ARITMÉTICA
Reparto Proporcional El problema de reparto consiste en dividir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados índic es del reparto o números proporcionales. El reparto se puede efectuar en forma directa o inversamente proporcional. 1. REPARTO DIRECTO Cuando el reparto se hace directamente proporcional a un solo grupo de índices. Ejemplo 1: Reparte 4500 en partes directamente proporcionales a 24, 36 y 48. Resolución: Índices 24 Se determina el valor 4500 Cantidad 36 de la constante de a repartir 48 reparto k. Para el problema: k=
4500 4500 125 = = 24 + 36 + 48 108 3
Las partes que se desean hallar se obtienen multiplicando la constante del reparto k por cada uno de los índices: parte = Índice x k 125 C1 = 24 x = 1000 3 C2= 36 x
125 = 1500 3
125 = 2000 3 Las partes son 1000, 1500 y 2000. C3 = 48 x
Ejemplo 2: Reparte 4500 en partes proporcionales a 2,3 y 4. Resolución: Índices 4500
2 3 Þ 4
k=
4500 = 500 2+ 3 + 4
Partes obtenidas: C1 = 2 x 500 = 1000 C2 = 3 x 500 = 1500 C3 = 4 x 500 = 2000
Observación Las partes obtenidas en el ejemplo 1 son los mismos en el ejemplo 2, comparando los índices: 24 = 12 x 2; 36 =12 x 3; 48 = 12 x 4. Nótese que si los índices se simplifican eliminando los factores comunes, las cantidades obtenidas en el reparto no varían.
Ejemplo 3: Divide 6300 en tres partes que sean proporcionales a 30, 45 y 75. Resolución: Índices 30 = 2 x 15 Þ 2 6300 45 = 3 x 15 Þ 3 75 = 5 x 15 Þ 5
De este modo se simplifican los índices 6300 Þ k= = 630 2+3+5 Partes: C1 = 2 x 630 = 1260 C2 = 3 x 630 = 1890 C3 = 5 x 630 = 3150 Ejemplo 4: Encuentra las 3 partes en que se divide 8100 de modo que sean proporcionales a 2/3; 1/2 y 1/3. Resolución: Como se ha observado las partes en el reparto no varían si se simplifican los índices; del mismo modo, no se alteran las partes si a todos los índices se les multiplica por un mismo número. Índices iniciales:
2 , 1, 1 . 3 2 3
M.C.M. (denominadores) = MCM (3; 2; 3) = 6 Nuevos índices 2 x6=4Þ 3 1 8100 x6=3Þ 2 1 x6=2Þ 3 k=
4 3 2
8100 8100 = = 900 4+3+2 9
Partes: C1 = 4 x 900 = 3600 C2 = 3 x 900 = 2700 C3 = 2 x 900 = 1800
79
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 2. REPARTO INVERSO Cuando el reparto se hace inversamente proporcional a un solo grupo de índices. Para resolver este problema se considera la propiedad de magnitudes: A I.P. B Þ A D.P.
1 B
Reparte 3400 en partes que sean inversamente proporcional a 4, 6 y 18. I.P. D.P. 4 Þ 1/4 3400 6 Þ 1/6 18 Þ 1/18 El reparto inverso se transforma en reparto directo tomando la inversa de cada uno de los índices. Si estos resultaran ser fraccionarios, se multiplica por el MCM de los denominados para hacerlos enteros. MCM (4; 6; 18)= 36
3400
Partes
1640 = 40 18 + 3 + 20
P1 = 18 x (40) = 720 P2 = 3 x (40) = 120 P3 = 20 x (40) = 800
Ejemplo 2: Encuentra las partes en que se divide 1240 proporcionalmente a 5; 10 y 12, e inversamente proporcional a 6; 9 y 8. Resolución:
3. REPARTO COMPUESTO
Ejemplo 1:
1 x 36 = 9 4
k=
El reparto se hace proporcionalmente a varios grupos de índices. Las partes pueden ser directa o inversamente proporcionales a los grupos de índices. Deacuerdoalapropiedaddemagnitudes, las partes son proporcionales a los productos de los respectivos índices de cada grupo: A D.P. B Þ A D.P. B x C A D.P. C
Þ
Índices D.P. D.P. 4 15 Þ 4 x 15 = 60 3800 12 20 Þ 12x20=240 10 8 Þ 10 x 8 = 80
Þ 6
1 x 36 = 2 18
Þ 2
3400 3400 k= = = 200 9+6+2 17 Partes: C1 = 9 x 200 = 1800 C2 = 6 x 200 = 1200 C3 = 2 x 200 = 400
Se simplifican los productos obtenidos. D.P. D.P. Índices 60 = 3 x 20 Þ 3 3800 240 =12 x 20 Þ 12 80 = 4 x 20 Þ 4 k=
Ejemplo 2: Reparte 1640 en forma inversamente proporcional a los números 2/3, 4 y 3/5. Resolución:
5/6 x 18 = 15 MCM (6; 9; 2) = 18 10/9 x 18 = 20 3/2 x 18 = 27 D.P. 15
Reparte 3800 en partes que sean proporcionales a 4; 12 y 10, y también a los números de 15; 20 y 8. Resolución:
1 x 36 = 6 6
D.P. 5 x 1/6 = 5/6 1240 10 x 1/9 = 10 / 9 3 12 x 1/8 = 12/8= 2
Ejemplo 1:
Índices 9
D.P. I.P. 5 6 1240 10 9 12 8
3800 3800 = = 200 3 +12 + 4 19
1240 20 27 k=
Partes P 1 = 15(20) = 300 P 2 = 20(20) = 400 P 3 = 27(20) = 540 Ejemplo 3: Se reparte 7800 en forma directamente proporcional a 10; 12 y 20, y también inversamente proporcional a 24; 16 y 20. Resolución:
Partes C1 = 3 x 200 = 600 C2 =12 x 200 = 2400 C3 = 4 x 200 = 800
7800
Nuevos Índices I.P. D.P. 2/3 3/2 x 12 = 18 1640 4 F 1640 1/4 x 12 = 3 3/5 5/3 x 12 = 20 MCM (2; 4; 3) = 12 80
1240 1240 = = 20 15 + 20 + 27 62
Þ
D.P. 10 12 20
D.P. 10 7800 12 20
I.P. 24 16 20 D.P. 1/24 1/16 1/20
ARITMÉTICA * Si existe un grupo de índices que fuera inversamente proporcional a las partes, se toma la inversa a cada índice de ese grupo. * Cuando todos los grupos de índices son directamente proporcionales a las partes buscadas, se toma el producto de los índices respectivos en cada grupo. D.P. 1 5 10 x = 24 12 7800 12 x 1 = 3 16 4 20 x
1 =1 20 Índices
5 x 12 = 5 12 7800
3 x 12 = 9 4
Resolución: D.P. Capitales 1200 = 4 x 300 4 1500 = 5 x 300 7500 F 7500 5 1800 = 6 x 300 6 k=
Partes P1 = 4 x (500) = 2000 P2 = 5 x (500) = 2500 P3 = 6 x (500) = 3000 Ejemplo 2: Dos socios A y B participaron en un negocio. El primero aportó 4000 por 3 meses, y el otro aportó 2500 por 6 meses. Si al término del negocio se obtuvo una ganancia de 7200, ¿cuánto le toca a cada uno? Resolución: D.P. D.P.
