
RESOLUCIÓN
m
b) 30º E) 60º
x+15º x+15º
15º C A F ABF : x+x+15º +x+15º = 180º 3x = 150º x = 50º RPTA.: A
GEOMETRíA
30. En la figura AB = BC AC = AD = DE = EF = FB Calcule la medida del ángulo ABC.
y
32. En la figura, calcule “x”:
A
3
x
E
3 C
F
D
A) 15º D) 36º
B) 18º E) 20º
40°
B
C) 30º
A) 8° D) 18°
RESOLUCIÓN
4 + 4 = 40º +180º + = 55º 3 + 3 = x = 180º 3. 55 + x = 180º x = 15º
A
3x 3x
RPTA.: B
E X
C
4x
ACD
4x
2x
C) 12°
RESOLUCIÓN
Completando ángulos: mBAC = m ACB = 4x mDAC = x
X
B) 15° E) 10°
33. En la figura, calcule: "x", si: =20°.
2x
X
B
F
D
D
B 50°
: 4x + 4x + x = 180º x = 20º
x E RPTA.: E
A
A) 30° D) 45°
31. En la figura mostrada, calcule “x”.
C) 50°
RESOLUCIÓN
X
30º 5
5 3
A) 60º D) 70º
B) 40° E) 35°
C
B) 40º E) 50º
Dato -=20°……….(1) ABC: Propiedad: mB=100°
3
C) 80º
Luego: =80° =40° ……………(2) Ec.(1) + Ec.(2):
RESOLUCIÓN
Del gráfico: exterior: 8 + x = 8 x = 8( - ) 3 + 30º = 3 - = 10º x = 80º
RPTA.: C
RPTA.: C
GRUPO SAN MARCOS
2 =30° y =10° x = = 30° + 2(10°) = 50°
34. En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.
GEOMETRíA
B
RPTA.: A
36. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD
a
10
A
C
X
X C
b
8
B
D
A) 20 D) 26
B) 21 E) 25
C) 22
4º
A
A) 82º D) 85°
RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 36 ABC : x < 10 +a .................. ( I) ACD : x < 8 + b .................. ( II) (I) +(II) 2x < 10 +8 +a+b 2x < 54 x < 27 xmax = 26
D
E
B) 83° E) 86°
C) 84°
RESOLUCIÓN P xº C B
RPTA.: D
=
x+4º =
35. En la figura, calcule: “x”.
A
1) 2)
x
3) x
4)
x x
x
A) 144º D) 160º
B) 150º E) 120º
C) 136º
5)
RESOLUCIÓN
4º
x+4º
180º-2(x+4º) =
D
E
EPD, m AEP ABE isósceles
= x + 4º
m AEB = m ABE = x + 4º m BAE = 180º 2(x + 4º) ....(I) x + 4º < 90º x < 86º ...............................(II) ACD a mayor lado se opone mayor ángulo 180º 2(x+4º) < 4º 84º< x ................................(III) De (II) y (III) 84º < x < 86º x = 85º RPTA.: D
x + = 180º x =180º -
37. Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.
x
B x+y
2
2
x
x
2 +2 + = 5 = 180º = 36º x = 180º - 36º = 144º
GRUPO SAN MARCOS
2x - y
x
y-x
A
x
A) 62º D) 92º
B) 82º E) 98º
C) 88º
RESOLUCIÓN
1)
2x y + x + y + y x = 180
C
GEOMETRíA
2x + y = 180 y = 1802x ......(I)
39.
En un triángulo ABC, S y R son puntos que pertenecen a AB y BC respectivamente. Si : AC=AS=RC, mSAR=10° y mRAC=50°. Calcule mSRA.
2)
En A: 2xº yº > 0º (no existe ángulo negativo) 2xº > yº ........................(II)
3)
A) 20° D) 25°
4)
(I) en (II) 2xº > 180º 2xº 4xº > 180º xº > 45º El mínimo valor entero de “x” es 46º
Se une S y C isósceles
5)
(III) en (I) yº = 180º 2(46º) yº = 88º
B) 30° E) 15°
C) 40°
RESOLUCIÓN
x = 46º ......... (III)
ASC
equilátero SRC
B S RPTA.: C
x
R 50°
38. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz interior CP 10°
intersectandose en “O” . Si: AO=4, OC =
12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de AD , si AC toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto
exterior al triángulo ABC. A) 20 D) 25
B) 21 E) 27
40. Se tiene un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo
al lado BC. Si: mCBD - m DAC = 30° y mADC=10°. Calule: mCAD. A) 5° D) 18°
H
13
A
B) 10° E) 20°
C) 15°
RESOLUCIÓN B
12
4
x + 50° = 80° x = 30° RPTA.: B
B
O
C
C) 23
RESOLUCIÓN
P
A
20° 60°
50°
C
60°
x+30° 30°
X
15
D
10°
D ° - x 6 0
Del gráfico: > 90º (obtuso) AOC: 12 < AC < 16
A
ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12² ADC: 2 < x < 28 xmax = 27
GRUPO SAN MARCOS
RPTA.: E
60°
x
C
Como la m BDA = 30° es la mitad de la m ACB = 60°; y como se cumple que: AC = CB , entonces: AC = CB = CD mCBD = mCDB x+30° =
40°
x
= 10°
GEOMETRíA
m CAD = x = 10°
RESOLUCIÓN RPTA.: B
ii)
TRIÁNGULOS II
41.
En un triángulo ABC donde m C=30º, AC=12 y AB=10. Calcule m A (m B>90º) A) 7º D) 13º
B) 8º E) 15º
i)
Por mediatriz de AC AP = PC = 12 ABP: existencia x < 20 x = 19 B 8
44. En un triángulo ABC donde AC=25, se traza BE perpendicular a la bisectriz interna del ángulo A, luego se
6 3
une el punto medio “M” de
B
calcule AB si EM=4
10 53º x
A
30
A) 18 D) 17
C
12
RPTA.: A
B) 3 E) 2
F
10
2
10
10
C
25
8
P
Se prolonga BE hasta “P” BPC: x =
AEB AEP ALA AB AP = x PC = 8 17
RPTA.: D
N
45. Calcule “x” en la figura si: AB = BE y BC =BD
10
C
RPTA.: C
B
43. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de AC que intercepta al lado en “P”. Calcule el máximo valor
entero de AB si BP=8 y PC=12. A) 17 D) 22
4
A
BC
M
x
24
x 2
C) 16
FBC: Se traza la mediana BM ABN: Isósceles x = 24 20 = 4 A
con “E”,
B
C) 4
RESOLUCIÓN
B) 15 E) 21
BC
RESOLUCIÓN
42. En un triángulo obtusángulo ABC obtuso en B, se traza la ceviana interior BF tal que: m BAC=2m BCA, m FBC=90º, AC=24 y AB =10. Calcule AF. A) 5 D) 6
C RPTA.: B
x 60º53º 7º
6
12
A
AsC: notable
S
1 2
C) 12º
RESOLUCIÓN
Se construye
P
x
B) 19 E) 24
GRUPO SAN MARCOS
C) 20
B
A) 30º B) 45º
x
C
x
C) 50º D) 53º E) 20º
A 3 x
E
D
GEOMETRíA
D) 10
RESOLUCIÓN B
x
C
x
RESOLUCIÓN A
x
A
E) 2
10º 60º 1 x 0º 150º
2
D
3 x
C
10º
30º
4
B H
T
Se traza la altura AT
E
i) ii)
ABD EBC .......(L.A.L.) m BAD = m BEC = Por propiedad:
ATC AHC (ALA) AT = CH x 4x8 2
x 180º3x 4x 180º
RPTA.: C
x=45º
48.
En un triángulo ABC donde m A = 48º, se traza la ceviana interior BM tal que: m ABM =18º y AB = MC. Calcule m C.
RPTA.: B
46.
En un triángulo rectángulo ABC
donde mB= 90º, mC = 22º 30’, AC=20.
Calcule la distancia del punto medio de BC a la hipotenusa. A) 10 2 3 D) 5 2 2
B) 5 2 3 E) 5 2 4
A) 18º D) 48º
B) 28º E) 66º
C) 37º
RESOLUCIÓN
C) 5 2
Se traza BP = BM ABP BMC (L.A.L.)
m A =m C =48º
RESOLUCIÓN
B
18º 48º a b 48º A
b
66º M
66º P a
x C
Se traza la mediana BM y la altura BH BHM: notable (45º)
x
2
RPTA.: D
49.
10
B, “F” es el excentro relativo al lado AC. Calcule FB si la distancia de “F” a AC es
2
x
10 2 5 2 2 2 2 2
6. RPTA.: D
A) 3 D) 6
47. En un triángulo ABC donde m B=150º, m c =10º y la distancia de “C” a la bisectriz del ángulo “A”
Calcule AB.
A) 4
En un triángulo rectángulo ABC recto en
es 4.
2 2
B) 9 E) 8
C) 12
RESOLUCIÓN
El excentro edidista de los lados B) 6
C) 8
BPF x=6 2
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
B 45º
45º
i) Q
A
x
BH
C
PD
2BHD = AC = 2a
6
6
Se construye PCD
BHD : notable x = 30º
F
C
RPTA.: D
50.
En
la
figura:
ABCD
es
un
cuadrado, las distancias de “B” y “C” a AF son “b” y “c” respectivamente. Calcule la distancia de “D” a AF .
2a
B a
B
C
F
P
2a
x D
A
H
RPTA.: E
52. A
A) D)
b c 4
b 2
B)
b c 2
En el triángulo rectángulo ABC (m B=90º) donde AB=BC, se ubica el punto interno “P” siendo: m PAB=m PCA y AB=AP. Calcule: m PAC
D
C) b c
E) c
A) 10º D) 20º
B) 15º E) 24º
C) 18º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Triángulos rectángulo congruentes. x = b c
AHC notable (30º, 60º) =
30º APC: x + 30º =45º x = 15º
RPTA.: C
RPTA.: B
51. Se tiene el cuadrilátero ABCD donde AB=BC, BD=AC y m CAD = 90º. Calcule m BDA. A) 37º D) 53º
B) 45º E) 30º
C)60º
53.
Calcule “x” en la figura. B
C x
8
75º A
GRUPO SAN MARCOS
16
D
GEOMETRíA
A) 30º D) 40º
B) 32º E) 45º
A) 20º D) 35º
C) 35º
B) 25º E) 40º
C) 30º
RESOLUCIÓN E
RESOLUCIÓN B
30 30 B
C x
8
i)
Se construye AEC: equilátero ABE BEC PAC (L.A.L.) x= 30º
16
ii)
RPTA.: C
56. En la figura, calcule “BC” si: AB =13, AE = 3 y AF = FC. RPTA.: A
54.
C
A
i)
75º
Se traza CH AD CH = 8 ACD: Propiedad x = 30º
x
15º
8 x
A
15
P
15
Calcule “x”. Si: AB=DC B 40º x
A) 16
B
B) 17
C) 18
F
A
D) 19
C
E
2x A
D
A) 40º D) 30º
E) 20
C
B) 35º E) 25º
C) 32º
RESOLUCIÓN B
RESOLUCIÓN B
40º x
P
x
13 x
A
i) ii)
A 3
x
x x
40+x D
F C
E
x C
Se traza bisectriz: AP Se traza PD ABPD: Inscriptible ABP PDC...............(L.A.L.) ABP: 4x + 40º = 180º 4x = 140 x = 35º RPTA.: B
55.
P
En el triángulo rectángulo ABC m B 90º donde AB = BC, se considera interiormente el punto “P” siendo AP = BC y m PAC =15º. Calcule m PCA
0
i) ii) iii)
Se traza OP
BC
Por Bisectriz: OE = OP EB = BP = 16 Por mediatriz: OA = OC AEO OPC EA=PC=3 x 16 3 19 RPTA.: D
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
57. En el triángulo ABC se traza la ceviana BQ que intercepta a la mediana
B
AP en su punto medio “N” , luego se ubica el punto medio “E” de BP tal que
20
20
60º 70º A a
H
AE intercepta a BQ en el punto M.
20
Calcule: MN si BQ= 24 A) 6 D) 8
D
B) 3 E) 5
x
C) 2
30º 2a
RESOLUCIÓN B
10
E
a 4b
2x
a
E a
M
P N
x
2a 2b
b A
i)
Q
C
a
i)
Se traza la altura BH
ii) iii)
Se construye AED(notable) Propiedad bisectriz AE = AH = a DAC: Isósceles: 2x = 100º x = 50º
C
F
x
iv)
Se traza PF//BQ PAF PF = 2NQ = 2b BQC BQ = 2PF = 4b ABP: “M”: Baricentro MB = 2MN = 2x b=x x = 24 6 4
RPTA.: D
59. Calcule “” en la figura: Si: AD = BC B
6 RPTA.: A
2
58. En la figura: AB = BC, m ABC = 40º, m DBA = 20º y m DAB = 10º. Calcule: m ACD.
A
C
D
A) 10º D) 18º
B 40º
B) 12º E) 20º
C) 15º
RESOLUCIÓN
D
B
5
5
P
x
A) 40º D) 50º
A
B) 45º E) 54º
C
C) 48º
A
i) ii)
2
D
C
Se construye APD BDC....(L.A.L.) ABD (Isósceles) 3+3+6=180º 12=180º =15º RPTA.: C
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
60.
En la figura AB = PC, BF = FC,
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
61. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos.
AE = EP. Calcule “x”. B 2x F
x
E
A
A) 20 D) 44
B) 27 E) 55
C) 35
C
P
RESOLUCIÓN
Dato: NºDiag.= 4(Nº
s internos)
Piden: NºDiag.Medias=
B) 19º E) 24º
C) 20º
n 3 8 n 11 11 11 1 55 D.M. =
B
2
RPTA.: E
3 x
F
P
A
x 2x
62. Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a AB , Calcule: m UAE .
C
A) 72º D) 24º
B) 45º E) 27º
C) 20º
RESOLUCIÓN Q
i)
?
2
RESOLUCIÓN 2x
2
Reemplazando en el dato: n n 3 4 n
Q
A) 18º D) 22º
n(n 1)
A
Propiedad mediatriz: BQ = QC y AQ = QP ABQ PQC (L.L.L.)
B
e x U
m QCP =m ABQ=2x
P
E
C D
T
ABC:5x = 90º 90 18º x 5
Q
R
S
Externo RPTA.: A
*
e
º Piden x=? ;
360
n
En el Octógono:
e
º
360 8
45º
En el Pentágono
72º e x 360 5
º x 72º
45
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
Piden: Nº lados =n=?
x=27º RPTA.: E
Dato: Nº Diag. Trazados Desde 5 vértices =9
63.
Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están
ubicados
en
distintos
semiplanos
*
respecto a AB Calcule: m MCB A) 72º D) 69º
B) 36º E) 60º
“k”
vértices
nk
C) 24º
consecutivos
k 1k 2
*
15 LADOS
2
Reemplazando:
9
n=6
Regular ABCDE…, de “n” lados; si
A) 540º D) 1080º
x C
B) 720º E) 1260º
20 LADOS
*
e C
e
a
a
20
e
360
2
15
1
e
24º
a
B a
2
1
x = 69º
E e
1
e e 42º e BMC 2x e e 180º
C) 900º
RESOLUCIÓN D
e 360 18º
AC
CE
x
e2 e1 B
*
2
65. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono
M
Piden: x=?
5 15 2
n(5)
RPTA.: C
N
*
=
En un polígono de “n” lados.
RESOLUCIÓN
A
Recordando: Nº Diag. Trazados desde
“n” lados
2
A
42º
Dato: AC CE Piden: S 180º n 2 ?
RPTA.: D
i
64. 9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono regular de
*
“n” lados. Calcule “n”.
A) 5 lados C) 6 lados E) 9 lados RESOLUCIÓN
B)7 lados D) 8 lados
ABC CDE ..............(L.A.L.) m BCA m DCE 360º e 2 n En c : 4 90º 45º
2
º
360
n
n 8 S 180º 8 2 1080º
i
RPTA.: D
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
66. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
Pide: Perímetro octógono=? *
C) 5
- e
100º
360 8
n
45º
- Se determinan 4 triángulos notables de 45º y un rectángulo.
RESOLUCIÓN 80º
360
Calculando: e
80º
100º
PQ=RS=6 RD=3 y CD= 3
2
100º
80º
100º 100º
RPTA.: E
80º
68. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.
Piden: máx. Nº si=100º * Para 1 i 100º 1 e 80º * Para 4 i 100 4e 320º * Para 5 i 5e 400º (Esto es imposible)
A) 190º D) 220º
Por que: Se 360º A lo máximo Solo se pueden conseguir 4 ángulos.
PS=QR=11 BC=6 Perímetro= 18 +8 2
B) 200º E) 230º
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
e2
67. Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB=EF= 2 2 ; HG 2 , AH 3, DE 1 y GF=8. A) 16+6 2 C) 16+8 2 E) 18+8 2
2
B e
A e
e
3 2
3
i1
en
3
E
H 2
e
2 2
e P
1
e 2
e G
8
GRUPO SAN MARCOS
F
2
i5
i 6 e5
e6
D 1
i 4 e4
in
R
e
2 2
Dato: i1 i2 ...i5 760º Piden: e e ...en ? Se sabe: e e ...en 360º...(I) 6
3
C
e3
i3
i2
1
B) 18+6 2 D) 8 2 10
6
e
RESOLUCIÓN Q
C) 210º
S
* *
7
1
2
i1 e1 180º i2 e2 180º . . .
. . .
i5 en 180º 760 e1 e2 ...e5 180º(5)
GEOMETRíA
e1 e2 ...e5 140º
Reemplazando:”p” en (III)
x 1 n 2 2 nx 2 2
Reemplazando en (I) 140º + e e ...en 360º e e ...en 220º 6
6
RPTA.: D
7
70. Si un polígono de n lados tuviera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es?
7
RPTA.: D
69. En un polígono regular cuyo semiperímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular? A)
1
B)
5 1
D)
1
C)
4
A) Triángulo C) Pentágono E) Octógono
B) Cuadrilátero D) Hexágono
RESOLUCIÓN Piden: “n” (¿Qué polígono es?) Dato: Para: “n” lados
1
Nº Diagonales. =
3
E)1
2
n n 3 2
-(n+3)
Reemplazando el Nº lados en el 2do polígono
RESOLUCIÓN
n n 3 n 3 n 3 3 n 3 2 2 Resolviendo: n 3n 2n 6 n 9n 18
NºDiag
2
2
n 24
4
n 6 (Hexágono)
RPTA.: D
nLADOS *
Sea “n” es Nº lados. Datos: semiperímetro: “p”=
* 2p=Nº Diagonales=
nx 2
n(n 3)
71. Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente. A)2 D)5
2
* m i p p e Piden: x=?
B) 10 E) 7
RESOLUCIÓN
Reemplazando en los datos: n(n 3) ...(I) 2p
Q B
2
360º º n 2 P ...(II) n n n 2 2p...(III) n n 3 n 2 (I) =(III)
C) 3
R
180
2
n 4
GRUPO SAN MARCOS
P
12
H N 10 8
A
a
a M
C
GEOMETRíA
Dato: AH=8 CQ=12 Piden: NR =x=P *
73. En un trapecio ABCD, BC // AD, P y Q son puntos medios de AB y CD ; AC PQ = E , PQ BD F .La
En el trapecio AHQC: Trazamos la base media MP 8 12 MP 10
prolongación de CF intercepta a AD en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD.
