Cours RDM

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Résistance des matériaux II

Chapitre 14

Méthodes énergétiques chapitres 9 et 14 • Objectifs – Comprendre la définition de l’énergie de déformation – Savoir calculer l’énergie de déformation d’une structure soumise à différents chargements – Savoir utiliser le théorème de Maxwell-Betti – Comprendre la démonstration du théorème de Castigliano

Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Chapitre 9: Énergie de déformation 9.7 Énergie de déformation 9.7.1 Expression de l’énergie pour un chargement uniaxial 9.7.2 Énergie de déformation élastique pour un chargement général

Chapitre 14 : Méthodes énergétiques 14.2 Cas particuliers 14.2.1 Tension 14.2.2 Flexion 14.2.3 Torsion

14.3 Théorème de la réciprocité, de Maxwell-Betti 14.4 Théorème de Castigliano 14.4.1 Application aux systèmes isostatiques 14.4.2 Application aux systèmes hyperstatiques

14.5 Effets de l’effort tranchant


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Chapitre 14

Méthodes énergétiques • Théorème de Castigliano est basé sur l’énergie de déformation pour calculer 1. Déplacements (ou rotations) en traction, en flexion et en torsion d’une structure isostatique ou hyperstatique 2. Réactions d’un système hyperstatique

• L’énergie de déformation se calcule par 1 U = ∫ (σ x ⋅ ε x + σ y ⋅ ε y + σ z ⋅ ε z + τ xy ⋅ γ xy + τ yz ⋅ γ yz + τ zx ⋅ γ zx ) ⋅ dV 2V


(14.2)

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Chapitre 14

Énergie de déformation y

Démonstration: Force normale

z

Force normale Px sur un élément de dimensions Δ x, Δ y et Δ z produit un allongement δx. L’énergie de déformation dUx développée par la force Px sur cet élément est :

Px

Δy Δx

Exprimée par unité de volume, la densité d’énergie de déformation, Ux0, développée par la force Px devient : δ δ ε

U x0

Px

1 Px d δ x = ∫ Px dδ x = ∫ = ∫ σ x dε x Δx 0 V 0 0 ΔyΔz x

x

σx

εx

δx

Δz

dU x = Px ⋅ dδ x

x

x

dU x

dδ x

δx

La notation adoptée ici est différente de celle utilisée dans le volume R des M.


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Chapitre 14

Énergie de déformation y

Démonstration (suite): Force normale En supposant un comportement élastique linéaire δx

U x0

δx

z

δx

x

Δz Px

εx

1 Px d δ x = ∫ Px dδ x = ∫ = ∫ σ x dε x V 0 Δx 0 0 ΔyΔz

Δy Δx

εx

U x 0 = ∫ E ⋅ ε x ⋅ dε x

σ

x •

0

U x0

E ⋅ ε x2 E ⋅ ε x σ ⋅ε = = εx = x x 2 2 2


σ x = εx ⋅ E

εx

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Chapitre 14

Énergie de déformation • Démonstration : Force de cisaillement

y

z

– Force de cisaillement appliquée parallèlement à l’axe x sur la face Δx - Δz (cause du cisaillement) développe une énergie x τ xy

U xy 0 τ xy

Δy

1 = V

γ xy

γ xy

Δz

U xy 0 =

Δx

τxy =γ xy ⋅ G

γ xy

γ xy

Par analogie avec la contrainte normale

xy

⋅ dx ⋅ dz ⋅ d ( γ xy dy )

0

∫ τ xy 0

τ xy

∫τ

dx dz dy d ( γ xy ) dx dz dy

U xy 0 = ∫ τ xy dγ xy = 0

τ xy ⋅ γ xy 2


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Chapitre 14

Énergie de déformation • Démonstration : Formule générale – Forces normales et de cisaillement, appliquées successivement sur les faces x, y et z, développent des énergies Ux0, Uxy0,Uy0, Uyz0,Uz0, et Uzx0. – En appliquant le principe de superposition et la loi de Hooke (hypothèses de petites déformations et domaine linéaire)

U totale 0 =∑ U 0 U0 =

1 (σ x ⋅ ε x + σ y ⋅ ε y + σ z ⋅ ε z + τ xy ⋅ γ xy + τ yz ⋅ γ yz + τ zx ⋅ γ zx ) 2

U = ∫ U 0 ⋅ dV V

U=

1 (σ x ⋅ ε x + σ y ⋅ ε y + σ z ⋅ ε z + τ xy ⋅ γ xy + τ yz ⋅ γ yz + τ zx ⋅ γ zx ) ⋅ dV ∫ 2V Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Énergie de déformation • Cas particulier: chargement uniaxial 0 0 0 0 0 1 U = ∫ (σ x ⋅ ε x + σ y ⋅ ε y + σ z ⋅ ε z + τ xy ⋅ γ xy + τ yz ⋅ γ yz + τ zx ⋅ γ zx ) ⋅ dV 2V

0 1 0 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )] E U =∫

σ x ⋅εx 2

V

U =∫ V

σx σx 2

⋅

E

A

Px L

dV dV = 2

1 2 σ x dV ∫ 2⋅ E V 2

1 ⎛ Px ⎞ 1 ⎛ Px ⎞ U= A ⋅ dx = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ A⋅ L ∫ 2⋅E o ⎝ A ⎠ 2⋅ E ⎝ A ⎠ L

σx

Px2 ⋅ L U= 2⋅ A⋅ E


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Chapitre 14

Énergie de déformation • Cas particulier: poutre en flexion ordinaire 1 U = ∫ σ x ⋅ ε x ⋅ dV V 2

