INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013
RDM : Résistance des Matériaux Sommaire 1
Introduction 1.1 Hypothèses fondamentales 1.1.1 Géométrie . . . . . 1.1.2 Déformations . . . 1.1.3 Contraintes . . . . 1.1.4 Matériaux . . . . . 1.2 Notations . . . . . . . . . 1.3 Démarche de résolution . .
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3 3 3 3 3 3 4 4
2
Calcul des forces extérieures 2.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Liaisons cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 4
3
Efforts intérieurs 3.1 Convention de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Relations différentielles pour les barres droites - Diagrammes d’efforts 3.2.1 Relations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Diagrammes d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Relations différentielles pour les barres courbes . . . . . . . . . . . .
5 5 5 5 5 6
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4
Traction-Compression
5
Flexion 5.1 Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Moments quadratiques par rapport à l’axe y 5.2 Flexion déviée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Flexion composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Sections composites . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 8 8 8 8 8 8 9
Cisaillement 6.1 Cisaillement simple . . . . . . 6.2 Cisaillement en flexion simple 6.2.1 Contrainte . . . . . . . 6.2.2 Moments statiques . .
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10 10 10 10 10
7
Torsion 7.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Moment quadratique polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 11 11 11
8
Ressort hélicoïdal 8.1 Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Flèche du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12 12
9
Calcul des structures : Théorèmes énergétiques 9.1 Effort unitaire fictif . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Réciprocité du travail . . . . . . . . . . . . . 9.3 Réciprocité des déplacements . . . . . . . . . 9.4 Théorème de Mohr-Maxwell . . . . . . . . . 9.5 Théorème de Castigliano . . . . . . . . . . .
13 13 13 13 13 13
6
7
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9.6
Méthode grapho-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2 Aires simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 14 14
10 Systèmes hyperstatiques 10.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 15 15 15
11 Critères de résistance 11.1 Quantités limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Etats particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 16 16 16
12 Sollicitation par choc 12.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 17
13 Treillis 13.1 Enoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Méthode usuelle de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Méthode de Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 18 18 18
14 Flambement 14.1 Phénomène . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Flambement élastique . . . . . . . . . 14.3 Modèle complet . . . . . . . . . . . . 14.4 Flambement et conditions aux limites
19 19 19 19 20
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1
Introduction
1.1
Hypothèses fondamentales
La Résistance des Matériaux prend en compte les hypothèses de la Mécanique des Milieux Continus et en ajoute d’autres pour la simplification du modèle. 1.1.1
Géométrie
On se place dans la théorie des barres : l’étude porte sur des solides déformables élancés au repos On introduit alors la notion d’axe (coordonnée x) et de section normale (plan yz) pour permettre une réduction du tridimensionnel vers l’unidimensionnel. L’axe va définir si les barres sont droites (par portions), courbes, ou gauches (tridimensionnelles) Selon les sollicitations, on parlera plus aisément de poutres, d’arbres, de tirants, de poteaux, etc. 1.1.2
Déformations