1 x 12 = 12 MCM (12; 4; 1) =12
7500 = 500 4+5+6
Capitales Tiempo
7200
4000 x 3 = 12000 = 4(3000) 2500 x 6 = 15000 = 5(3000)
7800 =300 5 + 9 + 12 Partes C1 = 5 x 300 = 1500 C2 = 9 x 300 = 2700 C3 = 12 x 300 = 3600
D.P. 4 7200 5
4. REGLA DE COMPAÑÍA
Partes P1 = 4 x (800) = 3200 P2 = 5 x (800) = 4000
k=
Es el caso particular de los repartos proporcionales, en el cual las ganancias o pérdidas obtenidas en un negocio se reparten proporcionalmente a los capitales aportados por cada participante en el negocio (socios) y a los tiempos que han estado invertidos en él. Si existiesen pérdidas en el negocio, éstas son asumidas entre los socios, proporcionalmente a los capitales y tiempos. Ejemplo 1: Al liquidarse un negocio se obtuvo un beneficio de 7500, el cual debe de repartirse proporcionalmente a los capitales aportados por los 3 socios que son 1200, 1500 y 1800. ¿Cuánto le toca a cada uno?
La cuenta fue de 60 soles, y los aportes de A, B y C al pago de la cuenta fueron de 15; 20 y 25 soles, respectivamente. Entonces, las cantidades de manzanas que les corresponde a A, B y C respectivamente son: a) 0; 4; 8 b) 2; 4; 6 c) 3; 4; 5
d) 1; 4; 7 e) 4; 4; 4
Resolución: Si el almuerzo cuesta S/. 60 soles a cada uno consume por un monto de S/.15. Amigos A B C Tiene 15 20 25
7200 k= = 800 4+5
Consume 15 15 15
Aporta
0
5 10
Com o A no a port a , l e toca 0 manzanas. 12
Ejemplo 3: Tres socios han aportado en un negocio 2400, 3200 y 4000 soles. Si al término del mismo se ha obtenido una ganancia de 12000 soles, ¿cuánto le corresponde a cada uno? Resolución:
Índices 2400 = 800 x 3 Þ 3 12000 3200 = 800 x 4 Þ 4 4000 = 800 x 5 Þ 5 k=
1) Cuatro amigos A, B, C y D han terminado de almorzar en un restaurante: "Como les dije", explica D, "yo no tengo ni un centavo", pero repartiré estas 12 manzanas entre ustedes, proporcionalmente a lo que hayan aportado a mi almuerzo.
12000 =1000 3+4+5
Ganancias G1 = 3x(1000) = 3000 obtenidas G2 = 4x(1000) = 4000 G3 = 5x(1000) = 5000
B C B+C B=4 = = Þ 5 10 5+10 C=8 Rpta.: a 2) Tres hermanos x, y, z debían repartirse una herencia de M dólares proporcionalmente a sus edades que son b del hermano x, (b-3) del hermano y, (b-6) del hermano z. Como el reparto se realizó un año después, uno de ellos quedó perjudicado en J dólares. Indica la herencia M y el hermano beneficiado.
81
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 a) (b - 1) (b - 2)J, y b) (b - 3) (b - 2)J, z c) (b - 1) (b - 5)J, x d) (b - 2) (b - 6)J, y e) (b - 3) (b - 5)J, z Resolución: Hermanos Edades Un año después
x y
b b-3
b +1 b-2
z
b-6
b-5
Quien se beneficia es z porque el aumento proporcional de su índice de reparto es mayor con respecto al de x (mayor edad). 1 1 > b-6 b
(aumento relativo en 1 año)
El hermano x se perjudica en J. bM (b + 1)M =J 3b - 9 3b - 6 M = (b - 3) (b - 2)J
4) Tres amigos invirtieron 80000; 65000 y 55000, teniendo una ganancia de 250000 que reparten proporcionalmente a lo que invirtieron. El primero vuelve a invertir su ganancia, pero los 2 no. Si después de un año la ganancia, es 180000, ¿cuánto le tocó al primero? a) 80000 b) 70000 c) 60000
d) 108000 e) 180000
k=
a b c a+b+c = = Þk= 80 65 55 16+13+11 16 13 11
a + b + c = 250000 Þ k = 6250 a = 6250 x 16 Þ a = 100000 En el segundo año la inversión del primero es 80000+100000 = 180000
t=
b) 4200 e) 4500
a10 a12 a 14 a 98 = = =... = =k 10 12 14 98 k=
a 10 + a12 + a 14 + ... + a98 10 + 12 + 14 + ... + 98
10+2+14+...+98
(10+98)45 = 2 (98-8)%2=45 números
10 + 12 + 14 + ... + 98 = 2430 145800 k= = 60 2430 a \ = 60 Þ a = 4320 72 Rpta.: d 82
m+n+r m n r = = Þ t = 36+13+11 180 65 55 36 13 11
m + n + r = 180000 Þ t = 3000 m = 36 x 3000 Þ m = 108000 Rpta.: d
c) 4226
Resolución:
b) 120 e) 180
c) 150
Reparto de la primera ganancia:
Rpta.: b
a) 4420 d) 4320
1) Reparte 780 en partes I.P. a 15; 36; y 20. Indica la diferencia entre la mayor y la menor parte. a) 90 d) 210
Resolución:
Reparto de la segunda ganancia:
3) Se reparte el número 145 800 en partes proporcionales a todos los números pares entre 10 y 98. ¿Cuánto le toca a la 1/72 parte?