εx =

y

− Mz ⋅ y ;σ x = I

x

z

σx

L

R1

R2

a

E

R2

V

1 M ⋅y U = ∫∫ ⋅ dA ⋅ dx 2 E⋅I 0 A2 L

P

2 z

x

2

R1 a

Mz

L

M z2 2 dx y dA U =∫ 2 ∫ 0 2⋅ E ⋅ I A

x L

M z2 dx où, par définition ∫ y dA = I ⇒ U = ∫ 0 2⋅ E ⋅ I A 2

Pour le moment, on néglige l’énergie associée à la contrainte de cisaillement due à l’effort tranchant


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Chapitre 14

Énergie de déformation • Cas particulier: barreau en torsion 1 U = ∫ τ xθ 2V

⋅ γ xθ

1L rT ⋅ρ T ⋅ρ U = ∫∫ ⋅ 200 J GJ L r

2

1 T U = ∫∫ 2 0 0G J2

T

dV

x dx

2π ρ dρ dx

r

dρ

ρ L

2π ρ 3 dρ dx

L T 2 π r4 T2 J U =∫ dx = ∫ dx 2 2 4 0G J 0G J 2 L

T

1 T2 L U= 2 GJ Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Théorème de Castigliano • Basé sur l’énergie de déformation complémentaire U* – Pour un matériau élastique linéaire, l’énergie de déformation complémentaire U* est égale à l’énergie de déformation U

0

1 * dU = dP ⋅ δ + dP ⋅ dδ 2 dP

P

Pour un petit dP

d’où

U*

dδ

U

δ

δ

δ

dU * =δ dP

Puisque U* = U, nous utiliserons la valeur de U dans l’application du théorème de Castigliano


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Chapitre 14

Théorème de Castigliano Cas particulier: chargement uniaxial Px2 ⋅ L 1 Px L U= = Px 2⋅ A⋅ E 2 AE 1 U = Px δ x 2 Δ Px

Px

Px L

δ x , l' allongement du barreau

δx

Px ΔU

δx

δ

ΔU ∂U Δ U = δ x Δ Px ⇒ = δ x Si ΔPx → 0 ⇒ =δx Δ Px ∂ Px


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Chapitre 14

Théorème de Castigliano Cas particulier: poutre en flexion pure y L

2 z

M dx U =∫ 0 2⋅ E ⋅ I M z L d 2v Mz L Mz dx dx = U= 2 ∫ ∫ 2 0 E⋅I 2 0 dx U= Δ Mz

Mz 2

⎡ dv ⎢ dx − ⎣ x=L

dv ⎤ dx x =0 ⎥⎦

=

ν

x

L

Mz θ 2

θ Mz

dv dv = 0 et =θ d x x =0 d x x= L Conditions limites

Mz

ΔU

θ

Δ U = θ ΔM z ⇒

∂U ΔU = θ Si ΔM z → 0 ⇒ =θ Δ Mz ∂ Mz

θ Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Théorème de Castigliano Cas particulier: barreau en torsion 1T2 ⋅L U= 2 J ⋅G 1 T ⋅L U= T 2 J ⋅G 1 U = Tϕ 2

T

T

L

T ΔT

ΔU

ϕ

ΔU ΔU =ϕ ΔT ⇒ =ϕ ΔT

Si ΔT → 0 ⇒

∂U =ϕ ∂T

ϕ Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Théorème de Maxwell-Betti Le travail fait par un système de n charges Pi (système I) à la suite des déplacements (δi)Q causés par un second système de m charges Qj (système II) est égal au travail fait par un système de m charges Qj à la suite des déplacements (δj)P causés par le premier système de n charges Pi : n

∑ P ⋅ (δ ) i =1

i

i

= ∑ Q j ⋅ (δ j ) j =1 ∑P m

m

∑Q j =1

n

j

Formule générale

i

i =1

Position Force

Lorsque n = m = 1, la formule devient

P . (δP )Q = Q . (δQ)P


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Chapitre 14

Théorème de Maxwell-Betti P

Démonstration

•q

(δ q )P

Séquence 1 :

•p

(δ p )P

Considérons la poutre encastrée ci dessus. Une force P (système I) appliquée en p causera une flèche (δ p )P au point p et une flèche δ q P au point q.

( )

Si le matériau de la poutre demeure dans le domaine élastique, le travail W fait par la force P en p est égal à l ’énergie de déformation U mise dans la poutre et vaut :

P

W = (U p )P

1 = P ⋅ (δ p )P 2

1 W = (U p )P = P ⋅ (δ p )P 2

(δ p )P

δP


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Chapitre 14

Théorème de Maxwell-Betti Q

Démonstration Séquence 1 (suite):

(δ q )P

P

•q

•p

(δ ) (δ p )Q p P

(δ q )Q

Si on ajoute une force Q (système II) en q, cette force causera un déplacement supplémentaire de la poutre de (δ p )Q en p et de (δ q )Q en q. L’énergie maintenant emmagasinée dans la poutre est la somme du travail de la force Q en q et de celui de la force P en p, soit :

U = (U p )P + (U q )Q + (U p )Q

( )

1 U1 = P δ 2

p

P

( )

1 + Q (δ q )Q + P δ 2

p

Q

P

Q

P

(δ p )P

(δ q )Q


(δ p )Q 17

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Chapitre 14

Théorème de Maxwell-Betti Démonstration Séquence 2 : Reprenons la même poutre que précédemment, mais en appliquant d ’abord la force Q en q et ensuite le force P en p. Par une démarche similaire à la précédente, on obtient que l’énergie élastique U2 emmagasinée dans la poutre est : Q