Hypothèse de Bernoulli-Navier : Les sections planes et normales à l’axe avant déformation le restent après déformation. (Cette hypothèse n’est pas forcément respectée en cisaillement) 1.1.3
Contraintes
Hypothèse de Saint-Venant : La modélisation n’est valable qu’à une certaine distance des conditions limites de la poutre. Autrement dit, loin de tout point d’application des forces, les efforts concernant les contraintes et les déformations produits par deux groupes de forces équivalentes et statiques sont identiques. Efforts extérieurs : − forces (unité : N) − moments (unité : N.m) − efforts distribués : · linéaires (unité : N.m − 1) · surfaciques (pression, unité : N.m − 2) · volumiques (poids propre, unité : N.m− 3) L’hypothèse de Saint-Venant permet de relier une effort distribué à une force statique équivalente. Efforts intérieurs : L’hypothèse de Saint-Venant permet de séparer ce qui se passe le long de l’axe et dans une certaine section, ce qui introduit la notion d’efforts internes. − forces/efforts axiaux/normaux : N − efforts tranchants T (Ty , Tz ) − moment de torsion Mt − moments de flexion M f (M f y , M f z ) A chacun de ces types d’efforts est associé un type de sollicitation simple. 1.1.4
Matériaux
La Mécanique des Milieux Continus pose les hypothèses suivantes : − Conservation de la masse − Conservation de la quantité de mouvement − Conservation du moment cinétique − Petites déformations − Elasticité linéaire isotrope (loi de Hooke généralisée) 3
1.2
Notations
Déformations spécifiques : Pour être conforme aux covnentions internationales, on va parler de déformations spécifiques (allongements spécifiques ε, glissements spécifiques γ). L’adjectif "spécifique" indique le caractère adimensionnel. σ11 σ12 σ13 σ1 τ12 τ13 Tenseur des contraintes : σ21 σ22 σ23 = τ21 σ2 τ23 σ31 σ32 σ33 τ31 τ32 σ3
1.3
Démarche de résolution
La résolution en RDM doit toujours suivre les étapes qui suivent, si besoin est d’aller jusqu’au bout selon le problème posé. Généralement, il s’agit de chercher à dimensionner en déterminant d’abord le comportement de la barre ou en localisant ses sections dangereuses, là où les contraintes sont maximales. Etapes de résolution : − Bilan des forces extérieures − Calcul des réactions − Etude des variations des efforts intérieurs le long de l’axe − Calcul des déformations
2
Calcul des forces extérieures
2.1
Principe fondamental de la statique
Dans le cadre de la RDM, on peut aisément le problème sur une seule dimension : la barre, tridimensionnelle, devient une simple ligne sans épaisseur. De même, pour une barre courbe, l’abscisse curviligne s peut être utilisée en replacement de l’abscisse x usuelle. Par cette simplification, le Principe fondamental de la statique se réduit à un problème plan, c’est à dire trois équations : − les résultantes verticales (suivant z dans la convention qui sera adoptée par la suite) − les résultantes horizontales (suivant x) − les moments dans le plan (autour de y)
2.2
Liaisons cinématiques
Parmi toutes les liaisons existantes permettant de modéliser, de situer et de calculer les réactions, on s’intéressera seulement aux trois principales, que l’on retrouve sempiternellement en RDM : Encastrement : Articulation (Rotule) : Appui simple (Ponctuelle) : H H M V
V
4
V
3
Efforts intérieurs
3.1
Convention de signes
Considérons une barre en équilibre statique, et une section de celle-ci :
Pour conserver l’équilibre statique sur chaque tronçon, on doit définir les efforts intérieurs. → − F → − − x =→ n
→ − M → − n
→ − M
→ − F
→ − x
Là où la normale sortante et l’axe x ont le même sens, c’est la face positive. Sur cette face, les efforts intérieurs sont positifs s’ils sont orientés comme les axes. On retrouve le contraire sur les faces négatives. N Mt
G
Tz
x Mfy
Ty
Mfy y
N
Mfy
Tz
N
Mfz
Tz z A gauche d’une section, les efforts intérieurs vaudront la somme des forces exercées à gauche, le signe défini par la convention. A droite, on retrouve le même fonctionnement.