2
MPB (Base media) 10 x 2
*
x=5
RPTA.: D
B)5 E)1
A
N
m Q
S
M
C
“G” Baricentro
*
BG=2GM = 2m Piden: CP=x En el trapecio AHPC (trazamos la base 3 x media: MR ...(I) 2
*
En el BQG(NS=2); MR =NS=2 Luego: En (I) 3 x 2
E
C
x
Q
F
Dato: AD=50 2x G Piden: 2EF+GD 2(x)+y=? 50 ACG(Base media) AG=2X AD=2x+y 2x+y=50
y
D
74. En un trapecio ABCD BC//AD , las bisectrices interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10 A) 1
B)
D) 2
E)
1
C) 0
2 3 2
RESOLUCIÓN B
x=1
4
P Q
6
A
C
C 8
RPTA.: E
GRUPO SAN MARCOS
3
D) 50
3
2
a
P x
Dato: AH=3 BQ=4
50
RPTA.: D
3 A
a
a
P
*
G R
100
5
B
C) 3
m
H
C)
B)
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN B
4
50
E) 40
72. Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a AB y BC . A)7 D) 8
a
A)
m m M 10
4
N
4
D
GEOMETRíA
Dato: AB=6 BC=4 CD=8 AD=10 Piden: PQ=x=? *
*
(53,37º) 53º = 2
76. En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de AC hacia la bisectriz del ángulo ABC; si m ABC 106º . A) 10 D) 4
2
x=0 RPTA.: C
75. En un trapecio ABCD, BC//AD y se ubica el punto medio M de B, tal que m MDA m MDC y se traza CH AD . Si BC 1 , AD 4 y CH toma su máximo valor entero, calcule m MDA . A) 37º D)
B) 53º
º
53
C)
M
1
º
B
2
º
4
30
H
M
A
x
N
24 Q
4
H
L
5
N
4
º
53 53
5
C
A
C)6
87
RESOLUCIÓN B
B)8 E) 12
RESOLUCIÓN
E) 30º
2
=4
RPTA.: D
MCD (Isósceles) MD=8MN=4 44 BCNM: x
*
CH
*
ABN (Isósceles) AM=6 y ND=4
*
CHD: CH < 5
Dato: BC=30 AB=5 m ABC 106º Piden: MN=x=? *
L
CQ
L
D
Piden: m MDA
*
ABH y CBQ (37º, 53º) AH 4 y CQ =24
*
Trapecio: AHCQ (propiedad)
Dato: BC=1 AD=4 “CH” es máximo entero
Trazamos: AH
x
24 4 10 2
RPTA.: A
*
Trazamos la base media 14 MN 2, 5 CD = 5 2
MND (Isósceles) ND=NC=2,5 CD 5 GRUPO SAN MARCOS
77. Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media.
GEOMETRíA
A) 60º D) 53º
B) 45º E) 37º
C) 30º
BCMD (Paralelogramo) DM=a; CM=5
RESOLUCIÓN a
B
C
m ACM 106º ACM(a b 8) ab x x 4 2
RPTA.: B
x
79. En un cuadrado ABCD, de lado 6, en CD y AD se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la m MBN 45º . Calcule MN.
x (a+b)
a+b
(a+b)
a
D
b
A
Dato: Ac BD
2
K
A) 3 D) 3
a b 2
Pide: x=?
2
C)4
2
RESOLUCIÓN
Trazamos: CK //BD
*
B)4 E) 5
B
BCKD (Paralelogramo) DK a;CK a b m ACK x
º
6
C
53
5 º 4
2
3
º
37
6
2
M
ACK (Equilátero) x = 60º
3
RPTA.: A
A
78. Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si las diagonales forman 106º y tienen por longitud 5m c/u. A) 3 D) 8
B) 4 E) 5
a
C
M
106º
5
53º BCM (notable) 2 37º m ABN
*
ABN 37º
*
AN=2 ND=4 MND (37º, 53º) x=5
*
5
b
A
D
a
Datos: :Trapecio Isósceles
m AMD 106º AC BD 5
Pide:(Longitud de la base media) = x
x *
Trazamos
ab 2
GRUPO SAN MARCOS
D
2
2
RPTA.: E
M
80. Un trapecio rectángulo ABCD, es recto en A y B. Si: m BCA= 2 m ADB ,AD a y BC =b. Calcule AC.
?
CM//BD
4
Piden: MN=x=?
C) 6
5
106º
N
Dato: AB=BC=6 CM=MD=3 m MBN 45º
RESOLUCIÓN B
2
A) a+b
B)
ab 2
C) 2a-b
GEOMETRíA
D) a-b
E) 2a+b RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN b
C
B
B
2
Q
C 70º
D 145º
M
o
E
A
A
D
a
Dato: BC=b AD=a m ACB 2m ADB 2
Como CDE 145º m CME 290º ....( inscrito) m CDE 70º m COE 70º ......( central) m AB 140º .......( inscrito) RPTA.: D
Piden: AC=x=? *
82.
Construimos el rectángulo ABQD
Del gráfico, Calcule x.
m AQB m ADB ACQ (Isósceles)
x
CQ=AC=x Luego: BQ = AD b+x=a x=a-b
40º
RPTA.: D
A) 25º D) 40º
CIRCUNFERENCIA I En la figura, calcule m AB ; si m CDE 145º .
81.
B) 20º E) 15º
C) 30º
RESOLUCIÓN
B
C x
B
180-2x
C D
2x 40º
o
A
E
D
Como: m BCA x m AB 2x
A
A) 70º D) 140º
B) 145º E) 90º
Por ángulo interior CD 180º 2x Por teorema de los recuadros: 180º 2x 2x 40º
C) 72,5
x=25º
2
RPTA.: A
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
83. Según el gráfico, mBM mBN . Calcule :
A) 90º D) 270º
B
A) 120º
B) 45º E) 135º
C) 180º
RESOLUCIÓN
B) 150º
C N
C) 90º
45º
M
B
D) 130º
E) 180º
A
90º
C
RESOLUCIÓN B a
a
Por
N
M
d
b
A
prop. del ex inscrito: m ACB 45º m AB menor =90º m AB mayor =360º-90º=270º m AB mayor - m AB menor =180º
RPTA.: C
A
C
85. Según el gráfico, calcular ABCD es un paralelogramo.
c
Sea m MB mBN a mMA b, mAC c, mCN d Del gráfico 2 a d...(I) .....( Por interior bca
B
interior)
x, si
C
A
D x
2
b c a...(II)
2
A) 120º D) 90º
Sumando (I) y (II): 2 2 a d b c a
B) 60º E) 80º
C) 70º
RESOLUCIÓN
2 360º 180º
2
B
RPTA.: E
84. Según el gráfico, calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor AB.
2x
x
C x x
A
x
x
D
E
x B
En el gráfico: BCE 2x BAE x como ABCD es un paralelogramo m c x A GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
Luego: BDC es equilátero. x = 60º RPTA.: B
A) 60º D) 37º
86. En un trapecio ABCD BC//AD inscrito en una circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud de la base media del trapecio, si: mBC mAD 180º . A) D)
H
B)
3
H
2
C) 45º
RESOLUCIÓN C x
C) H
2
H
E)
3
H
3
B) 30º E) 53º
P
2
120º
RESOLUCIÓN B
º
M
H-a
º 2º
2
C
T
A
H
H
90º
º 5 4
45º a
a
D
H
B
En el MNP : 60º...(I) En el ATB , por propiedad m T 90º x 90º...(II) Reemplazando (I) en (II) x = 30 RPTA.: B
Como BC//AD Trapecio ABCD (Isósceles)
*
Por dato BC AD 180º AB CD =180º AB CD 90º m CAD m BDA 45º
*
Del gráfico, la base media es: a H H a H
88. En el gráfico, calcule AE=2(BC) y mCD 20º A) 130º
C
C) 110º
Según el gráfico, A, B y T son
puntos de tangencia. Calcule “x”.
E) 160º
B
A
o
RESOLUCIÓN
x
x D C a
120º
B a
T A B
D
D) 150º RPTA.: D
GRUPO SAN MARCOS A
x
B) 120º
2
87.
N
A
90º
º
a
4 0 º o
a
E
E
x,
si
GEOMETRíA
Como: Dato: Sea BC a ; AE = 2a AO OE a En la semi circunferencia: el ABE es rectángulo BO a mCDE 180º Como: m CD 20º DE 160º Luego: BC BO OE a entonces los arcos son iguales. BC BO OE CDE 360º 180
BC BO OE 60º BCD BC CD 60º 20º 80º m BED 40º
mAT 7 mAT 7k; mBC k mBC 1 OHE: m EOH = 60º....(1) En el gráfico: k CD 60º 7k TB 120º ..(2) (2)(1) 6k TB CD 60º
el
gráfico:
A) 60º
AT 7 y T es punto mTB mCD, m BC 1 de tangencia “m”. Calcule m TEO .
T
B
C
B) 70º C) 140º
E 30º
T
OTE)
90. Según el gráfico; calcule mBT , si ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia).
RPTA.: A
En
x = 40º......(
RPTA.: E
x = 130º 89.
k 10º TB CD 50º m TOE 50º
6k + 0 = 60º
D) 120º
B
A
70º
D
E) 35º
C
RESOLUCIÓN A
o
A) 60º D) 80º
B) 30º E) 40º
C) 50º
D
B
T
C 70º
RESOLUCIÓN 40º
E x T
50º
30º
B
k
A
70º
C
7k
50º 120º
60º
A
70º
o
H
D
m AB mTD ........ Propiedad m ADT = 70º En el paralelogramo ABCD: m BAD + m ADC = 180º mTDC = 40º Luego:
GRUPO SAN MARCOS
D
GEOMETRíA
C
m TD = 80º Pero: m BDT = 140º ...(ángulo inscrito) m BT = 140º 80º = 60º
D B
RPTA.: A
91. Del gráfico, Calcule la m BAP, Siendo T y P son puntos de tangencia, TB = 4 y r = 5 T
x
o
E
F A
A) 60º D) 30º
B
B) 70º E) 50º
C) 40º
RESOLUCIÓN C
A
r
D 60º o
P
B
A) 37º D) 60º
B) 53º E) 45º
C) 30º
60º
120º
o 5
5 4 H
x
A
3
Como P y T son puntos de tangencia, entonces: OP PA y OT TA, además: OT OP r 5 (dato) En el PHO (notable); m OPH 53º m BPA 37º x = 53º .....( PBA) RPTA.: B
Como: ABC 120º BOC BOA 60º Los triángulos BOC y AOB son equiláteros luego, ODEF es un rombo, donde m DEF m DOF x DF x 120º x ...........( exterior) x 3x = 120º x= 40º RPTA.: C
93. Del gráfico, P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule m PT .
T
92.
Calcule x, si AB=BC =DE=FE y m ABC 120º .
r
A) 60º D) 120º GRUPO SAN MARCOS
E
2
P
x
A
B
5
x
F
RESOLUCIÓN T
x
R
P B) 105º
E) 90º
C) 100º
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
A) 5 3
B) 3 T
r
2r
D) 4
30º
E) 6
P
Q
C) 2,5
r o
S
2
T P
A
Del gráfico, como TA = R = 3r AO = 2r Luego, m TOP 120º m TP 120 º
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
S
94.
Según el gráfico, mTC mBC, si AB BC
calcule
O1 3 Q 2 53º 53º a 3 4 2a T 3
O2
C T
P
Sea m QT a por dato m ST 2a luego, O1 TO (notable) m TO1O2 =53º a = 53º PS = 4
B
A
2
A) 120º D) 100º
B) 150º E) 90º
C) 180º
RESOLUCIÓN T
2
B
RPTA.: D
C
96. Según el gráfico; AB = 1, BC = CD = 2, además B, C y T son puntos de tangencia.
2
Calcule “x”.
A
En la semi circunferencia el m TBC es recto El ATC es isósceles. AT TC =2x luego, en el gráfico TC BC 2 2 2 =180º 90º =180º
T
x A
B C
RPTA.: C
D
95. En la figura, mST 2mQT. Calcule PS, si T,Q y S son puntos de tangencia. GRUPO SAN MARCOS
A) 30º
B) 37º
C) 53º
GEOMETRíA
D) 60º
º
B
53
E)
C
2
o
RESOLUCIÓN M T
P 3
x
4 A 1 B
2
x
2
C
2
D
Sea m ATC mTC 2 Como T y C son puntos de tangencia AT AC 3 m ACT también B y T son puntos de tangencia BD =TD=4 Entonces ATD(notable)
m ADT 37º ; + x = 90º ...(I) 2 2x 37º .........( exterior) 2 x 37º...(II)
x
3
RPTA.: D
98. En la figura, calcule ; si T, Q y P son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ). T B C
P Q
A) 53º B
C
D) O
A
B)
º
37
B)
8
E)
2
3
3
3
RESOLUCIÓN
2
C) 37º
RESOLUCIÓN 2a
D
A
A) 6
º
53
E) 45º
2
T
4
4 D
8
97. Si “O” es el centro del cuadrado ABCD y PA =AD=8. Calcule AM.
P
4 H
8 = 3x
RPTA.: E
M
A
8
Como ABCD es cuadrado el lado del cuadrado =8 AH=HD=4 Como “O” es centro OH=4 Luego: m OPH = 37º 2 PA 3x
De (I) (II): 2x=53º 53º x 2
D)
4
x
B 4a
C)
3
2a
Q
37º
C
P a a A
Sea AQ=a BT=2a y BC=4a Luego ABC (notable) GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
E
m BAQ 127º m QP 53º
F
53º ..........( 2
D
inscrito) RPTA.: B
99. Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, en el arco BC se ubica el punto P, tal que AP BC , luego se traza PH perpendicular a AC en H. Calcule la la m EHP si m ABC 70º y AP BC = E . A) 53º D) 20º
B) 35º E) 30º
A x
ab
A)
E)
2
70º
D)
ba 2
ab
2
2
ba
2
2
RESOLUCIÓN º º
B)
C) b a
C) 10º
B
C
B
RESOLUCIÓN
P
a
c
E
F
E
Q
2
D
D
ac
20º
x
x
A
G
2
A
C
H
x
C
B
* * * *
En AHB: m HAB 20º Se traza AQ que pasa por D. Por proa. AEDH es inscriptible
*
m DHE m EAD x Por proa. m EPD m HCD
mAB 2 m BPA
Sea: FE c m FAD
*
En la pro.
*
b
ac .......( inscrito) 2
menor: mFG a c luego por ac ex -inscrito: 2
En la
mayor: T. cuerdas
c mBC .............( interior) 2 a c c BC BC a 2 2
Luego BPD(isósceles) BE ED ABD (isósceles) x=20º RPTA.: D
100.
En
la
figura
mBCD b . Calcule “x”.
mED a
y
m CD b a
x
ba 2
RPTA.: B
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
CIRCUNFERENCIA
a
r
101. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37° y 53°. Calcule la relación entre las medidas inradio y el circunradio. A) 2/5 B) 1/5 D) 3/5 E) 2/7
c
b = 2R R
r Inradio R = Circunradio
C)3/10
1
Dato: a + b + c = 42 ………. R = 3r ………..
2
: Teorema de Poncelet. a + c = b + 2r ………. RESOLUCIÓN
3
3
en 1 : b + 2r + b = 42
B
3k
A
2R + 2r +2R = 42
4k
r
53º
37º 5K
2
AC = 2R= 5k 1
2
………... 1 …………
2
un rectángulo ABCD la bisectriz del ángulo B, interceptando en “E” a AD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero BEDC, si ésta determina el punto “N” en BE y BN – NE = 16. r
C
2r
r
Ny A
102. En un triángulo rectángulo las medidas del inradio y el circunradio están en la relación de 1 a 3. Calcule la longitud del inradio si el perímetro del triángulo es 42.
2
x 45º 45º
2r
RPTA.: A
2
B
x
:
2r 2k 2R 5k r 2 R 5
A) 2 D) 3
: 2(3r) +r = 21 r=3
103. En se traza
ABC: Teorema de Poncelet. 3k + 4k = 5k + 2r Luego:
en
RPTA.: C
r = Inradio R: Circunradio
2r = 2k
4
C
R
2R + r = 21….... 4
B) 2 E) 6
RESOLUCIÓN
C) 3
E y
2r
A) 16 D) 8
B) 12 E) 4
D
r
C) 10
RESOLUCIÓN
Dato:
BN NE 16 x y 16 …..
1
BC = AD x + r = 3r + y x – y = 2r ………….. 2 1
en 2 :
16 = 2r x = 8 RPTA.: D
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
104. En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH (H en AD ). Si la longitud del inradio del triángulo ABH es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia de radio cuya longitud es R, calcule HD.
RPTA.: B
B) 2R 3r C) R r E) 2(R r )
A) R 2r D) 2R r
106. Desde el punto C exterior a la circunferencia de diámetro AB se traza la tangente CT (T en el arco AB) y CH AB (H en AB ) siendo 6 TC 4 AB , calcule la m THA .
RESOLUCIÓN b+x
B
2R
a
C
R
A) 53º D) 60º
a
r
Se traza BC m ABC 90º Luego SPBC : Inscriptible m SBC x BOC ( 45º, 45º) x = 45º
B) 37º E) 45º
C) 30º
RESOLUCIÓN A
b
D
x
T
AHB: Teorema de Poncelet. a + 2r = b + 2R …………....
BCDH:Teorema de Pithot.
1 3k
b + 2x = 2R + a……………... 2
+ 2 : a + b +2x + 2r = 4R + a + b 2x = 2(2R-r) x = 2R-r 1
x
4k
H
c
A
x
o 6k
H
B
RPTA.: D
105.
En una circunferencia de centro Sea: “O” centro de la circunferencia. OT TC …..propiedad.
“O” se ubican los puntos A, B y C de
que AC es diámetro y m AB 90 º. En AB y en la prolongación de BO se ubica los puntos P y S respectivamente. Siendo m
A) 30º D) 37º
B) 45º E) 20º
B x
P x
A
o
S
GRUPO SAN MARCOS
OTCH: Inscriptible m TCO x
OTC (37º, 53º) x = 37º
RPTA.: B
107. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) de incentro “I”, AI = 1 e IC = 3 2 . Se traza la perpendicular CH a la prolongación de AI; calcule la longitud del inradio del triángulo rectángulo AHC.
C) 60º
RESOLUCIÓN
C
A) 3 D) 2
B) 5 E) 1
C)4
GEOMETRíA
x 5 3
RESOLUCIÓN B
H 3
A
1
3 2
135º
5
RPTA.: C
109. La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a 8u. Calcule la suma de las longitudes de su inradio y de su exradio relativo a la hipotenusa.