1 1 U 2 = Q (δ q )Q + P (δ p )P + Q (δ q )P 2 2 Il faut que U1 = U2, ce qui implique

P (δ p )Q = Q (δ q )P

Rappel de U1

Q

P

(δ q )Q

(δ p )P

( )

1 U1 = P δ 2

p

P

(δ q )P

( )

1 + Q (δ q )Q + P δ 2


p

Q

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Chapitre 14

Théorème de Maxwell-Betti Généralisation du théorème à un ensemble de n forces Pi et de m forces Qj sur un corps de forme générale (patatoïde) Pi P2

P1

Le travail fait par un système de n charges Pi (système I) à la suite des déplacements (δi)Q causés par un second système de m charges Qj (système II) est égal au travail fait par un système de m charges Qj à la suite des déplacements (δj)P causés par le premier système de n charges Pi

Pn

Q1 Qm

Q2

Qj

n

∑ P ⋅ (δ ) i =1

i

i

= ∑ Q j ⋅ (δ j ) j =1 ∑P m

m

∑Q

n

j

j =1


i

i =1

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Chapitre 14

Théorème de Maxwell-Betti Exemple 1 L’expression vx de la déformée de cette poutre lorsqu’une force P agit à une distance L de l’encastrement est :

−P ( vx = 2 ⋅ L3 − 3 ⋅ L2 ⋅ x + x 3 ) 6⋅ E ⋅ I

On demande de trouver l’expression du déplacement du point p lorsqu’une force Q agit en q.

P

x

y x

z

p•

L

vx

a p•

y x

Q

z

•q

L


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Chapitre 14

Théorème de Maxwell-Betti Exemple 1 (suite)

On connaît (δ p )P et (δ q )P ; on cherche (δ p )Q Du théorème de Maxwell-Betti, on peut écrire : P (δ p ) = Q (δ q ) Q

(δ p )Q

D’où :

P

Q = (δ q )P P

(δ p )P (δ p )Q

•

P

Q

p

•q

y x

z

(δ q )P

à x =a vx = (δ q )P −P ( 2 ⋅ L3 − 3 ⋅ L2 ⋅ a + a 3 )⎤⎥ P ⎣6 ⋅ E ⋅ I ⎦

(δ p )Q = Q ⎡⎢

(δ p )Q =

−Q ( 2 ⋅ L3 − 3 ⋅ L2 ⋅ a + a 3 ) 6⋅ E ⋅ I


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5


Chapitre 14

Exemple 2 Un camion stationné en un point c d ’un pont cause une flèche de δc = 52 mm au point c et δv = 38 mm au point v. Par la suite, une voiture de 1000 kg s’amène au point v du pont. On mesure les flèches à nouveau et on trouve δc = 53mm et δv = 40 mm. On demande quelle est la masse du camion? •c •v Solution C est la masse du camion et V est celle de la voiture

•c

•v

(δ c )C = 52mm ; (δ v )C = 38mm (δ c )C + (δ c )V = 53mm ; (δ v )C + (δ v )V = 40mm C (δ c )V = V (δ v )C

C =V

(δ v )C 38 = 1000 ⋅ = 38000kg (δ c )V 53 − 52


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Chapitre 14

Exemple 3 Sur la poutre suivante, lorsque P =10 kN on mesure le déplacement au point p, (δp)P = 12 mm et le déplacement au point q, (δq)P = 9 mm. Si, par la suite, on ajoute une force Q = 5 kN en q, sans rien mesurer à nouveau. On demande de trouver (δp)total

y

P p•

(δ ) = ? P (δ p )Q = Q (δ q )P où (δ q )P = 9mm p Q

•q L P

p

Solution

x z

•

y

Q

x z

•q L

(δ p )total = (δ p ) P + (δ p )Q

P = 10kN et Q = 5kN

(δ p )Q = Q (δ q )P = P

5 ⋅ 9 = 4,5 mm 10

(δ p )total = 12 + 4,5 = 16,5 mm


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Chapitre 14

Théorème de Castigliano • Au delà de ces quelques petites utilités, le théorème de MaxwellBetti intervient dans la démonstration du théorème de Castigliano. – Du théorème de Castigliano on déduit une technique puissante basée sur l’énergie de déformation pour faire le calcul du déplacement (ou rotation, ou déplacement angulaire) en divers points d’une structure supportant plus d’un chargement (ex. tension, torsion et flexion superposées).

• Th. de Castigliano n’est valide que pour des structures en équilibre – Taux de variation de l’énergie de déformation d’un corps, par rapport à toute force indépendante P, est égal à la flèche au point d’application de cette force, suivant la direction de la force

∂U =δP ∂P

∂U =θ ∂M

∂U =ϕ ∂T


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Chapitre 14

Démonstration du Th. de Castigliano Une poutre encastrée est en équilibre sous l’effet de n forces. Sous la force Pn, la flèche (δ n ) est (δn)∑P due à toutes les forces Pi ; les forces Pi constituent le système I. En particulier, sous la force Pk, la flèche est (δk)∑P.