3.2
Relations différentielles pour les barres droites - Diagrammes d’efforts
3.2.1
Relations différentielles
p(x) → − Si l’on considère un tronçon d’épaisseur dx d’une barre droite subissant une force linéique f = q(x) au centre de gravité de r(x) chaque face, on aura : dN dTy dTz = −p(x) = −q(x) − r(x) dx dx d= dN = −p(x) dx
T M
P
N
N M + dM dx
3.2.2
T + dT
dm fy = Tz (x) dx
dm fz − Ty (x) d=
Dans la mesure où l’on simplifie la barre pour un problème plan, on ne s’intéresse qu’à deux de ces relations : dT dM = −P et =T en considérant P = r(x), T = Tz et M = m fy dx dx Une autre façon de le retenir est d’assembler les deux relations :
d 2 M dT = = −P dx2 dx
Diagrammes d’efforts
Le diagramme d’efforts est une représentation des efforts le long de la barre considérée. Elle suit la convention de signes posée précédemment et utilise les relations différentielles. Par convention due aux relations différentielles, l’axe positif de M est inversé par rapport à celui de T . Exemple :
5
l
T
P
2P
l
4 V1 = P 3
l
T
5 V4 = P 3
4 P 3 1 P 3 5 − P 3
M
3.3
4 Pl 3
5 Pl 3
M
Relations différentielles pour les barres courbes
Sur une barre courbe de rayon R, on considère un tronçon courbe de longueur ds = Rdϕ subissant un effort radial linéique P. Suivant l’intégrale curviligne, on choisit repère dans lequel appliquer le Principe fondamental de la statique. Ceci nous amène à ces trois relations : dN =T dϕ
dT = PR − N dϕ
dM = TR ds
On peut retrouver les relations pour une barre plane en posant R → +∞ et dϕ → 0
6
4
Traction-Compression A
La barre va subir un effort axial N : N
N l
Les tenseurs de contrainte et de déformation sont donc respectivement : ∆l 0 0 l σ 0 0 ∆l σ = 0 0 0 et ε = 0 −ν 0 l 0 0 0 ∆l 0 0 −ν l
7
avec
N σ= A ∆l = Nl EA
5
Flexion
5.1
Flexion pure
5.1.1
Contraintes σ
Contrainte normale : M fy =⇒ σ =
M fy × z dans la section considérée. Iy
y
Contrainte tangentielle : Tz = 0 =⇒ τ = 0
z
La contrainte maximale est atteinte à l’une des extrémités. M fy Iy Elle prend la forme σmax = avec Wy = le module de résistance en flexion. Wy zmax 5.1.2
Moments quadratiques par rapport à l’axe y
Iy est le moment quadratique par rapport à l’axe y de la section. Comme la section est d’épaisseur nulle, il prend la forme : Z
z2 dA
Iy = A
Rectangle : Iy =
bh3 12
h
Cercle : Iy =
πd 4 64
d
b Dans le cas de sections composées (forme complexe), il suffit de calculer le moment quadratique dans chaque section simple et de sommer l’ensemble par le théorème de Huygens : IAy = IBy + A ×(zB − zA )2 On prendra alors pour A et B les centres de gravité respectifs.
5.2
Flexion déviée
La flexion n’est pas uniquement suivant y ou z. Cette sollicitation se décompose alors en deux sollicitations simples M fy et M fz . σ0 On a σ =
y
M fy × z M fz × y − Iy Iz
Pour un cercle, on aura simplement σ =
z
Mf × r I
σ 00
5.3
Flexion composée
A la flexion déviée s’ajoute la contrainte normale, on a alors dans le cas le plus général : σ =
5.4
N M fy × z M fz × y + − A Iy Iz
Barres courbes
L’axe neutre ne passe plus par le centre de gravité et se trouve à une excentration e. La distribution des contraintes sur la section n’est plus une distribution linéaire. On considère que le centre de gravité se trouve à la distance R du centre de courbure et l’axe neutre à la distance r = R − e La position de la fibre neutre en N (σ = 0) suivant z dans la section est donnée par : Z
z dA = 0 r−z
=⇒
e≈
A
La contrainte devient alors σ (z) =
M fy z × centrée sur l’axe neutre. A×e r−z 8
IG A×R
5.5
Sections composites
Si la section est composée de deux matériaux de sections et de modules respectifs A1 , E1 et A2 , E2 , on aura des contraintes différentes dans chaque matériau. A1 z1 E1 + A2 z2 E2 La position de l’axe neutre est donnée par zN = avec z1 et z2 les centres de gravité de chaque section. A1 E1 + A2 E2 M f y × z × E2 M f y × z × E1 et σ2 (z) = centrées sur l’axe neutre et limitées par les matériaux. Les deux contraintes seront σ1 (z) = × E1 I1 + E2 I2 E1 I1 + E2 I2
9
6
Cisaillement
6.1
Cisaillement simple
Pour un cisaillement simple, on retrouve τ =
6.2
Cisaillement en flexion simple
6.2.1
Contrainte
T A
τ
Dans un cas de flexion simple, la variation du moment de flexion crée un cisaillement Tz × Sy (z) Tz dont la contrainte est τ = b(z) Iy y z avec Sy (z) le moment statique suivant y de la section réduite b(z) la largeur de la section par rapport à z
A0
A0 z
On remarquera que la contrainte de cisaillement suit une forme parabolique par morceaux et atteint son maximum sur l’axe neutre. 6.2.2
Moments statiques
Le moment statique s’exprime comme suit pour la section réduite A0 : Z
Sy =
zdA A0
On peut aussi l’exprimer différemment grâce au centre de gravité de cette section homogène zG0 =
Tz × zG0 A0 avec zG0 fonction de z b(z) Iy 3T Pour un rectangle, elle est τmax = . 2A
Ainsi, Sy = zG0 A0 . On peut donc simplifier le calcul de la contrainte en posant τ = Pour un cercle, la contrainte maximale devient τmax =
Sy A0
4T . 3A
10
7
Torsion
7.1
Contrainte
7.1.1
Expression
Le cisaillement produit par un moment de torsion sur une section est τ =
Mt × r . IG
avec r la distance par rapport au centre de gravité de la section. IG le moment quadratique polaire de la section.
7.1.2
Moment quadratique polaire
Le moment quadratique polaire est défini comme suit : Z
IG = A
r2 dA =
Z A
On a de même IG = Iy + Iz au même point. Ainsi on a : − Pour un rectangle, IG = − Pour un cercle, IG =
(h + b) b2 h2 12
πd 4 32
11
y2 + z2 dS
8
Ressort hélicoïdal Considérons un ressort de rayon extérieur R et de n spires. La section des spires est un cercle de diamètre d. P
d R
P
8.1
Sollicitations
L’application d’un effort tranchant P sur le ressort va créer deux sollicitations :
− Un moment de torsion Mt = PR − Un cisaillement T = P
=⇒
0 τmax
=⇒ 00 = τmax
d 2 = 16PR IG πd 3
Mt ∗ =
4T 16P = 3 A 3πd 2
16PR d La contrainte maximale devient τmax = 1+ 3 πd 3R
! .
On peut remarquer que le cisaillement est une sollicitation négligeable devant la torsion. Le cisaillement n’influe réellement que pour les ressorts épais devant leur rayon de courbure.
8.2
Flèche du ressort
A partir de : − Le cisaillement maximal réduit à τmax =
16PR πd 3
GIG θ 2 GIG − L’énergie élastique du ressort en torsion U = = 2 2
Mt GIG
!2 [N = J/m]
− Le travail de la force W = P × f [J = Nm] avec f la flèche − La longueur totale la fibre neutre : l = 2nπR 64nPR3 1 = ×P 4 Gd K On peut remarquer que l’énergie élastique accumulée par la torsion est très grande, ce qui explique l’utilisation du ressort pour limiter les efforts sur les structures puisqu’une grande partie de ’énergie transmise va se retrouver absorbée par le ressort.
On obtient la relation suivante : f =
On a alors deux conditions de fonctionnement : − τmax ≤ τa − f ≤ fa
12
9
Calcul des structures : Théorèmes énergétiques
Un calcul de structures nécessite de prendre en compte contraintes et déformations. Les théorèmes énergétiques permettent le calcul des déplacements.