3
r
I 45º
x=2
C
A) 8u D) 16u
AIC :
m AIC 135º ………(Propiedad) Luego: m HIC 45º IH HC 3
r1 r1
r1 a
RPTA.: E
B) 1,5 E) 3
x M + r N
B r r P
b A
r
5 M 5-a
r1 b
Dato: a + b = 8 ................(1) Teorema de Poncelet: a + b = 2r1 a b 2r 2 a b 2 r1 r a + b = r1 r ...................(2) (1) en (2) r1 + r = 8
a Da
r1
r1 b
b
C) 2
RESOLUCIÓN
r1 a
a
108. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC recto en B, (BC AB), es tangente en N a AB y en P a BC . Exteriormente se construye el trapezoide BCED en el cuál la circunferencia inscrita es tangente en M a BD y en Q a BC . Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y DM + AN = 3. A) 1 D) 2,5
C) 4u
RESOLUCIÓN
AHC: Teorema de Poncelet 4 + 3 = 5 + 2r r=1
B) 12u E) 6u
RPTA.: D
110. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 24 cm. Calcule la distancia del incentro al circuncentro.
x
r b
Q
m-x m
C
Del Dato: AC = EC a + b = 3 ...........................(1) b m 5 a m x x 5 a b ............(2) (2) en (1):
GRUPO SAN MARCOS
A)
m-x
cm
41 cm
D) E) 3 5 cm
35
B) 65 cm cm
C) 51
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
112. De la figura calcule UN-CP; Si QT = 3 y el perímetro de la región UNC es igual al de la región QUCP (T Punto de tangencia).
B
10 6 A
I
4
4 x
4=r 6
13
24
H
Q
7
O
C
13
T
I Incentro O Circuncentro ABC: Teorema de Poncelet. 10 + 24 =26 +2r r = 4
P
x2 42 72 16 49 x 65
Q 3
111. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Las circunferencias inscritas en los triángulos ABM y BMC determinan los puntos de tangencia P y Q sobre BM . Calcule PQ si BC – AB = 12. B) 8 E) 3
3 r r P
C) 6
B a
a+x P x
n Q n
A
BC
–
m
C
AB = 12
a+x+m - (a + n)=12
x + m – n =12 x + m = 12 +n ...................
1
Como:AM = MC (M: punto medio)
b n x b m .............. 1
2
+ 2 : 2x+m+n 12 m n
x=6 RPTA.: C
GRUPO SAN MARCOS
r r c
N
m
m + n = 6 + 3r + a……………..
Teorema de Poncelet:
1
a + n = r + m …………………….. 2 1
Dato:
n
3 r 2r m 3 a n 2r
m b Mb
x+b
r
T aU a
Piden: UN CP n 2r Dato: a + r + m + n = 6 + 4r +2a
RESOLUCIÓN a
B) 6 C) 9 E) 2
RESOLUCIÓN RPTA.: B
A) 10 D) 4
N
C
A) 3 D) 5
IHO: Pitágoras:
U
+ 2 :
a 2n m 6 4r a m 2 n 2r 6 n 2r 3 RPTA.: A
113. En un rectángulo ABCD en BC se ubica el punto P de modo que la m APD 90º siendo AB = 10, calcule la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABP, APD y PCD. A) 2,5 D) 15
B) 5 E) 20
C) 10
GEOMETRíA
115. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC intersecta a AC Y BC en M y N respectivamente; luego se traza la altura AH (H en BN ). Si AB NC y m ABC 70º . Calcule m HMN .
RESOLUCIÓN a
B
P
b
C
r1 10
r3
m
A
10
n
r2
A) 10º D) 18º
B) 20º E) 12º
C) 15º
D
a+b
RESOLUCIÓN B
ABP, PCD, APD: Teorema de Poncelet.
70º
N
10 + a = m + 2r1 ….. 1 10 + b = n + 2r3 …… 2
m n a b 2r2 … 20 2(r1 r2 r3) r1 r2 r3 10
x
+ x x
3 A RPTA.: C
114. En una circunferencia se ubica los puntos A, B, C y D de modo que AC BD P y AC BD. Si el inradio del triángulo BPC mide 1 cm, AP 3 cm y m AB 2mAD, calcule BP. A) 2 cm D) 5 cm
B) 3 cm E) 8 cm
M
ANHM: Inscriptible m HAN x …. (propiedad) BAN: Isósceles (AB=AN)
2x = 40º x = 20º
116.
AB se ubica el punto Q de modo que la m AQB 90º; luego se traza OP AQ . Siendo OP 2 BQ , calcule la m BOQ
C) 4 cm
A) 30º D) 26,5º
b+3
B
a
Q
b
C
2a
2 P
x
2a
c
2
P D
a
ACB: Isósceles BC = 3 +b BPC: Poncelet x b 3 b 2(1) x=5
o
a a
T
x A
AQBO: Inscriptible RPTA.: D
GRUPO SAN MARCOS
C) 16º
1
90 3
B) 15º E) 18,5º
RESOLUCIÓN
x
A
En un cuadrado ABCD de centro
“O”. en la región exterior relativa al lado
B
4
C
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
90º
H
Se traza BT
PO
D
GEOMETRíA
BTO APO BT 2a; PA a
Luego:
BQA:
x
37º 18,5º 2 RPTA.: E
117. Una circunferencia se encuentra inscrita en un trapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule la longitud de la base media de dicho trapecio. A) 2,5 D) 10
B) 5 E) 12
Se traza IT BC y m APC 90º ITPC: inscriptible (Propiedad) m PIC x Luego: m AIC 135º x = 45º RPTA.: B
119.
Calcule “x” en el gráfico
C) 7,5
x°
6°
57°
6°
27°
RESOLUCIÓN B
C
A) 15° D) 60°
B) 84° E) 75°
C) 63°
RESOLUCIÓN B 84º
A
Dato: Perímetro=20 Teorema Pithot BC + AD = AB + CD = 10 BC AD Base media = 5
T x
6º A 57º
D
H
33º
2
D 84º
RPTA.: B
118. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, T es el punto de contacto entre BC y la circunferencia inscrita. P es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita. La medida del ángulo PTC es: A) 30 D) 63,5
B) 45 E) 71,5
33º 33º
C) 60
E
Se traza BH AC AH=HC Luego: Se construye AEC: Isósceles
RESOLUCIÓN B P T
I I
A
x
x
C
m DCE 30º m HEC m AEH 33º Luego: DBCE: Inscriptible m BDC 33º m CDE 84º DTC :
GRUPO SAN MARCOS
6º C 33º 27º 30º
GEOMETRíA
x 33º 27º …(Prop.
exterior)
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
x = 60º
RPTA.: D
120. En un triángulo ABC mBAC= 60 y BC = 6u. Calcule la distancia del incentro al excentro relativo a BC . A) 3 u
B) 6 u
D) 2 3 u
E) 4 3
121.
En
la
figura
calcule
z,
si:
x x.y x y , L1 //L 2 //L 3 y
L1
A) 4
C) 4 u
6x
B) 5
z-1
L2
C) 6
u
D) 7
RESOLUCIÓN
y+5
z+1
L3
E) 8 RESOLUCIÓN
B
E x /2 120
I x /2
30º 60º 30º
A
x 3 2
1) Dato: x.y x y
60º
x /2
M
Resolviendo:
x /2
x
IBE y ICE (rectángulos): IBE: Se traza BM (mediana) =
x 2
CM =
x 2
4 z 1 3 z 1
m
BMC:
4z 4 3z 3
x 36 2
x
(II)
6 1/2 z 1 1 5 z 1
“M” es circuncentro de BEC
(I)
3) (I)en (II)
ICE: Se traza CM ....(mediana)
1 , y =-1... 2
2) Teorema de Thales 6x z 1 ... y 5 z 1
C
BM
x y
z=7
12 3 4 3 3
RPTA.: D RPTA.: E
122.
En la figura, calcule BF si:
AE 3 , CD=6 EC 2B
45º
45º
D
A GRUPO SAN MARCOS
E
C
F
GEOMETRíA
B) 7 2 E) 12 2
A) 6 2 D) 9 2
9 x2 81 16 x2 144 x 12
C) 8 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
1) Corolario de Thales:
AE BD ... EC CD
(I)
124. En la figura, calcule CF, si: AD=3 y DC=2.
2) Reemplazando los datos en (I): 3 BD (II) BD 9 ..... 2 6
45º45º45º
3)
BDF (notable) BF BD 2 ... 4) (II) en (III) BF 9 2
B
(III) D
A
RPTA.: D
A) 5 D) 10
123. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y DC = 5
B) 6 E) 12
F
C) 8
RESOLUCIÓN
A
A) 6 B) 8
C
B
45º
45º45º45º
C) 9
C
D) 12
a
E) 15
B
C
D
A
RESOLUCIÓN A
2
C ( 5+x )
F
x
1) Dato: AD = 3, DC = 3 y DC = 2 2) Teorema de bisectriz
x
B
D
3
c 3 ... (interna) a 2 c 5 x ...(externa) a x
y
4
D 9
5
3) Teorema de Pitágoras en ABC y2 x2 92 ... 4) (I) en (II) 2 5 2 4 x x 81
C
2 x 3x 10 2x x 10
RPTA.: D
(I)
125. En la figura, calcule CF, si: el triángulo ABC es equilátero, BD=3, AD=5, BE=4.
(II)
B D
A GRUPO SAN MARCOS
(II)
3) Igualando 3 5 x ..División armónica
1) Dato: BD = 4, DC = 5 2) Teorema de bisectriz
x 4 5 y x ... y 5 4
(I)
E
C
F
GEOMETRíA
4) ABD A) 8 D) 12
B) 9 E) 15
C) 10
RESOLUCIÓN B 3 D
5) ABD E
25
8
x
C (8+x)
x 400 x = 20
F
x RPTA.: D
127. Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y DF= 4.
1) Dato: BD = 3, AD = 5 AB = 8 2) Dato: ABC es equilátero AB = AC = BC = 8 3) Dato: BE = 4 EC = 4 4) Teorema de Menelao 5 4 x 3 4 8 x 5x 24 3x x 12
B
A
126. En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulo externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Calcule BD, si AB = 25 y BC = 16. B) 15 E) 36
C) 18
C
D
F RPTA.: D
A) 12 D) 20
16
2
4
A
BDC
x
4
5
mBDF mA mABD mBDC mCDF mA mABD mBDC mA
A) 5 D) 6,5
B) 5,5 E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN B
5 A
D x
RESOLUCIÓN
C
4
2
F B
25
A
C x
1) Dato: mCDF
16
D
mABC 2
2) Si: mCDF mABC 2 3) BD es bisectriz mABD mCBD
GRUPO SAN MARCOS
1) Dato: BD = 5, DF = 4 2) Ángulo inscrito
mCBF mCAF 3) ABC
mCF 2
ADF (caso AAA)
x 9
4
x
x2 36 x=6 RPTA.: C
128. En un triángulo ABC la base AC mide 30 cm. y la altura BH mide 15 cm.
GEOMETRíA
Calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito en dicho triángulo y que tiene un lado contenido en AC
RESOLUCIÓN A
A) 15 cm. C) 10 cm. E) 13 cm.
B) 12 cm. D) 8 cm.
y
x M
RESOLUCIÓN
D
x
15
x
G
F
C
36
1) Dato: AB =18 BM = 18 – x AC =27 NC = 27 – y BC =36, MN//AC 2) Dato: Perímetro (AMN) = Perímetro (MNCB) x y z 18 x z 27 y 36 2x 2y 81 ... (I)
E
x A
27-y
B
N
18-x
B 15-x
z
C
3) Corolario de Thales
30
x y 18 27 x y 2 3 2y 3x ...
1) Dato: BH= 15, AC =30 2) ABC DBE 15 15 x
30 x 1 15 x 2 x
(II)
4) (II) en (I) 2x 3x 81
x = 30 -2x 3x = 30
x 16,2 RPTA.: B
x = 10 RPTA.: C
129. En la figura, MN es paralela a BC , AB = 18 cm, AC = 27 cm y BC = 36 cm. Calcule AM para que el perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio MNCB.
130. En la figura, calcule EC, si: BD = 12 y DE = 15 A) 20
A
B) 22 C) 24
A) 14,5 cm.
D) 25
A
B
D
B) 16,2 cm.
E) 27
C) 12,5 cm.
RESOLUCIÓN M
D) 18,2 cm. E) 19,2 cm.
B
C
A
N
c
C
a
F
GRUPO SAN MARCOS
E
12
B 12 24
D
15
x E (15+x)
C
GEOMETRíA
90º 90º 45º 2 90º m APD 45º 2 90º m DPC 45º 2
m BPA
1) Dato: BD = 2 , DE = 15 2) Construir el ABF ABD BF = BD = 12 AF = AD = a 3) Teorema de bisectriz en ADC
a 15 ... c x
4) BPC : División Armónica 3 5x
(I)
4) Teorema de bisectriz en FAC
a 24 ... c 15 x
2
(II)
x 10 ... 5) Nos piden AB
15 24 x 15 x x 25
= 3 + 2 + x....... 6)(I) en (II) = 3 +2 + 10 15
RPTA.: D
F
E
C
B) 12
La prolongación de CP intersecta a AB en E; calcule AE.
C) 13 D) 15 A
E) 18
A) 3
D
D)
RESOLUCIÓN P B
F
2
E
B) 4
15 4
E)
C)
17 4
x
C
A
5
x
90º
90º
M
E
P
5
6-x A
B
D
1) Dato: BF = 3, FE = 2 2) Dato: ABCD es cuadrado
mAB mAD mCD
360º 90º 3) 4
GRUPO SAN MARCOS
3
D 8
5
1) Dato: AB = 6, BC = 8 2) ABC (37º y 53º) AC = 10 3) Teorema de bisectriz en ABC
90º
Ángulo Inscrito:
11 4
RESOLUCIÓN
45º 45º 45º
3
(II)
132. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AB=6, BC=8, se trazan: la mediana BM y la bisectriz interior AD D BC que se intersectan en P.
P B
RPTA.: D
131. En la figura, calcule AB, si ABCD es cuadrado, BF = 3 y FE = 2. A) 10
(I)
5) Igualando (I) y (II)
x
6 BD 10 8 BD BD BD 3
C
GEOMETRíA
DC 5 4) Dato: BM es mediana
incentro, se traza BI cuya prolongación intersecta a AC en D. Calcule
AM = MC =5 5) Teorema de Ceva x 5 3 6 x 5 5 3x 30 5x 8x 30
A) 1,2 D) 1,8
C) 1,6
RESOLUCIÓN
15 x 4
B) 1,5 E) 2,1
B RPTA.: D
45º45º
I
133. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y EC= 2
r
B
o
A
C
D
R
R
2R
1) Dato: R=5r … 2) Teorema del Incentro BI AB BC …
ID
A
E
A) 6 D) 12
BI ID
B) 8 E) 16
(II)
AC
3) Teorema de Poncelet AB+BC=AC+2r = 12r (III) (III) en (II)
F
C
(I)
C) 10
BI 6 1, 2 ID 5
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
B
135.
d b
Calcule x en la figura.
B
a c A
4
E
C 2 (6+x)
C
6
F
F
3
x
x A
1) Dato: AE = 4 , EC = 2 2) Teorema de Ceva ab (2) = dc (4) …
3) Teorema de Menelao ab x= dc (6+x)…
(I) (II)
A) 5 D) 2
E
B) 2 E) 1
D
C) 3
RESOLUCIÓN
4) Dividiendo(I) y (II)
2 4 ... Div. Armónica x 6x 4x 12 2x
x= 6 RPTA.: A
134. En un triángulo rectángulo ABC recto en B cuyo circunradio mide R, el inradio mide r, R=5r, siendo “I” el GRUPO SAN MARCOS
Por semejanza
x AE ..(I) 3 AD x ED ..(II) FED BAD 6 AD AEF ADC
(I) y (II)
GEOMETRíA
8x = 40
x x AE ED ED 3 6 AD 1 1 x 1 3 6 2 1 x 1 6 6 x 3 x= 2
x=5 RPTA.: C
137. En un triángulo ABC se inscribe un rombo BFDE, F en AB, D en AC y E en BC . Calcule la longitud del lado de dicho rombo, si: AB = 6 y BC = 12 A) 3 D) 9
B) 4 E) 10
C) 8
RPTA.: B
136. En un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la circunferencia en M y N respectivamente, MN intersecta a AC en P, si PC = 10, NC = 8 y AM = 4; calcule AP. A) 3 D) 6
B) 4 E) 8
C) 5
D
A
P
12
6 F 6-x
A
1 2 - x
x
x
D
1 0
N E
C
8 8
C
4) NCE es isósceles NC EC 8 5) APM EPC Caso AAA 4
12
x
x x x2 6 x 12 x x2 72 18x x2 6
x=4
mAMN mAMN mBN BNM M
x
x
18x = 72
1) Dato:PC = 10, AM = 4, NC = 8 2) Trazar CE//AD ángulos alternos internos m MEC 3) Ángulo Seminscrito
E
3) AFD DEC Caso AAA
B
x
x
FD//BC DE//AB
M x
B
1) Dato: AB= 6, BC=12 2) Dato BFDE es rombo BF = FD = DE = BE = x
RESOLUCIÓN
4
RESOLUCIÓN
GRUPO SAN MARCOS
10 8
mMN 2
RPTA.: B
138. Las medidas de los lados de un triángulo son tres números pares consecutivos además el mayor interno mide el doble de la medida del menor ángulo interno. Calcule la medida del menor lado. A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
GEOMETRíA
140. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, la prolongación de la altura BH intersecta a la bisectriz exterior del ángulo C en el punto P. Calcule BP, Si: AB = 4, BC = 3 y AC = 5
RESOLUCIÓN B
x
x+4
x+4
2
x
E
x+2
A
A) 3 D) 6
C
(2x+2)
x 4 x x 4 2 x 1 x2 8x 16 2x2 2x 0 x2 6x 16
C) 5 T
RESOLUCIÓN
1) Prolongar CA hasta E tal que AE = AB = x 2) BE = BC = x + 4 3) ABC BAE
B) 4 E) 8 x
90
B
4
A
5
x 8 x 2 0
3
C
H
x
90
x-8=0
x=8 RPTA.: E
139. En la figura, calcule ET, si: DP=3 y PE = 2, D, E y F son puntos de tangencia. B
D
P
A
F
A) 5 D) 10
P
1) Las prolongaciones de AB y PC se intersectan enT. 2) m BPC m BTC 90º 3) PBT es isósceles
BP BT x 4) ATC BCP Caso AAA E
5
90
C
x
3
x
5x= 12+3x 2x=12
T
B) 6 E) 12
4
C) 8
x= 6 RPTA.: D
RESOLUCIÓN
1) Propiedad A, F, C y T es una cuaterna armónica. 2) B-AFCT es un haz armónico
DP DT … PE ET
(I)
3) Dato DP= 3; PE =2, ET =x… 3 5x 4) (II) en (I)
2
(II)
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
141. En el rectángulo ABCD donde BC = 2AB = 8, calcule “x” si “O” es el centro del arco ED. B
C
x
x= 10
M
x
RPTA.: D
A GRUPO SAN MARCOS
E
O
D
GEOMETRíA
A) 2,6 D) 3,2
B) 2,8 E) 1,2
C) 3,0
RPTA.: D
143. En un triángulo acutángulo ABC la proyección de AB sobre BC mide la cuarta parte de BC. Calcule BC si:
RESOLUCIÓN
8
B 4
2 M
2
*
C
A) 2 D) 16
x
2 A
AC2 AB2 8
(8-x) 8
x
o
D
RPTA.: D
A
C Por Euclides: ( < 90º)
*
AC 2 AB 2 x2 2x
142. Se tienen 2 circunferencias secantes y congruentes de radio cuya medida es 8 m y la distancia entre sus centros es 10 m. Calcule la medida de la cuerda común. B) 6 m D) 2 39m
C) 8
RESOLUCIÓN B x 4 x
MAO : x 22 22 8 x 2 x 3, 2
A) 2 13 m C) 2 15 m E) 39 m
B) 4 E) 6
x 4
x2 AC AB x 2 2 x 8 x4 2 2
2
2
RPTA.: B
144.