∑P

Pn

P2 P1

Pk (δ k )

∑P

a) Équilibre sous système I

Si on ajoute une force ΔPk (système II) à la force Pk, la nouvelle position d’équilibre de la poutre est comme à la figure (b) Entre les positions a) et b), l’énergie emmagasinée dans la poutre change d’une quantité ΔU

(δ n )

Pn

ΔPk

∑P

(δ n )ΔPk

P2 P1

Pk (δ k )ΔPk

(δ k )

∑P

b) Équilibre sous systèmes I et II Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Démonstration du Th. de Castigliano L’énergie emmagasinée dans la poutre change d’une quantité ΔU n 1 ΔU = ⋅ ΔPk ⋅ (δ k )ΔPk + ∑ Pi ⋅ (δ i )ΔPk 2 i =1

Selon le Th. de Maxwell-Betti

n

∑ P ⋅ (δ ) i =1

i

i ΔPk

= ΔPk ⋅ (δ k )∑ Pi

1 ΔU = ⋅ ΔPk ⋅ (δ k )ΔPk + ΔPk ⋅ (δ k )∑ Pi 2 En divisant des deux côtés par ΔPk

ΔU 1 = ⋅ (δ k )ΔPk + (δ k )∑ Pi ΔPk 2

(δ n )

Pn

ΔPk

∑P

(δ n )ΔPk

P2 P1

Pk (δ k )ΔPk

(δ k )

∑P

P

P

ΔPk

Pi 1 ΔPk ⋅ (δ k )ΔPk 2

δ

(δk )ΔPk

Pi ⋅ (δi )ΔPk

δ

(δi )ΔPk

À la limite, ΔPk → 0, (δ k )ΔPk → 0 et

∂U = (δ k )∑ P i ∂Pk


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5


Chapitre 14

Théorème de Castigliano Pour un système en équilibre, sollicité par des forces P, Q, R, S, Z et un moment M, P le théorème de Castigliano devient :

R Q

•

• M

Z S

∂U =δp ∂P où U = U ( P, R, Q, M , S et Z ) ∂U =θ ∂M Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Méthodes énergétiques chapitres 9 et 14 • Objectifs – Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des déplacements, rotations ou rotations angulaires de structures isostatiques • Faire l’équilibre de structures isostatiques • Trouver les efforts internes dans une structures • Appliquer le théorème de Castigliano


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5


Chapitre 14






29

5


Chapitre 14

Méthode de calcul Soit une structure sollicitée par un A y ensemble de forces R et Q. z x Les efforts internes sur la membrure AB seront un moment MzAB (autour de z) TAB M AB et MyAB (autour de y), • P A un moment de torsion TAB et une force axiale, M = M ( R) ; montrée en tension P = P(Q) ici, P où. zAB

zAB

R B

Q

C

M AB B

•

TAB

P

M = M (Q) yAB

yAB

T = T ( R) AB

AB


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Chapitre 14 R

Selon Castigliano, le déplacement du point c sous la force R s ’exprime : δc =

Or,

∂U ∂R

TAB

y

A

B

z

x C

M AB

P

• A

M AB B

•

Q

TAB

P

Li Pi 2 ⋅ Li Ti 2 ⋅ Li M i2 ⋅ dx U =∑ +∑ +∑ ∫ 2 ⋅ Ai ⋅ Ei 2 ⋅ Gi ⋅ J i 0 2 ⋅ Ei ⋅ I i

En exécutant la dérivée de U par rapport à R, on obtient :

( )

( )

( )

∂ 2 ∂ 2 ∂ Pi ⋅ Li Ti ⋅ Li M i2 ⋅ dx Li δ c = ∑ ∂R + ∑ ∂R + ∑ ∫ ∂R 2 ⋅ Ai ⋅ Ei 2 ⋅ Gi ⋅ J i 0 2 ⋅ Ei ⋅ I i


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Chapitre 14

∂Ti 2 ∂M i2 ∂Pi 2 ⋅ dx ⋅ Li ⋅ Li Li + ∑ ∫ ∂R + ∑ ∂R δ c = ∑ ∂R 2 ⋅ Ai ⋅ Ei 2 ⋅ Gi ⋅ J i 0 2 ⋅ Ei ⋅ I i ∂Ti ∂M i ∂Pi 2 ⋅ Pi 2 ⋅ Ti ⋅ ⋅ Li ⋅ dx ⋅ Li Li 2 ⋅ M ⋅ ∂R ∂R ∂R δc = ∑ +∑ ∫ +∑ 2 ⋅ Ai ⋅ Ei 2 ⋅ Gi ⋅ J i 2 ⋅ Ei ⋅ I i 0

δc = ∑

∂M i ∂Pi ∂T M ⋅ ⋅ dx ⋅ Li Ti ⋅ i ⋅ Li Li ∂R ∂R ∂R +∑ ∫ +∑ Ai ⋅ Ei Gi ⋅ J i Ei ⋅ I i 0

Pi ⋅


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5


Chapitre 14

Problème: 14.2 de la fin du manuel R des M On demande de calculer le déplacement vertical du point C sous la force P à l’aide du théorème de Castigliano. P

L A

B

y

z

x

C•

l

Dans la solution de ce problème, on ne tiendra pas compte de l ’énergie de déformation associée à l ’effort tranchant Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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Chapitre 14

Solution selon la méthode de Castigliano :

δc = ∑

∂T ∂M i ∂Pi ⋅ dx ⋅ Li ⋅ Ti ⋅ i ⋅ Li M Li ∂R ∂R ∂R +∑ +∑ ∫ Ai ⋅ Ei Gi ⋅ J i Ei ⋅ I i 0