9.1
Effort unitaire fictif
Si l’on considère une barre sollicitée par plusieurs groupes de forces, l’effort fictif unitaire est l’effort adimensionnel de valeur 1 nécessaire pour reproduire un déplacement généralisé (déplacement ou rotation) δ équivalent.
9.2
Réciprocité du travail
Si l’on applique successivement deux groupes d’efforts extérieurs F1 et F2 , on peut décomposer le travail produit sur la barre. On a alors le travail L = L11 + L12 + L22
avec
W11 : le travail produit par F1 sur les déplacements issus de F1 W22 : le travail produit par F2 sur les déplacements issus de F2 W12 : le travail produit par F1 sur les déplacements issus de F2
Cette décomposition étant possible en posant L21 , on obtient la relation de réciprocité du travail : W12 = W21
9.3
Réciprocité des déplacements
Si l’on considère cette même barre et que l’on cherche à calculer ses déplacements, on a le calcul de déplacement suivant : δ = δ11 + δ12 + δ22 avec δ11 : le déplacement produit par F1 au point d’application de F1 δ22 : le déplacement produit par F2 au point d’application de F2 δ12 : le déplacement produit par F1 au point d’application de F2 On a lors la réciprocité suivant : δ12 = δ21
9.4
Théorème de Mohr-Maxwell
Soit un barre encastrée-libre sollicitée par des forces axiales dont on cherche le déplacement à l’extrémité libre, et dont la sollicitation axiale est alors N(x). On va d’abord considérer cette barre subissant uniquement un effort fictif 1 donnant W21 = 1 × δ . n(x) dx . EA N(x) n(x) dx Le travail de N(x) avec le déplacement issu de l’effort fictif donne : dW12 = N(x) ∆(dx) = EA Comme les efforts fictifs sont adimensionnels et les deux travaux réciproques, on a : L’effort fictif crée une sollicitation axiale n(x) et le déplacement associé ∆(dx) =
Z
δ=
N(x) n(x) dx EA
l
Par extension,
Z
δ= l
Z Z Z Z M fy m fy Nn M fz m fz Mt mt Tt dx + dx + dx + dx + k dx EA EIy EIz EI p GA l
l
l
l
avec k un coefficient dépendant de la forme de la section (on travaille généralement avec les contraintes maximales)
9.5
Théorème de Castigliano
Le théorème de Castigliano donne le déplacement généralisé sous cette forme : δn =
∂Ue ∂ Xn
Le théorème de Menalbrea est son corollaire concernant les conditions aux limites : 13
avec
Ue l’énergie de la structure Xn l’effort extérieur généralisé
∂Ue = 0 si Vi est une réaction généralisée. ∂Vi
En reprenant la forme du théorème de Mohr-Maxwell, le déplacement causé par l’effort unitaire généralisé Pi devient : ∂ M fy ∂N ∂ M fz ∂ Mt ∂T Z M fy Z M fz Z Mt Z T ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi dx + dx + dx + dx + k dx EA EIy EIz EI p GA
Z N
δi = l
l
9.6
Méthode grapho-analytique
9.6.1
Enoncé
l
l
l
On cherche à calculer les intégrales de Mohr-Maxwell sans passer par la lourdeur de l’intégrale. Cette méthode ne marche que sur des barres droites puisqu’elle nécessite des sollicitations n(x) issues de l’effort fictif linéaires. Soit : − m est une fonction linéaire (de coefficient directeur tan(α)) − AM l’aire sous la courbe de M − xG le centre de gravité de l’aire AM Z
M(x) m(x) dx = AM m(xG )
I= l
9.6.2
Aires simples Triangle
Parabole convexe
Parabole concave
M0
M0
Trapèze
M0
M2 M1
0
l 1 AM = M0 l 2 2 xG = l 3
0
0
l
l 2M0 l AM = 3 5l xG = 8
M0 l AM = 3 3l xG = 4
14
0
l (M1 + M2 ) l AM = A1 + A2 = 2
10
Systèmes hyperstatiques
10.1
Définition
Un système de barres est dit hyperstatique si, après avoir écrit les équations d’équilibre, on reste incapable de calculer les efforts intérieurs. On peut distinguer deux catégories dans l’hyperstatisme : − les systèmes extérieurement hyperstatiques : les liaisons qui maintiennent le système amènent plus d’inconnues que le PFS ne peut en résoudre (dans un problème plan, 4 inconnues suffisent). On peut par exemple les retrouver dans un problème d’encastrement double ou de poutre continue (chemin de fer), etc. − les systèmes intérieurement hyperstatiques : les réactions sont toutes déterminées sans aucun problème grâce au PFS mais il est impossible de calculer les efforts intérieurs. Ces problèmes se retrouvent par exemple pour des systèmes composites et des systèmes fermés empêchant de "couper" la barre en deux, etc. Les systèmes hyperstatiques sont résolus grâce à des conditions données par le théorème de Menalbrea.