En el gráfico, calcule HR, si: BQ 1 y QC =2 B
RESOLUCIÓN
Q
M 8
O1
10
8 H
A
H
O2 A)
6 2 6 D) 6
6
B)
6 3 6 D) 12
N
C)
MN = x
x 2 O1H HO2 5 MHO1 :
MH
C
R
RESOLUCIÓN B
1
Q
2
x 82 52 2 x 2 39 GRUPO SAN MARCOS
2 A
H x
R
C
GEOMETRíA
*
*
BHC (Thales): 1 x RC 2x 2 RC HQC : 22 3x 2x 6 4 x x2 3 6
2
ABP: 2
16 AP HP 2
AB . Calcule la distancia de
A) 2 15 D) 4 5
AC si AH = 3 y HB = 4. B) 2 3 E) 5
A) 7 D) 2 7
x =16 147. En el rectángulo ABCD de perímetro 20, se traza CE perpendicular a siendo BD ACCE 5 . Calcule BD.
AB y centro “O”, se traza la cuerda AC y “O” a
2
RPTA.: D
En una circunferencia de diámetro
CH
2
42 HP AP
RPTA.: C
145.
2
Sea: x AP HP
C) 3
B) 9 E) 2
C) 3 10 10
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
b
B
C
C
a
x
a
2 x
E
A
x
A 3
*
H
4
B
O
*
ACB:
2x 2 4
7
x 7 RPTA.: A
146. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH y la mediatriz de BH que intersecta a BC 2 2 en P. Calcule AP HP si AB = 4 A) 16 D) 12
B) 4 E) 32
C) 8
RESOLUCIÓN
4
A
P
H
GRUPO SAN MARCOS
C
D
2a 2b 20 a b 10 a b2 102 a2 b2 2ab 100 x2 2 BD.CE 100 x2 2(5) 100 x 90 3 10 RPTA.: C
148. En el trapecio ABCD donde las diagonales se intersectan perpendicularmente BC//AD , se traza la altura CE siendo AE = 4, ED = 7 y BC = 2. Calcule CE. A) 2 3 D) 6
B
b
B) 3 2 E) 5
C) 2 6
GEOMETRíA
150. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan: la altura BH y la bisectriz interior AS que se intercectan en “P”. Calcule BP si AS. PS = 36
RESOLUCIÓN 2
B
O
A
* *
C
E
4
7
D
B
x P
A
S
diagonales se cortan en “O”, calcule OP si “P” es el punto medio de DC ,
C
H
BPS: (Isósceles)
*
En el cuadrilátero ABCD donde las
BP BS x;PM MS
PS 2
2
ABS: BS AS HS
*
AB= 6 2, BC = 6, CD = 8 y AD = 10. B) 3 2 E) 4 2
x
RPTA.: D
A) 5 D) 6
C) 6
RESOLUCIÓN
P
2
Se traza CP //BD Por paralelogramo BCPD: BC DP 2 mACP mAOD 90º ACP: x2 AE ED x2 4 9 x 6 149.
B) 3 3 E) 3
A) 3 2 D) 4 2
X
x2 AS
C) 4
x2
PS 2
AS PS 36 18 2 2
x3 2 RPTA.: A
RESOLUCIÓN
151.
En un romboide ABCD se cumple: BC AB2 4 AC . Calcule la
B 6
2
2
6
longitud de la proyección de BD sobre
AC
O
A
x
C
P
A) 1 D) 4
8
10
B) 2 E) 1,5
C) 2,5
RESOLUCIÓN
D
a
B
C F
*
Se cumple:
*
2
6 10 6 2 8 m DOC 90º DC 8 DOC: x 4 2 2 2
2
O x
b 2
E A
RPTA.: C
x 2
a
D
*
EO OF
*
Proyección de la mediana: ABC
a2 b2 2 AC EO GRUPO SAN MARCOS
b
GEOMETRíA
4 AC 2 AC
x 2
*
BG GP, AB AP 10
x=4
RPTA.: D
152. Calcule la medida de la altura de un trapecio si las bases miden 6 y 8, las diagonales miden 13 y 15. A) 10 D) 12
ABP (Isósceles):
B) 11 E) 10,5
C) 11,5
*
Trapecio BCDP: (GM mediana):
14 4 9 2 GCD (la mediana):
GM *
102 x 12 2 9 2 2
RESOLUCIÓN
2
2
x = 2 17 6
B
C
RPTA.: A
154. En el cuadrado ABCD AB = Calcule BP, P: punto de tangencia.
15 13
1 5
x A
D 6
E
Se traza CE//BD: Paralelogramo: BCED:BC=DE=6, CE = BD = 15 ACE (Herón): 13 15 14 42 p 21
*
* *
2
x
P
2
A) 1 D)
x= 12
RPTA.: D
5 3
B
se intersectan en “G”. Calcule GD si
E)
10
C) 2 19
10
1 2
P
G
A
M 10
x
10
P
GRUPO SAN MARCOS
4
*
D
10
Q
D
Auxiliar
x 10 10 2
10
2 / x 2 / x
10
RESOLUCIÓN C
C
37/2
A
14
5 4
3 7 / 2
GC = 12 , AB =10 y BC = 14
B
C) 3
B) 2
RESOLUCIÓN
153. En un romboide ABCD se trazan las bisectrices de loa ángulos A y B, que
B) 6 2 E) 2 21
D
A
2 2121 1321 14 21 15 14
A) 2 17 D) 4 5
C
B
8
10
x=2
RPTA.: B
155.
En el trapecio escaleno ABCD se cumple: BC//AD
GEOMETRíA
AC 2 CD2 m . Calcule el producto de las longitudes de las bases.
m 2 m E) 6
A) m D)
B)
m 4
C)
*
m 3
Teorema de Euler: 2
2
2
2
2
2
2
AC 2
+
102
RESOLUCIÓN
AC 2 = AC2 BD2 4 3 2 2 2 2 10 = 10 x 4 3
2 3x
B
C
RPTA.: D
157. del AD BC 2
En el gráfico, calcule la medida lado del cuadrado ABCD si
CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es el
centro del arco BD
A
*
2
AB BC CD AD AC BD 4 MN
D
B
C
Teorema de Euler:
AD2 BC 2 AB 2 CD2
E
2
F
AC BD 4 AD 2 BC 2
2
2
AD BC2 AB 2 CD2 AC BD 2
2
2
A
2
AD BC 2AD BC
A) 10 D) 2 6
m 2AD BC 2m m AD BC 2
D
Q
H
C) 2 13
B) 9 E) 9
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
156.
En
cuadrilátero ABCD m ABC m ADC 90º , las diagonales se intersecan en “O”. Calcule BD si AO = 3, OC = 7 y m
el
B) 2 11 E) 2 14
B P
C) 4 3
* o
2M
N
4 x
x
6
A
3 60º
C
C F
RESOLUCIÓNB
A
x E
4
H
x
Q D
EP FQ 4 ...(por simetría)
*
EHA: 2
2
x 6 42 x 2 13 RPTA.: D
D GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
158. En la figura: ABCD es un cuadrado, AP = 3 y PQ = 2. Calcule QD.
B) 2 21 E) 5 21
A) 21 D) 4 21
C) 3 21
C
B
RESOLUCIÓN B
P
9
Q
E 3
6
6
P A
A) 2 D) 3
B) 1,5 E) 1
C) 2,5 A
C P
A
7
D
7
T
RPTA.: B
2
2
160.
AQ 7 2
APT: 2 7
2
3 PT
A) 8 D) 16
2
7
2
3 2x
2
2 7 2
B) 12 E) 4
7 9 2x 14
B
x=1
E
RPTA.: E
m m
159. En el romboide ABCD, BE=3EC=9, EF = 3FD = 6, EP = EF. Calcule EQ.
O
P 2
6
E
C P
*
F
* GRUPO SAN MARCOS D
Q
6
H
I
A
C) 14
RESOLUCIÓN
2
B
BC
, el inradio mide 2 y el exradio relativo 2 2 a BC mide 6. Calcule IE BC
AQT (T. Mediana): 2
En el triángulo acutángulo ABC de
incentro “I”, excentro “ E” relativo a
2
QT 3 5 PT *
6 9 y8 y 12
AED (Menelao): y 6 z 6212 z z4 AEQ (Steward): 142 4 x2 12 82 16 124 16
APQ: AQ 2 3
*
Q
z
x 2 21 2
*
D
*
*
3
12
BPE APD :
Q 7
2
*
2
3
F
RESOLUCIÓN B
x
y
D
C
Q
2 n
En el trapecio IPEQ 6 2 4 OH 2
2
n
C
2
IBEC: (Teorema de Euler):
GEOMETRíA
2
2
2
2
BI BE EC IC 2
IE
+
2
2
A) 10 m D) 25 m
2
BC IE 4 2
B) 15 m E) 100 m
C) 20 m
2
IE2 = BC2 IE 4 4
IE2 BC 2 16
RESOLUCIÓN RPTA.: D
B
C
x
99
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
161.
A
En una circunferencia de centro
Q
M 1
1
N
“O” se ubican los puntos A y B; luego se ubica “M” en AB tal que: AB = 9 m, AM
Datos: BM = 99; AM = 1
A) 4m D) 7 m
Piden: BC = x Se observa: CQ = BM = 99 QD = AM = 1
= MO = 4m; calcule BO: B) 5 m E) 8 m
*
C) 6 m
RESOLUCIÓN
A
N
4 ) ( r -
4
M 4
AN2 ND2 1001
B 5
D
Teorema de la tangente:
r
AN ND 10 BC x 20 RPTA.: C
O
163.
OB
tal que AM intercepta al arco AB en
Q
“N”; calcule “MN” si:
OB = 3 m y
MB = 1 m.
Datos: AM = MO = 4 AB = 9 MB = 5
A) 1 m D) 2,8 m
Piden: BO = r Prolongamos: MO MN r 4 Teorema de las Cuerdas: 4 5 r 4 r 4 Resolviendo: r = 6 RPTA.: C
162. Por lo vértices B y C de un rectángulo ABCD se traza una circunferencia tangente a AD que intersecta a BA en “M”; calcule “BC”, si BM = 99 m y AM = 1m GRUPO SAN MARCOS
Dado un cuadrante AOB; se ubica
el punto “M” en la prolongación de
r
* *
99
B) 2 m E) 1, 4 m
C) 3 m
RESOLUCIÓN A 5
N 3 Q
3
O
x
3
Datos: OB = 3 OA =3
B
1
M
GEOMETRíA
*
BN = 1 OM = 4 AM = 5 Piden: MN = x Prolongamos el arco AB y BO
b B
A
a x C
D
E
Teorema de las Secantes: 5 x 7 1 x RPTA.: E
164. En un trapecio isósceles ABCD; calcule AC si: AB = CD = 4m; BC= 5 m y AD = 4 5 m . A) 4 m D) 6 m
C) 3 5 m
B) 8m E) 5 m
Dato:
1 1 1 a b 5 *
CE2 ACBC 2 Reemplazando: x b x a x
RESOLUCIÓN
5
B 4
Ordenando:
C
x
1 1 1 a b x
4
x
A
Del dato: x = 5
D
4 5
RPTA.: B
166. En un paralelogramo ABCD, la circunferencia circunscrita al triángulo
Datos: AB = CD = 4; BC 5 ; AD 4 5
ACD intercepta en “E” a la prolongación
de DB ; calcule EB si: AC = 12 m y BD = 8m.
Piden: AC = x *
Por Por
isósceles AC = BD = x ABCD es inscriptible
A) 6 D) 2
Teorema de Ptolomeo: x x 4 4 5 4 5
Piden: DC = x Teorema de Tangente:
B) 4 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
x=6 RPTA.: D
165.
Dadas
2
E
circunferencias
x B
tangentes exteriores en “E”; se traza
4
una recta tangente a una de ellas en “D” que intercepta a circunferencia en “B” y “A”;
la
otra
6
B AD ; la
recta tangente común interior intercepta a BD en “C”; Calcule “DC” si:
B) 5 E) 5
RESOLUCIÓN
GRUPO SAN MARCOS
C) 10
6 O
A
4 D
Dato: AC = 12; BD = 8
1 1 1 DB DA 5
A) 2,5 D) 15
C
*
Piden: EB = x ABCD: paralelogramo AO OC 6 BO OD 4 Teorema de las Cuerdas: x 4 4 6 6
GEOMETRíA
x=5 RPTA.: E
Dato: ABCDEF: Hexágono regular PC = 5; PA = 1
167. En un triángulo ABC; se traza la altura BH H AC ;BC AC;
BC AH 8m2 . Calcule AB. A) 4 m B) 2 2 m C) 6 m D) 8 m E) 2 m
*
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
B
169. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes exteriores AB y CD, A y C en una misma circunferencia; calcule la razón entre las longitudes de las cuerdas determinadas en las circunferencias por: AD.
x 2 x
N
a
x 2 m
A
C
H
a
A) 1 D) 4
Datos: BC = AC = a; am=8 *
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
Piden: AB = x Trazamos: La altura CN
x 2
Piden: PE = x Se observa: AC = CE = AE = a APCE (Inscrito) Teorema Ptolomeo: PE (a) = PC (a) + PA (a) PE = 5 + 1 =6
BN
A
= NA =
B
x m
NHCB Inscriptible
y
Teorema de las Secantes: x x am 8 2 x=4
Datos: AB y CD: Rectas tangentes Piden:
RPTA.: A
168. Dado un hexágono regular ABCDEF inscrito en una circunferencia; se ubica el punto “P” en el arco AB; calcule: “PE” si PC = 5 m y PA = 1 m.
A) 1 m D) 6 m
B) 2 m E) 3 m
D
C
C) 4 m
* *
x y
Propiedad: AB = CD Teorema de la Tangente
AB2 AD x m CD2 AD y m Igualando: x = y
x 1 y
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
B
170.
C P
En
un
cuadrado
ABCD
(AB = 20 m), con centro en “A” y radio
AB se traza el arco BD que intercepta a la circunferencia inscrita en el cuadrado
a a
A a F GRUPO SAN MARCOS
E
D
en: M y N; calcule “MP” si “P” es el
punto de intersección de circunferencia inscrita con AM .
la
GEOMETRíA
A) 5 m D) 20 m
B) 10 m E) 25 m
C) 15 m
* *
Se observa: FC = FN = x OC = OA = x 2 : (Teorema de Pitágoras)
AF x 3
RESOLUCIÓN B
Teorema de las Cuerdas: x x a x 3
C M
xa 3 RPTA.: B
x
172. P
A
centro “O” se construye el triángulo rectángulo AEB (recto en “E”);calcule “EO”si:AE + EB = 6m.
N
10
Q
10
A) 4 m B) 3 m D) 6 2 m E) 3 2 m
D
Dato: AB = 20 *
Exterior A un cuadrado ABCD de
RESOLUCIÓN
Piden: MP Se observa: AQ = QD = 10 AB = AM = AD = 20 Teorema de la Tangente:
E
AQ2 AM AP 102 20 AP AP 5
a 2
B
O
RPTA.: C
a
171. En un cuadrante BOD se inscribe el cuadrado OFCE;" C" BD ; en la prolongación de DO se ubica el punto
C
M
*
a N
x
C
F
x
x 3 x
A
x 2
Datos: AO = OD FM = a Piden: CE = x GRUPO SAN MARCOS
O
m BEA 90º AE EB 6 m
*
B
Piden: EO Propiedad: AO = OC = OB = OD = a AB = a 2 BE AO Inscriptible. Teorema Ptolomeo EO a 2 AE a EB a
x
x 2 E
D
ABCD: Cuadrado de centro “O”
C) a 2
RESOLUCIÓN
a
Datos:
“A” tal que AO = OD ; AF intercepta al arco BD en M; si: FM= a; calcule “ CE”.
B) a 3 E) a 7
A
a
a
Luego: PM = 15 m
A) a D) a 5
C) 6 m
2 EO AE EB 6
D
EO 3 2 m RPTA.: E
173. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes interiores AB y CD;
GEOMETRíA
A y C en una misma circunferencia; BC intercepta a las circunferencias en M y N BMC ; calcule MB si: CN=2 m. A) 1 m D) 0,5 m
B) 2 m E) 1 ,5 m
*
C) 4 m
RESOLUCIÓN A
x B
a
2
C
RPTA.: E
A) 6 m D) 5,4 m
N
Datos: AB y CD son rectas tangentes. CN = 2 m * *
x 11
175. En una semicircunferencia de diámetro AB se ubican los puntos D y C, D ;AC AC DB E . Calcule EC, DE = 6 m, EB = 9m y AB = 17 m.
D
M
Piden: BE = ? Teorema de las secantes: a b a 10 6 ………………………(I) a b a x 4 4 …………………(II) (I) = (II) 10 6 x 4 4 15 x 4
B) 9 m E) 3, 6 m
C) 4,8 m
RESOLUCIÓN
Piden: MB = x Propiedad: AB = CD Teorema de la Tangente:
D
C x
6
AB a 2 a CD2 a x a 2
E
8 10
9
Igualando: x = 2 RPTA.: B
174. En el triángulo ABC, se ubican los puntos D, E, F y G en AB,BC,AC y AF respectivamente; calcule BE; AD = 6 m, DB = EC = 4 m y AG = FC (B, D, G, F y E son puntos cíclicos) A) 4 m D) 14 m
B) 6 m E) 11 m
C) 10 m
A
* *
B
x E
6
4 b a
G
F
a
C
Datos: B, D, G, F y E: puntos cíclicos. AD = 6;DB = EC = 4; AG=FC = a GRUPO SAN MARCOS
Datos: AB : Diámetro; DE = 6; EB = 9 AB = 17 Piden: EC = x ADB AD = 8 ADE AE = 10
x 5, 4 RPTA.: D
D
A
B
Teorema de las Cuerdas: x 10 6 9
RESOLUCIÓN
4
17
176. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan las rectas secantes EAB y ECD; CD es la cuerda tangente en “M” a AB ; calcule MB , si: EC 8m, CD = 10 m y EA = AM. A) 8 m D) 11 m
B) 9 m E) 12 m
C) 10 m
GEOMETRíA
Teorema de la Tangente:
RESOLUCIÓN x
a = 15
M
a
A
42 a 1 1
B
a E
8
D
C
10
Datos: EC = 8; CD = 10, EA = AM = a Piden: MB = x *
RPTA.: E
178. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan la recta tangente EA y la recta secante EBC; el punto medio “M” de BC determina en una cuerda de dicha circunferencia segmentos de longitudes 3 m y 4 m. Calcule EA si B y M trisecan a EC .
Teorema de la Tangente:
2a2 188 a6 *
Teorema de la Tangente: x2 5 a 5 x2 5 15 5 x 10
Teorema de la Secante: 2a x a 18 8 12 x 6 18 8 x = 12
A) 4 m D) 7 m
RPTA.: E
177. En un triángulo ABC se traza una circunferencia tangente a AB y BC en M y N respectivamente, dicha circunferencia intercecta a AC y AP en P y Q respectivamente; calcule AM si: NC = 4 m, PC = 1m y AQ = 5 m.