Pi ⋅

Membrure BC où Pi = 0, il n' y a pas de force interne axiale

TBC = 0, il n' y a pas de moment de torsion interne P P M BC = P ⋅ z B V C

C

• l

P ⋅ z = M BC

• z


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5

Chapitre 14

Solution selon la méthode de Castigliano : ∂Ti ∂M i ∂Pi ⋅ Li ⋅ dx ⋅ Li Pi ⋅ Ti ⋅ Li M ⋅ ∂R ∂R ∂R δc = ∑ +∑ +∑ ∫ Ai ⋅ Ei Gi ⋅ J i Ei ⋅ I i 0

Membrure AB où Pi = 0, il n' y a pas de force interne axiale

M AB = P ⋅ x P

L

A

B

y

z

x

C•

l

P ⋅ l = TAB

TAB = P ⋅ l V

P

x

B

P ⋅ x = M AB C •


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5


Chapitre 14

∂Ti ∂M i ∂Pi ⋅ dx ⋅ Li ⋅ Li Pi ⋅ Ti ⋅ Li M ⋅ ∂P ∂P ∂P δc = ∑ +∑ +∑ ∫ Ai ⋅ Ei Gi ⋅ J i Ei ⋅ I i 0 AB

δc =

P ⋅l

BC

M BC = P ⋅ z

M AB = P ⋅ x TAB = P ⋅ l

∂(P ⋅ x ) ∂(P ⋅ z ) ∂(P ⋅ l ) ⋅ dz ⋅ dx l P ⋅ z ⋅L LP⋅x ∂P ∂P ∂P +∫ +∫ G⋅J E⋅I E⋅I 0 0

P ⋅ l ⋅ l ⋅ L L P ⋅ x ⋅ x ⋅ dx l P ⋅ z ⋅ z ⋅ dz δc = +∫ +∫ 0 0 G⋅ J E⋅I E⋅I

(

)

P ⋅ l3 P P ⋅ l 2⋅ L P ⋅ L3 P ⋅ l 2⋅ L 3 3 + + l +L + δc = = G⋅J 3⋅ E ⋅ I 3⋅ E ⋅ I 3⋅ E ⋅ I G⋅J Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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5


Chapitre 14

Application aux systèmes isostatiques Exemple 14.4 : P a) Trouver la flèche en A y x A b) Trouver la flèche en B z c) Trouver la rotation en A Solution : a) Calcul de flèche en A À l’aide de Castigliano ∂U =δA ∂P M ∂ M AC Px δ A = ∫ AC ⋅dx = ∫ xdx E ⋅ I ∂P EI 0 0 L

P y

L/2 C

B

L

V x

M AB = P ⋅ x

z

Efforts internes entre A et C

L

P ⋅ L3 δp = 3⋅ E ⋅ I


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5


Chapitre 14

b) Flèche en B Si on veut appliquer le théorème de Castigliano pour évaluer δB il faut qu’il y ait une force en B. Puisqu’il n’y en a pas sur la poutre étudiée, nous appliquerons une force fictive égale à Q, et nous poserons sa valeur égale à zéro une fois que la dérivée de U Q par rapport à Q aura été obtenue. P L/ 2 Il faut établir l’équation du moment C B A fléchissant entre A et B et entre B et C L y

x z

∂U δB = ∂Q

Q= 0

=∫

xC M BC ∂M BC ∂M AB dx + ∫ dx xB EI EI ∂Q ∂Q

xB M AB

xA


38


5

Chapitre 14

de A à B (0 ≤ x ≤ L/2)

∑M

o

P

= M AB − P ⋅ x = 0

V

y

M AB = P ⋅ x

z

x

de B à C (0 ≤ x ≤ L/2)

∑ M o = M BC − P ⋅ ( M BC

o

A

L + x )−Q⋅ x = 0 2

L = P ⋅( + x ) + Q ⋅ x 2

M AB

x

Q

P

o

B

A

V

L/2

M BC

x

Note: on change de repère pour x


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5

∂U δB = ∂Q

δB =

L/2

∫ 0

Chapitre 14 M AB = P ⋅ x

Q= 0

=∫

L/ 2

0

L L/ 2 M M AB ∂M AB M P ( = ⋅ + x )+ Q⋅ x BC ∂M BC BC dx + ∫ dx 2 0 EI ∂Q EI ∂Q

( P ⋅ x) ∂ ( P ⋅ x) ⋅dx + ∂Q EI

L/2

∫ 0

L L [ P ⋅ ( + x) + Q ⋅ x] ∂[ P ⋅ ( + x) + Q ⋅ x] 2 2 ⋅dx ∂Q EI

L L/2 L / 2 [P ⋅ ( + x) + Q ⋅ x] ( P ⋅ x) ⋅ 0 2 δB = ∫ ⋅dx + ∫ ⋅ x ⋅ dx EI EI 0 0

δB =0 +

L/2

∫ 0

Avec Q = 0

L L/2 L/2 [ P ⋅ ( + x)] ⎤ ⎡ L 2 2 x ⋅dx = ⎢ ∫ P ⋅ ⋅ x ⋅dx + ∫ P ⋅ x ⋅dx ⎥ 2 EI 0 ⎦ ⎣0 2

P L 1 ⎛L⎞ P 1 ⎛L⎞ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ δB = EI 2 2 ⎝ 2 ⎠ EI 3 ⎝ 2 ⎠

3

1 EI

5 ⋅ P ⋅ L3 δB = 48 ⋅ E ⋅ I


40

5


Chapitre 14

c) Rotation en A = θ A Pour calculer la rotation de la poutre en A, il faut qu’il y ait un moment concentré appliqué à ce point. Nous appliquerons un moment MA fictif au point A. P M A ( FICTIF ) L/ 2 Une seule équation est nécessaire C B A y pour évaluer le moment L x fléchissant entre A et C. ∂U θA = ∂M A

L

M A =0

M AC = ∫ E⋅I 0

⎛ ∂M AC ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟dx ⎝ ∂M A ⎠

z

M A ( FICTIF ) P

o

A

V

x

M AC

Nous poserons MA= 0 une fois que le terme de droite de l’équation aura été complètement développé.