10.2
Degré d’hyperstatisme
Le degré d’hyperstatisme N correspond au nombre d’efforts intérieurs qui ne peuvent être connus en ayant posé les équations d’équilibre. ce nombre dépend : − du nmobre total de réactions (inconnues externes) − du nombre total d’équations d’équilibre (2D:3 ; 3D:6) − des articulations intérieures − des contours plans fermés (chaque contour introduit trois inconnues internes) − des symétries géométriques Dans le cas de symétries géométriques, trois cas se distinguent : − Efforts symétriques : N(x) et M(x) sont des fonctions symétriques T (x) est une fonction antisymétrique : annulation au plan de symétrie − Efforts symétriques : N(x) et M(x) sont des fonctions antisymétriques : annulation au plan de symétrie T (x) est une fonction symétrique − Efforts quelconques : aucune réduction de l’hyperstatisme n’est possible
10.3
Méthode de résolution
La méthode la plus courante consiste à transformer le système hyperstatique par un système de base ou fondamental qui a des conditions aux limites modifiées dans le sens de la réduction du nombre d’inconnues. Cette réduction du nombre d’inconnues passe généralement par la considération des déformations et des déplacements totaux du système. En utilisant la superposition des déplacements, on peut définir le déplacement total et le décomposer en fonction des efforts appliqués au point considéré pour calculer les inconnues manquantes.
15
11
Critères de résistance
11.1
Quantités limites usuelles
Les critères de résistance sont établis à partir de l’étude des structures de différents matériaux. En fonction de la nature des différents matériaux, on peut constater que l’on atteint l’état limite quand l’une ou plusieurs quantités atteignent leurs limites : Quantité contrainte normale σ
σ1 σ1 − ν (σ2 + σ3 ) ε1 = E σ1 − σ3 τ2 = 2 2 2 σ1 + σ2 + σ32 ν We = + (σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 ) 2E E 1+ν 2 (σ1 − σ2 ) + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 Wd = 6E
allongement spécifique ε contrainte tangentielle τ énergie spécifique de déformation We énergie spécifique déviatrice Wd
11.2
Sollicitation générale (3D)
sollicitation équivalente en traction-compression uniaxiale (1D) σe = σ1 σ1 εe = E σ1 τe = 2 σ12 We = 2E 1+ν 2 Wd = σ 3E 1
Critères
L’état limite est obtenu, dans le cas d’une sollicitation générale, lorsque la quantité A devient égale à la quantité B dans le cadre d’une sollicitation équivalente de traction-compression. Les cinq critères précédents nous permettent notamment de calculer, de telle sorte à avoir σe ≤ σa Premier critère : σeI = σ1 Deuxième critère : σeII = σ1 − ν (σ2 + σ3 ) Troisième critère - critère de Tresca : σeIII = σ1 − σ3 q Quatrième critère : σeIV = σ12 + σ22 + σ32 + 2ν (σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ1 σ3 ) r Cinquième critère - critère de Von Mises : σeV =