B) 5 m E) 8 m
RESOLUCIÓN A
x E
P
a B
A) 5 m D) 9 m
B) 6 m E) 10 m
4
C) 8 m
a M Q
RESOLUCIÓN B
* M
N
x
A
*
5
Q
Datos: NC = 4, PC = 1 y AQ = 5 Piden: AM = x
GRUPO SAN MARCOS
P
1
3
a C
Datos: NQ = 3; MP = 4 EB = BM = MC = a Piden: EA = x Teorema de las Cuerdas: a a 3 4 Teorema de la Tangente:
x 2 3a a
4
a
C) 6 m
C
x=6
12 RPTA.: C
179. Desde un punto “A” exterior a una circunferencia, se trazan las rectas tangentes AB y AC , también se traza la recta secante ADE; BC DE M . Calcule: AD; DM = 2 m y ME = 3 m
GEOMETRíA
A) 10 m D) 8
B) 5 m E) 16 m
C) 21 m RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN B
B
Q
m x
D
r
Datos: DM = 2; ME = 3
*
Piden: AD = x =? Teorema de las Cuerdas: mn 2 3 6 …………………..…….(I) Teorema de la Tangente: a2 x 5 x …………………….…….(II)
x 22 a2 mn …………………(III) Reemplazando: (I y II) en (III)
BIQN APS n r mn 2Rr ……………..(II) 2R m
x2 3 RPTA.: B
POLÍGONOS REGULARES
x 22 x 5 x 6 Resolviendo: x = 10 RPTA.: A
180. Calcule la distancia entre el incentro y el circuncentro de una triángulo, si las longitudes del inradio y circunradio son: 2 m y 6 m respectivamente. B) 2 3 m D) 4 m
* *
P Datos: I: Incentro O: Circuncentro R = 2; R = 6 Piden: IO = x =? Teorema de las Cuerdas: x R R x mn …………………(I) Propiedad: IP = AP = m
Reemplazando (II) en (I) x R R 2r
Teorema de Stewart: ABC (Isósceles)
A) 2 m C) 3 2 m E) 3 m
C
m
C
m
3 E
*
O
A
n
*
R
x
R - x
M
a
*
I
R
2
R
n
a A
S
181. En una circunferencia se traza una cuerda de medida 6 que sub tiene un arco de 120º. Calcule la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 60º. A) 2 D) 4
B) 3 E) 2 2
C) 2
RESOLUCIÓN 120º A
B
6
D x C GRUPO SAN MARCOS
60º
GEOMETRíA
B
Del dato, como: AB = 120º AB L 3
R
AB 6 R 3 R 2 análogamente, CD 60º CD L 6
RPTA.: C
182. En una circunferencia de diámetro AB se traza la cuerda CD paralela a dicho diámetro, si CD R 3 . Calcule m ABC , si AB= 2R B) 15º E) 36º
* *
x
BC R 2 L 4 m BOC 90º m COE 30º m BCO 45º x = 15º
B
B) 86º E) 88º
* *
Sea m ABC x Por inscrito: AC = 2 x y como AB // CD AC = DB = 2 x
A
RPTA.: B
183. De un punto D exterior a una circunferencia se trazan las secantes DCB y DEA, siendo AE diámetro. Calcule m BDA , si: AB R y siendo “R” radio de dicha
circunferencia. A) 10º D) 20º
B) 12º E) 15º
RESOLUCIÓN GRUPO SAN MARCOS
L5
C
x
Como AB 2R y CD R 3 CD L 3 CD = 120º Del gráfico: AC + CD +DB = 180º 2 x + 120º +2 x = 180º x = 15º
BC R 2 ,
C) 78º
RESOLUCIÓN D
*
D
E
Del gráfico: AB R L6 m BOA 60º
A) 84º D) 76º
D
2x A
x
30º O
184. Calcule el menor ángulo que forman las diagonales del cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, si: AB y CD son lados del triángulo equilátero y el pentágono regular.
C) 18º
R 3
60º
C
RPTA.: E
RESOLUCIÓN C
45º
A
CD x R x 2
A) 10º D) 8º
R 2
C) 24º
*
L3
B
Como DC L5 DC = 72º y AB L 3 = 120º AB Por proposición:
AD CB Además, 2 x
AD + CB + DC + AB = 360º
2 x + 72º + 120º = 360º x = 84 RPTA.: A
185. El perímetro de un hexágono regular es 12 . Calcule el perímetro del hexágono determinado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del primer hexágono.
GEOMETRíA
y m CDA 60º A) 12 3 B) 8 3 D) 6 3 4 3 E) 3 3 RESOLUCIÓN A 1 C B
C)
RPTA.: E
187. Interiormente en un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcule m APE
1
1 120º
m CAD 30º x 2
1
A) 76º D) 37º
1
1
B) 84º E) 92º
C) 66º
RESOLUCIÓN
1
1 1
D
1 1
1
Del dato: 2p 12
E
L 6 2 AB AC 1
x
Además: i del hexágono = 120º
C
P
x
BC 3 2p del nuevo hexágono =
6 3
108º 48º 60º
RPTA.: D
A
186. En un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 8 , calcule la distancia del punto de intersección de las diagonales AD y FB a la diagonal AC. A) 1 D) 3
B) 3 E) 2
C) 3
RPTA.: C
188. En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ, tal que BC 5 1 ; los ángulos BAC, ABQ y CBQ miden 49º, 23º y 72º respectivamente. Calcule BQ.
RESOLUCIÓN B
8 60º
x
4
8
A) 1 C) 2 2 E) 3
C
8
A
6
B
E
23º 72º
Recordar: i hexágono = 120º y m ACD BFE 90º
m BFA 30º AG 4
GRUPO SAN MARCOS
B) 2 D) 2 3
RESOLUCIÓN
D
30º
F
B
Del gráfico: 2x + 48º = 180º x = 66º
5 1
x 72º
49º A
Q
36º
5 1
C
GEOMETRíA
Del gráfico:
R= 3
m BQC 72º m BCQ 36º BCQ isósceles QC 5 1 R x L10 5 1 , donde 2 R 5 1
BC L12 BC R 2 3 3) 4)
x
5 1 5 1 2 x=2
190. En una circunferencia de radio R = 4, su ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcule AC, si: AB R 3 ; BD R 2 y CD = R.
RPTA.: B
189. En una circunferencia se ubican los puntos A, B y C. Calcule la distancia de C a AB , si los ángulos BAC y ACB miden 15º y 45º respectivamente y AB 6 .
C) 3
3 2 3 2 RPTA.: D
x
A) 3 2 3
BC 3 2 3 ………………………. I BC ……………………………… x 3 II 2 I en II
A) 4 2- 3
2 3
B) 4 2
C)
D) 4 E) 4 2 3
3 2 3 2 3 D) 2 3 2
RESOLUCIÓN
B)
B
E) 3 2 3
R 3
R 2 H 120º
RESOLUCIÓN
C
R
30º 60º
D
O
A
Del dato: C 45º
A
x
15º
6 90º
1)
B
60º F
Ángulo inscrito
* *
m AB 45º m AB 90º AB L 4 2
mBC 15º mBC 30º BC L12 2
2)
AB L 4 R 2 6
GRUPO SAN MARCOS
AB R 3 AB L3 m AOB 120 BD R 2 BD L 4 m BOD 90 Luego: COD equilátero m COD 60 m BOC 30 m AOC 150 Del gráfico: AM MC Apt. del dodecágono
R 2 3 2 2 3 2 AC 4 2 3 AH
GEOMETRíA RPTA.: E
Sea: AD n, CE m y 7 x Del gráfico: m ABC= m CDE AC = CE = m m ABCD= m AGFE AD = AE = n Por Teorema de Ptolomeo
191. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AQ y CH. Calcule HQ, si m ABC = 75 ° y AC = 2. A) 2 3
B) 2 3
C) 3
D) 2 3
E) 2 2
RESOLUCIÓN A
H
AE CD AC DE AD CE n x m x n m nm x mn 1 1 1 1 (del dato) x m n 5
x=5
RPTA.: B
O x
75º
15º
B
193. Un cuadrado ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R. Se trazam HQ una= 30 recta secante que biseca: al arco AB en M, a la cuerda AD en N e intersecta al arco AD en F. Calcule FN.
C
Q
Del gráfico: el cuadrilátero AHQC inscriptible. Y como AQC es recto AC es diámetro radio = 1 Además:
m BCH 15 m HQ = 30 x L12 R 2 3
x 2 3
es
R 3 6 R 6 E) 3
R 2 6 R 6 D) 6 A)
C) 6
B)
RESOLUCIÓN RPTA.: A
192.
En
un
heptágono
ABCDEFG, se cumple que
regular
C
B
1 1 1 AD CE 5
R
, calcule el perímetro del heptágono.
R
O
M
a
1 5 1 D) 25 A)
B) 5
C) 25
N A
a
E) 10
G
Sea: AN ND a Del gráfico:
RESOLUCIÓN C
7
B
m AM = m AG = 45º
D
m n
G GRUPO SAN MARCOS
E
F
m
MOG 90
Además: AD 4 R 2
m
n
A
a
2a R 2 R 2 a 2
D F
GEOMETRíA
Por Teorema de las Cuerdas: MN NF = a a a2 MN NF
RPTA.: A
195. En una circunferencia se inscribe el triángulo obtusángulo ABC (obtuso en B); tal que AB L 4 , AC L 3 y BC Ln ; si n ,L 3 y L 4 es la longitud de los lados de los polígonos regulares de n, 3
R2 MN NF ……………………(1) 2 En
MON: 2
R 2 2 2 2 2 2 MN R a R R 2
y 4 lados. Calcule “n”.
A) 10 D) 7
R 6 MN ………………………… .(2) 2
B) 12 E) 3
C) 4
RESOLUCIÓN
(2) en (1):
AB 2 2
B 4
R2 R 6 .NF 2 2 R 6 NF 6
n
A
C
3
RPTA.: D
194.
En un triángulo ABC se tiene que m BAC 18º; m BCA 45º y * *
BC 5 1 . Calcule AB. A) 2 2 C) 5 1 E) 3
B) 2 D) 2
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
36º
x
45º
18º
Por
196. Calcule la longitud de la bisectriz interior BD de un triángulo ABC recto en B, si BC 2 2 y AB = BD.
B
90º
A
Por dato: AB L 4 m AB 90 AC L3 mABC 120 BC 120 90 30 BC L12 n = 12
O
inscrito:
C
A) 2 2
B) 2
D) 4 2
E)
C) 2
2 2
RESOLUCIÓN A
m BC = 36º y m AB = 90º
R 5 1 y 2 AB L 4 R 2 R Por dato: BC 5 1 5 1 2 BC L10
R=2
GRUPO SAN MARCOS
45 45 x
D
R
x B
45º 45º
2 2 x
C
GEOMETRíA
Del gráfico: 22,5
*
R Además: BC AP8 2 2 2 R 2 2 2 2 2 R 2 2 2 2x L8 R 2 2
2x 2 2 2 2 2 x 2
198. A
R
O
5
B
P
72º
R 2
x x
36º
36º
5 1
O
*
C
E
*
D
*
x=2
RPTA.: B
B
BM MO
R 2
AOM:
R 5 2 R AP 5 1 2 AM
Se prolonga AB hasta “P” tal que
AP AC 5 1 BCP isósceles: BC CP x R x L10 5 1 2 5 1 5 1 x 2
M
Sea AO = R
En
*
N
36º
*
C) 30°
R
72º
x
A
B) 36° E) 60°
A
C) 3
P
1
B
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
M
A) 54° D) 45°
197. Calcule la longitud del lado de un pentágono regular, cuya diagonal mide 5 1 . B) 2 E) 5
N
RPTA.: B
A) 1 D) 4
Según el gráfico, calcule m NB
PAN isosceles R AP AN 5 1 2 AN L10 m AN =36° m NB =54° RPTA.: A
199. En una misma circunferencia se inscriben un pentágono regular, un hexágono regular y un decágono regular, cuyos lados miden L 5 , L 6 y L10
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
respectivamente. L26 L210 100 A) 10 D) 40
Calcule
L5
Si: Propiedad: x
B) 20 E) 50
R L 5 R 2
Donde:
C) 25
L5 2
R 10 2 5 10 2 5 10 2 5 2 2 L5 2 5 x 5
L5
RESOLUCIÓN
A
RPTA.: C
ÁREAS I
L5
L6
C
L10
B
201. En un triángulo rectángulo BAC recto en A, el ángulo B mide 75° y la distancia de A a la hipotenusa mide 6 2 cm. Calcule el área de la región ABC.
Por propiedad. 2 5 2 5
2 6
A) 100 cm2 C) 84 cm2 E) 72cm2
2 10
L L L L 100 L5 10
B) 36 cm2 D) 144cm2
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
A
200. Calcular la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales de un trapecio isósceles ABCD. Si: AB = BC = CD = 10 2 5 y m BAD = 54° A) 2 5
B) 3 5
6 2 75º B
5 2
E)
5 3
RESOLUCIÓN
C
24 2
Propiedad
C)
5 D)
15
H
(75º; 75º)
BC AH 4 AC 24 2 24 2 6 2 A BAC 2
144cm2 RPTA.: D
B
R
L5
C
E
54º
R
x
R
R 72º
54º A
54º
R L5
D
Se construye el paralelogramo ABED Del grafico: CE = L 5
AD R L 5
GRUPO SAN MARCOS
202. Los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC recto en A, miden 21cm y 28cm. Se trazan las bisectrices CP y AQ, las cuales se cortan en el punto I. Calcule el área de la región CIQ. A) 20cm2 C) 45 cm2 E) 75 cm2
B) 30 cm2 D) 70cm2
GEOMETRíA
CE 6
RESOLUCIÓN
AEC:
A
5a 6 5
45º 45º 21
P
A
28
EMC
I r B
Q K
3k
4k
C
A
EMC
6 5 5
a
2a a 2 6 5 5
a2 2
7,2 cm2 RPTA.: D
35
Propiedad de la Bisectriz:
7k 35 K 5 ……………………………………...
204. Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC), en donde AC = 5m y la altura AH mide 4m. Calcule el área de la
1
región BOH siendo “O” la intersección
de las alturas AH y BP
Teorema de Poncelet:
21 28 35 2r r 7 ………………………………………. 4K r A CIQ …………………… 2
A) 25/6 m2 C) 7/8 m2 E) 14m2
2 3
B) 7 m2 D) 49/96 m2
RESOLUCIÓN B
Remplazando 1 y 2 en: 3 37º 37º
A
CJQ
7 20 2
4K
70 cm2 5K
RPTA.: D
203. El triángulo ABC tiene como lados AB = 20cm, AC = 6 5 cm y BC = 10cm. Se traza la altura CE y por E se traza EM perpendicular a AC . Calcule el área de la región EMC. A) 10 cm2 C) 8 cm2 E) 6,2 cm2
O
A
OP
5
10
6
53/2 A
37º 12
E 20
8
Teorema de Euclides:
102 202 AE 12
6 5
GRUPO SAN MARCOS
2
2 20 AE
P
5/2
C
15 8
B
53;37 20 6
15 8 7 …………………………………….. 1 K 24 3K 4K A OHB 6K2 …………… 2 2 5K
2a 53/2
4 a
5/2
BPC:
53º
M
53º
37º
APO: 53;37
C
6
3
53º
B) 5,5 cm2 D) 7,2 cm2
RESOLUCIÓN a
H
3K
Reemplazando: 1 a 2 :
GEOMETRíA
A
OHB
2
7 6 24
49 2 m 96
Dato: a2 c2 20 …………………….. I Teorema de la proyección de la mediana a2 c2 2 AC HM ……………………….. II
RPTA.: D
205. En un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior AP y en AC se ubica el punto Q, de modo que mAPQ = 45°. Calcule el área de la región QPC, si (BP)(PC)=20 u2. A) 5 u2 C) 12,5 u2 E) 20 u2
B) 10 u2 D) 15 u2
II
= I 2C HM 20 AC BH 10 Área (ABC)= AC BH 10 2 2 2 ÁreaABC 5 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
207. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD y en el triángulo DBC se traza la ceviana BM, de modo que m CBM = m BAC. Si el área de la región MBC es 5 cm2 y AC = 2(BC), calcule el área de la región BMA.
B a P
90º
45º 45
b
a
45
A
A) 5 cm2 C) 15 cm2 E) 25 cm2
C
H b
Q
Dato: a b = 20
B) 10 cm2 D) 20 cm2
RESOLUCIÓN
Se Traza: PH QC PH = PB a (Propiedad de la bisectriz)
B
QPC:Isósceles
D
PC = QC = b 2K
A
PQC
ab 2
K
20 10 2 2 RPTA.: B
A
B) 7,5 u2 D) 12,5 u2
RESOLUCIÓN
a
2S
5
M
10
2a
C
Propiedad de la Bisectriz: AD = 2(BD)
206. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, de modo que m BMA = 45°. Calcule el área de la región ABC, si BC2 – AB2 =20 u2 A) 5 u2 C) 10 u2 E) 15 u2
S
BMC ADC : 5 a2 2S 10 2a 2 20 25 10
S=5
A
AMB
35
3 5
15cm2 RPTA.: C
B 45 a
C
2 45º
A
b
H
GRUPO SAN MARCOS
M
b
c
208. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se inscribe un cuadrado el cual tiene un lado contenido en la base AC del triángulo; calcule el área de la región ABC si el baricentro de este es el
GEOMETRíA
centro del cuadrado y la base del triángulo mide 6m. A) 16 m2 E) 18m2
BPC PL 2;
A
AQD
DLC ASD QD 22 y AS 4 B) 14 m C) 8 3 m2 2 4 4 2 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
B
210. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. La mediatriz de BC es tangente a la circunferencia inscrita cuyo centro es 0; calcule el área de la región AOC si AB = 6u
a
N
2a R
S
a
A) 20 u2
G
2a
C) 6 3 u2 E) 10 u2
a
A
M
H
6m
C
T
RESOLUCIÓN
Propiedad del Baricentro:
2GH BG
BR RG GH a B r
NBS ABC : 6 2a a 1 3a a 6 3a 6 3 1 A ABC 2 2
T r r
r
M
O
6
2 r
2
9m
r
r
RPTA.: D
37
A 10
209. Se tiene un cuadrado ABCD; en la región interior se ubica un punto P tal que mBPC = 90º; y en la prolongación de BP se ubica al punto Q tal que m PQD = 90º. Si BP = 4u y PC = 6u, calcule el área de la región AQD. A) 4 u2 E)
8
2
2 C
OTC: Auxiliar 37º 2 Propiedad de la Mediatriz BM = MC = 2r
4r 8 r 2 A
15 u2
N
37
10 R 2
AOC
B) 10 8 u2 2
2
C) 2
10
2 13 u2 RPTA.: E
RESOLUCIÓN B
4
6
C
211.
En un triángulo ABC, se ubican
AB y “N” en la prolongación de AC . MN y BC se los puntos “M” en
L
interceptan en “P” tal que las regiones
P
MBP y PCN tienen igual área y AM = MB. Calcule: A
Q
4 S
GRUPO SAN MARCOS
2
D
A) 1/2 D) 1/6
AC CN B) 1/4 E) 1/5
RESOLUCIÓN
C) 1
GEOMETRíA
213. En un triángulo ABC se traza la altura BH y en el triángulo BHC se traza la bisectriz interior BD. Siendo 3 (AD) = 4 (DC), HD = 4u y BC = 12u; calcule el área de la región ABD.
B
S
M
Z
P
A) 8 2 C) 32 2 E) 40 2
Z S
A
x
C
y
N
Se Traza: BN
A
A
MBN
RESOLUCIÓN
AMN
Luego: A ABC A BCN
AC CN
B) 16 2 D) 24 2
B
x 1 y
RPTA.: C 4s
212. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la diagonal AC. Calcule el área de la región MBD sabiendo que las áreas de los triángulos ABD y BDC miden 50m2 y 30m2 A) 10 m2 8 m2 E) 20 m2
B) 9 m2 D) 15 m2
C)
4 A
y + B A
D
A A
A
y
BMD
4 DC
4S 3S BDC 12 4 3S 2 S 8
B
A + M x
AMD
Se Traza: DS BC HD= DS = 4 (Propiedad de la bisectriz)
AB = 4K DC = 3K
x
ABM
C
D 3K
3 AD
A
B
A A
4
Del Dato: C
H 4K
RESOLUCIÓN
Piden: A AM = MC
12 S
3s
A A
ABD
ABD
4S
32 2 RPTA.: C
x y
214. En la figura,ABm =BCm , encuentre la razón entre las área de las regiones AGO y OFE.
BMC DMCD
A) 2/3
Datos:
A ABD 50 2x 2y A B A BDC 30 A B Restando: 20 2 x y x + y = 10 RPTA.: A
GRUPO SAN MARCOS
4 8
B) 2 3 / 3 C) 4/3 D) 3/5 E)
3/ 6
GEOMETRíA
216. En la figura, CO = 6 . Calcule al área de la región sombreada.
RESOLUCIÓN
A) 18 2 B) 9 2
B G
3
F
C) 13,5 2
E
D) 21 2
2 2 r =
45 45 O
A r
E) 27 I 2
D
RESOLUCIÓN D
AGO: r
2
2
r 2
A A
2 2
AGO
3
OFE
r
2 3 3
B
C
2
6 RPTA.: B
215. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en AC se ubica el punto “P” y en el interior de la región PBC el punto “D”. Siendo mABP = mPCD, BC = PC y BP = PD = 4cm; calcule el área de la región BPD. A) 4 3 cm2 C) 2 3 cm2 E) 8 cm2
B) 4 cm2 D) 8 3 cm2
r
A
62 r a r a
A
ABO
A
P
9 0
4
4
BECP: Isósceles m PCD m DCB
A) 42 C
B) 72 C) 32 D) 52
PD BD 4 BPD: Equilátero 423 A BPD 4 3 cm2 4
E) 62
RPTA.: A
GRUPO SAN MARCOS
36 18 2 2
217. En la figura, AC = CD, mCBD = 2m BDA y el área de la región triangular BCD es 82, calcule el área de la región sombreada.
D
r a 2
RPTA.: A
B
4
O
OCD:
RESOLUCIÓN
9 0
a
a
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
C b B
30º
2
23º
Z 5S 2 3S Z S A APQ S 1 A QRC 2S 2 RPTA.: C
En un triángulo ABC en AB y BC
219. se
a
30º
30º i)
A
8
ab 20
ii)
A
BCD
ab sen53 2
A) 5 cm2 C) 15 cm2 E) 25 cm2
D
20 1 2 2
“P”
B) 10 cm2 D) 20 cm2
P
2b
Q
4s 3s
A A A
APQ AQB AQC
2 A PBQ 2 A AQC 3S
Dato:
C) 1/3
RESOLUCIÓN B
9 s 45 S 5 A PBQ 2S 2 5 2 5 10 cm2
3 K
RPTA.: B
P
220. En un triángulo ABC: AB = 2 (BC)=10 cm. Se traza la bisectriz interior BP y la perpendicular AQ a BP (Q en la prolongación de BP). Calcule el área de la región ABC, si PQ = 2 cm.
3s
Z=s
3s 2s
PB RP 3K (Propiedad Bisectriz)
ii)
Q
A
i)
3K
2K
A A
RPC QRC
3S 2S
También:
A
APC
2A
PBC
GRUPO SAN MARCOS
b C
A
i) ii) B) 1 E) 2
2s
2a
218. En la figura 3 (RQ) = 2 (PR) = AP y RC = BC. Calcular la relación de áreas de las regiones APQ y QRC.
R
“Q”
a
RPTA.: D
6 K
y
B
5 2
A) 1/2 D) 1/4
puntos
RESOLUCIÓN
ab sen30 2
BCA
los
respectivamente de modo que AP = 2(PB) y BQ = 2(QC). Calcule el área de la región PBQ, si el área de la región ABC es 45cm2.
a
A
ubican
de
C
la
A) 12 cm2 C) 24 cm2 E) 32 cm2
B) 18 cm2 D) 30 cm2
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN B
Area
10
ABD
5 4
Area MCP
P
A
C
2
8
x
AREA ABCD S a b sen 30 2 2 2 a b S sen1500 2 2
53º 3 4
sen 30º
5
Q R
4
RPTA.: B
37º T
i)
ii)
Se construye ABT : (Isósceles) AQ = QT AT Se traza CE CR = 3 (Teorema de los puntos medios)
222. En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura:
CRT: (37º; 53º) QR = 4 y AQ =8
A A
1 A 2 ABT 1 16 6 2 2
ABC
ABC
C
B M
30º R
24 cm2
P
RPTA.: C
ÁREAS II
A
221.
En el romboide ABCD donde m A 30º , se construyen exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es Sm2
S 2 m2 2 C) S 3 m2 S E) 3 m2 2
A) 2 : 3 C) 3 :1 E) 5:1
B) 2:1 D) 3:1
C
B
B)
45º 30º
R
P
45º
M
a 60º 45º
45º
A b
D
MHD 600 :
x
b
B S
a
P
a
30° 2 D Q
GRUPO SAN MARCOS
DH a, MH Q 3
150° 30°
b
H
2a
R
A
MH=a 3
45º
M
RESOLUCIÓN
a
Q
RESOLUCIÓN
S 2 m 2 D) 3S 3 m2
A)
D
AMQ
45 :
a 45º
Q
GEOMETRíA
AQ
a 3 a
AQ
a 6 a 2
S 4
2
RPTA.: D
A) 2 m D) 8 m
223. En un trapezoide de área Sm2 se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios. A) Sm D)
2S 2 m 3
S 3
x
224. Las bases de un trapecio RUSO están unidas por un segmento MN (N en RO ) US//RO , US= 10 m, RO= 20 m y NO = 12 m Calcule MS si MS > UM y las áreas de las regiones parciales están en la relación de 1 A 2
AD a 6 a 2 a 2 a 6 2 a 6 a2 6 3 AREA ABCD 2 2 AREADRPQ a 2 1 a 2
S B) m2 2 3S 2 E) m 4
x
RPTA.: C
Luego
2
x 4
B) 4 m E) 10 m
C) 6 m
RESOLUCIÓN (10 - x) M
10
S x
S C) m2 3 R
8
h
2k
k
0
12
N 20
RESOLUCIÓN
T 1
T 2
Por áreas:
10 x 8 h 2 K x 12 2K h 2 36 2x x 12 24 3 x x 8
2 18 x 2
x 12 2
RPTA.: D
Del dato A TOTAL = S
AREA T1 AREA T2 AREA T3 S 4 S 4
S 4 S 4 4 S 43
S 42
225. En la figura, calcule el área de la región triangular CAD si: AI 3 , CD 4 y ZI 2m siendo 3 y 4 lados del triángulo equilátero y cuadrado inscritos en la circunferencia, “Z” es el centro. D A
. .
S S S ......... x 42 43 44 1 S S S ....... x 4 4 42 43 x
GRUPO SAN MARCOS
C
A) 2 2
Z
3 m2
I
GEOMETRíA
B) 2 2
RESOLUCIÓN
3 m3
6
A
C) 2 2
3 m3
D) 2 2
2 m2
E) 2 2
3 m
2
M
2
D P
N
90º
MA0
*
x
2
MP A0 6, PN AM 2
I
2
Z
*
Por arcos
AI
360º 1200 AI 3 360º 900 CD 4
3
CD
4
Luego:
DI
60º
AB
AD
300
R 2
3
6
R
231. En el cuadrante OA OB , OA = 1m. Calcule el área de la región sombreada.
2
AD
2 2
AHC
3
45º : HC
2 3 2
12
2
2 2 2 3
O
RPTA.: C
m
MAO
cuadrilátero m
OMN
MAON
donde
90º,
AO 6m AM 2m y MO MN . Calcule el área de la región triangular NAO. A) D)
24m2 18m2
2
A
AC
el
8 24
RPTA.: A
Por tanto
230. En
6
h 2 6 h 8
900 AD 300 y AC 60 0
2 x
6h 2
AREASOM A SOM
MPN (ALA)
2
C
h
6
A 45º
O
2
RESOLUCIÓN 3 0 º
B) 22m2 E) 12m2
GRUPO SAN MARCOS
C)
20m2
3 3 2 m 2 5 3 6 m C) 2 6 3 10 m E) 2 A)
B
5 3 4 m 2 5 3 8 m D) 2
B)
GEOMETRíA
A) 330 340 330 C) 350 D) 360 E) 370
RESOLUCIÓN A
30º C 60º 30º
Q 2
x
P
O
3
m
B)
m m m
M H
RESOLUCIÓN 1
30º 30º 30º
320 m 340 350 360
30º
C
1515 45º
3a
B
2
DHB 600 ,30º :BH 1,OH
3
PBM (Isósceles): PH HM 2 3 OP OQ 2 2 2 3 2 3 2 2 3 1 Por relación de áreas:
22 3 OBC AREA 3 4 3 Área COH 2 OC OH Area COH Area QOP OQ OP 3 2 3 2 2 3 2 3 8 x 2 5 3 8 x 2
R
P
53º 2
90º
R
53º
3a 53º
6a
A
M
37º 2
B
2a R
37º
N S
4a
ASOM
ASOM
D
Area SEG RS
AreaSEGRB
R2
R 2 53º R 2
4 R 2
A SOM
R2 2
R2 2
4 ASOM
ASOM
sen53º 360º 2 530 R 2 R 2 4
3600
2 5
37 R2 2 R 360 10 370 360 RPTA.: E
RPTA.: D
232. En la figura “M” es centro, CP = PM ND = 2 MN y el radio mide 60m. Calcule el área de la región sombreada. C
M N
D
GRUPO SAN MARCOS
Se
tiene
2
circunferencias
congruentes de radios “R” y secantes en
los puntos C y D (Los centros de las circunferencias son A y B) de tal manera que el centro de una circunferencia pertenece a la otra circunferencia; la recta tangente en “A” intercepta a la otra circunferencia en “P”
P
A
233.
B
y luego PC intercepta a en Q. Calcule el área AD del segmento circular QAC.
R2 2 A) 2 R2 2 C) 6 R2 3 E) 2
R2 2 B) 4 D) R 2 3
GEOMETRíA B
RESOLUCIÓN 2
C
R
15
60º
F
60º
60 30º
B 45º
R Q
ASOM ASOM
2 + = 90º ASOM ASector A OC A R2 R2 ASOM 4 2 2 R ASOM 1 2 2
D
P
D
O
30º
ASOM
R
R
60º
15
C
45º
30º
A
2
A
A sec torCBQ A CBQ R2 R2 4 2 2 R 2 4
AOC
RPTA.: A RPTA.: B
235. 234. En la figura mostrada, “O” es centro. Calcule el área de la región sombreada. B
A
C
En un cuadrante AOB de centro “O” y radio 2 m se ubica en OA el punto M y se traza una perpendicular a en los OA que intercepta a AB y puntos N y P respectivamente. Calcule AB el área de la región triangular mixtilínea ANP si MN = NP.
R F
A)
D
o
B)
C)
E D)
R2 A) 1 2 2 C) R
2
3
R2 E) 2 3
1
3 3
R2 B) 2 2
3 3
R2 D) 2 2
2 3
E)
109 32 m 180 25 53 32 m 90 25 32 m 6 25 2 30 m 9 7 58 32 m 101 25
RESOLUCIÓN A 45º a 2 M
a 45º
a
P
N
RESOLUCIÓN
2-a 2 45º O
GRUPO SAN MARCOS
2
B
GEOMETRíA S
OMP:
P
4 2 2a 2 a a 5 2
2
2
8 5
M
37º
2a a C H 45º a a B 45º a a O 2a
P
M
6 5
D
10 5
S
37º 2
0 2
N
20
A
53º O
ARe g.
ASECTOR AOP
Somb.
530 2 360º
6 8 1 5 5 2
2
ARegión. Somb.
53 90
ASOM
A
A
MOP
Q
AMN
4 4 1 5 5 2
32 25 RPTA.: B
236. Calcule el área de la región sombreada si: AB = BC = CD y el radio mide 20 m (“O” es centro de la circunferencia). P
B
O
N
A)
53 18
5 m
RESOLUCIÓN
GRUPO SAN MARCOS
53 4 18
237. En el octágono regular ABCDEFGH inscrito es una circunferencia de radio 2 m. Calcule el área de la región cuadrangular que se obtiene al unir los puntos medios de AB , BC , EF y FE .
Q
E)
53 2 36
RPTA.: D
A
53 11 m 18 53 B) 11 m 18 53 C) 3 m 18 53 D) 4 m 18
2S 2
D
C
M
OHD (Pitágoras) 2 20 a2 3a2 a 2 Luego: 37º 45º 90º 2 53 2
A) 2 2
2 m
B) 2 1
2 m
C) 2 2
2 m
D) 4 E) 4 1
2 m 2 m
RESOLUCIÓN
Radio = 2 m
CE EG
BF = Diámetro = 2R = 2 (2) = 4 Trapecio CEFB:
y
AG
CE BF 2
4
R 2
2 2 4 2
2 2
2 2
GEOMETRíA
Área = y.z
2 1
8 + 18 = S x 36 = S x
AC 2 2 2 Z 2 2 2 2 2 2 2 2
ABC: QM
b
B
2
S1
M
Sx
C
45º M
E a
F
45º
a
C
S2
a L
a
D B z
A
45º
45º Q
RPTA.: E
E
239.
45º
P45º
G
BE EC
AF FC
4 , AG =
B
2
A) 4m
RPTA.: B
B) 5m2
En la figura, calcule Sx, si: 8m2 , S2 18m2 y EF = FL E
B
AD BD
GF y el área de la región triangular ABC es 70m2
F
H
Calcule el área de la región
sombreada si:
N 45º
45º
S1
D
a
y
A
238.
b
S1
C) 6 m2 D) 7m2
C
A
G
B a 2
A
D 2
D
t x
c 8
2
A) 10m C) 17m2 E) 36m2
B) 12m D) 26m2
t
O a 8
5k
E
5a
2c
RESOLUCIÓN
Area BCL Área
a b a 2
a b a 2
S1 S2 M … I
AEDF =
AD
EF
4b
G
4b
F
2b
Por Thales: DF //BC y AB//EF Paralelogramo DBEF: BO = OF ABF ( O6 BASC Media):
AB 10 a 5a 2 2 DTB TOG : BT 2 a 2K TG 5a 5K
O6
= II
S1 S2 M Sx M S1 S2 Sx GRUPO SAN MARCOS
A
2
Sx M ………………… II
Igualando I
C
F
RESOLUCIÓN
L
F
E
E) 8m2
S2 Sx
D
GEOMETRíA
AreaGBF
4b
AreaGBF
A Total
10b
70
AreaGBF
241. En la figura el área de la región triangular mixtilínea AGE es S1 , el área del sector DOC es S2 y m ED = 2 m AE ; BG = BF = 2 AG. Calcule el área de la región sombreada (O es centro de la circunferencia).
28
BTO y ( igual): 2k t x x 4 28 7k 2 t
GBF
RPTA.: A
A
240. Calcule el área de la región sombreada si: AB =BC y R = 6 m.
G
B
E
O
120º
D R
A
B
A) 6 3 3
m
B) 12 2 3
m
C) 6 2 3
m
D) 12 3 3 E) 12
A) 2 S1 B) 4 S1 C) 2 2S1 D) 4 S1 E) 3 S1
C
O
C
S2 S2 S2 S2 S2
RESOLUCIÓN
m
Por igual altura
Area BG0 2AAGO Area BGO 2 S1 S2
3 m
x 4 S1 S2 2S2 4S1 2S2 2 2S1 S2
RESOLUCIÓN
AREG.
F
2S
SOM
A
AREG.
2 A
AREG.
6 6 3 2 2
ATO
SOM
SOM
AREG
2 18 3 6
ASECT.POT
a
S1
G
2
6
60º 360º
2a
E
12 3 3
B
O
S2 T S2 S2
x
S1
SOM
S2
2a
F
D a
C
RPTA.: C
B
242. En la figura: “O” centro, AM= 2 y m C 30º . Calcule el área de la región sombreada.
60º 60º
T
6
3
6
s
A
60º
30º
P
s
12
O
Q 30º
A
C
RPTA.: D
A) GRUPO SAN MARCOS
M
O
7 3 3 m P
B
30º
C
GEOMETRíA
C)
7 6 m 7 5 m
D)
7 3 3 6 m
E)
7 m 2
B)
AreaABM
AreaHOM
Finalmente: Area ABNH
Area ABNH Area ABNH
Q A
2 3
60º 60º60º 30º
2 M
60º
210º
2 3
O
S 2
Luego trapecio BHMN, por propiedad:
AreaBON x2 Q
RESOLUCIÓN
AreaBMC
Area ABNH
x1 x2
x1 Q Area ABM S 2 RPTA.: D
30º P
OQA
C
B
OQ 2
60 :
244. Calcule el área de la corona circular si: AP = a y PC = b (C: pto. de tangencia)
3 2
2
AREG. 2 3
210 2 3 360
SOM
A
2
3 3 4 2
12 2 7 3 3 6
AREG.
7 3 3
SOM
AREG.
P
O
SOM
RPTA.: D
C
243. En el triángulo ABC se traza la mediatriz MN de AC siendo AM MC , N en BC ; luego se traza la altura BH. Calcule el área de la región cuadrangular ABNH, si el área de la región triangular ABC es S.
