[Rdm][TD]Resistance_des_materiaux.pdf

CPGE TSI - Sciences de l’Ingénieur

TSI2

Résistance des matériaux

TD

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétences visées: B2-10, B2-14, B2-15, C2-25, C2-26, C2-27, C2-28

v1.2

Lycée Richelieu – 64, rue George Sand – 92500 Rueil-Malmaison - Académie de Versailles

Contenu : TD 1 TD de transfert : TD TD TD TD TD

1a 1b 1c 1d 1e

Tracé de diagrammes des efforts intérieurs Contrainte de traction/compression Contrainte de flexion Contrainte de torsion Problèmes hyperstatiques

TD 2 Élingue TD 3 Potence (pour pots de fleur !) TD 4 Palettiseur TD 5 Aérogénérateur TD 6 Bouteilles de plongée

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Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison

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TSI2


TD 1a

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétence visée: C2-25

v1.0


TD Transfert Tracés de diagrammes des efforts intérieurs Travail demandé Pour l’ensemble des poutres suivantes : Question 1

Déterminer le torseur de cohésion.

Question 2

Identifier les sollicitations auxquelles est soumise la poutre.

Question 3

Tracer les diagrammes des efforts intérieurs adaptés.

1

Exercice 1 y Q x

O

A

L

2

Exercice 2 y

O

F

2F

A

B

x

a b



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CPGE TSI2 - S2I

3

Tracés de diagrammes des efforts intérieurs

TD

Exercice 3 y p0

x

O

A

L

4

Exercice 4 y

P B

A

O

a

x

L

5

Exercice 5 y p0

B

O

a

A

x

L

6

Exercice 6 y p0

A

O

B a/

2

a/ 2



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C a/ 2

x


TSI2


TD 1b

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétence visée: B2-15

v1.1


TD Transfert Contrainte de traction/compression 1

Présentation

Une machine de traction (ou machine d’essais mécaniques ou encore machine d’essais universelle) est un appareil de laboratoire utilisé pour réaliser divers essais mécaniques, en général normalisés, sur des éprouvettes ou des pièces de divers matériaux.

2

Travail demandé

Une barre prismatique de section rectangulaire, 25 mm×50 mm, et de longueur l = 35 m est soumise à une traction axiale de 90 kN . On observe un allongement de 1, 2 cm. Question 1

Calculer la contrainte axiale.

Question 2

Calculer l’allongement relatif.

Question 3

Déterminer la valeur du module d’Young.


D’après: A. MEURDEFROID - A. CHABERT - TSI - Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison


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TSI2


TD 1c

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétences visées: B2-14 B2-15, C2-25, C2-26, C2-28

v1.3


TD Transfert Contrainte de flexion 1

Présentation y

F B

O

x

A

2

Données • Section rectangulaire de base b = 10 mm × h = 50 mm • L = 2 m,

F = 500N ,

E = 210 000 MPa,

Re = 700 N.mm−2

• Coefficient de sécurité : s = 2 −−→ − • OB = L→ x,

−−→ L → x OA = − 2

• Par une étude préalable, on a déterminé les efforts de liaison : YO = YB =

3

F 2

Travail demandé

Question 1

Justifier les efforts de liaison.

Question 2

Déterminer l’état de sollicitation de la poutre.

Question 3

Vérifier la condition de résistance.

Question 4

Représenter l’allure de la déformée. Placer dessus les informations intéressantes.

Question 5

Déterminer l’équation de la déformée.

Question 6

En déduire la flèche maximale de la poutre.




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TSI2


TD 1d

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétences visées: B2-15, C2-25, C2-26

v1.2


TD Transfert Contrainte de torsion 1

Présentation Le schéma ci-dessous représente la la jauge de déformation présente sur la DAE : y C

C A

B

x

L

La jauge de déformation peut être assimilée à une poutre. On la considère encastrée en A et soumise −−−−−−−−−−−→ − à un couple extérieur en B tel que : MB {Text→poutre } = C → x. Données • C = 9 N.m, • D = 10 mm, • Pour l’acier :

2

L = 100 mm, E = 210 000 MPa,

Re = 800 MPa,

ν = 0, 3

Travail demandé

Question 1

Déterminer la contrainte tangentielle maximale au sein de la poutre.

