Equipo 3 EL MODELO DE RAZONAMIENTO DE VAN HIELE COMO MARCO PARA EL APRENDIZAJE COMPRENSIVO DE LA GEOMETRÍA Sus autores son los esposos Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof que en los años 50 eran profesores de Geometría de enseñanza secundaria en Holanda. A partir de su experiencia docente y de las dificultades de comprensión que observaban en sus alumnos, elaboraron un modelo que explica por una parte como se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes. Esta teoría la exponen por primera vez en sus tesis doctorales, leídas en 1957. Tras unos años de intensas investigaciones y experimentaciones, se incorpora el Modelo de Van Hiele como base teórico de la elaboración del nuevo Curriculum de enseñanza de la Geometría de la U.R.S.S, cuya implementación definitiva se produce en 1964. Por lo contrario, en los van Hiele países occidentales (con excepción de Holanda) se siguió ignorando el Modelo de Hiele hasta que I. Wirszup da una conferencia en la reunión anual en la que hace una descripción del Curriculum soviético y del modelo de Van Hiele y alerta a los profesores estadounidenses ante el hecho de que el Curriculum de Geometría soviético es más eficaz que el suyo. El modelo de Hiele está formado de dos partes: 1) La descripción de los distintos tipos de razonamiento geométrico a lo largo de su formación, se denominan niveles de razonamiento. 2) La descripción de cómo puede un profesor reorganizar la actividad en sus clases para que los alumnos sean capaces de acceder al nivel de razonamiento superior, se trata de las fases de aprendizaje. Se pueden encontrar listas muy completas de características e los distintos niveles de Van Hiele. En dichas publicaciones se utilizan dos numeraciones de los 5 niveles, empezando en 0 y empezando en 1; pero se prefiere la segunda, para mantener las etiquetas de los niños de acuerdo a sus ordinales.
Nivel
No Reconoce/ No adquiere/ No entiende:
1
Objetos
Reconocimiento
Físico
± totalidad
Propiedades componentes
y
Equipo 3 2
Describir
de
manera informal
Análisis
Objetos
por partes
3
Encadenamiento de los pasos, la estructura de la demostración
Realizar razonamiento lógicos
Clasificaciones
Clasificación
lógicas Descripción
4
formal
Razonamientos
formales
Deducción
Comprende
la
Estructura axiomática Acepta
llegar al resultado desde distintas premisas
5
Capacidad
para manejar, analizar y comparar diferentes Geometrías
EJEMPLOS NIVELES DE RAZONAMIENTO NIVELES NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
CARACTERISTICA Identifica cuadrados, rombos, rectángulos, etc. No es capaz de dar una definición. No es capaz de diferenciar tipos de cuadriláteros Clasifica los cuadriláteros a partir de sus
EJEMPLO Es un cuadrado pero, después de girarlo, es un rombo. Un rectángulo como un polígono dotado de un número de propiedades matemáticas. Paralelismo igualdad de lados, perpendicularidad
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NIVEL 4
propiedades Puede deducir, basado en argumentos informales. Maneja las propiedades de los cuadriláteros Puede comprender la existencia de diferentes definiciones de una figura.
paralelismo de lados opuestos, etc. Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene los ángulos rectos. Un rectángulo es un cuadrilátero cuyas diagonales son iguales y se cortan en sus puntos medios.
FASES DE APRENDIZAJE
RECURSIVIDAD: Los elementos implícitos en el razonamiento del nivel N se hacen explícitos en el razonamiento del nivel N+1.(Nivel en el que un niño de pre-escolar diferencia las figuras por su forma.)
