R.D.M.
R
ésistance des Matériaux
1 – BUT DE LA R.d.M.
La résistance des matériaux est la mécanique des solides déformables. Elle permet de : Caractériser les matériaux ; Dimensionner une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ; Déterminer la déformation d’une pièce à partir des efforts qu’elle supporte ; Déterminer les efforts maximums que peut supporter une pièce (ex : pont roulant).
2 - HYPOTHESES DE LA R.d.M.
2 1 - Sur le matériau
Il doit être : Continu (arrangement de sa structure cristalline continue ) ; Homogène (structure identique en tout point) ; Isotrope (mêmes propriétés mécaniques en un point de la structure dans toute les directions).
2 2 - Sur la géométrie des pièces
On étudiera en RdM uniquement des solides ayant la forme f orme d’une poutres : La ligne moyenne d’une poutre est le lieu des centre de gravité ou centres de surface ou barycentres A, ...G, ...B des sections successives ; Les sections droites sont des sections planes et perpendiculaires à la ligne moyenne de la poutre ; Les sections droites doivent rester constante ou ne varier que très progressivement entre A et B. Section droite plane B A
Ligne moyenne
G
2 3 - Sur les charges appliquées sur les pièces
Plan de symétrie
Les charges supportées par la poutre sont contenues dans le plan de symétrie ; Elles pourront être concentrées ou réparties ; Les résultats obtenus en RDM ne seront valables qu’a une distance suffisante des points d’application d’application des forces (hypothèse de Barré de Saint-Venant).
2.4 - Sur les déformations Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne (hypothèse de Navier Bernoulli). Les déformations restent ffaibles aibles comparativement comparativement aux dimensions de la poutre. RDM Cours
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3 - TORSEUR DE COHÉSION DANS UNE SECTION PLANE Les efforts intérieurs ou de cohésion sont les efforts qui agissent à l’intérieur des poutres et qui assurent l’équilibre ou la cohésion de la structure sous l’action des charges extérieures exercées. La connaissance des ces efforts de cohésion nous renseignera sur l’état de sollicitation de la poutre étudiée, et permettra d’évaluer sa résistance aux efforts ef forts qui lui sont appliqués.
3.1 – Principe de calcul Pour mettre en évidence les efforts transmis par la matière au niveau d’une section droite d’une poutre, nous effectuons une coupure imaginaire par un plan perpendiculaire perpendiculaire à la fibre moyenne. Ce plan définit une section S de barycentre G qui divise la poutre en deux tronçons fictifs ( AG et GB ). ). Chaque tronçon est en équilibre et l’application du Principe Fondamental de la statique, à l’un ou à l’autre, permet d’identifier et de calculer les efforts intérieurs exercés entre les deux tronçons au niveau de la coupure. y
A
Plan de coupe imaginaire
→ F 1
y
→ F 2
B
2
1
x
→
F 1
→ → M G 2 / 1
1
A
x
G
G z
z
→ → F 3
Les actions mécaniques entre les deux tronçons sont des efforts intérieurs à la poutre que l’on peut modéliser par un torseur appelé Torseur de Cohésion {T coh} et dont les éléments de réduction au point G centre de surface sont : →
une résultante R , et un moment
R2 / 1
→ F 3
→ F 4
x
→
R1 / 2
→ résultant M G
→ R {T coh} = → → M G G
→
F 2
y
G
2
B
z → →
M G 1 / 2
→
F 3
Deux conventions d’écriture sont possibles.
Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (2) sur la partie (1) ; Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (1) sur la partie (2). Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement. Pour déterminer ce torseur de cohésion il suffit d’effectuer l’équilibre statique du tronçon (1) ou du tronçon (2).
Etude de l’équilibre du tronçon (1) ou de la partie gauche → → → → → → → → R = R 2 / 1 {T coh} = T F 1→1 + T F 3→1 = 0 ⇒ {T coh} = − {T ext → 1} ⇒ = → → → → 144 4 244 4 3 M G = M G , 2 / 1 G
{T ext → 1}
RDM Cours
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→ → − R ext → 1 → → − M G, ext → 1 G
Définition1 :
le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se déf ini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section droite, somme précédée du signe -.