Nivel I
5) U n a c a n t i d a d s e r e p a r t e inversamente proporcional a los números 2/3; 1/4; 1/3; 2/5 y 1/N, siendo la tercera de las partes equivalentes a 1/6 del total. ¿Cuál es el valor de N?
2) Divide el número 7 700 en partes D.P. a 14 2, 702 y 21 2 e I.P. a 2, 100 y 1/3. Halla la mayor de las partes como respuesta. a) 6 930 d) 6 660
b) 6 500 e) 6 666
c) 2 516
3) Cuando se reparte una cantidad D.P. a 4, 8, y 12, la diferencia entre la mayor y menor de las tres partes es 480. ¿Cuál es la cantidad repartida? a) 1 200 d) 1 750
b) 1 500 e) 2 000
c) 1 440
4) Si un número se reparte en forma D.P. a 4, 5 y 8 e I.P. a 3, 8 y 12 se observa que la menor diferencia entre las partes repartidas es 1 450. Halla el número. a) 89 900 b) 94 250 c) 91 350 d) 93 650 e) 92 800
Resolución: Se cumple para los índices: IP: 2/3; 1/4; 1/3; 2/5; 1/N DP: 3/2; 4; 3; 5/2; N 3°.
Donde: 3=
1 3 5 +4+3+ +N 6 2 2
ÞN=7
5) Divide 4800 en tres partes de modo que la segunda sea el quíntuple de la primera y la tercera es la tercera parte de las dos primeras. La mayor cantidad es: a) 1 800 d) 3 600
b) 600 e) 3 000
c) 2 400
ARITMÉTICA
9) En el mismo caso anterior (sin considerar el tiempo), ¿cuál es la diferencia entre las ganancias de Bryan Puch y Víctor Toledo? a) $ 1 650 b) $ 3 850 c) $ 1 100 °
Enunciado (6 al 9) Se desea repartir las ganancias en forma proporcional al capital y al tiempo que permanecieron en el negocio. Socio
Paul Granthon Giancarlos Bryan Puch Víctor Toledo Víctor Torres
Capital Tiempo (meses) $
3 000 5 000 2 000 4 000 7 000
12 12 8 8 1
6) Si las ganancias fueron de $ 16 761, ¿cuánto le corresponde a Víctor Torres? a) $ 1 440 b) $ 1 554 c) $ 777
d) $ 2 331 e) $ 3 108
7) ¿ C u á n t o d e e s a g a n a n c i a l e c o r r e s p o n d e r í a a Pa u l Granthon? a) $ 3 999 b) $ 3 996 c) $ 3 494
d) $ 3 969 e) $ 3 096
8) Si todos hubieran permanecido el mismo tiempo en el negocio, ¿cuánto le correspondería a Giancarlos de una ganancia de $ 11 550? a) $ 1 650 b) $ 3 850 c) $ 1 100
d) $ 2 200 e) $ 2 750
d) $ 2 200 e) $ 2 750
10) Al repartir una cierta suma D.P. a 3; 5/3 y 7 e I.P. a 1/2; 4 y 3/2 se observó que la mayor parte excede a la menor en S/. 6 700. Indica a cuánto asciende la suma repartida. a) S/. 14 300 b) S/. 15 500 c) S/. 14 400
d) S/. 13 300 e) S/. 12 200
11) Se divide una suma de dinero ("N") en partes que son proporcionales a 3, 7, 5 y 12, observándose que la primera y la cuarta exceden a las otras dos juntas en S/. 300. Halla "N". a) S/. 2 500 b) S/. 2 700 c) S/. 1 350
d) S/. 1 800 e) S/. 2 900
14) Tres pers onas form an una sociedad aportando cada uno de ellos igual capital, el primero de ellos lo impuso durante un año, el segundo durante 8 meses y el tercero durante un semestre. Si al final se obtiene un beneficio de S/. 1 950, ¿cuánto ganó el que impuso su capital durante mayor tiempo? a) S/. 900 b) S/. 600 c) S/. 750
d) S/. 720 e) S/. 780
15) Dos amigos reunieron un capital de S/.10 000, para hacer un negocio. El primero dejó su capital durante 3 meses y el otro durante 2 meses. Al terminar el negocio fueron las ganancias iguales. Averigua el capital que impuso cada uno. a) S/. 7000; S/. 3000 b) S/. 3000; S/. 7000 c) S/. 4000; S/. 6000 d) S/. 2000; S/. 8000 e) S/. 5000; S/. 5000 Nivel II
12) Una cantidad se reparte en forma proporcional a 3 24k , 3 81k , 3 192k resultando la menor de las partes 14. ¿Cuál es la suma de cifras de la cantidad repartida? a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
16) Reparte 3 306 D.P. a los números 0,36; 2 12 , 215 y 0,45. El menor número de este reparto es: a) 216 d) 218
b) 215 e) N.A.
c) 214
13) Tres socios aportan 451, 253 y 187 pesos respectivamente, para la formación de una empresa. Si al cabo de cierto tiempo se obtiene un beneficio de 162 pesos, ¿cuánto ganó el que impuso menor capital? a) 82 pesos b) 46 pesos c) 34 pesos d) 51 pesos e) N.A.
83
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010
17) Tres socios reunieron un capital para hacer un negocio. El capital del primero fue S/. 12 000 y lo impuso durante 2 años; el capital del segundo fue la mitad del primero, pero lo impuso durante 30 meses y el capital del tercero fue de S/. 18 000 y lo impuso durante 6 meses. Al final se obtuvo una ganancia de S/. 3 200. ¿Cuánto de ganancia obtuvo el tercero? a) S/. 600 b) S/. 1 200 c) S/. 800
d) S/. 750 e) N.A.
18) Se reparte $100 en partes D.P. a m2, 2m y 1; siendo "m" un número natural. Si la mayor cantidad al hacer el reparto es 64, halla "m" mayor que 2. a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
19) Se desea repartir una cantidad proporcionalmente a tres números consecutivos. Si el reparto se hiciera proporcionalmente a los 3 siguientes números consecutivos, ¿cómo varía la segunda parte? a) Aumenta 1/3 b) Disminuye 1/6 c) Aumenta 1/4 d) Disminuye 1/3 e) No varía 20) R e p a r t e 3 5 6 2 e n p a r t e s proporcionales a 422, 283, 562. Halla como respuesta la suma de cifras del número que representa una de las partes. a) 6 d) 8
b) 9 e) 10
c) 7
21) Se propone a dos alumnos repartir proporcionalmente un número. Uno lo hace directamente proporcional a 3, 4 y 7; el otro lo hace directamente a los cuadrados correspondientes, encontrándose una diferencia de 480 en lo que corresponde a la primera parte. Halla el número. a) 5 185 d) 1 554
c) 5 180
22) Un padre decide repartir una herencia en forma directamente proporcional a las edades de sus hijos que son: 6, 8 y 10, pero decide postergar el reparto hasta que el menor tenga la edad actual del mayor, por lo cual uno de los hijos recibe 4 000 soles más de lo que iba a recibir. Entonces mayor recibió: a) S/. 60 000 b) S/. 80 000 c) S/. 56 000
d) S/. 40 000 e) N.A.