41

5


Chapitre 14

de A à C (0 ≤ x ≤ L)

P

M A ( FICTIF )

∑ M o = − M AC + P ⋅ x + M A = 0

L x L

M A =0

C

B

A

y

M AC = P ⋅ x + M A

∂U θA = ∂M A

L/ 2

M AC = ∫ E⋅I 0

z

⎛ ∂M AC ⎞ ⎟⎟dx ⎜⎜ ⎝ ∂M A ⎠

M A ( FICTIF ) P

M AC

o

A

V

x L

θA = ∫ 0

(P ⋅ x + M A ) ⎛⎜ ∂(P ⋅ x + M A ) ⎞⎟dx = L (P ⋅ x + M A ) ⋅ ( 1 ) ⋅ dx E⋅I

⎜ ⎝

∂M A

P ⋅ x ⋅ dx θA = ∫ E⋅I 0 L

Avec MA = 0

⎟ ⎠

∫ 0

E⋅I

P ⋅ L2 θA = 2⋅E ⋅I


42

5


Chapitre 14

Exemple: 14.5, manuel R. des M. : δ A =

∂U ∂F

δB =

∂U ∂G

y

P

x

P

B

A L/4

P/2

L/4

z

C L/2

P/2

P/2 = G

P/2 = F F étant une variable qui remplace P/2 pour enlever la confusion

A

B

C

MC L/2

L Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

RC

43

5


Chapitre 14

Méthodes énergétiques chapitres 9 et 14 • Objectifs – Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer les réactions aux appuis de structures hyperstatiques – Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des déplacements, rotations ou rotations angulaires de structures hyperstatiques – Savoir la définition de l’aire effective en cisaillement – Calculer l’énergie de déformation en tenant compte de l’effort tranchant


44

5


Chapitre 14






45

5


Chapitre 14

14.4.2 Applications aux systèmes hyperstatiques w

y

Cette poutre est hyperstatique: A il n’y a pas suffisamment d’équations d’équilibre pour calculer les réactions. y Il y a trois inconnues: Ra, Rb et Mb. A Deux équations d’équilibre sont disponibles: ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0 RA Par conséquent, il manque une équation.

x B

L

w

MB x B

L

RB

On peut lever l’indétermination en posant une équation de compatibilité et en transformant cette équation en équation de forces ou de moments à l’aide du théorème de Castigliano. Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

46

5


Chapitre 14

Méthode de solution d’un système hyperstatique • poser les équations d’équilibre y disponibles

w

MB x

A

• déterminer le nombre d’équation(s) RA d’équilibre manquante(s), N N = degré d’hyperstaticité (N = 1 pour notre cours)

L

B

RB

Pour la poutre montrée, il manque une équation; le système est hyperstatique du premier degré


47

5


Chapitre 14

Méthode de solution (suite) • établir N équations de compatibilité – Pour la poutre montrée, on connaît trois conditions de compatibilité: y w A

δA = 0

δB = 0

θB = 0

L RA

MB x B

RB

– Le système étant hyperstatique du premier degré, on choisit une seule condition de compatibilité et la réaction correspondante est appelée surabondante (R)


48

5


Chapitre 14

Méthode de solution (suite) a) si on choisit δA = 0, RA est la réaction surabondante ∂U ∂U = =δA y ∂R A ∂R w b) si on choisit δB = 0, RB est la réaction surabondante ∂U ∂U = = δB ∂RB ∂R

A

RA

MB x B

L

RB

c) si on choisit θB = 0, MB est la réaction surabondante ∂U = θB ∂M B Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

49

5


Chapitre 14

Méthode de solution (suite) • Exprimer toutes les réactions en fonction de la réaction surabondante et du chargement. • Appliquer Castigliano: Les efforts internes et l’énergie de déformation doivent être exprimés en fonction de la réaction surabondante et du chargement seulement.


50

5


Exemple : On demande de calculer a) les réactions aux appuis b) l’angle de rotation θ A au point A de cette poutre.

Chapitre 14 w, N / m

C

B

A

L

L

Cette poutre est hyperstatique car elle est appuyée sur trois appuis simples A, B et C: – 3 réactions inconnues, soit RA, RB et RC – 2 équations d’équilibre disponibles, soit ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0 La solution est d’utiliser le théorème de Castigliano. Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

51

5


Chapitre 14

Résumé: Procédure pour trouver les réactions aux appuis d’un problème hyperstatique est : 1. Choisir une condition de compatibilité et déclarer la réaction correspondante surabondante (R) 2. Établir les équations d’équilibre. Les réactions sont exprimées en fonction du chargement et de la force surabondante 3. Établir les équations des efforts internes et les exprimer en fonction du chargement et de la surabondante 4. Appliquer le théorème de Castigliano à la condition de compatibilité choisie – Permet de déterminer la surabondante (R) – Déterminer les autres réactions aux appuis à l’aide des équations d’équilibre Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

52

5

Résistance des matériaux II RA = R

1. Réactions aux appuis

On choisit δ A comme condition de compatibilité ∂U =δA = 0 ∂R A

Chapitre 14 w, N / m C

B

A

L

RB

L

RC

La force RA est déclarée surabondante


53

5


Chapitre 14

RA = R

2. Équilibre

RA = R

w, N / m

L

∑M

C

C

B

A

RB

L

∑F

=0

y

w ⋅ L2 RB ⋅ L = + 2⋅ R⋅ L 2 w⋅ L RB = + 2⋅ R 2

RC

=0

RC = w ⋅ L + R − RB w⋅ L RC = −R 2

Les réactions sont exprimées en fonction de R et du chargement seulement Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