Etude de l’équilibre du tronçon (2) ou de la partie droite → → → → → R = R 2 / 1 = − R 1 / 2 Comme {T coh} = → → → → → → M G = M G , 2 / 1 = − M G , 1 / 2 G
alors
→ → → → → R = R 2 / 1 = − R 1 / 2 {T coh} = − {T ext → 2} = = → → → → → → M G = M G , 2 / 1 = − M G , 1 / 2 G
→ → R ext → 2 → → M G , ext → 2 G
Définition 2 :
le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se déf ini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section droite, somme précédée du signe +.
3.2 - Exemple de calcul de torseur de cohésion →
Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force F y
Modèle de la poutre
→
F
y
x
Données
→
→
F
A
F
x
→
0 − 20000
A
0 14285
→
B
0 5714
C
Détermination du torseur de cohésion On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB]. Zone [AC] Nous allons déterminer le torseur de cohésion au centre de surface G 1 d’une section de poutre située entre A et C, repérée par l’abscisse x. Le torseur de cohésion au point G 1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche de la coupure, somme précédée du signe « - » (voir définition 1 ressource page 3/7 ). ). y →
A
G 1 x
P
C
x
→ −A {T coh } = → → − ( GA ∧ A G 1
− x − 0
)
=
0
0
∧ Y A =
0
0
x Y A
0
G 1
0
0
− Y A
0
0
x Y A
x = 0
T y 1 = − Y A = − 14285 Mf z 1 = x .Y A = − 14285 . x
T y 1 = − 14285
x = a T y 1 = − 14285
; Mf z 1 = 0 ; Mf z 1 = 17142 Nm
Zone [CB] Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est préférable d’utiliser l’autre définition Le torseur de cohésion au point G 1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à droite de la coupure, somme précédée du signe « + » ( voir définition 2 cours RdM page 3 ). RDM Cours
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y
{T coh } = → ( GB G 2
→
P
A
B
G 2 2
x
C x
→ ∧A )
→
B
=
0
0
5714
0
0
(− x + 4,2 ). 5714
G 2
(− x + a + b )
0
0
0
∧ Y B =
0
0
0
(− x + a + b ). Y B
G 2
T y 2 = Y B = 5714 Mf z 2 = (− x + 4,2 ). 5714
x = 1,2 T y 2 = 5714 ; Mf z 1 = 17142 Nm x = 4,2 T y 2 = 5714 ; Mf z 1 = 0
3.3 – Composantes des efforts intérieurs ou du torseur de cohésion Les composantes composantes du torseur de de cohésion cohésion se notent conventionnel conventionnellement lement comme ci-dessous : y →
(S) (S) →
Ty
MG
→ R {T coh.} = →G = M G G ( x, y, z )
RG
Tz
Mt
r r r
G
Mfz
N
x
N Mt Ty Mfy G
Tz Mfz ( , , ) x y z r r r
Mfy
z
N : effort normal ; T Y Y : effort tranchant suivant y ; T Z : effort tranchant suivant y.
M t : moment ou couple de torsion ; Mf Y Y : moment fléchissant ou moment de flexion suivant y ; Mf Z : moment fléchissant ou moment de flexion suivant z.
4 – IDENTIFICATION DE LA NATURE DES SOLLICITATIONS SOLLICITATIONS SIMPLES Torseur de cohésion
Exemple →
→
− F
x y ou z
→
− F
0 0 0 0 (x , y, z ) G 0 0 {T coh.} = Ty 0 0 0 (x , y, z ) G
{T coh.} =
ou =
→
F − M t
G
r
M t
{T coh.} = G
RDM Cours
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r
r
r
r
r
CISAILLEMENT
0 0 Tz 0 (x , y, z )
→
x
r
(pour la compression, les vecteurs forces sont en sens inverse)
0 0
x
→
TRACTION
N 0
F
Sollicitation
r
r
0 Mt 0 0 0 0 (x , y, z ) r
r
r
TORSION
{T coh .} =
M fz
− M fz
G
x
ou = G
→
x
G
→
F
M fz (x , y , z )
0
r
0
M fy
0
0
r
FLEXION PURE
r
(x , y , z ) r
0
0
T y
0
r
r
0
M fy
T z
0
N
G
G
F
x
ou = G
→
− F
r
r
r
N
0
T y
0 r
T z
0
(x , y , z )
0
M t
T y
0
r
0
M fy
T z
0
FLEXION + TORSION
r
r
(x , y , z ) r
N
0
0
0
0
r
r
r
M t
G
r
r
M fz (x , y , z )
0
0
{T coh .} =
FLEXION + TRACTION
M fz (x , y , z )
0
M fy