23) Tres individuos se asocian para un negocio que dura 2 años. El primero impone $2 000 y al cabo de 8 meses, $1 500 más. El segundo impone al principio $5 000 y después de un año saca la mitad. El tercero, que había impuesto al principio $2 500, saca a los 5 meses $1 000 y dos meses más tarde agrega $500. Si hay una pérdida de $4 700, ¿cuánto le corresponde perder al primero? a) $1 600 b) $2 000 c) $2 200
d) $1 100 e) $2 600
24) Dos individuos emprenden un negocio por 1 año. El primero empieza con $500 y 7 meses después añade $200. El segundo empieza con $600 y 3 meses después añade $300. ¿Cuánto le corresponde al segundo de un beneficio de $3 380? a) $1 400 b) $1 980 c) $1 600
84
b) 5 080 e) 2 590
d) $1 440 e) N.A.
25) Dos socios emprendieron un negocio que ha durado 2 años. El primero impone al principio $1 500 y al año y medio retira $500, el segundo empezó con $2 000 y a los 8 meses retiro $500. De una pérdida de $5 110, ¿cuánto pierde cada uno? a) $2 310 y $2 800 b) $2 300 y $2 810 c) $2 570 y $2 540 d) $3 210 y $1 900 e) N.A.
26) Halla la mayor de las partes que se obtiene al repartir 7800 proporcionalmente a los números 329; 611 y 893. a) 2600 d) 3800
b) 2800 e) 4200
c) 3200
27) Al dividir 2100 en 4 partes proporcionales a las fraciones 2/3; 3/4; 1/5 y 2/15 se observa que la diferencia entre la mayor y la menor de las partes es: a) 700 d) 780
b) 720 e) 800
c) 740
28) Halla la menor de las partes que se obtiene al dividir el número N en partes proporcionales a 14 2; 212 y 35 2 si las dos últimas partes suman 5780. a) 680 d) 840
b) 700 e) 920
c) 780
29) A l r e p a r t i r N e n f o r m a inversamente proporcional a 4; 5 y 12, la menor de las partes es 2000 unidades menor que la mayor. Indica la suma de cifras de N. a) 7 d) 10
b) 8 e) 12
c) 9
ARITMÉTICA
30) Encuentra la menor de las partes que se obtiene al dividir 1820 en forma inversamente proporcional a las raíces cuadradas de 24; 54 y 96. a) 400 d) 480
b) 420 e) 630
c) 460
Nivel III 31) Dos personas inician un negocio. El primero aportó 12000 soles por 2 meses, mientras que el segundo aportó 7500 soles por 6 meses. Al liquidar el negocio se obtuvo un beneficio de 5290 soles. ¿Cuánto más que el primero recibe el segundo? a) S/. 1610 b) S/. 1640 c) S/. 1650
d) S/. 1750 e) S/. 1800
32) Se ha repartido cierta cantidad entre 3 personas en partes proporcionales a los números 3; 4 y 5. Sabiendo que la tercera persona ha recibido S/. 600 más que la primera, ¿cuánto dinero se distribuyó? a) S/.3600 b) S/.3000 c) S/.2400 d) S/.1200 e) S/.2700 33) Un profesor caritativo quiere repartir S/. 300 entre 3 de sus alumnos, proporcionalmente al número de hermanos que cada uno tiene. Halla cuánto le toca a cada uno si el primero tiene 3 hermanos, el segundo 4 y el tercero 5. Halla la diferencia entre la mayor y la menor parte. a) 100 d) 150
b) 125 e) 75
c) 50
34) Un tutor "Trilce" quiere repartir S/. 57 entre tres alumnos, para efectuar el reparto tendrá en cuenta la cantidad de problemas no resueltos de la última tarea domiciliaria. El primero no resolvió 1 problema: el segundo 3 y el tercero 4. ¿Cuánto le corresponde al tercero? a) S/.36 b) S/.12 d) S/.28,5 e) S/.26
c) S/.9
35) Divide S/. 780 en tres partes de modo que la primera sea a la segunda como 5 es a 4 y la primera sea a la tercera como 7 es a 3. Entonces la segunda es: a) S/. 205 b) S/. 150 c) S/. 350