2S 5 3S E) 4
S 3 S D) 2 A)
B)
C)
A) C)
3S 5
H
O
Se trata la mediana BM GRUPO SAN MARCOS
a2
2
2
b2 a 2n a b2 a 2n a b2 a2 n 2a
N
M
b2
C
Por Pitágoras
R
2
r
2
2
n
a2
2 a2 b2 a2 D) 9 a2
Por Teorema de la tangente
Q
A
B)
a2
b2
RESOLUCIÓN
B
1
a2
4 a2 4 b2 a2 E) 9 a2
RESOLUCIÓN
x2
b2
AED:
2
2
GEOMETRíA
b2 a2 2a
ACorona
2
n2 n2 R2 r2
b2 a2 4 a2
2
A) 2 720 D) 2 650
ACorona
20 C3 20 Puntos 40 Rectos C 240 20 Puntos y 40 rectas 20 x40
m
a2
4 a2
Circular
E
n
r
A
a
RPTA.: A
b
* * * *
245. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 4 puntos no coplanares. B) 3 E) 6
C) 4
247. De las siguientes proposiciones Indicar verdadero (V) o falso (F) Tres puntos determinan siempre un plano. Dos rectas determinan siempre un plano. Una recta y un punto exterior a ella. Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. A) VVVV D) FFVV
GEOMETRÍA DEL ESPACIO I
A) 2 D) 4
1 140 780 800 2 720
P
R
O
C) 2 630
RESOLUCIÓN
R2 r2
Circular
b2
B) 2 820 E) 2 550
B) FFFF E) FVFV
C) VVFF
RESOLUCIÓN
*
(F) Porque 3 puntos colineales no determinan un plano. * (F) Porque 2 rectas que se cruzan no determinan un plano. * (V) Determinación de planos. * (V) Por recta perpendicular a un plano. RPTA.: D
RESOLUCIÓN
248. En la siguiente figura, la arista del cubo mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo? M
N
L
Z: Número de planos Z C34 4 3 2 Z 1 2 3 Z 4
B
C
A RPTA.: D
246. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 20 puntos y 40 rectas. GRUPO SAN MARCOS
P
D
A) 2 2 1 m
2 3m 2 6m
B) 2 5 1 m
D) 2 5 m
E)
C)
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
a = 2m
Llevando los arcos LMNP y ALPD a un plano se tiene la figura: M
RPTA.: B
N
250. En el cubo mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas L1 y L 2 .
2
L1
x 4
L
P
L2
2
A
D
2
Pitágoras x2 42 22 x 2 5m RPTA.: D
A) 30° D) 53°
249. En un cubo, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es 6 m . Calcule la longitud de su arista A) 1m D) 4m
B) 2m E) 6m
B) 37° E) 60°
C) 45°
RESOLUCIÓN
L1
C) 3m
L3
L2
RESOLUCIÓN
A
C
A
a
6
B
O
b
b
1) 2)
Trazar: L 3 // L 2 El Triángulo ABC es equilátero porque sus lados son diagonales del cuadrado. 60º RPTA.: E
1)
2b b
a 2 a 2 …………………………………… I 2
2)
Pitágoras ( ABO) 2 a2 b2 6 …………………………… II
3)
I
a2
en
a 2 2
251. En el tetraedro regular mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas L1 y L 2 . L1
A) 30° B) 45°
II
C) 60°
2
6
D) 75° E) 90°
GRUPO SAN MARCOS
L2
GEOMETRíA
253. RESOLUCIÓN
“O” y cuyo diámetro mide 6 cm. Por O
se levanta una perpendicular OF al plano que contiene a la circunferencia, OF = 4 cm. Calcule la distancia de F a cualquier recta tangente a dicha circunferencia.
L1 L2
D
C
A
En una circunferencia de centro
A) 4 cm D) 7 cm
B) 5 cm E) 8 cm
C) 6 cm
H
RESOLUCIÓN F
B
1) 2) 3)
Trazar las alturas AHyDH de las caras ABC y DBC. L 2 es perpendicular al plano ADH porque es perpendicular a DHyAH . L 2 es perpendicular a L1 que está contenida en el plano ADH. 90º
RPTA.: E
252. Por un punto exterior a una recta. ¿Cuántas perpendiculares a dicha recta se pueden trazar? A) una B) dos D) infinitas E) cero
4 L T
3)
Dato OF = 4 cm 6 cm radio = 3cm 2 L es una recta
4)
circunferencia OT L Por teorema de las 3 perpendiculares
1) 2)
tangente
a
FT L Luego FT es la distancia de
C) tres 5)
RESOLUCIÓN
3 O
la
FaL
FOT Pitágoras
F T 2 32 42 FT = 5 cm
L
RPTA.: B
254. Calcule la medida de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide L.
P
L 3 2 L D) 6 3 A)
H
L 3 4 L E) 2 4
B)
C)
RESOLUCIÓN
1) 2) 3)
P es un punto exterior a la recta L. Por P se traza un plano H perpendicular a la recta L. L es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano H. Por P pasan infinitas rectas contenidas en el plano H. RPTA.: D
L 6 2
D
L h A
C L
O L B
GRUPO SAN MARCOS
GEOMETRíA
1)
A) 8 D) 6
“O” es el circuncentro del triángulo ABC
L
AO 3 L AO ……………………………………… I 3 AOD: Pitágoras
2)
h2
H A
h
L 3
h
L 6 3
y
3
x
6
en II
2
C) 7
RESOLUCIÓN
L2 ………………………………. II
AO2
I
3)
B) 9 E) 10
I
2
F
B
2
L
z 8
z
C
RPTA.: D
255. Sea “P” un punto exterior al plano que contiene a un rectángulo ABCD, PA = 15, PC = 20, PB = 7. Calcule PD A) 18 D) 24
B) 20 E) 25
C) 22
RESOLUCIÓN
1)
6 + 8 = 10 + 2r r = 2 .................................... I 2)
r+z=8 2 +z == z = 6 .. ................ II
3)
Por teorema de las 3 perpendiculares HF BC porque HI plano ABC y IF BC
P
B
C
ABC Teorema de Porcelet
4) y2
O
A
5)
HIF Pitágoras 32 r2 ……………………………… III
I
en
y2
D
Teorema de la mediana AC2 2 2 2 PA PC 2PO 2 BD2 2 2 2 PB PD 2PO 2 Igualando PA2 PC2 PB2 PD2 152 202 72 x2 x = 24
6) 7)
III
32 22 ………………..………… IV HFC Pitágoras x2 y2 z2 ……………….……… V
II
y IV en V
x2 32 x=7
22
62 RPTA.: C
RPTA.: D
256. En un triangulo rectángulo ABC recto en B, AB = 6 y BC= 8. Por su incentro I, se levanta la perpendicular IH al plano que contiene dicho triángulo, siendo IH = 3. Calcule HC
GRUPO SAN MARCOS
257. En la figura, P, Q y R son planos paralelos y L1 y L 2 son rectas alabeadas, AB = 3, BC = 4, DE = x - 1, EF = x + 2. Calcule x. A) 4 D) 9
B) 6 E) 10
C) 8
GEOMETRíA
Área (AHC)= 50cm2
RESOLUCIÓN
L1
A P
Area AHC
L2
25cm2 RPTA.: C
259. Un folder de dimensiones 4u y 8u se halla abierto según muestra la figura; el ángulo que forman las caras entre si mide 120°. Calcule PQ.
D
B
1 2
P
E
Q
8
x
8 F
C R
4
A) 3 7 u C) 5 7 u E) 8 7 u
Teorema de Thales AB DE BC EF 3 x 1 4 x 2 x = 10
Q
4
B) 4 7 u D) 6 7 u
RESOLUCIÓN RPTA.: E
258. El área de la región triangular ABC es 50 cm2 por AC se traza un plano que forma un diedro de 60º con el plano del triángulo. ¿Calcule el área de la proyección de dicha región sobre el plano? A) 10 cm2
25 cm2 40 cm2
B) 20 cm2
C)
D) 30 cm2
E)
P x
8 4 4
4 3 A
Pitágoras x2 82 4 3
RESOLUCIÓN
Q
120º
PAQ 2
x2 64 48 x 112 x 4 7
B
RPTA.: B S
k 2
H
C
60 K F
A
1)
Incógnita Área (AHC) Por teoría Área (AHC)= Área (ABC) cos 60°
GRUPO SAN MARCOS
260. Se tiene un ángulo triedro trirrectángulo de vértice O. Sobre sus aristas se toman las longitudes OA = OB = OC = 8. Calcule la medida del diedro BC. A) Arc cos 3 4
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
B) Arc cos 2 3 C) Arc cos 3 2 1 D) Arc cos 3 3 E) Arc cos 3
A
2 2
2
2 2
2 2
2 2
RESOLUCIÓN B
A
8 O
8
C
RPTA.: B
8
262. Calcule el área de la superficie de un icosaedro regular cuya arista mide 4 3m.
B
Área (BOC)= Área (ABC) cos
8 8 2 cos
8 2 4 3 3
Arc cos
2
2 2 3 Area(ABC) 4 Area ABC 2 3m2
8 2 8 2
C
2
3
A) 6 m2 D) 15 m2
cos
B) 9 m2 E) 18 m2
RESOLUCIÓN
a
3 3
a RPTA.: E
a: S:
A
a
medida de la arista del icosaedro. Área de la superficie del icosaedro regular.
Dato a 2)
C
a a
261. En la figura, P - ABC es un ángulo triedro trirrectángulo PA = PB = PC = 2m . Calcule el área de la región triangular ABC.
P
C) 12 m2
3m a2 3 S 20 4 4
S 5a2 3 S 5
B
4
3
2
3
S 15m2 A) 3 m2
4 3 m2 6 3 m2
B) 2 3 m2 D) 4 3 m2
GRUPO SAN MARCOS
C) E)
RPTA.: D
263. Calcule el número de vértices de un poliedro convexo formado por 60 triángulos y 80 cuadriláteros.
GEOMETRíA
A) 60 D) 112
B) 88 E) 140
a2
C) 92 2)
RESOLUCIÓN 1) Teorema de Euler C +V = A + 2…. I
2) C
60 80 3 60
3) A 4)
4 80
A
III
y
250 ……… III
V = 112 RPTA.: B
En el cubo mostrado, calcule la
en
5)
distancia entre las rectas AB y CD , si = AB = 2 3cm .
II
II
12 6 18 …………………………………... ECD OHD a d
I
y
III
x 3
Elevando al cuadrado a2 x2 ………………………………... d2 3
140 + V = 250 + 2
264.
I
4)
I
en
ECD Pitágoras d2 2 3 a2 ………………………..
d2 d2
C 140 ………………..… II
2 II
3)
6 ……………………………………….
III
en
IV
IV
6 x2 18 3 x=1 RPTA.: A
PRISMAS Y PIRÁMIDE
C
265. Calcule el número de caras de un prisma donde el número de vértices más el número de aristas es 50.
D A
18
B
A) 10
B) 20 C) 30
D) 12 E)
RESOLUCIÓN
A) 1 cm D) 4 cm
B) 2 cm E) 5 cm
C) 3 cm
Sea “n” el número de lados de la base
del prisma: C: Números de caras del prima V: Número de vértices A: Número de aristas
RESOLUCIÓN
E d H a
x a
A
3
1)
D
RPTA.: D
3
3
C
O
a
266. Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas. El área lateral del prisma es 864 2 m
a
3
B
ABC Pitágoras 2 a2 2 3
a2
A) 2 592 m2 B) 2 590 m2
2
2 a 12 I GRUPO SAN MARCOS
Piden:C = n + 2 Dato:V + A = 50 2 n + 3 n = 50 n = 10 C = 10 + 2 = 12
GEOMETRíA
prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2.
C) 3 024 m2 D) 2592 3
m2 E) 2 488 2 m2
A) 3 D) 6
RESOLUCIÓN
B) 4 E) 8
C) 5
RESOLUCIÓN
a
O
a
a
n lados
m
a
A
B
a
a
Piden: V
A' BASE a
h=a
Dato: AL 864 Perimetro BASE a 864 a =12 2 3 V 6 12 12 4 V 2 592 3
Piden: “n” A T Dato: A L RPTA.: D
3 2
267. Calcule el área lateral de un prisma regular cuadrangular, si su arista básica mide 2m y su arista lateral 8m. A)
16m2
64m2 D)
B)
128m2
32m2 E)
RESOLUCIÓN
2
m AOB
n=4
90
360º n
2
2
8
m an a 2
2 n a
m a 3 a 2 3a 2m 2a a=2m
C)
84m2
3 2
8
RPTA.: B
269. Desde un vértice de la base de un prisma regular cuadrangular, se trazan: la diagonal del sólido y la diagonal de la base, las cuales forman 45°. Si el área de la superficie lateral del sólido es 16 2m2 , calcule su volumen.
h
1m3 C) 2 m3 E) 8 2 m3 A)
Piden: AL Perímetro h BASE 8 8 64m2 Dato: AL RPTA.: A
RESOLUCIÓN
268. Se tiene un prisma cuya altura es congruente con la arista básica. Calcule el número de lados de la base del GRUPO SAN MARCOS
2m3 D) 3 m3 B)
GEOMETRíA
271. Calcule el volumen de un prisma regular octagonal, sabiendo que el área de una de sus caras laterales es 50 y el apotema de su base mide 4.
a 2
A) 500 B) 600 900
45º
a
4
Piden: V
a2 a 2
Dato: AL
16 2
4a a 2
a
a
a 2
a=2 V 22 2 2
a
16 2
h
8 2 m3 RPTA.: E
270. Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82. A) 4 000 C) 4 424 E) 4 864
B) 4 224 D) 4 624
Piden: V
8
a 4 2
h
V 16ah …………………………………..(I) Dato: Área de una cara = 50 ah =50
En (I) V 16(50) 800
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
a
272. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular cuadrangular, es una región cuadrada inscrita en una circunferencia cuyo radio mide 2 . Calcular el volumen del prisma.
d c b
1 2 D) 2 2 A)
Piden: A T 2 ab bc ac ………..(I) Dato: d 50 ……………………………(II) a + b +c = 82………………………..(III)
Elevamos (III)2 2 2 a b c 82 2
b
50
2
a
AT AT
2
E)
RESOLUCIÓN
a a
C) 700 D) 800
2
c
2 ab bc ac 82
2
82 50 4 224
2
AT 2
82
2
B)
2 C) 2 2
E) 4
RESOLUCIÓN
a
a a
4a
r
a
2
2
2 RPTA.: B
2
GRUPO SAN MARCOS
2
GEOMETRíA
A) 300 B) 384 C) 328 D) 382 E) 381
Piden: V a2 h ……………………..(I) Dato: r = 2 h=2 1 4a=2 a 2 2 1 En (I) V 2 2 1 V 2
RESOLUCIÓN
a (S.R.)
8 3
RPTA.: A 60º
273. La base de un prisma recto es una región limitada por un rombo de área 6m2 ; las áreas de las secciones diagonales son iguales a 18m2 y 24m2 . Calcule el volumen del prisma. 20m3 30m3 E) 36 m3 A)
22m3
B)
C)
25m3
D)
Piden: AL Dato: A S.R
6b a …………….…(I) 2
6 b
24 3
4
b=4
Notable: a =16
RESOLUCIÓN
En (I) AL
6 16 4
384 RPTA.: B
d2
275. Calcule el volumen tetraedro regular de arista 6
h
2 3 D) 2 6 A)
d1
Piden: V Dato: Dato:
h …………………..(I) 6
d1 (h) 18 d2 (h) 24
x
d1 d2 h
6
d1 d2 2
Área BASE
3
2
d1 d2
12
6 C) 3 E) 5 B)
RESOLUCIÓN
6 h
18 24
12h2 18 24 h=6 En (I) V 6 6 36m3
R
6
Piden: V
RPTA.: E
274. Calcule el área lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de 24 3 de área. La altura del prisma mide 8 3 y las aristas laterales forman ángulos de 60° con la base. GRUPO SAN MARCOS
de
1 3
6
2
3
4
h ….(I)
EN LA BASE: R 3 6 R 2 TEOREMA DE PITÁGORAS:
un
GEOMETRíA 2
h2 6 2 h=2 En (I) 1 6 3 V 2 3 4
V
RESOLUCIÓN
2
3
B
2h
RPTA.: C
276. Calcule el volumen de octaedro regular de arista 2 2
un B
32 A) 32 B) C) 16 5 32 D) E) 18 3
4B
Piden: Vx
RESOLUCIÓN
Dato: VPRISMA
En (I) Vx
2 2 h
Bh ………………….(I) 3 4B(2h) 120 B h 15
2
2
15 3
10 RPTA.: E
278. En el interior y exterior de un cubo ABCD – EFGH, se ubican los punto M y N, de modo que: M– ABCD – N es un octaedro regular cuya área de su superficie es 18 3 ; calcule la diferencia de volúmenes del cubo y octaedro regular.
2 2 h
2 1 2 2 h …………(I) 3 Diagonal: 2h 2 2 2
Piden: V 2
9 3
h=2
En (I) V V
1 2 2 2 3 32 3
9 3 2 2
A)
2
D)
B)
6 3
9 3 3 2
E)
M
2
a
a
277. Calcule el volumen del sólido cuyos vértices son los centros de las caras de un prisma recto triangular de volumen 120m3
B
C
a 2 A
D
a M
a
F
A) 12 m D) 4 m3
4 3
RESOLUCIÓN 2
RPTA.: D
3
2 C)
B) 6 m E) 10 m3
GRUPO SAN MARCOS
3
C
C) 5 m
3
E
H
2
GEOMETRíA
V = 48
Se observa: AC es diagonal del octaedro y diagonal del cuadrado ABCD. AM = AB = a a2 3 18 3 Dato: 8 4 a=3 Piden: VCUBO VOCTAEDRO 3
3
2
1 2 3 2 3 3 2
27 9 2
9 3
RPTA.: B
281. Calcule el área total del sólido que resulta al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular, sabiendo que el área total del tetraedro es 18. 18
A) 6 E) 4,5
B) 9
C) 3
D)
RESOLUCIÓN
2 RPTA.: C
279. Calcule el número de arista de una pirámide donde la suma del número de caras con el número de vértice es 16. A) 7 D) 14 E) 16
B) 21
A A
C) 12 4A
RESOLUCIÓN Sea: “n” el número de lados de la base
de la pirámide. Piden: A =2 n ….....…………………(I) Dato: C + V = 16
Pide: Área sólido= 4 A + 4 A =? * 4A: Ubicados en las caras del tetraedro. * 4A: Ubicados en el interior del tetraedro. Dato: 4 4A 18 8A 9
n +1 + n + 1 = 16 n=7
RPTA.: B
282. En una pirámide regular triangular, el perímetro de su base es 30 y su altura mide 3 3 ; calcule su volumen.
En (I) A = 14 RPTA.: D
280. Calcule el volumen de una pirámide regular cuadrangular si su apotema mide 5 y la apotema de la base mide 3 A) 40 B) 48 C) 36 D) 60 E) 50
80
A) 15
B) 45 C) 65
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
3 3 4
5
3
Pide:
62 4 V 3
GRUPO SAN MARCOS
10
Piden: 1 V 10 3
10
2
3 3 3 4
D) 75 E)
GEOMETRíA
V
75 RPTA.: D
283. Se tiene un foco a 12 m. de altura con respecto al suelo. ¿A qué distancia del suelo se tiene que colocar una plancha rectangular de 8 cm. por 4 cm. para que proyecte una sombra de 288 cm2 ?
Dato: 3 Volumen Pirámide= 6 m k Piden: k Vx 26 216 13 k Vx 108
A) 8 m B) 6 m C) 4 m D) 5 m E) 2 m
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
CILINDRO Y CONO 12
32
285. Calcule el volumen volumen del cilindro de revolución generado por una región rectangular de diagonal 5 que gira alrededor de su lado mayor, dicho lados se encuentran en la relación de 1 a 2.
4
8
x
288
Piden: x = ?
2
32 Propiedad: 288
12 x 2 12
4 12
12 x 12
x=8
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
284. En una pirámide de vértice “V” y arista lateral VA se trazan 2 planos paralelos a la base de la pirámide que intersectan a VA en M y N (M en VN ). Calcule el volumen de sólido determinado por los planos en la pirámide, si el volumen de la pirámide VM MN NA es “K” y 1 2 3 13 k A) 108
B) 5 3 C) E) 10 2 3
A) 5 5 3 10 5 3 D) 5 3
13 k B) 54
k C) 6 k D) 2 k E) 2
RESOLUCIÓN
2a
5
a
Del grafico: a 5
2
Vol 5 2 5
Vol 10 5 3 RPTA.: C
286. Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que genera un rectángulo de 3 m y 4 m de lados, cuando gira alrededor de cada uno de ellos.