54


5

w, N / m

RA = R

3. Efforts internes

L

V

O• A

M AB

C

B

A

R

Chapitre 14

RB

L

RC

M BC

V

•O

x

De A à B : 0 < x < L

∑ M O= 0 ⇒ M AB = R ⋅ x Les efforts internes sont exprimées en fonction de R et du chargement seulement

C

x

RC

De B à C : 0 < x < L

w ⋅ x2 =0 ∑ M O =M BC − RC ⋅ x + 2 w⋅ L w ⋅ x2 ⎛ ⎞ − R⎟⋅ x − M BC = ⎜ 2 ⎝ 2 ⎠


55

5


Chapitre 14 M AB = R ⋅ x

4. Appliquer la condition de compatibilité

M BC

w⋅ x ⎛ w⋅ L ⎞ =⎜ − R⎟⋅ x − 2 ⎝ 2 ⎠

2

∂M BC ⎞ ∂M AB ⎞ ⎛ ⎛ ⎟ ⋅ dx ⎟ ⋅ dx L M BC ⎜ L M AB ⎜ ∂U ⎝ ∂R ⎠ ⎝ ∂R ⎠ +∫ =0 =δA = ∫ E⋅I E⋅I ∂R 0 0 2⎤ L⎡ ⋅ w L w x ⋅ ∂U L = ∫ ( R ⋅ x ) ⋅ ( x ) ⋅ dx + ∫ ⎢⎛⎜ − R ⎞⎟ ⋅ x − ⎥ ⋅ (− x ) ⋅ dx = 0 2 ⎦ ∂R o ⎠ 0 ⎣⎝ 2

∂U R ⋅ L3 w ⋅ L ⋅ L3 R ⋅ L3 w ⋅ L4 =0 = − + + 3 2⋅3 3 2⋅4 ∂R

w⋅ L R= 16

Avec les équations d’équilibre

RC =

7⋅ w⋅ L 16

5⋅ w⋅ L RB = 8


56

5


Chapitre 14

b) Rotation θ A de la poutre en A

w, N / m

La tâche est facile avec Castigliano, sachant que ∂U θA = ∂MA Le problème est qu ’il n ’y a pas de moment concentré MA au point A! A MA Que fait-on? On ajoute un moment fictif.

C

B

A

L

L

RA =

w⋅ L 16

w, N / m C

B

RC =

L

5⋅ w⋅ L RB = 8

7⋅ w⋅ L 16

L

Mais, par le fait même, on perturbe l’équilibre de la poutre Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

57

5


Truc pour restaurer l’équilibre Comment? On garde les réactions calculées précédemment On équilibre seulement le moment fictif MA en ajoutant des forces :

Chapitre 14 RA =

w⋅ L 16

C

B

A

MA

w, N / m

RC =

L

RB =

5⋅ w⋅ L 8

7⋅ w⋅ L 16

L

• qui ont un moment égal et opposé à celui du moment ajouté • qui sont d’intensité égale et opposée pour ne pas perturber l’équilibre de la poutre dans la direction y • qui s’appliquent aux points d’appui de la poutre pour ne pas perturber la déformée de la poutre et pour ne pas ajouter de l’énergie de déformation dans la poutre


58


5

Alternative 1

MA /L RA =

w⋅ L 16

MA

L

M A / 2⋅ L RA = A

MA

w⋅ L 16

RA =

C

RC =

7⋅ w⋅ L 16

L

A

MA

w⋅ L 16

w, N / m C

B 5⋅ w⋅ L RB = 8

RC = L

L

MA /L

MA /L

7⋅ w⋅ L 16

MA /L

Alternative 3 w, N / m

C

B 5⋅ w⋅ L RB = 8 L

Alternative 2

w, N / m

B 5⋅ w⋅ L RB = 8

A

Chapitre 14

RC = L

7⋅w⋅ L 16

M A / 2⋅ L

• Les trois alternatives permettent d’annuler MA et de garder la poutre en équilibre en y. • Le choix d’une alternative plutôt qu’une autre est basé sur une question d’expérience. • Ici, c’est l’alternative 1 qui semble et s’avérera la plus avantageuse.


59

5


Chapitre 14 Alternative 1

MA /L RA =

Les efforts internes A

De A à B : 0 < x < L

MA

MA /L V

MA R A

A

x

O•

w⋅ L 16

w, N / m C

B 5⋅ w⋅ L RB = 8

L

RC =

7⋅ w⋅ L 16

L

MA /L

De B à C : 0 < x < L

M AB

O• M BC

∑ MO = 0 ⇒ M AB

V

C x

RC

∑ MO = 0 ⇒

MA = M A + RA ⋅ x − ⋅x L

M BC

w ⋅ x2 = RC ⋅ x − 2


60


5

Chapitre 14 M AB = M A + RA ⋅ x −

Selon Castigliano

M BC

θA =

θA

∂U ∂M A

M A =0

⎛ ∂M BC ⎞ ⎛ ∂M AB ⎞ M dx M ⋅ ⎟ ⋅ dx ⎜ ⎟ BC ⎜ AB L L ∂M A ⎠ ∂M A ⎠ ⎝ ⎝ =∫ +∫ E⋅I E⋅I 0 0

⎡L MA ⎛ 1 − x ⎞ ⋅ dx ⎤ ( M R x x ) + ⋅ − ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ A A ⎥ ⎢∫ L L ⎝ ⎠ 0 1 ⎢ ⎥ = L⎛ ⎥ E⋅I ⎢ w ⋅ x2 ⎞ ⎟ ⋅ (0 ) ⋅ dx + ∫ ⎜⎜ RC ⋅ x − ⎥ ⎢ ⎟ 2 ⎠ 0⎝ ⎦⎥ ⎣⎢

