VARIACIÓN PROPORCIONAL Y FUNCIONES LINEALES Con la unidad “Variación proporcional y funciones lineales”, la primera de l a asignatura de Matemáticas I, da inicio inici o el estudio y formación matemática básica de los alumnos del Colegio de Ciencias y Humanidades. Sus contenidos constituyen un primer acercamiento al concepto de función con la utilización de casos particulares y concretos de funciones lineales y funciones inversas. La unidad se sit úa en la línea temática temátic a de desarrollo de la idea de Función y Plano Cartesiano vista a lo largo de los cuatro primeros cursos de Matemáticas. Está vinculada con las unidades uno de Matemáticas II: “Funciones cuadráticas y aplicaciones”, con la unidad cuatro de Matemáticas III, “Graficación de Funciones” y con la unidad cuatro de Matemáti cas IV, “Funciones Exponenciales y Logarítmicas”. Partiendo de los conocimientos de la idea de roporcionalidad que los alumnos han manejado desde la educación primaria, de sus primeras experiencias con el plano cartesiano y el manejo de tablas, tratará de establecerse una posible conexión entre variables que pueda ser caracterizada caracteriz ada por reglas o normas que establezcan los cambios a través de la proporcionalidad constante entre ellas. Este primer acercamiento a los tipos de función no debe iniciar o culminar con una definición global del concepto, sino sólo iniciar su estudio desarrollándolo a partir de casos particulares. En esta unidad se debe establecer la l a relación entre lo algebraico y su expresión geométrica en el plano cartesiano y señalar con esto la posibilidad de tener diferentes formas de expresión de un mismo concepto matemático. El énfasis del tratamiento debe situarse en las diferentes formas de expresar las funciones estudiadas con el siguiente contexto: un esquema algebraico o modelo matemático, una tabla, una gráfica, y su expresión en términos del lenguaje común. Los propósitos de la unidad quedarán establecidos de la siguiente manera:
Proporcionar un primer acercamiento con situaciones prácticas y reales en las que el centro de atención se enfoque primordialmente a la forma que se producen los cambios, introduciendo con ello el conocimiento de las variables. Ampliar la idea previa de proporcionalidad que maneja el estudiante, llevándola del terreno aritmético concreto al de una ley que norma la conexión entre las variables. Un avance fundamental en el aprendizaje de los estudiantes podrá observarse con la idea que logren de las funciones lineal e inversa vistas como situaciones de variación, y a partir de su expresión verbal, la notación algebraica que las representa, su gráfica en el plano cartesiano y la tabla que le corresponde. cor responde.
1. CONTENIDOS
1. Uso de tablas y gráficas para identificar variaciones proporcionales y lineales. 2. Aplicaciones a la solución de problemas de variación proporcional.
3. Ejemplos de cantidades inversamente proporcionales, ejercicios y problemas. 4. Paso de una tabla o gráfica a una expresión de la forma: y = kx, y = k/x o bien y =ax + b
Para abordar la temática de esta unidad es conveniente el tratamiento de problemas de proporcionalidad directa e inversa, donde la variación sea el fenómeno fundamental a estudiar. De una idea preliminar de variación proporcional debe pasarse a una noción más abstracta, que es la dependencia entre dos variables cuyo sustento algebraico corresponde a la expresión de una función lineal o a la de una función inversa. Debe hacerse hincapié en la asociación de las características de los valores en las tablas correspondientes a estas funciones, a la forma y posición de la gráfica en el plano cartesiano y a los parámetros de la expresión algebraica.
No debe irse más allá de la interpretación de los parámetros de la expresión algebraica de cada función, de su relación con las características de su gráfica y de cómo se reflejan tales situaciones en las tablas de valores que se usan para graficar. La determinación de estas características como definitorias de las funciones lineales e inversas serán el objetivo fundamental del aprendizaje de los estudiantes. Existe una gran cantidad de problemas de física, química, biología, etc, que pueden ser utilizados para reforzar la idea de variación proporcional o la de variación inversa, es conveniente y necesario realizar la construcción de gran cantidad de gráficas utilizando en la medida de lo posible calculadora y papel cuadriculado.
MARCO TEÓRICO 1. Razón entre cantidades La razón (o fracción) es una manera de comparar dos números o cantidades.
Una razón es un cociente entre dos cantidades. La razón o fracción del número a al número b se escribe como:
a:bo La última forma de escribir la razón es la más común. La fracción puede interpretarse como: a) Determinado número de partes de un todo. b) Para indicar una división. c) Como una razón.
2. Proporción Este concepto lo podemos entender como una relación en la cual dos razones son iguales, esto es, una proporción es una igualdad entre dos razones. Puede utilizarse el concepto de proporción para resolver algunas ecuaciones o condiciones que tengan una variable, por ejemplo:
3. Variación Si se utiliza el concepto de proporción, a partir de éste se puede estable cer uno nuevo, que es el de la variación. Esta idea es común para el valor de una variable cuando cambia con el valor de otra variable. Un ejemplo de variación consiste en utilizar la noción de variación directa. Una de las metas en las matemáticas aplicadas es encontrar ecuaciones llamadas modelos matemáticos que describan fenómenos reales. Estos fenómenos se pueden desarrollar en dos formas básicas: experimental y teóricamente. Para modelos que se desarrollan en forma experimental, por lo general s e tiene un grupo de valores de x y de y, y luego se ajustan por un procedimiento matemático.
3.1 Variación Directa Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. 2. 3.
y varía directamente con respecto a x. y es directamente proporcional a x. y =kx para alguna constante k
K es la constante de variación o la constante de proporcionalidad. En el modelo matemático para variación directa, y es una función lineal de x. Esto es,: y= kx Para establecer un modelo matemático, se deben usar valores específicos de x y y para hallar el valor de la constante k . Ejemplo. La Ley de Hooke para un resorte establece que el tamaño del alargamiento (o compresión) varía directamente según sea la fuerza que se le aplique. Una fuerza de 40 libras alarga el resorte 8 pulgadas.
a) Escribir una ecuación que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada. b) ¿Cuánto alargará el resorte una fuerza de 30 libras? Si d es la distancia que se alarga el resorte en pulgadas y F es la fuerza en libras. La distancia varía directamente con la fuerza, d = kF Como d = 4 y F = 20, k = = Entonces la ecuación que relaciona la distancia y la fuerza es:
d=
F
Cuando F = 30, la distancia es: d=
F=
(30) = 6 pulgadas
3.2 Variación Inversa Otro tipo de variaciones muy comunes pueden ser definidas y representadas mediante la constante k en otra forma distinta, en este tipo de variación, los siguientes enunciados son equivalentes: 1. 2. 3.
y varía inversamente como x. y es inversamente proporcional a x. y = k / x para alguna constante k .
Ejemplo. La Ley de los gases enuncia que el volumen de un gas encer rado varía directamente con la temperatura y es inversamente proporcional a la presión. La presión de un gas es de 0.75 kilogramos por centímetro cuadrado cuando la temperatura es de 294 oK y el volumen es de 8000 centímetros cúbicos. a) Escribir una ecuación que relacione la presión, la temperatura y el volumen del gas. b) Encontrar la presión cuando la temperatura es de 300oK y el volumen sea de 700 centímetros cúbicos. Si V = volumen (en centímetros cúbicos)
P = presión (en kilogramos por centímetro cuadrado) T = temperatura (en grados Kelvin) Como V varía directamente con T y es inversamente proporcional a P:
Como P = 0.75 cuando T = 294 y V = 8000
=
k= Por lo tanto la ecuación que relaciona la presión, la temperatura y el volumen es:
Cuando T = 300 y V = 7000 la presión es:
