Rapport Tp RDM

Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tanger

Rapport des Travaux Pratiques Résistance des matériaux Réalisé par : TOUHAMI ALAMI Nouha LALAMI Kenza BOUHID Yassine RAKOTONIRINA Manoa Justin

Encadré par : Mr SARSRI

Table des matières : Manipulations Pratiques :…………………….3 Traction simple……………………………………………………4 Flexion simple…………………………………………………..10 Déformation dans une structure ………………………19

Utilisation de RDM 6 :…………………………28 Flexion ……………………………………………………………..29 Ossature Plane …………………………………………………46 Ossature Spatiale ……………………………………………..49

2

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Première partie Manipulations pratiques

3


Chapitre 1

Traction simple 1 .1 Objectifs : Les buts de cette manipulation sont :

ϵ ϵ

• Mettre en évidence expérimentalement expérimentalement la loi de comportement : effort (F), allongement ( ), F = f ( ). • Déterminer le module d’élasticité longitudinale pour les matériaux étudiés

expérimentalement.

1.2 Expérience de traction : Voici une petite description du système : 



 



Le treillis de base repère 1 est constitué de plat d’acier, montés pour former un système triangulé rigide. L’éprouvette d’essai repère 2 est placée entre la chape supérieure, repère 4 et la chape inférieure repère 4. La mise en charge est réalisée { l’aide du volant, repère 5. La lecture de l’effort appliqué se fait sur le comparateur, repère 6, lié à une poutre dynamométrique, repère 7. Ce comparateur gradué en 1/100 mm est placé à la position qui correspond à 1 daN par graduation g raduation du cadran. Les déplacements des éprouvettes sont mesurés { l’aide de deux comparateurs 8

et 9.

4


1.3 Mode opératoire Les expériences portent sur la lecture de l’allongement de l’éprouvette en fonction de l’effort appliqué pour les éprouvettes d’essai suivantes : 1. Eprouvette 1 : Acier, section 1mm x 19.8 mm. 2. Eprouvette 2 : Alliage léger, section 1mm x 19.8 mm. 3. Eprouvette 3 : Alliage léger, section 2mm x 19.9 mm. 4. Eprouvette 4 : P.V.C, section 1.9 mm x 20.4 mm. L’éprouvette d’essai repère 2 étant placée entre les chapes supérieure et inférieur, on peut étudier l’allongement relatif de l’éprouvette en fonction de la charge appliquée. Pour chaque éprouvette d’essai : -

On remet à zéro le comparateur de mesure de la flèche dynamométrique en

-

tournant le volant dans le sens des aiguilles d’une montre. On augmente la charge jusqu’{ 1500 N sans relever les déplacements, On

vérifie si le comparateur comparateur est en contact avec le point de mesure et dévie. -

On décharge l’éprouvette en la ramenant { charge nulle. On charge l’éprouvette { 5N.

-

On remet le comparateur de mesure de la charge et le comparateur de mesure de déplacement de l’éprouvette { zéro.

-

On charge l’éprouvette par palier, en augmentant par incréments de 20 daN

-

la charge en tournant le volant dans le sens horaire. On relève sous différentes charges le déplacement relatif fourni par le comparateur de mesure de déplacement. On recommence trois fois cette procédure et on o n obtient les résultats suivants.

5


1.4 Résultats de l’expérience 1.4.1 Eprouvette : Acier, section 1x19.8 mm Allongement ∆l en mm

Charge en

daN

N°1

0 20 40 60 80 100 120 140 160

N°2

0 0,0200 0,0420 0,0610 0,0710 0,0800 0,0950 0,0985 0,1100

0 0,01 0,05 0,071 0,088 0,0901 0,0901 0,0905 0,0912

N°3 0 0,019 0,031 0,07 0,081 0,088 0,089 0,105 0,11

Déformation є=∆l/l0 en μm/m

Contrainte σ=F/S

moy 0 0,0163 0,0410 ,0673 0,0800 0,0860 0,0914 0,0980 0,1037

en Mpa 0 10,204 20,408 30,612 40,816 51,020 61,224 71,429 81,633

N°1 0 55,56 116,67 169,44 197,22 222,22 263,89 273,61 305,56

N°2

N°3

0 27,78 138,89 197,22 244,44 250,28 250,28 251,39 253,33

0 52,78 86,11 194,44 225,00 244,44 247,22 291,67 305,56

moy 0 45,370 113,889 187,037 222,222 238,981 253,796 272,222 288,148

Remarque : On ajoute une colonne dans laquelle afin de calculer la valeur moyenne

des trois mesures. La déformation est exprimée en μm/m. La longueur initiale de l’éprouvette, L0 = 0.36 m

On obtient les deux courbes suivantes : 180 160 140 120 100 F en [N] 80 60 40 20 0

y = 444,57x Série1 Linéaire (Série1) 0

0,2

∆l en [mm]

0,4

45 40 35 30 σ en 25 [MPa] 20 15 10 5 0

y = 41029x

Série1 Linéai (Série

0

0,0005

0,001

Déformation ε

On obtient : Raideur de l’éprouvette : K= 1271,4 N.mm -1 Module de Young : E= 233 315 MPa

Remarque : La courbe de déformation ε est exprimée sans unités c.à.d. [m/m] Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tanger | TP résistance des matériaux

6

1.4.2 Eprouvette 2 : alliage léger, section 2 mm x 19.8 mm Allongement ∆l en mm

Charge en

daN

N°1

0

N°2 0

N°3 0

Déformation є=∆l/l0 en μm/m

Contrainteσ=F/S en Mpa

moy

N°1

N°2

N°3

moy

0

0

0

0,000

0,000

0,000

0

20

0,015 0,040 0,019

0,025

10,204

41,667

111,111

52,778

68,519

40

0,060 0,055 0,061

0,059

20,408 166,667

152,778

169,444

162,96

60

0,080 0,080 0,085

0,082

30,612 222,222

222,222

236,111

226,85

80

0,090 0,100 0,100

0,097

40,816 250,000

277,778

277,778

268,52

100

0,110 0,120 0,150

0,127

51,020 305,556

333,333

416,667

351,85

120

0,130 0,125 0,121

0,125

61,224 361,111

347,222

336,111

348,15

140

0,135 0,142 0,141

0,139

71,429 375,000

394,444

391,667

387,04

160

0,140 0,150 0,159

0,150

81,633 388,889

416,667

441,667

415,74



On obtient les deux courbes suivantes : 180 160 140 120 100 F en [N] 80 60 40 20 0

y = 925,26x Série1 Linéaire (Série1) 0

0,1

∆l en [mm]

0,2

45 45 40 40 35 35 30 30 25 σ en 25 σ en [MPa] [MPa] 20 20 15 15 10 10 5 5 0 0

= 41029x y =y 41029x

Série1 Série1 Linéaire Linéai (Série1) (Série

0 0

0,0005 0,0005 Déformation ε Déformation ε

0,001 0,001

On obtient : Raideur de l’éprouvette : K=925,26 N.mm -1 Module de Young : E= 195 017MPa

Remarque : La courbe de déformation ε est exprimée sans unités c.à.d. [m/m] 7


1.4.3 Eprouvette 3 : alliage léger, section 2 mm x 19.8 mm Allongement ∆l en mm

La charge N

N°1

N°2

N°3

Contrainteσ=F/S en Mpa

moy

Déformation є=∆l/l0 en μm/m N°1

N°2

N°3

moy

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

20

0,009

0,01

0,015

0,0113

5,025

25,000

27,778

41,667

31,481

40

0,016

0,021

0,017

0,0180

10,050

44,444

58,333

47,222

50,000

60

0,02

0,049

0,031

0,0333

15,075

55,556 136,111

86,111

92,593

80

0,029

0,051

0,051

0,0437

20,101

80,556 141,667

141,667 121,296

100

0,03

0,052

0,052

0,0447

25,126

83,333 144,444

144,444 124,074

120

0,04

0,069

0,069

0,0593

30,151

111,111 191,667

191,667 164,815

140

0,049

0,07

0,07

0,0630

35,176

136,111 194,444

194,444 175,000

160

0,05

0,075

0,075

0,0667

40,201

138,889 208,333

208,333 185,185



On obtient les deux courbes suivantes :

180 160 140 120 100 F en [N] 80 60 40 20 0

y = 444,57x

Série1 Linéaire (Série1)

0

0,1

0,2

∆l en [mm]

0,3

45 45 40 40 35 35 30 30 25 σ en 25 σ en [MPa] [MPa] 20 20 15 15 10 10 5 5 0 0

= 41029x y =y 41029x

Série1 Série1 Linéaire Linéai (Série1) (Série

0 0

0,0005 0,0005 Déformation ε Déformation ε

0,001 0,001

On obtient : Raideur de l’éprouvette : K=2156 N.mm -1 Module de Young : E= 195 017 MPa

Remarque : La courbe de déformation ε est exprimée sans unités c.à.d. [m/m]


8

1.4.4 Eprouvette 4 : PVC section 1.9 x 20.4 mm La charge Allongement ∆l en mm Contrainteσ=F/S Déformation є=∆l/l0 en μm/m en daN N°1 N°2 N°3 moy en Mpa N°1 N°2 N°3 Moy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0,019 0,012 0,049 0,0265 5,160 52,778 31,944 136,111 73,611 40 0,105 0,175 0,125 0,1350 10,320 291,667 486,111 347,222 375,000 60 0,0165 0,22 0,19 0,1422 15,480 45,833 611,111 527,778 394,907 80 0,205 0,27 0,23 0,2350 20,640 569,444 750,000 638,889 652,778

On obtient : 100

50 y = 352,47x

80

F en [N]

40

60

Série1

40 Linéaire (Série1)

20 0

σ en30 [MPa] 20

y = 41029x


10 0

0

0,2

∆l en [mm]

0,4

0

0,0005

0,001

Déformation ε

On obtient : Raideur de l’éprouvette : K= 325 ,47 N.mm -1 Module de Young : E= 41 029 MPa

9


Chapitre 2

Flexion simple Etude d’une poutre de section rectangulaire sur un appui simple, soumise à une charge

concentrée à mi-portée.

2.1 Objectifs : Les buts de cette manipulation sont :  Mettre en évidence expérimentalement la loi de comportement : flèche à miportée (f), effort(F), f=f(F).  Vérifier l’influence : - Du moment quadratique - De la portée -

Du module d’élasticité longitudinale E du matériau

2.2 Etude théorique : 2.1 : déterminons le moment quadratique I Gz de la poutre posée à plat, le contact avec les appuis simples se fait suivant la longueur b. (Réponse sur feuille à part). 2.2 : déterminons le moment quadratique I Gz de la poutre posée sur chant, le contact aves les appuis simples se fait suivant la longueur a. (Réponse sur feuille à part). 2.3 : déterminons le déplacement vertical du point M en fonction de x, F, L et IGz. (Réponse sur feuille à part).

10


Diagramme de l’effort tranchant :

Diagramme du moment fléchissant :

2.4 : en déduire la flèche à mi-portée (f). (réponse sur feuille à part). 11


2.3 Expérience de flexion : 

Le treillis de base est constitué de plats d’acier, montés pour former un système triangulé rigide.



La poutre d’essai repère 1 est placée sur les appuis constitués par les deux

piges repère 2. Pour un essai des poutres à plat, tourner les rondelles étagées repère 3, de façon à faire porter les poutres à chant, tourner les rondelles étagées de façon à faire porter les poutres sur le niveau supérieur des rondelles étagées. 

La mise en charge est réalisée { l’aide du volant, repère 4. La lecture de l’effort appliqué se fait sur le comparateur, repère 5, lié à une



poutre dynamométrique, repère 6. Ce comparateur gradué en 1/100 mm est placé à la position qui correspond à 1daN par graduation du cadran. Le déplacement total du point de chargement de la poutre est mesuré à



l’aide du comparateur, repère 7. Le déplacement de l’appui gauche de la poutre est mesuré { l’aide du



comparateur, repère 7.

2.4 Mode opératoire : Les expériences portent sur la lecture de la flèche en fonction de l’effort appliqué pour les poutres d’essai suivantes

Poutre

N° 1

N° 2

N° 3

N° 4

Composition

Acier

Acier

Alliage léger

Alliage léger

Posée

Sur chant

A plat

Sur chant

Sur chant

Section (mm²)

15×30

15×30

15×30

15×30

500

500

500

400

200 000

200 000

700 000

700 000

Distance entre appuis (mm) Module d’Young (MPa)

12


Les poutres d’essai étant placée entre ses deux appuis, on peut étudier la flèche miportée en fonction de la charge appliquée. Pour chaque éprouvette d’essai : 

Effectuer un zéro grossier du comparateur de mesure de la flèche dynamométrique en tournant le volant de ma nœuvre dans le sens des aiguilles d’une montre.



Faire une montée en charge jusqu'à 1500 N environ sans relever les déplacements. Vérifier que les comparateurs de mesure des déplacements de la poutre dévient bien et sont donc en contact avec les points de mesure sur l’étendue de la mesure prévue.

   



Décharger la poutre en la ramenant à la charge nulle. Charger légèrement la poutre 5 N environ. Régler à zéro le comparateur de mesure de la charge appliquée. Régler à zéro les deux comparateurs de mesure des déplacements de la poutre. Charger la poutre par palier, en augmentant par incréments de 20 daN la charge en tournant le volant dans le sens horaire.

2.5 Travail à faire : 

 



Relever sous les différentes charges la flèche à mi-portée qui correspond au déplacement du comparateur 7. Recommencer trois fois cette procédure. Pour chaque poutre étudiée, comparer les mesures expérimentales avec le calcul théorique. Commenter les résultats obtenus.

13


2.5.1 Poutre N°1 :ACIER sur chant.

Charge en [daN]

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Flèche Flèche expérimentale Moyenne théorique en [mm]

N°1 0 0,145 0,289 0,39 0,479 0,562 0,645 0,725

N°2 0 0,1 0,223 0,309 0,45 0,48 0,48 0,675

N°3 0 0,08 0,175 0,29 0,355 0,425 0,585 0,605

Erreur en [%]

en [mm]

0 0,108 0,229 0,33 0,428 0,489 0,57 0,668

0 0,077 0,154 0,231 0,309 0,386 0,463 0,54

N°1 0

N°2 0

N°3 0

88,31 87,66 68,83 55,02 45,60 39,31 34,26

29,87 44,81 33,77 45,63 24,35 3,67 25,00

3,90 13,64 25,54 14,89 10,10 26,35 12,04

Acier su chant 0,9 0,8 0,7 0,6 Flèche 0,5 en[mm] 0,4 0,3 0,2 0,1 0

y = 0,0049x


0

100

200

Charge en [daN]

Calcul de la raideur expérimentale de la poutre : Sachant que F=Kexp.y m A partir du graphe on déduit que Kexp= 1 kN/mm


14

Calcul de la raideur théorique de la poutre : A partir de la même relation précédente on calculera K thé. Kthé = 666,67 N/mm

2.5.2 Poutre N°2 :ACIER à plat. Charge en [daN]

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Flèche expérimentale en [mm]

N°1 0 0,300 0,650 0,880 1,295 1,495 1,815

N°2 0 0,310 0,590 0,910 1,201 1,500 1,805

Moyenne

N°3 0 0 0,310 0,307 0,610 0,617 0,920 0,903 1,130 1,209 1,550 1,515 1,870 1,830

Flèche théorique en [mm]

0 0,309 0,617 0,926 1,235 1,543 1,852

Erreur en[ %]

N°1 0 2,91 5,35 4,97 4,86 3,11 2,00

N°2 0 0,32 4,38 1,73 2,75 2,79 2,54

N°3 0 0,32 1,13 0,65 8,50 0,45 0,97

Acier à plat 3

y = 0,0152x

2,5 2

Flèche en 1,5 [mm] 1

série2 Linéaire (série2)

0,5 0 0

50

100

150

200

Charge en [daN]

15


Calcul de la raideur expérimentale de la poutre : Sachant que F=Kexp.y m A partir du graphe on déduit que Kexp= 1,785 kN/mm Calcul de la raideur théorique de la poutre : A partir de la même relation précédente on calculera K thé. Kthé = 2,6 kN/mm

2.5.3 Poutre N°3 :ALLIAGE LEGER sur chant 500mm

Charge en daN

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Flèche expérimentale en mm

N°1 0 0,220 0,450 0,670 0,905

N°2 0 0,210 0,421 0,635 0,865

Flèche

Erreur en %

Moyenne théorique en

N°3 0 0 0,195 0,208 0,400 0,424 0,610 0,638 0,820 0,863

mm

0 0,220 0,440 0,660 0,880

Alliage léger

N°1 0

N°2 0

N°3 0

0,000 2,273 1,515 2,841

4,545 11,364 4,318 9,091 3,788 7,576 1,705 6,818

y = 0,0107x

1,2 1 0,8

Flèche en 0,6 [[mm] 0,4

série3 Linéaire (série3)

0,2 0 0

50

100

150

Charge en [daN]


16


2.5.3 Poutre N°4 :ACIER LEGER :sur chant.400 Charge en daN

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Flèche expérimentale Flèche en mm Moyenne théorique

N°1 0 0,130 0,225 0,378 0,510 0,630 0,725

N°2 0 0,195 0,410 0,605 0,740 0,850 1,000

N°3 0 0 0,165 0,163 0,340 0,325 0,550 0,511 0,690 0,647 0,775 0,752 1,000 0,908

en mm

0 0,113 0,226 0,339 0,451 0,564 0,677

Erreur en %

N°1 0

N°2 0

N°3 0

15,04 0,44 11,50 13,08 11,70 7,09

72,57 81,42 78,47 64,08 50,71 47,71

46,02 50,44 62,24 52,99 37,41 47,71

17


Alliage sur chant 400 y = 0,0078x

1,4 1,2 1

Flèche 0,8 en[mm] 0,6

série4

0,4

Linéaire (série4)

0,2 0 0

50

100

150

200


18


Chapitre 3

Déformation dans une structure

3.1 Introduction On s’intéresse { la structure suivante :

FIGURE 3.1 : Schéma du treillis Il s’agit d’un treillis en flexion sur deux appuis. La structure est de type fermette, avec

les caractéristiques suivantes : -

Matériau : acier module de Young : coefficient de Poisson section des barres :

  

Les barres sont équipées de cinq paires de jauges de déformation de facteur de jauge



Les objectifs de cette manipulation sont :  



Mettre en évidence des déformations infiniment petites, Vérifier les déformations des barres constituant une structure sollicitée en flexion, Vérifier les déplacements de points de la structure sollicitée en flexion,


19



Comparer les mesures expérimentales avec un calcul théorique.

3.2 Principe des jauges de déformation La mesure des déformations avec un pont d’extensométrie et des jauges de déformations est en fait une mesure de variation relative de résistance d’un conducteur

ohmique.

Les jauges collées sur les structures sont des circuits résistifs de résistance définis par :

Avec :

                  

Pour un conducteur de section rectangulaire de largeur a et d’épaisseur b, La différentiation de l’équation de R donne :



        

Si ce conducteur est soumis à un champ de contrainte uniforme parallèle à sa longueur L, les déformations dans sa sections sont reliées à sa déformation longitudinale  par le coefficient de Poisson :

      

 

L’observation montre que la résistivité d’un matériau est fonction de sa dilatation

volumique

  la loi de BRIDGMAN exprime cette variation par :

                      

Avec :



.

La variation relative de la résistance s’exprime donc finalement par : 








20

Avec :

     

3.3 Mesure des variations de résistance des jauges de déformations : les variations de résistance de jauges de déformations soumises à des déformations sont donc assez faibles . La mesure de cette variation peut se faire par une mesure de tension de déséquilibre d’un pond de quatre résistances de valeurs très voisines.

Le schéma de principe suivant se compose : 

    

D’un pont de deux paires de résistances de

valeurs . Les quartes résistances sont des jauges de déformations. 

D’une alimentation continue de tension V

entre les point A et B. 

D’un microvoltmètre mesurant le

déséquilibre e entre les deux points diagonaux C et D du pont.

FIGURE 1 : Pont de wheatston L’application de la loi d’Ohm donne le déséquilibre entre les points C et D.

   

Si on considère des variations faibles autour de leurs résistances nominales, la variation du déséquilibre s’exprime pour des facteurs de jauges égaux par :

                


21

OBJECTIFS :

La structure étudiée (Figure .2) est un treillis en flexion sur deux appuis. La structure est de type fermette, en acier (Module de Young E = 210 GPa, coefficient de Poisson  constituée de barres de section 2.5*15mm, longueur 560 mm équipée de 5 parties de jauges de déformation de facteur de jauge



Les buts de cette manipulation sont :  

 

  

Mettre en évidence des déformations infiniment petites Vérifier les déformations des barres constituant une structure sollicitée en flexion Vérifier les déplacements de points de la structure sollicitée en flexion Comparer les mesures expérimentales avec un calcul théorique.

3.4 Etude théorique : Le relevé des dimension sur le dessin de la fermette nous permet de tracer le schéma suivant :

3.4.1 Détermination des actions extérieures : Prenons comme système d’étude le treillis tout entier. Les torseurs aux appuis s’écrivent :

En A (articulation) :

En B (appuis simple) :

           

En M (effort appliqué) :

        


22

Le principe fondamental de la statique (PFS) s’écrit :  

    

En résultante : En moments (en A) :

Par conséquent (figure 3.4),

,

       

FIGURE 3.4 : Applications du PFS D’où le treillis est isostatique extérieurement.

3.4.3 Détermination des actions intérieurs : On a dans notre treillis, l’équation d’hyperstaticité intérieur :

Avec :

  



est vérifiée.

Donc le système est intérieurement isostatique.

le système est parfaitement symétrique. On se limitera logiquement à une partie (la partie gauche dans notre cas). Equation d’équilibre :

   

au point A :




23

                       

au point B :

au point D : au point

au point C :

avec :

La résolution du système obtenu donne les résultats suivants :

                  

En prenant les valeurs absolues des résultats ci-dessus, et tenant compte de on trouve :

   

       24


3.5 Manipulations 3.5.1 Mesure de la flèche



Les expériences portent sur la lecture de la flèche au milieu de la fermette, pour différentes valeurs de la charge appliquée. La valeur de la flèche correspond à la valeur du déplacement de la pige de chargement. Les quatre séries de mesures effectuées sont regroupées dans le tableau, pour des incréments de 200N de la charge appliquée.

F [dAn]











0

0

0

0

0

0

20

-62,5

53

32,5

-35,5

-15

40

-123

100

62,5

-37,5

-30,5

60

-187,5

148

90

-63

-60

80

-256

192

115,5

-90

-85

100

-320

239

144

-113

-109

120

-387

284

169

-139,5

-135

140

-457

327

195

-164

-157,5

160

-522

370

220

-188

-184

Tableau de déformation : essaie 1

Flèche de l’essaie 1


25

F [dAn]











0

0

0

0

0

0

20

-70

47,5

22

-30

-58

40

-138

89

48

-57

-55

60

-205

135

74

-84

-80

80

274

179

95

-109

-105

100

-344

222

125

-134

-132

120

-410

265

150

-159

-159

140

-480

309

175

-185

-177

160

-535

360

209

-205

-201

Tableau de déformation : essaie 2

FLECHE 2 1,4 1,2 1 0,8 FLECHE 2

0,6

Linéaire (FLECHE 2)

0,4 0,2 0 0

50

100

150

200

Flèche : essaie 2

3.5.2 Mesure des déformations des poutres: Le banc d’extensométrie permet de connaître la valeur des déformations pour chacune des poutres sur lesquelles sont fixées des jauges de déformation. L’indicateur numérique donne une valeur qui est égale au double des déformations  des poutres chargées (puisqu’on utilise des paires de jauges). Il suffit donc de diviser

par deux pour obtenir la valeur de . Les différents résultats expérimentaux sont regroupés dans les tableaux, tandis que les valeurs théoriques, elles sont obtenues à partir de la loi de HOOKE, q ui s’écrit : Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tanger | TP résistance des matériaux

26

 

  

          

Donc : avec : le module d’Young Par conséquent, on a la relation suivante : 

 

Avec : dessus :

(MPa) où

et N est donné par le tableau ci-

Table 3.3 : Effort normaux N dans chaque poutre (en fonction de F) On peut donc en déduire les valeurs théoriques de la déformation



3.5.3 : Détermination de la raideur : Déterminons maintenant la raideur expérimentale



         

, définie par :

A partir du graphique de la figure 3.9, on peut déterminer le coefficient directeur  est sensiblement proche d’une droite, . En effet, le nuage de points nous pouvons donc effectuer une régression linéairement pour charge série de mesures (fig. 3.10), et en déduire quatre valeurs expérimentales pour le coefficient directeur. On en déduira alors une valeur moyenne qui servira pour le calcul de la raideur, donnée par :

 

FIGURE 3.10 : Régression linéaires avec coefficients de détermination (R²) Sur le graphique de la figure 3.10, on lit les différentes valeurs des coefficients directeurs des droites de régression. Leur valeur moyenne vaut :

           

On en déduit la raideur expérimentalement :


27

Deuxième partie Utilisation de RDM 6

28


Chapitre 4

Flexion 4.1

Poutre en T

Soit la poutre modélisée comme suit :

Figure 4.1 : Modèle de la poutre la poutre droite de longueur L=1 m est encastrée dans 1. la section droite est un T à ailes égales, telles que t = 10 mm. Le module de Young du matériau vaut E = 200 000 MPa. La poutre porte sur toute sa longueur une charge uniformément répartie d’intensité p = 1 000 daN/M = 10 000 N/m.

4.1.1

Etude théorique

Action mécanique en 1

En 1, on a un encastrement : l’application du PFS { la poutre donne, en projection sur x :

En projection sur y :

   


29

Equation des moments par rapport à 1 :

       

Par conséquent, l’action mécanique en 1 peut être modélisée par le torseur suivant :

Position du centre de gravité

On cale la figure dans le premier quadrant (pour que toutes les abscisses et les ordonnées soient positives).

FIGURE 4.3 : Calcul du centre de gravité : section calée dans le premier quadrant

  

Soit G le centre de gravité de la section S et soient ses coordonnées. Soient également les coordonnées du centre de gravité Gi de la surface Si. G est défini par la relation :

  

                                       On en déduit que

, puis que

Finalement,

Et il suffit maintenant de projeter selon x et y :


30

Or

                        par symétrie,

et

.

Enfin,

(ce que l’on aurait pu trouver directement par symétrie de la section).

De même,

Soit :

    

Calcul du moment quadratique

Soient les axes définis à la figure 4.4

FIGURE 4.4 : Calcul du moment quadratique : axes de calcul Pour la surface 1, on a, par rapport { l’axe 1 :

       


31

                                     

Par conséquent, par rapport { l’axe G , on a :

Pour la surface 2, on a, par rapport { l’axe 2 :

Par conséquent, par rapport { l’axe G , on a :

Finalement :

Calcul de la contrainte normale

Effectuons une couple en un point G d’abscisse x et étudions l’équilibre de la partie

gauche : On obtient, en résultantes :

                   

Et en moments par rapport à G :

On en déduit :

D’où le torseur de cohésion :

    

Ce qui permet de tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant


32

On est maintenant en mesure de calculer la contrainte normale :

Pour la section 1

                 

Pour la fibre supérieure

, on a donc :

on a :

Effort tranchant

Moment fléchissant


33

Pour la fibre inférieure

              

Calcul des déplacements Pour déterminer les déplacements { l’extrémité droite de la poutre, on doit d’abord calculer l’expression générale de la déformée, donnée par :

               

Par intégrations successives :

Les conditions aux limites s’écrivent :

                                                         

Soit finalement,

Et, pour


34

Application numérique :

4.1.2

   

Validation par RDM6

Dans cette partie , on se propose de comparer les résultats théoriques aux résultats numérique obtenus par le logiciel RDM6. Contraintes normales :

Poutre droite de section droite en forme de T , subissant une contrainte normal.

Fig. 4.7.1 Contraintes normales

Comme on le voit sur la figure, au niveau de la section 1, on a pour la fibre inférieure σ1;inf. = -212.10 MPa , et pour la fibre supérieure σ1;sup = 90.90 MPa . Déplacement

(a) Flèche :

35


(b) Pente :

Figure 4.8: Flèche et pente – RDM6

La figure 4.8a donne la flèche maximale v( x = L) = -3; 75mm, et la figure 4.8b la pente maximale v ( x = L) = -5:10−3 rad . ′



Tous les résultats précédents sont très proches des valeurs théoriques obtenues au paragraphe 4.1.1.

4.2 Optimisation d’une poutre en équilibre hyperstatique 4.2.1 Etude Théorique :

36


a- Les actions mécaniques en A, B et C : Etude statique : Les actions mécaniques extérieures exercées sur la poutre sont :

                              

En A, En B,

En C,

{τA} = A

{τB} = B

{τC} = C

Et en D {τD} = D

=

A

=A

=A

En appliquant le PFS on a :

A

A

A

A

Ainsi :

On a deux équations et 3 inconnues, par conséquent le système est hyperstatique d’ordre 1 Appliquons alors le principe de superposition, décomposons le système en deux systèmes (S1) et (S2) Où

37


Et

D’après le formulaire au point B on a :

vB1=

    

=

 

et

VB2 =

                     

Finalement pour le système (S), la déformée au point B est la suivante :

                                                         VB= VB2+vB1

=

Or, l’appui au point B impose VB =0

Ainsi

par conséquent,

Revenons à l’équation fournie par le PFS :

ainsi

ainsi


38

Finalement les actions mécaniques s’écrivent :

En A,

{τA} = A

En B,

En C,



                

{τB} = B



{τC} = C

=A

=B

=

4.2.2 Simulation numérique a- sur RDM 6 la poutre sera modélisée en prenant comme section un IPN80 qui les caractéristiques suivantes : Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tanger | TP résistance des matériaux

39

Remarque : la liaison appui double sera modélisée par une appui simple puisqu’elle

donne les même résultats, et aussi pour que nous puissions faire sa modélisation par le logiciel. b- Comparaison des résultats avec celles obtenus en calcul théorique : Actions mécaniques : Efforts intérieurs

-

La valeur maximale de

l’effort

Tranchant vaut : 

  =2,969.

N

40


-

On trouve la valeur maximale du Moment Fléchissant vaut : 

  =3 ,047.

N.m

Les valeurs obtenues par la simulation RDM6 correspondent très bien avec celles obtenues en calcul théorique . Optimisation - cahier de charges

Comme cité précédemment, le cahier de charges impose : – une contrainte normale inférieure à 90 MPa, – une fèche maximale de 1 mm. Pour notre poutre modélisée avec un , le logiciel donne une contrainte maximale σmax = 2,969. MPa et une Fèche maximale ymax =6, 838 mm. Ces valeurs ne sont pas en accord avec le cahier de charges. Pour optimiser la structure, on a recours au





menu “Optimiser”.

4.3 Autres exemples 4.3.1 Exemple 1

41


La section est rectangulaire, de base B et de hauteur H. La poutre est encastrée aux extrémités (sections1 et 6) et repose sur trois appuis simples (en 2,3 et 4). Elle est soumise { une charge concentrée d’intensité P (en 5) ainsi qu’{ une charge répartie de

densité linéique p (entre 1 et 3). b- Déplacements nodaux

La modélisation avec RDM 6 permet de trouver les déplacements nodaux (Fèche et pente), en cliquant avec le bo uton droit de la souris sur le noeud auquel on s’intéresse (ou en utilisant Fichier ! Éditer). Ainsi, on obtient les résultats suivants : Noeud Flèche Pente 1 2 3 4 5 6

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.000079 0.000000

0.000000 -0.000129 0.000514 -0.000341 0.000085 0.000000

OU PAR EXEMPLE CLICK DROIT SUR LE NOEUD

c- Actions de liaison



f max = v (1,714) = 7, 56283 . f min = v (1,080) = -1, 27185. +-------------------------------------+

| Action(s) de liaison [ daN daN.m ] | +-------------------------------------+ Noeud Noeud Noeud Noeud Noeud

1 2 3 4 6

RY = RY = RY = RY = RY =

mm mm

671.65 MZ = 75.05 1513.39 653.13 136.61 325.22 MZ = -61.30

d- Le moment de flexion maximal, et indication de son lieu :

LA valeur maximale vaut : 94,9 daN.m Il est positionné au nœud 2.

42


4.3.2 EXEMPLE 2 : On considère la poutre continue de section droite constante, représentée sur la figure suivante :

La section droite est en I à ailes égales de dimensions : – hauteur H=120 mm, – base L=100mm, – largeur de l’âme tw = 5 mm, – largeur des ailes tf = 6 mm. Après déformation notre poutre aura l’air suivant :

Figure :déformation

Déterminons les déplacements nodaux (rotation et translation ) des différents nœuds


43

Déplacements nodaux :

La modélisation avec RDM 6 permet de trouver les déplacements nodaux (flèche et pente), en cliquant avec le bouton droit de la souris sur le nœud auquel on s’intéresse (ou en utilisant Fichier ! Éditer). Ainsi, on obtient les résultats suivants : Au nœud 1 :

Au nœud 2 :

Au nœud 3 :

Au nœud 4 :

Au nœud 5 :

44

Les diagrammes suivant représentent respectivement l’effort tranchant ainsi que le moment fléchissant : Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tanger | TP résistance des matériaux

Figure1 : Effort tranchant

Moment fléchissant maximal : Le moment flé chissant maximal est situé au point d’abscisse 4.20m et vaut 4.810E+03 N.m.

Figure 2 : moment fléchissant

45


Chapitre 5

Ossature Plane : 5.1 Schémat : L’ossature plane représentée sur la figure est constituée de 3 poutres droites soudées entre elles. L’ensemble est lié à l’extérieur par un appui simple en 1 et une articulation en 4.

5.2-Etude théorique : Determination des efforts au niveau des liaisons: Application du PFS exprimé au point numero 1 on trouve :

                +

+

+

+

+

= {0}

D ou on peut tirer que: Avec

2000 ;

=2000

;

=1000

;q=1000 .


46

 



=0

=2321 daN daN

=4679 daN

Torseur des efforts intérieurs Pour

0
     =

5.3simulation sur Rdm6 : Effort normal :

Moment flechissant :

47


On constate que la sumilation sur RDM 6 donne des resultat proches a celles obtenus par calcul théorique Deformée :

5.4 Autres exemples : (ici nous essayons tout simplement la simulation des différents montages sur RDM 6 et nous essayons de les examiner)

48


Chapitre 6

Ossature Spatiale 6.1. Présentation : L’ossature spatiale représentée sur la figure est constituée de poutres dont les sections

droites sont des rectangles pleins. Schéma

on prend comme cordonnées nodales : Nœud x(m)

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 3 3

y(m) 0 0 8 11 8 8

z(m) 0 4 4 4 4 0

Les caractéristiques élastiques du matériau sont : E=10000MPa et

.

L’énergie de déformation due { l’effort tranchant est prise en compte (modèle de

Timoshenko). Les sections 1 et 6sont encastrées. Ecole Nationale des Sciences Appliquées de Tanger | TP résistance des matériaux

49

Le nœud 4 porte une force de -1000(daN) suivant la direction (oz).

6.2. Modélisation et calcul : Modélisation avec RDM ossature spatiale

Détermination des états des nœuds :

50


Element 1-2 1-3 4-3 5-3 5-6

methode RDMossature RDMossature RDMossature RDMossature RDMossature

Elemen methode t 1-2 RDMossature 1-3 RDMossature 4-3 RDMossature 5-3 RDMossature 5-6 RDMossature

N orig 43,3

N extr 43,3

T Yorig -10,2

T Y extr -10,2

T Zorig -62,2

TZ extr -62,2

-10,2

-10,2

-62,2

-62,2

-43,3

-43,3

0

0

0

0

-1000

-1000

-62,2

-62,2

10,2

10,2

1043,3

1043,3

-1043,3

-1043,3

-10,2

-10,2

62,2

62,2

Mx M MfYori MfY Mf Mf Z Mf Mf z orig Xextr g extr Zorig extr Ymax max 254,3 254,3 -873,4 -1122 - -647,9 1122 688,6 688,6 - -688,6 - -254,3 242,9 1035,3 254,3 873,4 873,4 1035,3 0 0 0 -3000 0 0 3000 0 1964, 7 212,3

1964, 7 212,3

-2257

873,4

-212,3

-242,9

2008

2256, 6

2005, 1964,7 5

2256, 6 2256, 6

242,9 2005, 5


51

Rapport Tp RDM

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