Universidad Nacional de Ingeniería LABORATORIO LABORA TORIO 6: RELACIONES ESCALARES Y COMPLEJAS EN
CIRCUITOS LINEALES AC I) OBJETIVO
Deducir experimentalmente la variación de las intensidad de corriente y voltaje a través de los elementos R-L-C, al aplicarles un voltaje alterno sinusoidal. II) FUNDAMENTO TEORICO
Cuando Cuando se alimen alimentan tan circuit circuitos os formado formadoss por resisten resistencia ciass (R), conden condensad sadore oress (C) y bobinas (L) por una fuente de tensión tensión alterna alterna sinusoidal sinusoidal , aparece aparecen n dos nuevos nuevos conceptos conceptos relacionados relacionados con la oposición al paso de la corriente corriente eléctrica. e trata de la reactancia y la impedancia. impedancia . !n circuito presentar" reactancia si incluye condensadores y#o bobinas. La naturale$a de la reactancia es diferente a la de la resistencia eléctrica. %n cuanto a la impedancia decir &ue es un concepto totali$ador de los de resistencia y reactancia, ya &ue es la 'suma de ambos. %s por tanto un concepto m"s eneral &ue la simple resistencia o reactancia. Los circuitos circuitos en los cuales la corrie corriente nte es propor proporcio cional nal al voltaj voltajee son los circuitos circuitos lineales. %l cociente del voltaje y corriente en un resistor es su resistencia. La resistencia no depende de la frecuencia, y en resistores los dos est"n en fase. %n eneral, el cociente del voltaje y corriente depende de la frecuencia y en eneral *ay una diferencia de fase. La impedancia(Z) es el nombre eneral &ue damos al cociente del voltaje y corriente. impedancia
Función de tensión Función de int ensidad
i las tensiones e intensidades de corriente son sinusoidales esta relación tiene un módulo módulo y un arume arumento nto ("nul ("nulo). o). La impeda impedanci nciaa se expresa expresa median mediante te un n+mero n+mero complejo, por ejemplo de la forma a + jb, siendo a la parte real del n+mero complejo y b su parte imainaria. %s decir Z a - jb. si lo expresamos en forma polar Z /01. Donde Z a 2 b 2 y arctan(b # a) , siendo este el ángulo de fase (1), definido como el ángulo que forma la intensidad de corriente i con la tensión V , si raficamos estas funciones sinusoidales a una misma escala de tiempos. 3*ora pasaremos a describir la impedancia para los circuitos &ue constan de resistencia eléctrica, capacitor, inductor y finalmente los circuitos R4L4C. Impedanca c!mp"e#a $ n!%ac&n 'a(!a": 5odo esto indica &ue los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja /. 3*ora bien como la impedancia es un n+mero complejo se podr" representar por un punto en el plano complejo. 3dem"s como la resistencia o*mica no puede ser neativa solo se precisan el primero y el cuarto cuadrante. La representación r"fica correspondiente se llama diarama de impedancias6
La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje positivo. !na inductancia o reactancia reactancia inductiva inductiva 7 L se represe representa ntar" r" por un punto punto del eje imain imainario ario positivo positivo..
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 8
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería 9ientras &ue una capacitancia o reactancia capacitiva 7c estar" representada por un punto sobre el eje imainario neativo. %n eneral una impedancia compleja / se encontrar" sobre el primero o el cuarto cuadrante. e+n los elementos &ue interen el circuito. %l arumento de la forma polar de / esta comprendido, se+n lo dic*o entre # 2 radiantes. %sto lo veremos m"s adelante. A* La Re((%enca en c!en%e a"%ena %mpe$aremos con un circuito formado por una resistencia alimentada por una fuente de tensión alterna sinusoidal6 La tensión Vg tendr" un valor instant"neo &ue vendr" dado en todo momento por Vg (t )
ft ) Vosen ( t ) Vosen (2
Donde6 f :; Hz y <==rad # s . (%n Lima) !na resistencia presenta una impedancia &ue sólo tiene componente real, ya &ue la su componente imainaria es de valor cero. %ntonces la impedancia total del circuito ser" iual al valor de la resistencia R, ya &ue no existe nin+n otro elemento en el circuito. La corriente i &ue circula por el circuito se calcula aplicando la Ley de >*m6 i (t )
Vg Z
Vosen (2 ft ) R j ;
Vo R
sen(2 ft )
Vo R
sen( t )
e observa &ue ? max @ maxR .3dem"s tenemos &ue i ser", al iual &ue la tensión ? , de tipo alterna sinusoidal. 3dem"s, como el arumento de la función seno es el mismo en ambos casos, la corriente i estar" en fase con la tensión V g , como se observa en la r"fica siuiente. i vs t
? vs t
B* E" c!nden(ad! en c!en%e a"%ena %n este circuito el condensador presentar" una oposición al paso de la corriente alterna. Dic*a oposición se llama reactancia capacitiva, de car"cter reactivo (AreacciónA &ue introduce el condensador cuando la tensión &ue se le aplica tiende a variar lentamente o nada). Cuando el condensador est" totalmente descarado se comporta como un cortocircuito. Cuando est" totalmente carado como una resistencia de valor infinito. Bara valores intermedios de cara se comportar" como una resistencia de valor intermedio, limitando la corriente a un determinado valor. Como en corriente alterna el condensador est" continuamente carandose y descarandose, mientras m"s lentamente
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 2
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería vare la tensión (frecuencia baja) m"s tiempo estar" el condensador en estado de casi cara &ue en estado de casi descara, con lo &ue presentar" de media una oposición alta al paso de la corriente. Bara variaciones r"pidas de la tensión (frecuencias altas) el efecto ser" el contrario y por tanto presentar" una oposición baja al paso de la corriente. Bodemos decir, por tanto, &ue la naturale$a de este tipo de oposición es de car"cter electrost"tico6 la cara almacenada en el condensador se opone a &ue éste sia car"ndose y esta oposición ser" mayor cuanto m"s cara acumule el condensador. %l circuito presentar" una impedancia al paso de la corriente alterna dada por6
Donde Xc es la reactancia capacitiva &ue se calcula as6 Xc
8
fC 2
8
C
!na diferencia entre la reactancia y la resistencia es &ue la reactancia es dependiente de la frecuencia. De las ecuaciones anteriores, vemos &ue la reactancia capacitiva 7C disminuye con la frecuencia. la impedancia &ue presenta un condensador sólo tiene componente imainaria o reactiva. La corriente i &ue circula por el circuito se calcula de la expresión6 i C i
dt
, donde6 V Vg Vosen ( t )
CVo cos( t )
i(t )
inalmente6
dV
Vo Xc
sen( t F;E )
La expresión anterior supone un desfase de F;E en adelanto de la corriente &ue circula por el circuito respecto de la tensión en extremos del condensador. %sto se puede ver claramente en la siuiente r"fica6 i vs t
? vs t
C* La +!+na en c!en%e a"%ena La bobina presentar" oposición al paso de la corriente eléctrica y ésta ser" reactiva, de manera similar al caso capacitivo. in embaro, la naturale$a de la reactancia inductiva no es de car"cter electrost"tico, sino de car"cter electromanético. !na bobina inducir" en sus extremos (debido a su autoinducción) una tensión &ue se opondr" a la tensión &ue se le apli&ue, al menos durante unos instantes. %llo provoca &ue no pueda circular corriente libremente. Cuanto mayor sea la velocidad de variación de la tensión aplicada mayor valor tendr" la tensión inducida en la bobina y, consecuentemente,
Laboratorio de Circuitos Elèctricos <
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería menor corriente podr" circular por ella. 3s, a mayor frecuencia de la tensión aplicada mayor ser" la reactancia de la bobina y, a la inversa, a menor frecuencia de la tensión aplicada menor ser" la reactancia de la bobina. La impedancia &ue presenta la bobina, y por ende el circuito, ser" la siuiente6 fL Donde X l la reactancia inductiva de la &ue se calcula as6 Xl 2 La corriente i &ue circula por el circuito se calcula de la expresión6
V
L
L
di dt
Como ?? es la tensión en extremos de la bobina podemos poner lo siuiente6 di Vosen ( t )dt Ldi Vg Vosen ( t ) L dt @nterando los dos miembros de la iualdad resulta &ue
Vo
cos( t ) L.i
i (t )
inalmente6
Vo
sen( t F;E ) Xl
Bor tanto, la bobina en corriente alterna atrasa la corriente F;E respecto a la tensión presente en sus extremos. %sto se puede ver en la siuiente r"fica6 i vs t
? vs t
Resumiendo la impedancia de los diversos componentes en la siuiente tabla6
y raficamente sera6
D* Cc,%! R-C
Laboratorio de Circuitos Elèctricos G
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería 3l conectar una resistencia y un capacitor en serie, el voltaje ?(t) ser"6 V (t )
V R
(t ) V C (t )
Bero la suma no es tan secilla, pues los voltajes del resistor y capacitor no est"n en fase. 3mbos valores se suman para formar una nueva curva sinusoidal, como se observa en la r"fica6
%n el siuiente caso6
Del tri"nulo formado por los voltajes ? R y ?C6 2 V R2 V C 2 V RC utili$ando la resistencia y reactancia capacitiva, obtenemos6 2 V RC ( IR) 2 (
V RC
I
)2 C 8 2 ) I R 2 ( C
observamos &ue ? es proporcional a @. 3dem"s, el valor de la impedancia en este circuito ser"6
Z RC R 2 (
8
)2 C
por la Ley de >*m en 3C, tenemos6 I I
V RC Z RC V RC
R 2 (
)2 C
Laboratorio de Circuitos Elèctricos H
8
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería
E* Cc,%! R-L 3l conectar una resistencia y un inductor en serie, el voltaje ?(t) ser"6 V (t )
V R
(t ) V L (t )
%n estos circuitos, el voltaje se encuentra en adelanto respecto de la corriente F;I. an"loamente al circuito R4C, el voltaje ?(t) ser" como se muestra6
2 2 2 >bteniéndose6 V RL V R V L , Z RL R 2 ( L ) 2 , I
V RL R 2 ( L) 2
F* Cc,%! RLC (ee en c!en%e a"%ena
%l valor de la impedancia &ue presenta el circuito ser"6
%s decir, adem"s de la parte real formada por el valor de la resistencia, tendr" una parte reactiva (imainaria) &ue vendr" dada por la diferencia de reactancias inductiva y capacitiva. ea X esa resta de reactancias. %ntonces, si X es neativa &uiere decir &ue predomina en el circuito el efecto capacitivo. Bor el contrario, si X es positiva ser" la bobina la &ue predomine sobre el condensador. %n el primer caso la corriente presentar" un adelanto sobre la tensión de alimentación. i el caso es el seundo entonces la corriente estar" atrasada respecto a Vg . Conocida la impedancia Z del circuito, la corriente se puede calcular mediante la Ley de Vosen ( t ) x L C i (t ) arctan( ) >*m. 3s6 y R 2 ( L C ) 2 R 5ambién podramos *aberlo *allado usando6 V (t ) V R (t ) V C (t ) V L (t ) Donde el voltaje en R estar" en fase con la corriente, el del inductor adelantado F;I y el voltaje del capacitor retrasado F;I. como en los casos anteriores, para obtener el
Laboratorio de Circuitos Elèctricos :
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería voltaje se reali$a la suma de manera fasorial, pues los valores no se suman directamente. y en la siuiente rafica se observan los voltajes.
2 V R2 (V L V C ) 2 V RLC
V RLC I R
2
( L
8
) C
2
IZ RLC
Donde /RLC es la impedancia total6 ./RLC R 2 - (7L4 7C)2. La dependencia de / RLC se observa en la fiura6
Z RLC R 2 ( L
8
)2 C
.* Cc,%! paa"e"! en c!en%e a"%ena
%n este circuito observamos &ue cada una de estas ramas es independiente de las dem"s. Bor otro lado, si lo &ue nos interesa es el comportamiento del circuito como un todo, o sea, el comportamiento de las partes comunes del circuito a cada rama, deberemos considerar &ue lo &ue se tiene es lo siuiente6
La impedancia total del circuito, Zt , ser" la siuiente6 Lo &ue e&uivale a6 C"lculamos la corriente total6
Laboratorio de Circuitos Elèctricos =
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería 8 8 8 V ; sen( t ) J donde x LK,, y xC8#(KC) Z t R j ; ; j ; j C L V sen( t ) C i (t ) ; .V ; sen ( t ) j. L i (t )
V ; sen( t )
L . C
R
Bor tanto el módulo de i!t" y el desfase de ésta respecto a Vg vendr" dado por6
i
( )
V sen t
;
8 R
2
( L
C
2
L . C
)2
2
( L C ) . R . L C
, arctan
Bor +ltimo, es evidente &ue ? g#?R #?C#?L.
III) MATERIALES
8 uente 3C 22; ? H amperios (autotransformador) 8 Resistencia de <2;M 4 8.H3 (R 8) 8 Resistencia de H;M 4 < 3 (R) 8 Caja de condensadores 8 Bin$a amperimétrica (3) 8 9ultmetro diital (cada voltmetro)(?,?8,?2,?<) 8 9ultmetro diital con microampermetro 8 bobina de 882.N: m* (L)
IV) PROCEDIMIENTO
9edir las resistencias, capacitancias e inductancias de los elementos &ue se utili$an en la experiencia. CASO I: 8) %stablecer el circuito OE8. La resistencia R 8 est" en su m"ximo valor. 2) ?erificar la escala de los instrumentos para evitar posibles daPos. <) 3ctivar la fuente de voltaje *asta obtener 88; voltios en su salida. G) ?are el valor de R 8 procurando &ue la corriente &ue reistra el ampermetro (3) aumente de ;.;H3 en ;.;H3 (aproximadamente) *asta obtener un valor de 8.H3. H) 5omar las lecturas de los instrumentos en por lo menos 8; puntos.
88;? 3C
Cc,%! N/0
Laboratorio de Circuitos Elèctricos N
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería CASO II: 8) %stablecer el circuito OE2. La resistencia R est" en su m"ximo valor. 2) ?erificar la escala de los instrumentos para evitar posibles daPos. <) 3ctivar la fuente de voltaje *asta obtener 88; voltios en su salida. G) Reular C *asta &ue el ampermetro (3) indi&ue <3. H) ?are el valor de C(en el banco de condensadores) conectando en serie o paralelo, se+n sea el caso, con la finalidad de disminuir la lectura &ue reistra el ampermetro. :) 5omar las lecturas de los instrumentos en por lo menos 8; puntos.
88;? 3C
Cc,%! N/1
CASO III: 8) 9ontar el circuito OE<. La resistencia R est" en su m"ximo valor. 2) Repetir los pasos dados en el caso @@.
Cc,%! N/2
Oota6 3l finali$ar la experiencia no olvidarse medir la resistencia interna de la bobina 'L.
Laboratorio de Circuitos Elèctricos F
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería V) CUESTIONARIO
8. $obre un par de ejes coordenados graficar en función de R !caso %" y C !caso & y '" las lecturas de V R ( V L y V C y ) tomadas en la eperiencia* QCa(!0: Datos6 %l voltaje de salida del transformador es de 88;?. ?medido 8;:.=?olts La bobina del circuito es L 882.N: m y su resistencia interna es de 8<.2 M. %l potenciómetro tiene como valor m"ximo R <2; M. Los datos medidos son los siuientes6
R (Ohms) 3! #! 3" !3 "'' "&3 "$' "$3 "# ""$
VR (Volts) "!".# "!!.3 ((.' ('. (&.' (%.! (#.$ (3.& (.# '(.#
VL (Volts) "$.$ "&. "(.$ ".# 3.# %.! (.$ 3!.' 33.3 3%.#
I (mA) 3"% 3&' $" $&% #! #'( %3% %&( &3$ '!(
Con estos datos obtenemos las siuientes r"ficas6
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 8;
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería Comentario6 %n la r"fica 2 se observa &ue la corriente disminuye conforme aumenta la resistencia, ya &ue *ay m"s oposición al paso de la corriente,, y como el voltaje en la bobina depende de la corriente, ya &ue la reactancia es cte., entonces es proporcional a la corriente, por lo tanto disminuye conforme R aumenta como observamos en la rafica 8. %n el caso del voltaje en la resistencia, éste aumenta puesto &ue la salida total de voltaje es de 88; ? (constante) y por la ley de voltaje de Sirc*off para &ue el voltaje se mantena constante, si el voltaje en la bobina disminuye (R aumenta) entonces el voltaje en la resistencia aumenta. QCa(!1: Datos6 %l voltaje de salida del transformador es de 88;? %l valor de la resistencia utili$ada es R =G.H M. Capacitancia variable del banco de condensadores Los datos tabulados son los siuientes6
C (μF) 3! # "# "! &.# $ " !.%'
VR (Volts) &!.! %3.& $$. '.! .! "%.! %.$ 3.! ".&
VC (Volts) '%.% (.$ "!#.3 """.! "".# ""$.! ""#.! ""#." ""#.!
I (mA) ($! ''! %!$ 3(' 3!' "% '&.& $.' '.'
Con estos datos obtenemos las siuientes r"ficas6
Voltajes)volts*
Capacitancia)u+*
Comentario6 %n la r"fica de la corriente se observa &ue ésta aumenta conforme aumenta C. %sto es debido a &ue mientras m"s aumente el valor de C, m"s pe&uePo
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 88
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería se *ace la impedancia y por lo tanto menos oposición al paso de la corriente. 9ientras, el voltaje en la resistencia aumenta conforme C aumenta ya &ue al aumentar la corriente y al ser la resistencia constante, el voltaje es proporcional a la corriente. %n el caso de voltaje en el condensador, éste disminuye conforme aumenta voltaje en la resistencia, ya &ue como se mencionó anteriormente, el voltaje de salida debe permanecer constante. QCa(!2: Datos6 %l voltaje de salida del transformador es de 88;? %l valor de la resistencia utili$ada es R =<.N M Tobina de L 882.N: m y su resistencia interna es de 8<.2 M Capacitancia variable en el banco de condensadores.
Los datos tabulados son los siuientes6 C (μF) 3! # "# "! &.# $ " !.%'
VR (Volts) '".% '.! &'.! &#.# #".% 3.# $.3 "%.$ %.!
VL (Volts) $'.% $&.& $&. $$.& 3!.' "(.' "#." "!.% &."
VC (Volts) "!!.% ""&.& ""%.( "!(.# "#. "%.# "$.& ".% ""'.
I (mA) """& "!$" "!& "!3! &"" $$' 33& ' ''
Con estos datos obtenemos las siuientes r"ficas6
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 82
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería
Comentario6 3l iual &ue el caso 2 se observa &ue la corriente aumenta conforme aumenta C, debido a &ue mientras m"s aumente el valor de C, m"s pe&uePo se *ace la impedancia y por lo tanto menos oposición al paso de la corriente. %n tanto, los voltajes en la resistencia y en la bobina aumentan cuando C aumenta ya &ue la corriente aumenta. Lueo, como ambos voltajes aumentan, entonces el voltaje en el condensador va a tener &ue disminuir para &ue se conserve la enera (ley de mallas de Uirc*off). 2. +raficar en cada caso el lugar geom,trico de la impedancia del circuito !Z"( en el plano R-X* 3Caso8 R %!%a"45) L45) Z45) 7 4/) <<<.2 G2.HGN22 <
%l luar eométrico es una recta paralela al eje de la resistencia. La impedancia en cual&uier punto es la distancia de > *acia dic*o punto en la recta formada. 3Ca(!1
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 8<
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería R %!%a"45) =G.H =G.H =G.H =G.H =G.H =G.H =G.H =G.H =G.H
C45) 4NN.G8= 48;:.8;8 48=:.N
Z45) 88H.:8F2=8 82F.:GGG;= 8F8.NN=:G2 2=H.H8H:H <:8.G<;H;= ::=.<;;==2 8<2N.