→
x
(x , y , z )
0
G
FLEXION PLANE SIMPLE
r
0
{T coh .} =
M t
r
N ou =
→
r
0
{T coh .} =
→
Sollicitation
M fz (x , y , z )
0
0
x
− F
0
0
G
ou =
− M t
0
0
{T coh .} =
F
− N
0
SOLLICITATIONS COMPOSÉES Torseur de cohésion
Exemple
→
0
r
r
FLAMBAGE
M fz (x , y , z ) r
r
r
5 – NOTION DE CONTRAINTE y
(S)
M
→ →
ds x
M
→
df
G
C(M, n) = r
x
ds
→
σ
→
τ → → r
C(M, n)
→
df → → =σ+ τ ds
σ : contrainte normale ; τ : contrainte tangentiel t angentielle le
L'unité de la contrainte est le Pascal : 1 Pa = 1 N / m2
z
Le torseur de cohésion schématise les actions de cohésion s’exerçant dans une section droite de la poutre, il constitue donc une représentation globale. Pour avoir une représentation plus détaillée en chaque point de la section, nous utiliserons la notion de contrainte. RDM Cours
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6 – IDENTIFICATION DES SOLLICITATIONS 6.1 – SOLLICITATION DE TRACTION – COMPRESSION 0 0 0 0 0
N
{T coh .} = G
avec N (effort normal en Newton) porté par l'axe parallèle parallèle à la fibre moyenne de la poutre. (x , y , z ) r
r
r
Etat de contrainte Contrainte normale : (sigma) Condition de résistance : σ max ≤ σ pe : contrainte pratique N R e σ = avec σ pe = Re : limite élastique du matériau ; S s
N : effort normal en Newton 2 S : section de la poutre en mm
s : coefficient de sécurité ( 2 pour la construction aéronautique, 4 pour la mécanique courante, 10 pour le matériel de travaux publics ).
Lorsqu’il y a des variations brusques de section, la répartition des contraintes normales n’est pas uniforme.
r →
→
Il y a CONCENTRATION DE CONTRAINTES. LA CONTRAINTE MAXIMALE EST DONNEE PAR :
D
N
N
d
M
σ max = Kt . σ Maxi
N avec, N : effort normal de traction en Newton ; S 2 S : section de la poutre en mm Kt : coefficient de concentration de contrainte donnée par des abaques. Par exemple pour un filetage ISO, Kt ≈ 2,5. σ Maxi =
→
σ max
M
Etat de déformation Allongement relatif :
εL =
∆L
L
Contraction latérale : ε d =
(epsilon)
∆d
d
Coefficient de Poisson υ=−
ε d εL
=−
υ υ (nu)
:
contractio n latérale allongemen t relatif
Avec σ : contrainte d’extension en Mpa ; E : module de Young en Mpa ; ε : allongement relatif.
Loi de Hooke σ =E.ε
6.2 – SOLLICITATION DE CISAILLEMENT Hypothèse : répartition uniforme des contraintes. 0
{T coh .} =
0
ou {T coh .} =
T y 0 G
0
0
r
r
r
(x , y , z )
G
Etat de contrainte Contrainte tangentielle moyenne : T y
T z
ou S S 2 S : section de la poutre en mm (tau) τ moy =
0
0
0
0
T Z 0
T y y ou T z z (effort tranchant) ont leurs supports perpendiculaires perpendiculaires à l'axe de la fibre f ibre moyenne. r
r
r
(x , y , z )
Condition de résistance :
τ moy ≤ τ p
τ p =
s
s : coefficient de sécurité ( 2 pour la construction aéronautique, 4 pour la mécanique courante, 10 pour le matériel de travaux publics ).
pour les matériaux tendres pour les matériaux dures
τ e = 0,5 Re τ e = 0,8 Re
Etat de déformation τmoy = G γ
τ e
∆L
avec γ : angle de glissement ( radian ) G : module d'élasticité transversal (N.mm -2) (pour les métaux G 0,4 E )
→
A1 / 3
≈
G =
E 2 ( 1 + ν )
RDM Cours
avec
ν (nu) : coefficient de poisson
6/8
→
B 2 / 3
γ
6.3 – TORSION DES POUTRES CIRCULAIRES Une poutre est sollicitée en torsion simple lorsqu’elle est soumise à deux couples portés par sa ligne moyenne qui tendent à la tordre. Hypothèses supplémentaires : La poutre a une section droite circulaire ; Son diamètre est constant ; Son poids est négligé.