Question 2 s = 3.

Conclure quant au comportement du matériau, si on considère un coefficient de sécurité

Question 3

Déterminer le décalage angulaire entre A et B.




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TSI2


TD 1e

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétences visées: B2-14 B2-15, C2-25, C2-26, C2-28

v1.3


TD Transfert Problèmes hyperstatiques 1

Problème 1 → − − − • F = −F → y = −2000→ y y

• Poutre IPE 80 F

• Iz = 801 400 mm4 x

O L

L

• E = 200 000 MPa • G = 80 000 MPa • L = 1m

Question 1

Déterminer l’inconnue hyperstatique par la méthode de superposition.

Question 2

Donner la valeur de la flèche au point d’application de l’effort.

2

Problème 2 y

• p = 0,5 N.m−1 FA

p(x) = p0 = cste

• h = 45 mm x

O L

Question 3 Déterminer l’expression de la contrainte et de la déformée

L

Résultat : 1 p0 (L − x)4 1 p0 L3 x 1 p0 L4 3 p0 L v(x) = + − − 24 EyIz 6 EyIz 24 EyIz 8

1 2 2 Lx

− 16 x3

EyIz




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TSI2


TD 2

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétences visées: B2-15, C2-25, C2-26, C2-27

v1.2


Élingue 1

Présentation

Le système étudié est un système de levage à deux élingues (accessoires de levage souple en cordage ou en sangle, en câble métallique ou en chaîne, généralement terminé par des composants métalliques tels que maille, crochets, anneaux, manilles.) On dispose symétriquement des sangles séparées d’une distance a. Chaque sangle comporte un anneau sur lequel on ancre les crochets de deux élingues de longueur l = 4 m chacune. Le câble de diamètre D est constitué de six torons de 19 fils de diamètre d = 0,8 mm chacun et d’une âme en textile dont on néglige la résistance mécanique. La limite élastique du câble Re = 1770 N.mm−2 . On considèrera un coefficient de sécurité s = 6.

Modèle statique retenu

Hypothèses • Les effets dynamiques sont négligés • Le poids propre des élingues est négligé

Objectif On souhaite dimensionner les câbles des élingues pour soulever une poutre en béton armée de 6 m de longueur et dont la masse est de 2 tonnes



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Élingue

TD

Données complémentaires

2

Travail demandé

Question 1

Déterminer l’effort normal dans le câble dans le cas le plus défavorable.

Question 2

Choisir le câble à partir du tableau

Question 3

Calculer le coefficient de sécurité effectif du câble.




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TSI2


TD 3

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétences visées: B2-14, B2-15, C2-25, C2-28

v1.2


Potence (pour pots de fleurs !) 1

Présentation On s’intéresse à la structure suivante qui permet de maintenir un pot de fleurs de façon « élégante »...

y F Modélisation

x

O L

A

Objectif On souhaite dimensionner le bras afin de garantir l’utilisation du moins de matière possible.

2

Travail demandé

Question 1

Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans toute section droite de la poutre.

Question 2 Déterminer la contrainte normale maximale dans le cas où la poutre est cylindrique de rayon r et dans le cas où elle est carrée de côté a.

On souhaite optimiser la poutre vis-à-vis des sollicitations. Question 3

Déterminer la relation entre r et a si les deux poutres sont de même masse.



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Potence (pour pots de fleurs !)

Question 4

Déterminer la poutre qui donne la contrainte normale la plus faible.

Question 5

Déterminer la déformée de la poutre v(x).