d) S/. 280 e) S/. 410
36) Reparte S/. 20500 entre 3 personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y la segunda a la tercera como 4 es a 7. Halla la mayor parte. a) S/. 12500 b) S/. 3200 c) S/. 4000
d) S/. 6000 e) S/. 10500
37) Reparte 4710 nuevos soles en 3 partes que son inversamente 3 proporcionales a 1 2 1 2 y3 2 3 4 Da como respuesta la diferencia entre la mayor y la menor de las partes en que queda dividido 4710. a) 1200 d) 1440
b) 240 e) 372
c) 750
38) Al repartir cierta cantidad en tres partes que sean D.P. a 3 N ; 3N-1 y 3N+1 e I.P. a 4N-1; 4N+1; 4N respectivamente y se observa que la primera parte excede a la última en 216. Halla la suma de cifras de la cantidad a repartir. a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
39) Se repa rte cierta cant idad de dinero entre 3 personas, 5 recibiendo el primero los de 7 los que recibío el segundo y 1 el tercero menos de los 18 que recibieron las dos primeras personas, siendo esta suma igual a la mitad del total, disminuido en S/.20. Halla la dicha cantidad. a) S/. 1000 b) S/. 1200 c) S/. 1600
d) S/. 1300 e) S/. 1400
40) Al repartir un número en forma directamente proporcional a tres números primos entre sí, se obtienen las partes siguientes: 720; 1080 y 1800; entonces la suma de los tres números primos entre sí es: a) 8 d) 10
b) 11 e) 15
c) 9
41) Al repartir N D.P. a 5; 8 y 6 e I.P. a 12; 6 y 10, la diferencia entre la segunda y la tercera parte es 176 Halla: N. a) 526 d) 218
b) 246 e) 564
c) 324
42) Tres personas forman una sociedad con 4800 dólares de capital. El 3 primero aporta los el segundo 8 8 los del resto. 15 Entonces el tercero aportó: a) $ 1400 b) $ 1620 c) $ 1600
d) $ 700 e) $ 2800
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ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010
43) Descompón el número 1134 en cuatro sumandos cuyos cuadrados sean proporcionales a 12, 27, 48 y 75. a) 162, 243, 324 y 405 b) 161, 244, 324 y 405 c) 162, 242, 325 y 405 d) 162, 243, 323 y 406 e) 160, 245, 322 y 407
44) Un hombre decide repartir una herencia en forma proporcional al orden en que nacieron sus hijos. La herencia total es S/. 480000; adicionalmente deja S/. 160000 para el mayor, de tal modo que el primero y el último hijo reciban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número de hijos que tiene este personaje? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
45) S e r e p a r t e 7 3 8 e n f o r m a directamente proporcional a dos cantidades; de modo que, ellas están en la relación de 32 a 9. Halla la suma de las cifras de la cantidad menor. a) 18 d) 11
b) 14 e) 9
c) 13
46) Divide 205 soles en tres partes de tal manera que la primera sea a la segunda como 2 es a 5, y la segunda sea a la tercera como 3 es a 4. Indica la cantidad en soles que posee cada uno. a) 20; 85; 100 b) 40; 75; 90 c) 35; 80; 90
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d) 30; 75; 100 e) 25; 85; 95
47) Cuatro socios reúnen 2000000 dólares de los cuales el primero 3 pone $400000; el segundo las 4 de los que puso el primero, el 5 tercero las de lo que puso el 3 segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria durante 4 años. Si hay que repartir una ganancia de 1500000 dólares, ¿cuánto le toca al cuarto? a) $800000 b) $500000 c) $300000
d) $920 e) $720
49) Dos ciudades A y B que tienen, la primera, 25000 habitantes y la segunda 15000, quieren hacer en común una obra a 10km de A y a 9 km de B, y convienen en repartirse los gastos en razón directa al número de habitantes y en razón inversa de su distancia a la obra. Si hubieran colocado las sumas empleadas a interés simple al 4% durante 9 meses se habrían elevado junto con los intereses a 412000 soles. ¿Cuál es la diferencia entre lo que pagó una y otra ciudad? a) S/.60000 b) S/.100000 c) S/.72000 d) S/.80000 e) S/.64000
a) 2058 d) 1856
b) 980 e) 2158
c) 686
d) $900000 e) $600000
48) Marina inicia un negocio con $600; 6 meses después se asocia con Fernando quien aporta $480 a la sociedad. Si después de 18 meses de asociados se reparten una ganancia de $ 1520, ¿cuánto le corresponde a Marina? a) $950 b) $570 c) $600
50) Reparte 42 entre A, B y C de modo que la parte de A sea el doble de la parte de B, la parte de C sea la suma de las partes de A y B. Entonces, el producto de las partes de A, B y C es:
Papiro de Rhind (siglo XVI a. C.) Este papiro fue descubierto a mediados del siglo pasado en las ruinas de un pequeño edificio cerca del Templo Mortuori de Ramsés II en Tebas. Lo compró Alexander Henry Rhind, quien lo donó al Museo Británico. El papiro contiene 110 problemas que se refieren casi todos a cuestiones de la vida diaria, pero también hay algunas cuestiones teóricas que incluyen progresiones artiméticas y geométricas, por ejemplo: Reparte 700 panes entre cuatro personas proporcionalmente a los números: 2 , 1 ,1 1 y 3 2 3 4 Este problema se resolvería hoy con una ecuación de primer grado, el método que usaban los Egipcios era el siguiente: sumar los cuatro números anteriores obteniendo, con notación moderna: (8 + 6 + 4 + 3)/ 12 = 21 / 12 Tomar el recíproco 12/21, halla la 12/21 parte de 700, obteniendo 400 y tomar. 2 , 1 ,1 1 y 3 2 3 4 obteniendo 1 2 266 ; 200; 100 y133 3 3
ARITMÉTICA
1) Reparte 154 en partes directamente proporcionales a 2/3, 1/4, 1/5 y 1/6. a) 80; 34; 20; 19 b) 80; 32; 24; 18 c) 80; 34; 22; 20
d) 80; 30; 20;18 e) 80; 30; 24;20
3) Toño, Cesar y Martín reciben "propinas" semanales en forma proporcional a sus edades que son 14, 17 y 21 años respectivamente y se observa que los 2 menores juntos reciben 4030 soles. ¿A cuánto asciende la "propina" de Martín? a) S/.3730 d) S/.3120
b) S/.2930 e) S/.2730
c) S/.2370
2) Descompón 1781 en 3 partes proporcionales a 422, 28 3, 562. Da como respuesta la parte mayor. a) 1456 d) 1465
b) 1546 e) 1564
c) 1645
4) Dos socios aportan 1500 dólares y 3500 dólares en una empresa. A los 6 meses se retira el primero. Al liquidar la empresa, al terminar el año, la ganancia del primero es 510 dólares. Halla la ganancia del segundo. a) $ 2360 d) $ 2390
b) $ 2370 e) $ 2400
c) $ 2380
5) Dos amigos reunieron un capital de 10000 unidades monetarias para hacer un negocio. El primero dejo su capital durante 3 meses y el otro durante 2 meses. Al terminar el negocio las ganancias fueron iguales. Averigua el capital que impuso el primer socio. a) 4000 u.m d) 7000 u.m
b) 6000 u.m c) 3000 u.m e) 5400 u.m
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