Resumen Primer Certamen Gustavo Sazo S. An´ alisis ali sis Num´erico eri co (MAT270) ( MAT270) Departamento de Electr´onica, oni ca, Universi Uni versidad dad T´ecnica ecni ca Federico Fede rico Santa Mar´ıa ıa 2014
1.
Teor´ eor´ıa del error
1.3. 1.3.
Buen condic condicion ionami amien ento to
Rn datos, y Rm result Sean x resultado adoss y f = (f 1 , . . . , fm ). Para determinar si un problema est´a bien Represe Represent ntaci aci´ ´ on o n en pun punto flota flotan nte condicionado, es necesario obtener primero los factores normalizado de condicionamiento , de la siguiente manera:
∈
1.1. 1.1.
x =
± 0 . a1 a2 . . . a · 10 t
C ij ij =
b
Donde, t: Cantidad de d´ıgitos que tienes la mantisa d: Cantidad de d´ıgitos que tiene el exponente b: Exponente
rd(x) =
±
·
·
| |
| |
2.
Redondear a t d´ d´ıgitos ıgi tos signifi sig nificati cativos vos 0 . a1 . . . at . . . 10b (0 . a1 . . . at . . . + 10−t ) 10b
xi ∂f j (x) yj ∂x i
Se dice que un problema es bien condicionado condicionado si C ij ij es peque˜ no. no. Se espera que C ij ij < 1.
Estimaci´ on on del error
±
∈
at+1 < 5 at+1 5
≥
Error Absoluto = rd(x)
| − x| |rd(x) − x| Error Relativo = |x|
2.1. 2.1.
Ecua Ecuaci cione oness y sist sistem emas as no line lineaales Ecuacio Ecuaciones nes no lineal lineales es
M´ etodo etodo de la bisecci´ on on
Se aplica a ecuaciones f (x) = 0, x ciones de intervalos.
∈ [a, b] usando bisec-
1) Primera Primera bisecci´ bisecci´ on: on: Punto medio de [ a, b], p 1 =
a+b
2
2) Verificar signo de f (a) f ( p1 ) y f (b) f ( p1 ), se retiene el negativo.
·
Teorema b−t
1) rd(x)
| − x| ≤ 0. 5 · 10 |rd(x) − x| ≤ 5 · 10 2) |x|
t
−
·
3) En el caso de que f (b) f ( p1 ) sea negativo, se opera entre [ p1 , b] y se busca el punto medio del intervalo.
·
4) Volver olver al paso 2, con el nuevo interv intervalo alo y proceder. proceder. M´ etodo eto do regula regu la falsi fals i
N´ umero umero de precisi´ on o n de la m´ aquina aquina
= EP S =
B
2
· B
t
−
Se inspira ins pira en el m´etodo etodo de la bisecci´ bisecci ´on, on, pero considera considera la forma de la funci´on on f al considerar sus secantes. Es m´as as r´apido apido que el m´ etodo etodo de la bisecci´on. on.
Donde B es la base del sistema. M´ etodo eto do de Newton Newt on
1.2.
Aritm´ etica etica flotante flotante
1) rd(x)
− x = x ⇔ rd(x) = x( + 1)
2)
| | ≤ EP S
Nota: Las propiedades distributiva y asociativa no son
v´alidas alidas en la aritm´etica etica flotante
Sea y = f (x) una funci´on on diferenciable en el intervalo ]a, b[.
Algoritmo de Newton, con f i derivable
3. Figura 1: M´etodo de Newton
−
∈
xn+1 = x n
− f f ((xx )) n
Sea el sistema lineal A X = b , donde no, invertible. b : vector A: matriz de n n de gran tama˜ columna de n datos. X : vector columna inc´ognita.
3.1.
·
n
bn xn = ann
Se puede considerar que corresponde al m´ etodo de Newton con un factor de perturbaci´on.
−
1
−
f (xn ) f (xn ) f (xn ) f (xn ) 2(f (xn ))2
·
El m´etodo de Bailey triplica los d´ıgitos significativos.
aii
n
bi
aij xj
j =i+1
etrica 2) A matriz sim´ Sea L una matriz invertible, triangular superior
A = L LT
·
AT = ( L LT )T = L LT = A
·
·
I) AX = b II) (L LT )X = b III) L(LT X ) = b LY = b IV) LT X = Y
·
Sistemas no lineales
Sistema con mismo n´umero de ecuaciones y variables que ( se puede escribir vectorialmente como F 0. Sea H x) = una matriz invertible, entonces: 3.2. ( 0 F x) =
⇔ H (x) · F (x) = 0 ⇔ x + H (x) · F (x) = x ⇔ G (x) = x 1) Si x = s es la soluci´on y ||J (s)|| < 1, donde G
J G =
A matriz sim´etrica definida positiva
⇔ Existe L triangular inferior invertible, de modo que A = L · L T
F´ ormulas para L
∞
∂g i ∂x j
Es localmente y al menos cuadr´aticamente convergente ( si det(J F 0 donde x = s es s)) = 0 para el caso F x) = ( soluci´ on.
⇔
L =
2) Si J G 0, la convergencia es al menos cuadr´atica s) = ( Rn
·
M´ etodo de Cholesky para matrices sim´ etricas
entonces la convergencia es local.
M´ etodo de Newton en
·
Sea el sistema A X = b , la soluci´on se obtiene de la siguiente manera:
Punto fijo
xi =
1
· −
Algoritmo de sustituci´on ascendente, con i = 2, . . . , n
M´ etodo de Bailey
2.2.
M´ etodos directos
1) A matriz triangular superior
El requisito es que f (xn ) = 0. Newton duplica los d´ıgitos significativos.
xn+1 = x n
F ( x(n) )
Sistemas Lineales
×
Donde, xn+1 : corte con el eje x de la recta tangente a f por P (xn , f (xn ).
1
−
x(n+1) = x(n) J F x(n) ) ( x(0) Rn Dato inicial
A = L LT
·
0
L11 L21
L22
Ln1
Ln2 . . .
L11 =
√ a11
.. .
0 0
... ...
Lnn
Primera columna
→ L 1 = La111 i
i
− e´sima columna 1 2 L = a − =1 L 1 1 L = a − =1 L · L L R
rr
kr
r− j
rr
kr
rr
rj
r− j
rj
kj
3.3.
M´ etodo LU o de Gauss
Primer pivote: a 11 = 0 ai1 Factores de eliminaci´on: m i1 =
(1)
M
=
i = 2, . . . , n
a11
Sea A (2) = M (1) A
−−
1
0 0 ... m21 1 0 . . . m31 0 1 . . . .. .. .. . . . . . . mn1 0 0 . . .
1
En general se logra, para r < n :
A(r) =
a11
a12
0 .. .
a22 (2)
.. . 0 0 .. . 0
0 0 .. . 0 (r)
.
.. . ...
.. .
arrn
(r)
ar+1,n
.. .
.. .
(r)
...
(r)
an,r . . .
ann
Se busca el pivote en la submatriz. Se intercambian filas y columnas para ubicar el pivote en la posici´ on correcta, eso provocar´a un cambio en los multiplicadores y en las inc´ognitas. Consiste en encontrar dos matrices de permutaci´ on (P y Q) y factorizar P AQ = LU . Esto se usa para descomponer el sistema original en sistemas triangulares:
r-´esimo pivote: arr = 0
Factores de eliminaci´on: m ir =
M (r) =
1 ... .. .
i = r + 1 , . . . , n
(r)
arr
0
. ..
. ..
0 .. .
1
. ..
. ..
0 .. . .. . 1
r
..
,r
.. .
. ..
.
−m
n,r
M (n−1) . . . M (2) M (1) A = A (n) = U
(Triangular superior )
A = (M (1) )−1 (M (2) )−1 . . . (M (n−1) )−1 U = LU
con
L =
3.4.
1
... ...
.. .
0 1 .. .
.
0 0 .. .
mn1
mn2
...
1
m21
⇔ P AX = P b ⇔ PAQQ 1X = P b ⇔ LUQ 1X = P b −
air
−m +1
AX = b
−
(r)
⇔ P AX = P b ⇔ LU X = P b = P b ⇔ LZ U X = Z
a 1n (2) a 2n
... (r) arr . . . (r) ar+1,r . . .
... ...
AX = b
M´ etodo LU por pivote total
... ...
..
El m´ etodo permite descomponer un sistema matricial en dos sistemas triangulares:
0 0 0 .. .
−
El m´ etodo consiste en encontrar una matriz P de permutaci´ on (de filas) y factorizar P A = LU .
..
M´ etodos num´ ericamente estables
M´ etodo LU por pivote parcial
Se busca el pivote en la columna, el n´umero m´as grande en valor absoluto. Se intercambian filas para ubicar el pivote en la posici´on correcta, eso provocar´a un cambio en los multiplicadores.
⇔ ⇔
LZ = P b U Y = Z Q−1 X = Y LZ = P b U Y = Z X = QY