11.3
1 (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 2
Etats particuliers
Pour ν = 0, 3 Etat plan σ1 , σ2 σeI = σ1 σeII = σ1 − νσ2 σeIII = σ1 − σ2 q σeIV = σ12 + σ22 + 2νσ1 σ2 q σeV = σ12 + σ22 − σ1 σ2
σeII =
Barres σ 1√ 2 σ1,2 = ± σ + 4τ 2 2 2 σ 1√ 2 σeI = + σ + 4τ 2 2 ! 2 ! σ 1√ 2 σ 1√ 2 2 2 + σ + 4τ − ν − σ + 4τ 2 2 2 2 √ σeIII = σ 2 + 4τ 2 σeIV = σeV =
√ σ 2 + 3τ 2
p
16
Flexion + Torsion
τ
M f , Mt M f 1q 2 M f eI = + M f + Mt2 2 2 q M f eII = 0.35M f + 0.65 M 2f + Mt2 q M f eIII = M 2f + Mt2 r 3 M f eIV = M 2f + Mt2 4 r 2, 6 2 2 M f eV = M f + M 4 t
σeI = τ σeII = 1, 3τ σeIII = 2τ σeIV = 1.73τ
σ 2 + 2, 6τ 2
Pour le cas de la sollicitation composée en flexion-torsion, on a : Mf Iax σmax = avec Wax = Wax zmax Mt I0 τmax = avec Wp = ; I0 = 2Iax et zmax = rmax =⇒ Wp rmax d’où la relation exprimée directement en terme des moments.
Torsion
σeV = 1.61τ
τmax =
Mt 2Wax
12
Sollicitation par choc
12.1
Enoncé
Une sollicitation par choc est caractérisée par l’application de forces extérieurs avec des variations brusques. On considère une poutre verticale de longueur l comme ci-contre. Une charge de poids P va tomber sur la poutre depuis une hauteur h. La poutre subissant le choc va alors se déformer de δ . P
Le travail de P est alors L = P(h + δ )
h
L’énergie de déformation de la poutre donne We =
δ
Dans un cas sans choc, la force P n’aurait produit qu’un travail Lstat = Pδstat
EAδ 2 2l
Dans le modèle élastique, tout le travail L de la force est absorbé par la déformation de la poutre. On a L = We 2Pl obtenu par Lstat = We,stat Ceci implique δ 2 − δstat δ − δstat h = 0 avec δstat = EA s h δstat = Ψδstat Comme δ > 0, la solution est alors δ = 1 + 1 + δstat Le multiplicateur de choc Ψ peut s’exprimer dans le cas où une vitesse et non pas une hauteur est considérée : s s Ec v2 = 1+ 1+ Ψ = 1+ 1+ Ep gδstat On a de même la relation σ = Ψσstat On peut remarquer que Ψ > 2 et que son effet diminue avec l’amplitude de δstat . Ainsi, les contraintes dynamiques sont au moins deux fois supérieures aux contraintes statiques. Si l’on souhaite réduire ce coefficient, il faut faire en sorte d’agrandir l’amplitude de δstat , notamment en utilisant des ressorts.
12.2
Méthode de résolution
Considérant la relation obtenue, il suffit de calculer δstat en se ramenant à un système statique (la charge P en chute sur la poutre est remplacée par un effort statique P déjà appliqué). De fait, δstat se calcule avec les théorèmes énergétiques, de la même manière que dans les cas hyperstatiques. Si cas hyperstatique il y a, il faut commencer par poser le système statique. On résout ensuite le système hyperstatique par les méthodes usuelles avant de calculer δstat . Une fois δstat connu, on peut calculer Ψ et toutes les grandeurs dynamiques qui nous intéressent.