TD

On souhaite, pour alléger la structure et économiser de la matière, réaliser une poutre où la contrainte maximale σmax est la même tout le long de cette poutre. Pour cela, on va faire évoluer h en fonction de x. Question 6

Déterminer h(x). Tracer l’allure de cette fonction




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TSI2


TD 4


v1.0


Palettiseur 1

Présentation

Ce palettiseur est installé dans une laiterie sur une chaîne de conditionnement de lait qui comprend (voir figure page suivante) : • Les réservoirs de stockage, • La stérilisation UHT (Ultra Haute Température), • Le conditionnement en briques (2 unités à 6000 briques/heure), • Le suremballage par lot de 6 briques (2 unités), • La palettisation par 11 lots (2 unités se partagent un distributeur de feuilles), • Le houssage des palettes, • Les aires de stockage des palettes.

Hormis le stockage des palettes, toutes les opérations sont automatisées. Le châssis élévateur permet d’amener le plateau de dépose au niveau requis pour la dépose de la couche et assure la bonne formation de la palette grâce aux conformateurs.

Objectif On souhaite vérifier la conception d’une liaison glissière par analyse des déformations.



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Palettiseur

TD

L’étude proposée porte sur l’arbre de transmission du système du châssis-élévateur (dessin ci-dessous en vue de dessus). L’arbre qui traverse le réducteur à arbre creux est guidé en rotation par rapport au bâti par deux paliers à roulement. A chacune de ses extrémités est fixé un pignon diamètre 200 sur lequel s’enroule une chaîne. A l’un des brins est attaché le châssis élévateur, à l’autre un contrepoids pour équilibrer la charge. Le motoréducteur-frein (64 kg) a été monté près d’un palier pour des raisons pratiques.

Lors de la montée du châssis, l’arbre de transmission se tord provoquant la mise en biais du châssis. L’objectif est d’évaluer ∆h, la différence de hauteur entre les deux côtés du châssis au droit des chaînes.

Hypothèses • Les chaînes de mêmes caractéristiques sont chargées identiquement (symétrie des masses), • A vide (sans la couche de briques), les contrepoids équilibrent le poids du châssis élévateur.

Données • L’arbre de diamètre 50 mm est en acier E335 (Re = 335 MPa, Rg = 200 MPa, G = 8,104 MPa). • Les caractéristiques du motoréducteur sont : Couple nominal : Cn = 530 Nm Couple maximal : Cmax = 1500 Nm Puissance nominale : Pn = 1500 W Vitesse de sortie nominale : Nn = 27 tr/min



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E = 2,105 MPa,

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2

Palettiseur

TD

Travail demandé

Question 1 Justifier la nécessité de déterminer ∆h, la différence de hauteur entre les deux côtés du châssis au droit des chaînes.

Étude 1 Le châssis immobile (frein serré) reçoit une couche de 144 briques de lait c’est à dire une charge de 1500 N également répartie sur chaque chaîne. Question 2

Proposer la figure type poutre avec l’ensemble des informations dessus.

Question 3

Établir le diagramme de la variation du moment de torsion M t1 (x) le long de AB.

Question 4

Déterminer θ1 l’angle unitaire de torsion pour chaque tronçon.

Question 5

Calculer ∆θT1 le décalage angulaire des pignons ; en déduire ∆h1 .

Étude 2 Le motoréducteur entraîne le châssis chargé vers le haut en développant son couple maximal (pendant la phase d’accélération). En négligeant les inerties du réducteur et de l’arbre : Question 6

Établir M t2 (x) le long de AB.

Question 7

Déterminer θ2 pour chaque tronçon.

Question 8

Calculer ∆θT2 ; en déduire ∆h2 .

Question 9

Donner ∆hmaxi

− − Le guidage du châssis, dans le plan (A, → x ,→ z ) est obtenu par 4 galets, en M , N , O et P . On a les données suivantes : M P = H = 600 mm et M N = L = 180 mm. − Au montage, un jeu de 0,7 à 1 mm (suivant l’axe → x ) est ménagé entre les galets et les glissières. Question 10

La présence de ∆h provoque-t-elle l’écartement des glissières ?