SECUENCIALIDAD: No es posible alterar el orden de adquisición de los niveles, es decir que no puede alcanzar un nivel de razonamiento sin antes haber superado, de forma ordenada, todos los niveles inferiores. ESPECIFICIDAD DEL LENGUAJE: Cada nivel lleva asociado un tipo de lenguaje para comunicarse y un significado especifico del vocabulario matemático, de forma que dos personas que utilicen lenguajes de diferentes niveles no podrán entenderse. CONTINUIDAD: El tránsito entre los niveles de Van Hiele se produce de forma continua y pausada, pudiendo durar varios años en caso de los niveles 3 y 4. LOCALIDAD: Por lo general, un estudiante no se encuentra en el mismo nivel de razonamiento en cualquier área de la geometría, pues el aprendizaje previo y los conocimientos que tenga son un elemento básico en su habilidad de razonamiento INFORMACIÓN: Al empezar a estudiar un tema nuevo, el profesor debe informar a los estudiantes sobre cuál es el campo de investigación en el que va a trabajar y cuáles van a ser los problemas que van a tratar de resolver. ORIENTACION DIRIGIDA: En la segunda fase, los estudiantes exploran el campo de investigación por medio del material que se les ha suministrado el profesor. EXPLICACIÓ: Conseguir que las experiencias adquiridas se unan a los símbolos lingüísticos precisos y que los estudiantes aprendan a expresarse con precisión.
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ORIENTACION LIBRE: El alumno debe afianzar y completar sus conocimientos el mismo. INTEGRACION: En esta fase el profesor debe tratar de resumir en un todo el campo que han explorado los estudiantes y lograr que integren lo que acaban de aprender.
ACTIVIDADES
DE NIVEL 1
A los alumnos se les presenta el conocimiento de distintas maneras, se emplean ejemplo para que quede claro, posteriormente se les pide que hagan alguna figura de su elección y una vez que lo han hecho se les muestra el giro de las mismas figuras, finalmente se da la explicación del tema y el porqué de los giros realizados con anterioridad y solo para reafirmar el conocimiento se volverán a hacer los giros con ayuda de un disco plástico. CONCEPTOS TRABAJADOS: contacto con giros y transformación ACTIVIDADES
DEL NIVEL 2
Se recuperan los conocimientos previos que poseen los alumnos con alguna actividad como la lluvia de ideas, una vez que se ha obtenido esto se identificaran figuras correspondientes así como giros midiendo su ángulo, posteriormente se analiza con los alumnos la actividad y se les cuestiona sobre qué pasaría si los ángulos fueran otros y se elaboran ³rosetones´ para analizar los giros en un mismo punto. Para finalizar el profesor da la explicación. CONCEPTOS TRABAJADOS: equidistancia, ángulo y su igualdad FRACCIONES La definición más fácil de una fracción es que son números racionales positivos, solo que solemos conocerle de distinta manera así como 3+2 y 5; sin embargo en este caso el nombre preferido es ³fracción´. ³las fracciones funcionan mucho pero son mas complejas que todos los números naturales y es por ello que muchas personas nunca las aprenden´
Las fracciones en el lenguaje cotidiano Generalmente usamos las fracciones en el lenguaje cotidiano cuando decimos ³mitad´ o ³doble´ es decir en el lenguaje lo usamos mucho con división y multiplicación, en lo que es suma y resta no lo empleamos tan comúnmente ya que la fracción indica algo parcial, en ocasiones puede decirse que las empleamos al decir
Equipo 3 ³cada tercer lote gana´ sin embargo este es un concepto que lo usamos mas en probabilidad. Es importante mencionar que las fracciones se presentan cuando un todo ha sido o está siendo rajado, cortado, rebanado, roto, coloreado en partes iguales. La cuestión de cuantas veces una parte cabe en un todo es significativa solo si uno ha acordado bajo que condición se consideran las partes como equivalentes. Haciendo referencia a ese todo de donde surgen las fracciones, el todo puede ser discreto o continuo (si puede separarse o permanece unido), definido o indefinido (si tiene una medida, longitud, etc. determinada o es infinito), estructurado o carente de estructura (si está organizado de tal o cual forma o no tiene ninguna ordenación). Uno de los principales problemas al que se enfrentan los alumnos al dividir un todo en partes, es que en la didáctica tradicional de la aritmética se les ofrece un enfoque limitado con el ejemplo tan sencillo y común de la división de un pastel, pues este concepto únicamente permite obtener fracciones propias, idea en la cual, se queda ³estancado´ el alumno y no le permite tener un desarrollo abstracto en cuanto al tema de fracciones. Una función muy importante de las fracciones es el utilizarlas como comparadores, y en cuanto a esto, se puede hacer de dos maneras distintas: Los objetos respecto al número o valor de la magnitud (El banco es la mitad de alto que la mesa) o comparar los propios números o valores de magnitudes (La altura del banco es la mitad de la altura de la mesa) Hay que recordar que existen distintos métodos para la solución de problemas, pero antes es conocido cómo se introducen los números racionales, empezando con los números naturales (o enteros): se consideran pares (³fracciones´) de enteros con un segundo miembro distinto a cero y se percibe una relación de equivalencia. Los números racionales son entonces las clases de equivalencia de estos pares. Las operaciones aritméticas están definidas apropiadamente para los pares y, por consiguiente, para las clases de equivalencia. Ahora bien en un ejercicio que dice: ocho botellas unas al lado de otras, divididas cada una de ellas en tres partes, da a cada persona ocho tercios ±en realidad muchos de estos alumnos no conoce esta palabra, pero llegan a decir muchas veces que se refieren a ³botellitas´-. Para darles a conocer esta información hay que darles a conocer un método fácil y práctico para que lleguen a comprender la solución de estos tipos de problemas.