17
13
Treillis
13.1
Enoncé du problème
Un treillis est un système de barres articulées. On retrouve ce type de structures dans le génie civil et l’architecture : ponts, aéroports, gares, etc. Ces bâtiments comptent alors des nœuds par centaines ou milliers, qu’il faut alors résoudre. Même si ce calcul est lourd sans outil informatique, l’intérêt du treillis est la suppression des flexions. Les articulations des treillis peuvent être des soudures, des boulons ou des systèmes à bagues. On peut négliger les contraintes et déformations en flexion, et donc modéliser les encastrements par des articulations, grâce à la rigidité du système : considérant un ensemble de poutres, le moment d’inertie global devient très important.
13.2
Méthode usuelle de résolution
Les moments étant négligés, seules subsistent les forces axiales. La résolution se "réduit" alors au calcul des forces axiales à chaque nœud. Ainsi, on isole chaque articulation pour y poser les deux équations statiques qui la concernent. Au niveau global, ce sont les trois équations planes du PFS que l’on retrouve. Pour que le système soit statique, avec nbarres barres et nnoeuds nœuds, on a alors cet équilibre pour le nombre d’inconnues : nbarres + 3 = 2nnoeuds Dans le cas où des forces s’appliquent sur les poutres et non les nœuds du treillis, il suffit de les répartir : P Pb Pa al bl a+b a+b Pb Pa V1 = V2 = a+b a+b
13.3
Méthode de Ritter
Si les réactions sont calculées et que l’on cherche des efforts intérieurs particuliers, on va sectionner plusieurs barres dans le treillis, qu’on va alors isoler.
18
14
Flambement
14.1
Phénomène
Le flambage est une perte de l’équilibre stable d’une structure en compression qui survient dans certaines conditions dues à trois types de facteurs : − la géométrie de la pièce − les efforts appliqués − les propriétés du matériau Le flambage n’est pas une sollicitation, c’est un phénomène assimilé à une rupture en RDM, notamment car il implique des grands déplacements. Lors du flambement, la ligne moyenne d’une barre droite cesse d’être une droite et devient sensible à d’autres sollicitations.
14.2
Flambement élastique
P
P
On a pour les barres droites, l’expression de la déformée EIv00 (x) = −M(x) avec V (x) la flèche. Or, M(x) = Pv(x)
Ainsi, on a l’équation différentielle EIv00 + Pv = 0 P On a alors la solution v(x) = C1 sin(αx) +C2 cos(αx) avec α 2 = EI Ici, les conditions aux limites (v(0) = 0, v(l) = 0) donnent : − v(x) = C2 sin(αx) − P=
k2 π 2 EI l2
avec P la valeur pour laquelle se produit le flambement
On pose alors la force critique au premier mode de flambement (k = 1) : Pcr = On en déduit la contrainte de compression au flambement : σ f =
14.3
Pcr π 2 E = 2 A λ
π 2 EImni l 2f
avec ici l f = l λ=
avec
Modèle complet
Le cas élastique nous donne σ f =
π 2E . λ2
s
Ceci n’est vrai que pour le cas élastique, donc pour σ f 6 σe , c’est à dire pour λ > λ0 = π
E σe
Jusqu’à la rupture, on peut montrer que le cas plastique s’approxime par σ f = a + bλ (b < 0). σr − a La rupture est atteinte à σ f = σr , c’est-à-dire λ = λ1 = b σf rupture plastique
élastique
σr
σe
λ1
λ
λ0
19
lf le coefficient de sveltesse imin r Iy et iy = le rayon d’inertie A
14.4
Flambement et conditions aux limites
π 2 EImin . l 2f La longueur l f exprimée ici dépend des conditions aux limites de la poutre. On l’exprime par l f = β l Reprenons l’expression de la force critique : Pcr =
P
P
P
P
l
P √ 1 2 β =1 β =2 β= β= 2 2 Il est à noter que si l’on décide de bloquer le premier flambement en rajoutant une condition supplémentaire, le flambement n’apparaîtra que sur son deuxième mode. De plus pour k = 2, on a Pcr2 = 22 × Pcr = 4Pcr . Ceci permet d’éloigner le risque de flambement de manière significative. P
P
P
20