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TSI2


TD 5


v1.1


Aérogénérateur 1

Présentation

L’étude porte sur un aérogénérateur dont une photographie est donnée ci-contre. La fabrication fait appel à des matériaux et à des procédés classiques de l’industrie mécanique et électrotechnique. Elle ne pose donc pas de problèmes particuliers vis-à-vis de l’environnement. Le choix d’un site pour l’installation résulte de l’optimisation de plusieurs paramètres : • Le gisement éolien doit être bon : une vitesse moyenne annuelle de 6 m.s−1 à la hauteur de l’axe de l’hélice est un minimum pour atteindre une rentabilité économique suffisante des projets ; • Les alentours doivent être dégagés ; pas de bâtiment ni d’arbres à plusieurs centaines de mètres ; • Les normes de bruit maximal des aérogénérateurs pour le voisinage doivent être respectées (45 db à 200 m par exemple au Danemark). Un aérogénérateur comprend : • Un mât haubané ; • Une nacelle orientable par rapport au mât supportant la génératrice électrique, • Un safran assurant l’orientation dans le vent de l’aérogénérateur ; • Une hélice comportant l’ogive et les deux pales. La nacelle fait l’objet d’une liaison pivot d’axe vertical par rapport au mât. L’hélice fait l’objet d’une liaison pivot d’axe horizontal par rapport à la nacelle. En vue d’assurer une vitesse de rotation de l’hélice, donc de la génératrice, s2i.pinault-bigeard.com


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Aérogénérateur

TD

presque indépendant des humeurs du vent, il existe un mécanisme de régulation. Ce mécanisme assure l’orientation de l’angle d’incidence de l’hélice dans le lit du vent. Chaque pale fait ainsi l’objet d’une liaison pivot avec l’ogive, d’axe perpendiculaire à l’axe de rotation de l’hélice. Le mécanisme de l’aérogénérateur, schématisé sur la figure ci-dessus, est constitué de : • Un rotor 1 appelé aussi « hélice » en liaison pivot d’axe horizontal par rapport à la nacelle 0 ; • Deux ensembles « pale-barre de régulation ». Seul un des deux ensembles est représenté, numéroté 2, désigné par le terme « ensemble pale », en liaison pivot par rapport au rotor (la barre de régulation n’apparaît pas sur la figure) ; • Un ensemble de ressorts pour chaque ensemble-pale, destiné à assurer le démarrage de l’aérogénérateur et sa régulation. Cet ensemble est schématisé par un ressort unique R. Dans toute l’étude, la nacelle sera supposé fixe par rapport au mât, ce qui permet de considérer comme galiléen tout repère lié à la nacelle. Objectif L’objectif de cette étude porte sur l’analyse des sollicitations appliquées à une pale en vue de son dimensionnement.

Modélisation La pale est modélisée par une poutre rectiligne de section rectangulaire constante (largeur b, hauteur h), de longueur L, encastrée à l’une de ses extrémités et libre à l’autre. Le matériau qui la constitue (bois) a pour masse volumique ρ et pour module d’Young E.

Hypothèses • Les seuls efforts pris en compte dans cette étude sont les efforts de traction dus aux effets d’inertie et les efforts de flexion dus à l’action du vent sur la pale. • L’effet de la pesanteur est négligé devant les autres actions mécaniques. • La disposition du repère lié à la pale et le paramétrage sont définis sur la figure ci-dessus. • On négligera dans la suite le rayon r1 (écart entre axe de rotation de l’hélice et encastrement de celle–ci sur le nez ; voir figure ci-dessous). s2i.pinault-bigeard.com


