CONTROLADOR PROPORCIONAL Diagrama de Bloques
Ejemplo 1: Para el sistema de segundo orden con función de transferencia a)
. = ++
Diseñar un controlador para que el sistema en lazo cerrado
frente a entrada
escalón unitario, tenga un comportamiento dinámico basado en polos dominantes que corresponden con un y . . b) Analizar la salida del controlador, así como el co mportamiento en régimen transitorio y estacionario del sistema ante variaciones de (Ganancia del controlador proporcional). c) Verificar el rechazo a perturbaciones para el sistema con control proporcional diseñado.
% =60% = 1 =1
Circuito de Implementacion
a) Para el diseño del controlador proporcional para cumplir las especificaciones de régimen transitorio, se sigue los siguientes pasos: 1. Obtener los polos del sistema en lazo abierto sin controlador.
=, √
Caracteristicas - Sencillo de implementar, ajuste de un solo parámetro. - La acción de control puede ser muy alta y saturar el actuador. - Bajo rechazo a perturbaciones. - La variación de influye en la estabilidad y en el amortiguamiento del sistema. - Ejerce influencia sobre el régimen transitorio y estacionario del sistema. Diseño bajo especificaciones de régimen transitorio 1) Determinar los polos dominantes Sistemas de Primer Orden: (deseados) a partir de las especificaciones Sistemas de Segundo Orden: , de desempeño. 2) Determinar si es o no suficiente un Condición de ángulo: controlador proporcional.
2.
= =±
∑ ∡ ∑ ∡=±180°∗ 21 21 ; ; = 1,2,3… Condición de magnitud: | ∗ ∗ |± = 1
:
=lim ∗ 1 1
Calcular los polos deseados según las especificaciones de desempeño requeridas.
= 1 = = ≈, = − 0,6=−, ln ln0,6 0,6 = =, : : = ± =, =,
3) Si es suficiente un controlador proporcional, se calcula el valor de 4) Se verifica mediante simulación las Software de simulación: Matlab, Scilab especificaciones del sistema compensado. Diseño bajo especificaciones de régimen estacionario 1) Determinar si es o no suficiente un Definición de error en estado estacionario: controlador proporcional para cumplir las → especificaciones de estado estable. Función de transferencia de la señal de 2) Si no es suficiente un control proporcional, se debe implementar otro entrada controlador para cumplir el .
=, √
3.
Determinar si los polos dominantes forman o no parte del Lugar de las Raíces empleando la condición de ángulo.
∡∡=±180°∗ ∡∡=±180°∗ 21 21 ; =0,1,2,3… ∡ ∡ =±180°∗ 21 21 ; = 1,2,3… ,2,3…
=±180°∗ 21 ;= 1,2,3… 90°90°=±180°∗ 21 ; = 1,2,3… 180°=180° Se cumple la condición de ángulo por lo que los polos dominantes si forman parte del lugar de las raíces.
p 2
p1
p3
1
2
Figura 2. Respuesta del sistema ante entrada escalón con y sin compensación
En la Figura 2, se verifica mediante simulación que empleando un controlador proporcional se ha logrado alcanzar las especificaciones de desempeño en régimen transitorio requeridas; además de verse afectada la respuesta del sistema en régimen estacionario. b) Para el análisis del sistema con controlador proporcional, se implementa el siguiente esquema en la herramienta Simulink:
Figura 1. LGR del sistema en lazo abierto y polo dominante
con la condición de magnitud.
4.
Calculo del valor de
5.
Se verifica con una simulación las nuevas especificaciones de desempeño.
| ∗ ∗ |−,± = 1 ∗ 1 1 ∗ 1−,± = 1 |∗0.11| = 1 =9.09
Figura 3. Esquema para pruebas de controlador proporcional
1.
Para
=1
3.
Para
=50
Figura 6. Respuesta para K=50
Figura 4. Respuesta para K=1
2.
Para
1 9.09 50
=9.09
2.42 1 0.43
0.5 0.1 0.04
Acción de control máxima
1
9.09 50
De acuerdo a la tabla anterior, se puede concluir que al a umentar el valor de
:
Disminuye el tiempo pico. Disminuye el error en estado estacionario. La acción de control máxima es igual al valor de , esto resulta poco conveniente para valores altos ya en la implementación, debido a que dichas amplitudes pueden saturar el actuador y posiblemente causar daños.
c) Para el análisis del rechazo a perturbaciones se emplea el mismo esquema que en el apartado anterior
Figura 5. Respuesta para K=9.09
p3
3 z
1
1, 2 p1, 2
Figura 7. Rechazo a perturbaciones
Se observa en la figura anterior, que el sistema con controlador proporcional no tiene un buen desempeño en rechazo a perturbaciones lo que provoca que aumente el error en estado estacionario. Para solucionar este problema se debe implementar otra técnica de control. Ejemplo 2: Para el sistema con función de transferencia a)
2.
Calculo del valor de
4.
Se verifica con una simulación las nuevas especificaciones de desempeño
frente a entrada
escalón unitario, tenga un comportamiento dinámico basado en los polos dominantes . Considere . , 1. Obtener los polos del sistema en lazo abierto sin controlador.
=1 , = 1
con la condición de magnitud.
3.
+ . = −+
Diseñar un controlador para que el sistema en lazo cerrado
=1±2
Figura 8. LGR del sistema
| ∗ ∗ |−± = 1 1 ∗ 1 = 1 ∗ 21 −± 1 ∗ 4 = 1 =4
Determinar si los polos dominantes forman o no parte del Lugar de las Raíces empleando la condición de ángulo.
∡∡=±180°∗21 ; =1,2,3… ∡ ∡ ∡ =±180°∗ 21 ; = 1,2,3… =±180°∗ 21 ; = 1,2,3… 180°tan− (22)180°tan− (22)90=±180°∗ 21 ; = 1,2,3… 180°45°180°45°90°=±180°∗ 21 ; = 1,2,3… 180°=180° Se cumple la condición de ángulo por lo que los polos dominantes si forman parte del lugar de las raíces. Figura 9. Respuesta del sistema compensado ante entrada escalón
Figura 10. Respuesta del sistema sin compensar ante entrada escalón
Ejemplo 3: Para el sistema con función de transferencia a)
Figura 11. Respuesta en estado estacionario del sistema compensado y no compensado
De acuerdo a la figura, se puede concluir que el controlador proporcional disminuye el error en estado estacionario.
= + ++.
Diseñar un controlador proporcional para que el sistema e n lazo cerrado
frente a
entrada escalón unitario tenga un error en estado estacionario menor o igual a 0.1. Considere .
= 1
1.
Determinar si es o no suficiente un controlador proporcional para cumplir las especificaciones de estado estable. Se calcula el valor de si es posible.
=lim → ∗ 1 1 0.1=lim ∗ → 1 1 1 1 1 0.1= 1 =9 2.
Se verifica mediante simulación del sistema compensado
