Reparto Proporcional y Regla de Compañía

ARITMÉTICA

REPARTO PROPORCIONAL CLASES DE REPARTO PROPORCIONAL. Existen 2 clases de reparto proporcional: a) Simple - Directo (DP) - Inverso (IP) b) Compuesto Dentro de este caso se resuelve la regla de compañía.

a.1)

Reparto proporcional simple directo Para esto se debe recordar la relación proporcional directa entre 2 magnitudes. Si

A B

A DP B

=k

Ejemplo: Dividir 600 en 3 partes partes que sean DP a los número número 4,6 y 10 Resolución: Sean las partes: x1, x2 y x3 Se deben cumplir: x1 + x2 + x3 = 600 ................. (1) x1 x 2 x 3 ................. (2) = = 4 6 10 4 6 10 Se tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas Simplificando y aplicando la propiedad fundamental de la serie de razones geométricas en la serie (2). x1 2 x1 2

=

=

x2 3 x2 3

=

=

x3 5 x3

x1 + x 2

+

x3

2+3+5 600 = = 60 10 5

De aquí :

a.2)

=

x1 = 2.60 = 120 x2 = 3.60 = 180 x3 = 5.60 = 300

Reparto proporcional simple inverso Aquí debemos aplicar el teorema: Si

A IP B

A DP 1/B

Ejemplo: Dividir 124 en 3 partes que sean IP a 2, 3 y 5

ING. EDGAR NORABUENA

1

ARITMÉTICA

Resolución: x1 + x2 + x3 = 124 x1 x 2 x 3 = = 1 1 1 2 3 5

................. (1) ................. (2)

En la ecuación (2) x3 x1 x2 ; = = 1 1 1 ⋅ 30 ⋅ 30 ⋅ 30 2 3 5 x + x2 + x3 x1 x 2 x 3 = 1 = = 15 10 6 15 + 10 + 6 X1 = 15 * 4 = 60 X2 = 10 * 7 = 40 X3 = 6 * 4 = 24

b.1)

30 = MCM (2, 3, 5) 124 10

=

=

4

Reparto proporcional compuesto. En este caso se presentan varias condiciones de proporcionalidad directas e inversas combinadas de varias formas, y para esto se debe aplicar el siguiente teorema: Si: A DP B cuando C y D son constantes A DP C cuando B y D son constantes A DP D cuando B y C son constantes Entonces A DP (B.C.D.) cuando todas varían y la relación proporcional compuesta es: A B ⋅C ⋅D

=k

Ejemplo: Dividir 90 en 3 partes que sean D.P. A 2,3 y 5 además deben ser IP A 4,5 y 6 y también DP A 12,15 y 9. Resolución: El reparto IP A 4,5 y 6 se convierte en DP A ¼, y 1/5 y 1/6 y se aplica el teorema anterior, luego. x1 1 2 ⋅ ⋅ 12 4

=

x2 1 3 ⋅ ⋅ 15 5

=

x3 1 5⋅ ⋅9 6 x1 x = 2 6 9

x3 15 2 x x + x2 + x3 90 x x De donde: 1 = 2 = 3 = 1 = =2 45 12 18 15 12 + 18 + 15

Simplificando:

ING. EDGAR NORABUENA

=

2

ARITMÉTICA

Luego:

x1 = 12 . 2 = 24 x2 = 18 . 2 = 36 x3 = 15 . 2 = 30

Es importante observar que los números proporcionales se pueden multiplicar o dividir por otro número y el reparto resulta igual. Pruebe esto simplificando los consecuentes de la última serie de razones y la respuesta será igual.

b.2)

REPARTO DE UTILIDADES Es un caso de reparto proporcional compuesto en el cual intervienen los siguientes elementos:

-

Capital aportado por cada uno de los socios que integran la empresa ©  Tiempo durante el cual el socio mantiene su aportación (t). Utilidad, ganancia o pèrdida obtenida por la empresa al cabo de cierto tiempo de gestión (U): Deducimos la relación proporcional entre estas 3 magnitudes como se ha explicado en el capítulo de proporcionalidad comparando la utilidad (U) con el capital (C) y el tiempo (t) aplicando el principio fundamental de comparación de magnitudes. U DP C para para t = constante constante U DP t para C = constante Luego la relación relación proporcional proporcional es:

U =K C.t

K = Constante de proporcionalidad

De aquí se deduce que para repartir cierta utilidad total U. Entre n socios se plantea la siguiente serie de razones: U1 C 1T1

=

U2 C 2 T2

=

U3 C 3 T3

= .......

Un C n Tn

=|

U1 + U 2 C1T1 + C 2 T2

+ ...Un + ... +

CnTn

=

Ut ΣC i Ti

En donde: C1, C2, C3 ....... Cn : Capitales aportados por los socios. T1, T2, T3 ....... Tn : Tiempo de aportación U1, U2, U3 ...... Cn : Utilidades que reciben los socios. Siendo: U1 + U2 + U3 + ....... + Un = Ut En algunos problemas se debe descontar de la utilidad total Ut ciertos gastos administrativos o también participaciones particulares de algunos socios quedando para repartir la utilidad neta U N que es la que se divide entre los socios de acuerdo al capital y tiempo de aportación.

ING. EDGAR NORABUENA

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