V
1 1m M 2 M
GRUPO SAN MARCOS 3
Vx
26 m
1 2 D) 9 16
A)
3 4 3 E) 2
B)
C)
6 7
GEOMETRíA
RESOLUCIÓN
3
Del gráfico: r 3 ; h= 3 2 2 3 Volcil 3 2 27 Volcil m3 2 RPTA.: E
1
4
288. Calcule el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un hexaedro regular de 8 m3 de volumen. A) 5 m3 D) 6 m3 4 m3
Vol1 3 4 2
B) 3 m3 E) 8 m3
C)
RESOLUCIÓN 4
2 2
2
2
3
2
Vol2 42 3 2
V1 3 4 3 V2 4 2 3 4 RPTA.: B
287. Calcule el volumen de un cilindro de revolución inscrito en un cubo de arita 3 m . A) 9 m3
27 m3
B) 21 m3 D)
9 m3 2
27 m3 2
C) E)
*
Volcubo a3
a=2 r 2; h = 2
Volcil 2
2
2
Volcil 4 m3 RPTA.: C
289. Se inscribe un prisma regular hexagonal en un cilindro; en que relación estarán el radio y la altura del cilindro si su área es veces el área lateral del prisma. A) 1 D) 4
RESOLUCIÓN
8
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN r r
3
2r 3
GRUPO SAN MARCOS
h
2 r
h
C) 3
GEOMETRíA
*
A) 4m 72 m 2 72 m
Dato: At cil Alprisma Atcil AL 2 ABase Atcil 2 rh 2 r2 ALprima 6 r h
B) 5m
C)
D) 8m
E)
RESOLUCIÓN
El desarrollo lateral de cilindro será:
Reemplazando: 2 r h 2 r2 6 r h r=2h r 2 h
Dato: AL 24 2 r 3 24 r 4 d=5m RPTA.: B
RPTA.: B
292.
paralelogramo ABCD AB=4m y AD=8m. m A 135 , Calcule el volumen de sólido engendrado por la región paralelográmica cuando gira alrededor de BC.
290. Dado un cilindro de revolución cuya área lateral es numéricamente igual al volumen, si la generatriz mide 3 m; calcule el perímetro del desarrollo de la superficie lateral. A) 6 3 m2 B) 6 4 m2 C) 8 4 m2 D) 8 6 m2 E) 6 6 m2
En
un
A) 56 m3
B) 58 m3 D) 62 m3
60 m3 64 m3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B
A
Dato: AL V 2 r(3 r(3) r2 (3 (3) r=2 2 p 2 2 r 3 2 p 8 6 m2
4 D
291. El área lateral del cilindro de revolución es 24 m2 y la altura mide 3m. Calcule la menor distancia para trasladarse de A a B recorriendo por la superficie del cilindro.
2 2
C
45º N
Del gráfico, podemos observar que el volumen pedido es equivalente al volumen del cilindro generado por la región rectangular AMND
2
V 2 2 8 V 64 m3 RPTA.: E
r
293. Un cilindro de revolución cuyo radio mide 5m es interceptado por dos planos paralelos de manera que los ejes mayores de las elipses que se forman miden 16m y la generatriz del cilindro B
GRUPO SAN MARCOS
135º
8
RPTA.: D
A
M 135º
2 r
E)
4
3
C)
GEOMETRíA
oblicuo determinado mide 30m. Calcule el volumen de cilindro oblicuo. A) 625 m3 B) 500 m3 D) 725 m3 E) 750 m3 800 m3
C)
*
Del gráfico: r 2 Volliquido Volcil h2 Vol cubo
2 2 2 23
Volliquido
Volliquido 4 8
RESOLUCIÓN
Volliquido 4,56m3 Sabemos que: 1 m3 1 000 Vollíquido 4 560
Del gráfico: los triángulos rectángulos son semejantes:
RPTA.: A
295. Si el área lateral de un cono de revolución es igual a 2 veces el área de su base. Calcule el ángulo que forma la generatriz con la altura.
8 5
5
30
h
30 16
37°
8 30 75 h 5 h 4
*
Vol SB h Vol 750 m3
r
Piden: Dato: AL 2 ABase
RPTA.: C
294. Que cantidad de agua será necesario vertir en un recipiente cilíndrico, si se desea que el nivel del líquido alcance la base superior del cubo de arista 2m interior al cilindro. 3,14
5 640 4 650
RESOLUCIÓN
C) E)
r g 2 r2 g 2r 45 RPTA.: E
296. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de 60° en el cual se puede inscribir una circunferencia de radio 1. Calcule el volumen del cono.
35 3 m 24 35 3 m C) 4 35 3 m E) 3 A)
2 2
2 2 2
h
75 4
B) 6 540 D) 6450
GRUPO SAN MARCOS
C)
g
Vol 5 8
A) 4 560
B) 60° E) 45°
RESOLUCIÓN
5
A) 30° D) 53°
35 3 m 12 35 3 m D) 6 B)
GEOMETRíA
298. La altura de un cono de revolución es congruente al radio de la base de un cilindro recto y viceversa. Si el volumen del cono es el doble del volumen del cilindro y la generatriz del cono mide 2 37m . Calcule el área lateral del cilindro.
RESOLUCIÓN
En el desarrollo del cono: 30º 30º
g
2
A) 36 m2 C) 64 m2
1
Del gráfico: g = 3 g 3 60 Luego: r 360º 360º 1 r 2 2 1 2 2 2 2 h g r 3 2 35 h 2 2 1 35 35 Vol 2 2 3 24
RESOLUCIÓN
3
h
1 2
r
r
2
Del gráfico: r2 h2 2 37 h=2 r = 12 ALcil 2 rh 48 m2
RPTA.: B
A) 8 m3 D) 18 m3
Dato: A T 200 r g= 136
B) 12 m3 E) 24 m3
C) 16 m3
RESOLUCIÓN
A T rg r2 200 r 2 64 r=8 g = 17 h2 g2 r2 h 15 2 8 15 Vol 320 m3 3
4 2
RPTA.: D
GRUPO SAN MARCOS
h
299. Se tiene una esfera inscrita en un cono recto tangente a las generatrices en sus puntos medios. Calcule el volumen del cono sabiendo que el radio de la esfera mide 2m.
B) 280 m3 D) 320 m3
RESOLUCIÓN
*
r
Dato: Vcono 2 Vcil r2h 2 h2 r 3 r = 6h
297. La superficie total de un cono recto es 200 m2 y el producto de la generatriz y el radio es 136m2 . Calcule el volumen del cono.
7 3 2
h
RPTA.: A
* *
E)
60 m2
2 r
A) 280 m3 C) 360 m3 E) 240 m3
B) 48 m2 D) 42 m2
2 r
Del gráfico: x 30
0
GEOMETRíA
h6 r 2 3 r 2 3
2 2 3 6 vol
V2
V1 h h
h
RPTA.: E
300. Calcule el área de la superficie lateral de un cono de revolución, sabiendo que el segmento de mediatriz de una de sus generatrices limitada por la altura del cono es de 4m y la altura del cono es de 10m. B) 64 m2 D) 80 m2
r2 h
RPTA.: B
M 4
r
Del gráfico: AMN g 4 10 r r g 8 0 AL r g 80 m2
302. Se tiene un cono circular recto de altura H y el radio de la base igual a R. Calcule la arista del cubo que se puede inscribir tal que una cara este sobre la base del cono y los vértices opuestos a esta sobre la superficie lateral del cono.
10 N
B
A)
ABC
B) C) RPTA.: D
301. El volumen de un cono es 27m 3 y la altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule el volumen del sólido determinado por dichos planos.
8m3
2r 2h
3 3 7 r2 h …………………………………..(II) 3 Reemplazando (2) en (1) V 7 m3
g 2
Dato: Vol = 27m3 2 3r 3h 27 3 2 r h 3 ……………………………..….(I) V V2 V1
A
C
3 r
2
RESOLUCIÓN
g 2
V
2r
3 Vol 24 m3
A) 86 m2 C) 40 m2 E) 40 m2
r
A) 6m3 D) 9m3
B) 7m3 E) 10m3
D) E)
RH (R H) 2RH (2R 2H) 2RH (R H) RH 2(2R H) RH (2R 2H)
V
RESOLUCIÓN
C)
M
a O
RESOLUCIÓN
N R
GRUPO SAN MARCOS
B
GEOMETRíA 2
V 2 3
Del gráfico: Los
V 96 m3 RPTA.: C
son semejantes:
304. Calcule el volumen de un tronco de cilíndro de revolución sabiendo que se puede inscribir una esfera y que la generatriz mayor mide 6m y la menor 2 m.
VOB MNB a 2 NB R 2 H R a Ra a 2 2 a2 H a 2R a 2 2
8
A) 6 m3 D) 9 m3 8 m3
B) 7 m3 E) 10 m3
RESOLUCIÓN 2
2 a 2RH 2R a H 2 a a 2 2R H a 2R H 2
A 4 6
RPTA.: B
B
2r
303. Calcule el volumen del tronco de cilindro circular recto mostrado en la figura, si OA =4m (O: centro)
2 D
o
*
A 10
*
6
A) 72 m3 C) 96 m3 E) 90 m3
B) 124 m3 D) 126 m3
RESOLUCIÓN 8
r
r
c
Eje = 2 6 4 2 En el trapecio ABCD: Por Pithot: 6 + 2 = 2r + AB AB = 8 – 2r :r3 2 2 3 V 4 2 V 9 m3
En
RPTA.: D
ESFERA Y ROTACIONES
4
4 3
r
*
C)
Eje 10 6 8 2 del gráfico : r 2 3 V r2 eje
GRUPO SAN MARCOS
305. Calcule a que distancia del centro de una esfera de radio R (2 5) m se debe seccionar con un plano para que la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos determinados sea igual al área de la sección que divide a la esfera en dichos casquetes. A) 0,6m D) 2m
B) 0,8m E) 3m
RESOLUCIÓN
C) 1m
GEOMETRíA
R-x
r
H
A
x
R
ii)
OPQ: R x2 r2 ………………………………. 2 2
O R
1
en 2 : R2 r2 2r R 2
Dato: R = 2 5 i) ii)
R 2R R x 2r r Rx x = 2r –R…………………………………. 1
OHA: R2 x2 y2 y2 R2 x 2……….. 1 A casquete -A casquete = r2 mayor menor
4R 4 5 5 5
r
Acírculo r2
4 5 16 5 5 RPTA.: E
2 R(R x) 2 R R x r 2 4R x r2 …………………………………. 1
2
2
y
: 4R x r R2 x2 x R 5 2 2
x 5 2 5 2 1 RPTA.: C
306. Calcule el área del círculo limitado por la intersección de una superficie esférica y una superficie cónica, ambas inscritas en un cilindro de revolución cuyo radio de la base es 5 m . A) 2 m2 D) 12 m2
B) 4 m2 C) 8 m2 E) 15 m2 4
307. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro de revolución y un cono equilátero circunscritos a esta esfera; calcule la suma de los volúmenes de los tres sólidos. A) 19 m3 3 6 D) m3 3
B) 26 m3 C) 13 m3 3
E)
3
14 3 m 3
RESOLUCIÓN 30º
1
RESOLUCIÓN 1
V
60º
1
1 R O x P
H
60º
R r
R
VPO
GRUPO SAN MARCOS
S
Piden: VTotal VCilindro VEsfera VCono 2
Dato: R 5 i)
R 3
Q
BHS
4 2 3 VTotal 1 2 1 3
3 3
3
GEOMETRíA
VTotal 2
4 4 19 3 5 3 3 3
RPTA.: A
308. Sean E1 y E2 dos esfera, si el volumen de E2 es el doble del volumen E1 y el radio de E1 3 16 cm . Calcule el volumen de E2. A) 612 cm3 C)412 cm3 E) 552 cm3
RPTA.: C
Calcule el volumen de una cuña 3 esférica de 30° cuyo radio mide 3 m . 4
3
A) m3 6 C) m3 14 E) m3 5
R
16
HVE: VH=3 r 30º 2 60º
310.
512 cm3 3 D) 128 cm3
B)
RESOLUCIÓN
3
R r 3 a=r
B) m3 12 D) m3 8
RESOLUCIÓN r3 ………………………… 1 VCuña
270º Datos: 30º 3 R 3 ………………………. 2 4 esferica
F1
F
2 Condición: VE1 2 VE1 3 4 3 4 R 2 3 16 3 3 4 128 VE2 2 16 3 3
2
en 1 3 3 3 30º 4 3 VCuña m 270º 12 esferica RPTA.: D
309. Calcule el ángulo en la cúspide de un cono de revolución sabiendo que el área de la esfera inscrita es el área de la base del cono como 4 es a 3. A) 15° D) 74°
B) 30° E) 80
RESOLUCIÓN
C) 60°
RPTA.: B
311. Calcule el área de un huso esférico de 90° si el radio mide 5cm A) 24 cm2 C) 25 cm2 E) cm2
B) 12,5 cm2 D) 16 cm2
V
RESOLUCIÓN r2 ………………………… 1 AHuso
a
esferico
r
90º
T O
Datos: 90º R 5 ………………………….. 2
r
r
E
H
Condición: AEsfera 4 v2 4 ABasecono 3 R2 GRUPO SAN MARCOS
R 3
2
en 1 2 5 90º 25 AHuso 90º esferico
GEOMETRíA RPTA.: C
312. Se tiene dos esferas concéntricas; se traza un plano secante a la esfera mayor y es tangente a la esfera menor, determinando un círculo de área 16 cm2. Calcule el área del casquete menor determinado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 cm. A) 9 cm2 C) 20 cm2 E) 36 cm2
B) 16 cm2 D) 25 cm2
h r=4
3
R
ii)
9 ………. 1 2
Esfera circunscrita: Área= 4 r2 4 3r2 * Área= 4 r2 4 3 54 2 RPTA.: E
314. Calcule la longitud de la altura de un casquete esférico incluido en una esfera de 4cm de radio, siendo su área la quinta parte del área de la superficie esférica.
RESOLUCIÓN
O1
Área = 4 r2 18 r2
A) 1 cm C) 1,6 cm E) 2,5 cm
V
B) 1,5 cm D) 2 cm
RESOLUCIÓN
i) Área del círculo tangente= r2 16 la menor r =4 ii)
h
a
OO1 V : R = 5 h=R-3=2 h=2 Luego: ACasquete 2 Rh 2 5 2 20
4-h
4 R =
RPTA.: C
313. El área de una esfera inscrita en un cubo es 18 cm2; calcule el área de la esfera circunscrita a dicho cubo. A) 18 cm2 C) 36 cm2 E) 54 cm2
B) 27 cm2 D) 45 cm2
Dato: 1 Acasquete Área de la esfera 5 1 4R 4 4 2 hR 4 R 2 h 1,6 5 10 10 RPTA.: C
RESOLUCIÓN
R
315. Se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico incluidos en una superficie esférica de radio R; calcule la medida del ángulo del huso esférico si la altura de la zona es R/3. A) 15° D) 45°
r r
R
B) 25° E) 60°
RESOLUCIÓN
Dato: Azonaesferica AHusoesférico i)
Esfera inscrita:
GRUPO SAN MARCOS
2 R h R2
C) 30°
GEOMETRíA
2 R R 2 R 90º 3 60º
2 R h RPTA.: E
2 R 3 45º 90º 90º 3 12 45 288 270
VCuña
Esférica
RPTA.: D
316. A que distancia del centro de una esfera de radio R debe trazarse un plano secante para que el área de los casquetes determinados estén en la relación de 1 a 3. A) R/2 D) 2R/3
B) R/3 E) R/10
2
12
R2
318. Una esfera de radio 2 10 cm es seccionado a un mismo lado del círculo máximo por dos planos paralelos, determinando un segmento esférico cuyas bases tienen radios que miden 6cm y 2cm. Calcule el volumen del segmento esférico.
C) R/5
RESOLUCIÓN
208 cm3 3 236 cm3 3 296 cm3 3
A) C)
R-x
E)
x
B) D)
218 cm3 3 272 cm3 3
RESOLUCIÓN
R
O2
r2 2
P
R-x
Dato: ACasquete menor
ACasquete
6 r1
Q
1 3
O1
R
R 2 10
O
mayor
2 R R x 1 2 R R x 3 3R -3x =R+x 4 x = 2R R x 2
2
OOQ: 2 10 1
2
OO2Q: 2 10 RPTA.: A
317. En una superficie esférica de radio 12cm se tiene una zona esférica y un huso esférico equivalentes y la altura de la zona esférica mide 3cm; calcule el volumen de la cuña esférica. A) 248 cm2 C) 278 cm2 E) 300 cm2
B) 268 cm2 D) 288 cm2
RESOLUCIÓN
Dato: h = 3 Condición: AZonaesférica AHuso esférico
GRUPO SAN MARCOS
22 OO2 OO2 6
h OO2 OO1 4
VSegmento Esférico
62 OO1 OO1 2
h
h 6
2
3r12 3r22
VSegmento Esférico
4
42 3 62 3 22 6
272 3 RPTA.: D
319. El área de un huso esférico es igual a la tercera parte del área de la superficie esférica y el volumen de la esfera es 36 m3. Calcule el área de la cuña esférica. A)12 m2 C) 18 m2 E) 25 m2
B) 16 m2 D) 21 m2
GEOMETRíA
321. Calcule el volumen del sólido engendrado por una región hexagonal regular de perímetro 36cm y gira alrededor de una recta que contiene a uno de los lados del dicho polígono.
RESOLUCIÓN
6 6
6
A) 962 cm3 C) 925 cm3 E) 936 cm3
G 6
6
6
6
d 6
A
i)
B
90º VEsfera
ii) iii)
1 4 R 2 120º 3 4 3
R
3
RESOLUCIÓN 2 p = 36 6
AGB :
Condición: 1 AHuso AEsfera 3 Esférico R2
B) 972 cm3 D) 928 cm3
36 R
3
d =3 3
62 3 Área del Hexágono= 6 54 3 4 Teorema de Pappus: Volumen: 2 d Área 2 3 3 54 3 972 RPTA.: B
32 120º 2 3 Área total de la cuña= 90º 12 9 21
322. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, tal que AH = 4 cm y HC = 9 cm. Calcule el volumen del sólido generado al girar 360° la región triangular alrededor de su hipotenusa AC.
RPTA.: D
320. Dos planos perpendiculares son tangentes a una esfera y la distancia entre los puntos de tangencia es 3 2 cm. Calcule el volumen de la esfera. A) 16 cm3 C) 25 cm3 E) 36 cm3
A) 122 cm3 C) 125 cm3 E) 166 cm3
B) 21 cm3 D) 28 cm3
B) 136 cm3 D) 156 cm3
RESOLUCIÓN B
RESOLUCIÓN
2a G
6 2
R
d
R A
R
Dato: R 2 3 2 R 3 4 VEsfera 33 36 3
H
Semejanza: d a 6 3a d=2
i)
ABC
9
C
BH2 9 4 BH 6 ………………… 1
RPTA.: E
GRUPO SAN MARCOS
4
a
ii)
Área= 13 6 39 ………………………. 2 2 Teorema de Pappus: