Méthode des rotations
2 07
208
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
raison invoquée précédemment. Sachant par ailleurs que la réaction est une fonction linéaire de x (position de la charge par rapport à une extrémité de la poutre), on trace aisément la ligne d’influence qui est composée de segments de droite passant par l es ordonnées 1 en A et 0 en B et C . L’unique façon de construire la ligne d’influence de R A est celle indiquée à la figure 9.11 b.
P=1 A
(a) a
Pour la ligne d’influence de R B, elle passe par 0 en A, 1 en B et 0 à nouveau en C (Figure 9.11c). Le même procédé est utilisé pour tracer la ligne d’influence de la réaction de l’appui C (Figure 9.11d).
B
A
B
b
j
δ
(a)
l-x
x
C
y
(b)
k R A (b)
1
Figure 9.12 +
L’équation des travaux virtuels s’écrit : (c)
(d)
R Aδ − 1. y = 0 ⇒ R A =
+ 1
_
+
y δ
où δ est le déplacement du point d’application de la réaction R A. La droite jk (Figure 9.12b) donne la forme exacte de la ligne d’influence de la réaction. Pour avoir l’échelle correcte, il suffit de prendre δ = 1. La méthode est d’un grand service dans le cas de structures complexes. Considérons la poutre cantilever de la figure 9.13a.
Figure 9.11
On notera que la somme des ordonnées des lignes d’influence des réactions de la poutre est égale à 1 quelle que soit la section considérée (équilibre de translation verticale). Cette condition offre un moyen de contrôle des diagrammes d’influence obtenus. Si par exemple en une section quelconque cette somme est différente de 1 ou que son signe est tel que la charge unité n’est pas équilibrée, c’est qu’il y a erreur. Cette méthode est d’une grande utilité dans le calcul des réactions des poutres isostatiques complexes avec plusieurs charges (poutres cantilevers notamment). Méthode cinématique
Elle rappelle beaucoup la méthode précédente. Considérons la poutre biarticulée de la figure 9.12a. Pour tracer la ligne d’influence de la réaction de l’appui A, on supprime la liaison et on la remplace par une force verticale R A puis on donne un déplacement vertical au mécanisme obtenu qui peut tourner autour de l’appui B (Figure 9.12b).
(a)
A
B
+
C
D
1
(b)
_
Figure 9.13
Pour construire la ligne d’influence de la réaction de l’appui B par exemple, on supprime l’appui et on donne à la section B un déplacement unité positif (vers le haut). La nouvelle configuration de la poutre ainsi obtenue définit la ligne d’influence cherchée (Figure 9.13b). De la même manière, on trace les lignes d’influence des autres réactions.
Méthode des rotations
Exemples d’application
2 09
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
210
3)
Calcul des moments d’encastrement parfaits :
Barre AB : P B 2EI
2EI
q
2,00m
4,00m
M AB = +
E
C
I
M BA = −
3,00m
ql ² 12 ql ² 12
q=600 kg/m
=
800
l=5m
I
Barre CE :
3
P = 10 kg q = 600 kg/m A
D 5,00 m
1)
Raideurs des barres :
R AB = RCD = 2)
I 4 I 4
; R BC =
2 I
5 3 2 I 3 I ; RCE = . = 4 5 10
Coefficients de répartition des barres :
C BA = C BC =
R BA
=
14
R BA + R BC
1 4+2 5
R BC
2 5
R BC + R BA
=
≅ 0.3846
≅ 0.6154 2 5+1 4
Vérification : Σ C ij=1 ; C BA+C BC = 0.3846 + 0.6153 = 0.9999 ≅ 1 C CB =
RCB RCB + RCD + RCE
=
2 5 2 5 + 1 4 + 3 10
≅ 0.4210
C CD = = ≅ 0.2632 RCD + RCB + RCE 1 4 + 2 5 + 3 10 RCE 3 10 C CE = = ≅ 0.3158 RCE + RCD + RCB 3 10 + 1 4 + 2 5 RCD
3
P=10 kg C
E M CE
5,00 m
14
C CB+C CD+C CE = 1 ; 0.4210 + 0.2632 + 0.3158 = 1
M BA
M AB
= −800
a=2m
M EC = 0 M CE =
b=3m
Pa .b l ²
( b + a 2 ) = 960 kg .m
Méthode des rotations
Nœuds
A
Barres
AB
BA
C BC
CB
CD
D CE
DC
212
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
Trace du diagramme de M
E EC
387,74
-0.3846
-0.6153
-0.4211
-0.2622
C
552,74
-0.3158
2,00 m 800
-800
0
0
0
960
0
0
3,00 m
4,00 m q
1er Cycle
169,72
1006 A
M B(1)=-800
D 5,00 m
C bloqué M C =M C(1)
E
339,43
387,91
B bloqué M B=M B(1)
5,00 m
M C(1)=1206.12
C débloqué
-253.95
-507.90
-317.45
-380.89
-158.73
0
Diagramme de M le long de AB
2ème Cycle B bloqué M B=M B(2) B débloqué
P
213,43
B
Coefficient de répartition Cij pris en (-) Moments d’encastrement parfait Mij
B
2 11
M B(2)=-253.95 +48.83
+97.67
+156.26
A
B
+78.13
C bloqué M C =M C(2)
1600
M C(2)=78.13
C débloqué
-16.45
-32.90
-20.56
-24.67
1006
-10.28
387,91 B
A
3ème Cycle
707,22
B bloqué M B=M B(3) B débloqué
M B(3)=-16.45 3.16
6.33
10.12
5.06
C bloqué M C=M C(3)
q=600 kg/m M C(3)=5.06
C débloqué
-1.07
B bloqué M B=M B(4) B débloqué
-2.13
-1.33
+ -1.60
-0.67
0
0.20
0.41
0.66
ql²/8=1200 1600
M B(4)=-1.07
387,91
0.33 A
4ème Cycle
+
C bloqué M C =M C(4)
492,78
M C(4)=0.33
C débloqué
Σ
387,91
_
1006
- 387.91
-0.07
-0.14
-0.09
-0.10
-0.04
0
387.74
-213.43
-339.43
552.74
-169.72
0
2,00 m
2,00 m
Méthode des rotations
Diagramme de M le long de CE
2 13
214
CALCUL DES STRUCTURES HYP ERSTATIQUES
Diagramme de M sur toute la structure 552,74
387,74
552,74
213,43
P=10 387,91
E
C
332,43 552,74 552,74
492,78
_
868,36
E
C
331,64 1006 P=10 E
C
+ 2,00 m
3,00 m
1200 552,74
+ 868,36
M le long de BC
387,74
M le long de DC
169,72
213,43 C
B
C
D
339,43
387,74
213,43 _
B
339,43
_ C
D
C +
169,72
196,72