0 Mt
Mt
{T coh .} = x
G
0
0
0
0
(x , y , z ) r
r
r
Mt : moment de torsion en N.m
Etat de déformation (téta )
θ=
α
x
(alpha ) α α : angle de déformation en rad ; x : longueur de la poutre en m.
angle unitaire de torsion en rad/m
répartition des contraintes dans une section droite la contrainte τMaxi en un point M quelconque de la coupure est proportionnelle proportionnelle à la distance GM G M = ρ ρ ρ ρ. τMaxi = G θ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ τM: contrainte tangentielle en Mpa ; transversal, ou module de Coulomb en Mpa ; G : module d’élasticité transversal, θ θ : angle unitaire de torsion en rad/m ; (rhô ) ρ ρ ρ ρ : en mètre.
Relation entre M T θ T et θ
M
τM
ρ = GM
G
Relation entre M T τ T et τ
θ I 0 M t = G θ I θ 4 I 0 : moment quadratique polaire en mm
Pour une section circulaire pleine : I 0 =
π d 4
32
;
À partir de τ = G θ ρ et MT = G θ I 0 ; on obtient : τ=
M T I 0
x ρ
Pour une section tubulaire : I 0 =
π D 4 − d 4
32
Condition théorique de résistance à la torsion τ τmaxi axi = m
M t M × ρ max i = t × v I 0 I 0
≤
τ τp (contrainte pratique ) avec : τ p =
τ e
s
; s : coefficient de sécurité
v = ρ ρ ρ ρ maxi
Condition pratique de résistance à la torsion τmax i=
M t M × ρ max i = t × v I 0 I 0
≤
Rpg =
R eg
(résistance pratique au glissement )
s
pour les métaux : R eg ≈
R e 2
6.4 – FLEXION PLANE SIMPLE En construction mécanique, la flexion des poutres et des arbres est une sollicitation que l’on rencontre fréquemment. Forme du torseur de cohésion 0 0 0 0 T y y ou T z z : effort tranchant ; M fy {T coh .} = T y ou {T coh .} = 0 0 M fy fy ou M fz fz : moment fléchissant suivant y ou z 0 M 0 T G
RDM Cours
fz
(x , y , z ) r
r
r
G
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Z
(x , y , z ) r
r
r
Etat de contrainte normale → 1
F
→
A
y
M
y G
x
G
z
Mf G G y × y IGz Mf G Gy × y maxi ⇒ σ Maxi = IG σ=
σ A
Contrainte normale au point M :
y
proportionnelle à σMaxi est proportionnelle
x
l’éloignement du point M / plan de la fibre moyenne.
f léchie IGz : moment quadratique de la section fléchie y
y
3
IG z z =
b h
∅d
12
z
h
z
IGz = IGy =
G
b
32
G G
3
IG y y =
π d 4
h b
12
Etat de contrainte tangentielle
Alors que les contraintes normales sont issues des moments fléchissant, les contraintes tangentielles résultent des efforts tranchants. Moins prépondérantes que les contraintes normales, leur détermination est nécessaire dans certains cas. POUR UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE ALLURE DES CONTRAINTES DANS CE CAS 2 y TANGENTIELLES τ T h 3 T b τ = τ max i = 2 S 8 I G z M
h
τmaxi
τ
G x
z
Condition de résistance Critère de contrainte normale Gy K t . σMax = Mf G × y max
IG
≤
Rpe =
Re s
Critère de contrainte tangentielle (résistance pratique )
τ uniforme ≤ τ p avec τ p =
avec Re : limite élastique du matériau en Mpa ). s : coefficient de sécurité ( de 2 à 10 ). Kt : coef de concentration de contrainte
avec :
τ uniforme =
τ e
s
T y s
Nota : le calcul de résistance d’une poutre sollicitée en flexion simple se fait généralement selon le critère de la contrainte normale.
Condition de déformation Relation entre moment fléchissant et effort tranchant t ranchant :
d Mfz dx
=−
Ty ;
Les poutres sollicitées en flexion simple sont souvent dimensionnées en exprimant les conditions limites de déformation. Une poutre peut résister à une sollicitation de flexion, mais se déformer dans des proportions inacceptables. RDM Cours
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