Equipo 3 CUESTIONARIO 1. ¿Cuantos niveles tiene el modelo Van Hiele? a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 2. ¿Cuáles son los niveles de razonamiento? a) reconocimiento, análisis, continuidad, explicación y orientación. b) reconocimiento, análisis, clasificación, deducción e integración. c) reconocimiento, clasificación, profesionales y explicación d) reconocimiento, clasificación, análisis, deducción y profesionales 3. Algunas fases de aprendizaje son: a) Orientación libre, integración, explicación y secuencialidad. b) Orientación dirigida, orientación, especificidad del lenguaje y análisis. c) Deducción, información, localidad, Integración. 4. ¿Qué Curriculum era más eficaz que el de los estadounidenses por el modelo de Van Hiele? a) Curriculum soviético b) Curriculum americano C) Curriculum europeo d) Curriculum africano
a) b) c) d)
5. ¿Qué es una fracción? Números racionales positivos Parte de un entero Un número decimal presentado de una manera distinta Números enteros positivos
a) b) c) d)
6. ¿Por qué no todas las personas aprenden las fracciones? Porque no todos tenemos las mismas habilidades Porque tenemos estilos de aprendizaje distinto Porque son más complejas que los números enteros Porque no a todos se nos presentan en la vida diaria 7.
a)
En el lenguaje cotidiano empleamos las fracciones, ¿a qué operación nos referimos más? Suma y resta
Equipo 3 b) c) d) a) b) c) d)
multiplicación y división suma y multiplicación suma y división 8. Ejemplo de fracciones en el lenguaje cotidiano ´Compra medio kilo de tortillas´ ³Sírveme tres cuartos de la sopa que le serviste a ella´ ³Perdí siete cuartos de mi sueldo en esa apuesta´ ³Dame $250 para comprar esa blusa´ 9. Las ______________ se presentan cuando un todo ha sido o está siendo rajado, cortado, rebanado, roto, coloreado en partes iguales« a) partes b) fracciones c) magnitudes d) equivalencias 10. Cuando se habla de que el todo puede separarse o permanecer unido, ¿de que categorización del todo se habla? a) Discreto o continuo b) Definido o indefinido c) Estructurado o carente de estructura d) Organizado o desorganizado 11. Menciona una función de las fracciones en cuanto a magnitudes. a) Las fracciones como comparadores b) Las fracciones como factores c) Las fracciones como conceptos d) Las fracciones como elementos 12. ¿A que tipo de comparación de fracciones se refiere el siguiente ejemplo: ³La altura del banco es la mitad de la altura de la mesa´?
a) Los objetos respecto al número o valor de la magnitud b) El valor de la magnitud respecto al objeto c) Comparar los propios números o valores de magnitudes d) Comparar los propios objetos 13. Se introducen los números racionales, empezando con: a) Una introducción b) Ejercicios
Equipo 3 c) Dinámicas d) Los números naturales 14. Los números racionales son entonces las: a) b) c) d)
Clases Clases Clases Clases
equivalentes de los pares equivalentes de las fracciones equivalentes de los imaginarios equivalentes de los irracionales
15. Las operaciones aritméticas están definidas apropiadamente para los: a) b) c) d)
Alumnos Maestros Pares Vecinos