7 4/) 4GF.NN< 4HG.F2H 4:=.8HG 4=G.<82 4=N.8;H 4N<.HNF 4N:.=NH 4NN.
%n este circuito, el valor de R es fijo y lo &ue vara es el valor de la capacitancia. %l luar eométrico es una recta paralela al eje de la reactancia.
3Ca(!2 R %!%a"45) N= N= N= N= N= N= N= N= N=
C45) 4NN.G8= 48;:.8;8 48=:.N
L45) 45) G2.HGN22 4GH.N:N=N G2.HGN22 4:<.HH2=N G2.HGN22 48
Z45) FN.
7 4/) 42=.=FF 4<:.8GN 4H=.;:2 4:N.::2 4=G.<== 4N2.;8F 4N:.82< 4NN.;F8 4NN.=;N
%n este circuito solo vara el valor de la capacitancia, tenemos valores fijos de resistencia y de bobina. %l luar eométrico es una recta paralela al eje 7 (reactancia).
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 8G
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería <. +raficar el lugar geom,trico del fasor corriente para los tres casos( tomando como referencia el fasor tensión !V"* .n el mismo diagrama graficar el lugar geom,trico de los fasores V R ( V L y V C* %n los siuientes diaramas fasoriales, observamos los fasores correspondientes a todas las corrientes y voltajes tomadas en el laboratorio, el "nulo fue *allado analticamente y no se indica para no dificultar su lectura. Los valores de corrientes se *an escalado a un factor de 8;; para &ue sean visibles. 3Ca(! 0 ?86 voltaje de la resistencia, ?26 voltaje de la bobina, ?6 voltaje del enerador
3Ca(! 1 ?86 voltaje de la resistencia, ?26 voltaje del condensador, ?6 voltaje del enerador
3Ca(! 2 ?86 voltaje de la resistencia, ?26 voltaje de la bobina, ?<6 voltaje del condensador ?6 voltaje del enerador
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 8H
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería
VI) OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
La resistencia variable se calienta considerablemente, esto puede producir una
disminución en la resistencia. Oo se usó la resistencia m"xima de la resistencia variable para el caso 2 y <. %n un circuito serie R4L, al aumentar la resistencia eléctrica del circuito, la
intensidad de corriente disminuye, y e voltaje en la misma aumenta, debido a la cada de voltaje en la bobina. Bara el caso del circuito R4C se observó &ue el voltaje en la resistencia aumenta,
con tendencia lineal, a medida &ue se aumenta la capacitancia mientras &ue el voltaje a través del capacitor disminuye radualmente y la corriente aumentaba con una tendencia lineal. %n el caso del circuito RLC se observó &ue *a medida &ue se aumentaba la
capacitancia el voltaje a través de la resistencia y la bobina aumentaba y disminua respectivamente mientras &ue el voltaje a través del capacitor aumentaba de una forma lenta. e puede concluir &ue las resistencias y las reactancias inductivas y capacitivas
son elementos lineales &ue cumplen con la ley de >*m, verific"ndose esto en los incrementos o disminuciones de corriente y voltaje respectivos. %n el caso de tensión alterna, las relaciones ya no son tan simples,ya &ue si
utili$amos los valores como en
continua no se cumpliran las leyes de
Sirc**off, sin embaro, se cumplen si utili$amos los valores complejos(fasores). Los luares eométricos y los diaramas fasoriales nos ayudan a predecir el
comportamiento de los elementos de los circuitos, as como las fases (importantes para determinar el factor de potencia). 5ambién nos ayudan a determinar los puntos de resonancia.
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 8:
uni – fim
Universidad Nacional de Ingeniería
VII) BIBLIO.RAFIA
orf Circuitos lectricos
dmister Circuitos lectricos, Colección /aum
0puntes de la Clase de Circuitos lectrónicos 1 del 1ng. 2arcelo milio, perodo !!%-11.
Circuitos 2icroelectrónicos, 2u/ammad Ras/id.
es.4i5ipedia.org
444.unicrom.com
444.terra.es
Laboratorio de Circuitos Elèctricos 8=
uni – fim
