Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
Razón
y proporción numérica
Magnitudes Regla
de tres simple directa
Magnitudes Regla
directamente proporcionales inversamente proporcionales
de tres simple inversa
Problemas
de porcentajes
Razón y proporción numérica
Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
La razón entre los números 10 y 2 es 5, su cociente: La razón entre 0,15 y 0,3 es
0,15 0,3
15 =
30
1 =
10 2
=
5
2
Razón entre dos números a y b es el cociente Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción , pues sus razones son iguales.
a b Es decir:
2 5
Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Es decir:
a
b
=
c
d
A a y d se les llama extremos. A b y c se les llama medios.
Se lee “a es a b como c es a d”
a b
=
c d
ad = bc
El producto de los extremos es igual al producto de los medios .
8 =
20
Magnitudes directamente proporcionales (I)
Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
Ejemplo: Un saco de patatas pesa 20 kilogramos. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer? Observa:
Sacos: Fíjate:
Kilos:
1 saco 1
2 sacos 2
3 sacos 3
20 20 kg
40 40 kg
60 60 kg
Habrás advertido que:
1 20
=
2 40
=
3 60
? sacos ??
520
520 kg =
...
=
?
520
?
=
520 20
=
26
directamente te proporcionales. Las magnitudes número de sacos y peso en kilogramos son directamen La constante de proporcionalidad para pasar de sacos a kilogramos es 20.
En general, si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera corresponde doble, triple… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales . Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios .
Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
Ejercicio
Magnitudes directamente proporcionales (II )
Si un dólar vale 0,95 euros, ¿cuánto ¿ cuánto costarán 6 dólares? ¿Cuántos dólares podremos comprar con 20 euros?
Las magnitudes dólares y euros son directamente proporcionales, luego:
Dólares:
1
2
3
En definitiva: doláres euros
Euros:
0,95
2 · 0,95 = 1,9
1 =
3 · 0,95 = 2,85
0,95
(dólares) · 0,95 = euros. Por tanto, 6 dólares cuestan 6 · 0,95 = 5,7 euros Por lo mismo, 20 euros = 0,95 · (x dólares), luego x = 20 : 0,95 = 21,05
Para pasar de dólares a euros se multiplica por 0,95. Para pasar de euros a dólares se divide por 0,95
20Eleuros = 21,05 dólares Recuerda: producto de los extremos es igual al producto de los medios .
Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
Regla de tres simple directa
Ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g de sal? La cantidad de agua y la cantidad de sal son directamente proporcionales.
La proporción establecida es:
litros de agua gramos de sal
=
50 1300
Si representamos por x el número de litros que que contendrán 5200 g de sal, se verifica la proporción: 50 x 50 · 5200 x 200 50 · 5200 = 1300 x 1300 5200 1300 =
=
=
Disposición práctica En 50 litros hay 1300 g de sal En x litros habrá 5200 g de sal
50 l x l
1300 g 5200 g
x
50 · 5200 =
1300
=
200
Esta forma de plantear y resolver problemas problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa .
Pr oporcionalidad. Regla de tres Magnitudes inversamente proporcionales oporcionalidad. Proporcionalidad.
Ejemplo:: Ejemplo Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? Observa:
Hombres: Fíjate:
Días:
Doble de 3
3
6 3 · 24 = 72
24
Triple de 3
9
6 · 12 = 72
12
18 9 · 8 = 72
8
Mitad de 24
? = 72 18 · 24 ?
Un tercio de 24
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte … de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales . Pero aún no hemos contestado la pregunta p regunta inicial: ¿cuántos días emplearán 18 hombres?
Si 18 · ? = 72, entonces
? = 72 : 18 = 4 días
Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
Regla de tres simple inversa
Ejemplo. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas? Fíjate en que, con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; y si las vacas se triplican, para un tercio de los días, etc.
Por tanto, las magnitudes número de vacas y número de días son inversamente proporcionales. proporcionales .
Vacas:
220
450
Días:
45
x
220 · 45 = 450 · x
x = 22
Disposición práctica 220 vacas tienen para 45 días 450 vacas tendrán para x días
220 vacas 450 vacas
45 días x días
x
220 · 45 =
450
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre magnitudes inversamente proporcionales se conoce con el nombre n ombre de regla de tres simple directa.
=
22
Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
Problemas de porcentajes (I)
Ejemplo1. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del 20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar? Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80. Aplicando la regla de tres, se tiene: Si de 100 euros pagamos 80 De
90 euros pagarem p agaremos os x
100 90
80 x
x
80 · 90 =
100
=
Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas. En la práctica Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad resultante es lo rebajado. Rebaja: 90 · 0,20 = 18. Se paga: 90 – 18 = 72 euros Directamente . Si descuentan el 20%, se pagará el 80%. Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros
72
Pr oporcionalidad. Regla de tres oporcionalidad. Proporcionalidad.
Problemas de porcentajes (II)
Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de 8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche? Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 10 0 euros debemos pagar 116.
Aplicando la regla de tres simple se tiene: Si por 100 euros pagamos 116 Por 8200 euros pagaremos x
100 8200
116
x
116 · 8200 =
x
100
=
9512
Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche. En la práctica Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad resultante es el incremento total.
Incremento: 8200 · 0,16 = 1312.
Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros
Directamente . Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%. Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros