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2

Aérogénérateur

TD

Travail demandé

Étude de la pale en traction − Dans la modélisation utilisée, la pale tourne autour de l’axe (O, → z ). On cherche à déterminer l’expression de l’effort normal N (x) le long de la poutre du aux effets d’inertie. Question 1 Isoler un élément de pale de longueur infinitésimale dx situé entre deux sections de coupure d’abscisse x et x + dx et lui appliquer le principe fondamental de la dynamique. En déduire l’expression de l’effort normal N (x). Question 2 Montrer que l’on retrouve le même résultat en réalisant une coupure d’abscisse x dans la pale et en isolant la partie de droite. Question 3 Montrer que ce problème de dynamique est équivalent à un problème de statique dans −−→ − lequel serait soumise à une densité linéique de charge ayant pour expression p(x) = ρω 2 bhx.→ x.

Problème de dynamique

⇐ équivalent ⇒

Problème de statique

La pale est fixe par rapport au référentiel d’étude. Elle est soumise à une densité linéique d’effort appliquée à toute section droite d’abscisse x.

La pale est mobile en rotation autour de − l’axe (O, → z ). Elle tourne à la vitesse angulaire ω constante par rapport au bâti.

Question 4

Tracer le diagramme de N (x).

Question 5

Exprimer la contrainte de traction σx,traction,max . Dans quelle section est-elle atteinte ?

Question 6 Calculer numériquement la contrainte maximale de traction avec les données suivantes : ω = 10π rad.s−1 ; L = 2 m ; b = 150 mm ; h = 25 mm ; ρ = 1000 kg.m−3 Question 7 vaut 16 GPa.

Déterminer littéralement puis numériquement l’allongement de la pale sachant que E

Étude de la pale en flexion On néglige les déformations induites par l’effort tranchant devant celles de du moment fléchissant (hypothèse d’Euler-Bernoulli). L’action du vent sur la pale est modélisée par une charge répartie de la forme : − −−→ − − q(x) = q(x).→ y = K V 2 + (r1 + x)2 ω 2 .→ y ' K V 2 + x2 ω 2 .→ y avec K une constante aérodynamique et V la vitesse du vent par rapport au sol. s2i.pinault-bigeard.com


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Aérogénérateur

TD

Question 8 Déterminer le moment de flexion Mfz (x) en toute section droite de la pale. Tracer le diagramme correspondant. Question 9 Dans quelle section droite la contrainte normale maximale σx,flexion,max en flexion est atteinte ? Quelle est sa valeur ? Question 10

Calculer cette valeur avec K =

7 et V = 6 m.s−1 . 4π 2

Étude globale de la pale Question 11

Déduire des résultats précédents la contrainte normale maximale dans la pale.

Le bois constituant la pale possède une limite pratique à l’élongation de Rpe = 25 MPa. Question 12 La pale est-elle correctement dimensionnée ? Quelles solutions peuvent être envisagées pour résoudre ce problème ?




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TSI2


TD 6

Réf. Programme: S412-Comportement du solide déformable Compétences visées: B2-15, C2-25, C2-26

v1.0


Bouteilles de plongée 1

Compléments : les enveloppes minces

1.1

Définition et hypothèses

On regroupe sous le nom d’enveloppes minces les coques, les réservoirs ou tubes de formes diverses tels que leur épaisseur e soit très petite devant leur dimension longitudinale ou transversale. Ces enveloppes sont sollicitées par une différence de pression (P − p) entre le milieu interne et le milieu externe. Le calcul de résistance que nous nous proposons d’effectuer n’est valable que dans des zones éloignées des singularités de forme. Le rayon R de raccordement des parois doit être du même ordre de grandeur que les dimensions du réservoir R > 4l .

1.2

Exemple : bouteille de plongée

La bouteille de plongée est le réservoir qui renferme un gaz d’air comprimé. Les bouteilles peuvent également contenir d’autres mélanges respiratoires (Nitrox, Héliair, Hydrox, Trimix, Héliox, Hydreliox... etc). Les bouteilles d’utilisation courante sont : • en acier (35 Cr Mo 4) : les plus répandus et plus sensibles à la corrosion que celles en aluminium ; • en alliage d’aluminium (6351 - magnésium, silicium) : plus légères, durée de vie plus courte ; • en fibres de carbone sur âme métallique : réalisations encore peu répandues. s2i.pinault-bigeard.com


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Bouteilles de plongée

TD

Les bouteilles de plongée utilisées couramment, appelées « bloc » dans le langage des plongeurs, contiennent de 6, 8, 9, 10, 12, 15 à 18 litres en volume intérieur en eau On peut aussi trouver des bouteilles selon les années de fabrication ayant une pression de service de 150, 177, 200, 232 ou 300 bars pour le carbone pour une capacité intérieure de 6 à 18 litres en eau.

1.3

Fabrication

Il existe deux technologies : emboutissage sur plaques ou fluotournage sur tube acier ou alliage d’aluminium Les principaux fabriquant sont : Iwk, Roth (France), Faber, Manesmann (Allemagne).

1.3.1

A partir de plaques d’acier

Après inspection des plaques en acier, elles sont ensuite découpées puis embouties et filées (procédé dit IWKA).

1.3.2

A partir de tronçons d’acier

Fluotournage de l’ogive ou du col et finition. L’ogive est réalisée soit par fluotournage soit par forgeage et repoussage avec une molette avant usinage. Le tronçon d’acier est chauffé puis filé à chaud par une presse.

1.3.3

A partir de tubes d’acier

Les tubes, sans soudure, sont coupés à la bonne longueur avant d’être chauffés par induction puis mis en forme par fluotournage (ce procédé est dit ROTH du nom de la société qui l’a mis au point). Les blocs subissent ensuite un traitement thermique afin d’assurer une plus grande résistance du métal.



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TD

De par le procédé de mise au point, ces bouteilles ont un culot un peu plus épais, ce qui augmente leur poids de 1 à 2 kg par rapport aux autres types de bouteilles.

Objectif On souhaite déterminer l’épaisseur suffisante des parois de la bouteille pour garantir une bonne tenue à la pression.

2

Travail demandé

Question 1

A quelle(s) sollicitation(s) est soumise la bouteille de plongée ?

On supposera dans la suite du sujet que e D.

2.1

Contrainte transversale dans un tube sous pression Soit la partie cylindrique d’une bouteille de plongée de longueur l, le diamètre moyen Dmoy et d’épaisseur e. Question 2 Calculer la contrainte σ1 en fonction des valeurs géométriques et de la différence de pression.

2.2

Contrainte dans un réservoir sphérique Soit la partie sphérique de la bouteille de plongée de diamètre D et d’épaisseur e. Question 3 Calculer la contrainte σ2 en fonction des valeurs géométriques et de la différence de pression. s2i.pinault-bigeard.com


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2.3


TD

Contrainte dans un plan diamétral incluant les bouts sphériques Soit une bouteille de plongée de diamètre D, d’épaisseur e et de longueur l. Question 4 Calculer la contrainte σ2 en fonction des valeurs géométriques et de la différence de pression.

2.4

Bilan

Question 5 Comparer les trois valeurs de contrainte. Donner la relation permettant de calculer l’épaisseur de la bouteille.

2.5

Remarque

Le calcul des réservoirs pressurisés est soumis à une réglementation européenne qui n’apparaît pas dans les calculs précédents. Le CODAP (Code Français de Construction des Appareils à Pression non soumis à la flamme) donne une relation plus affinée qui tient compte des paramètres liés aux techniques de fabrication et aux contraintes de service. L’épaisseur minimum nécessaire d’une enveloppe cylindrique (virole) d’épaisseur uniforme est donnée par la formule : P De e= 2f z + P Avec : • P : pression intérieure, • De : diamètre extérieur, • f : contrainte nominale de calcul, • z : coefficient de soudure (0,7 à 1).




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