En posant MA = 0

⇒

MA ⋅x L

w ⋅ x2 = RC ⋅ x − 2

w⋅ L RA = 16 7⋅ w⋅ L RC = 16

1 ⎛ R A ⋅ L2 ⎞ 1 w L3 ⎟= θA = ⋅ ⋅ ⎜⎜ ⎟ E ⋅ I ⎝ 6 ⎠ E ⋅ I 96


61

5


Chapitre 14 y

Exemple: On demande de calculer θ A pour la poutre illustrée ci-contre

w, N / m

A

L

x

z

B

Les réactions RA, RB et le moment MB sont déjà connus. w, N / m

A

L RA =

3⋅ w ⋅ L 8

w ⋅ L2 MB = 8

B RB =

5⋅ w⋅ L 8

Pour pouvoir calculer θ A, il faut ajouter un moment fictif concentré en A et ensuite restaurer l’équilibre. Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

62


5

Chapitre 14

Deux alternatives sont possibles Alternative 1

M AB

w, N / m

MA

w ⋅ L2 = 8

MA

A

B

L RA =

3⋅ w⋅ L 8

L’alternative 1 est possible parce que l’encastrement B peut reprendre un moment sans que de l’énergie de déformation soit ajoutée au système.

RB =

5⋅ w⋅ L 8

Alternative 2 MA /L MA

w, N / m

A

B

L RA =

3⋅ w⋅ L 8

w ⋅ L2 MB = 8

RB =


5⋅ w⋅ L 8 MA /L 63

5


Chapitre 14 w ⋅ L2 MB = 8

On choisit l’alternative 1. w, N / m

MA

Efforts internes

A

L 3⋅ w⋅ L RA = 8

De A à B :

∑ M O = 0 ⇒ M AB

B 5⋅ w⋅ L RB = 8

MA

w ⋅ x2 = + M A − RA ⋅ x 2 w, N / m

MA

A x RA =

3⋅ w⋅ L 8

O•

M AB

V


64

5


Appliquant Castigliano :

Chapitre 14

w, N / m M AB

A x

MA RA =

θA

∂U = ∂M A

w ⋅ x2 = + M A − RA ⋅ x 2

3⋅ w⋅ L 8

LMA M AB ∂ M AB dx = ∫ =∫ 0 E ⋅ I ∂M A 0

L

M A =0

En posant MA = 0,

V w ⋅ x2 + − RA ⋅ x 2 ⋅(1) ⋅ dx E⋅I

w ⋅ L3 θ =− A ⇒ 48 ⋅ E ⋅ I dans le sens inverse de MA fictif


65

5


Chapitre 14






66

5


Chapitre 14

Jusqu’ici, on a négligé l’apport de l’énergie de déformation associée à l’effort tranchant dans le calcul de la flèche ou de l’angle de rotation. La notion de l’aire effective en cisaillement Ac simplifie considérablement le calcul de l’énergie de déformation due à l’effort tranchant et permet ainsi de tenir compte de l’effort tranchant dans le calcul de la flèche et de l’angle de rotation.

Ac devient une propriété de la section au même titre que les moments d’aire et que la constante de torsion


67

5


Chapitre 14

Aire effective de cisaillement Ac est déterminée de façon à ce que l’énergie de déformation, • calculée en utilisant la distribution moyenne de la contrainte de cisaillement agissant sur l’aire Ac par : V τm = Ac au lieu de la distribution réelle: V = ∫ τ dA • soit équivalente à l’énergie de déformation calculée en utilisant la distribution réelle de la contrainte de cisaillement sur la section


68

5


Chapitre 14

Ainsi, pour une contrainte de cisaillement τ, l ’énergie de déformation U est donnée par : 1 U = ∫ τ ⋅ γ ⋅ dV 2V Puisque :

γ =τ /G

on peut écrire : U=

1 2 τ ⋅ dA ⋅ dx ∫ ∫ 2⋅G L A

(a)


69

5


Chapitre 14

En considérant la contrainte de cisaillement moyenne agissant sur l ’aire effective de cisaillement, l ’énergie de déformation est donnée par : 1 1 2 2 U= τ ⋅ dA ⋅ dx = τ m m ⋅ Ac ⋅ dx ∫ ∫ ∫ 2⋅G L A 2⋅G L

Puisque

τ m = V / Ac 1 V2 U= ⋅ dx ∫ 2 ⋅ G L Ac

(b)


70

5


U=

Chapitre 14

1 2 τ ⋅ dA ⋅ dx ∫ ∫ 2⋅G L A

2 1 V U = ∫ ⋅dx 2⋅G L A

(a)

(b)

c

En comparant (a) et (b), on tire :

V2 = ∫ τ 2 ⋅ dA Ac A V2 Ac = 2 ∫ τ ⋅ dA

(c)

A


71

5


Chapitre 14

L’aire effective de cisaillement Ac d’une section est déterminée en utilisant (c). Lorsque sa valeur est connue, l’énergie de déformation due à l’effort tranchant peut alors être calculée facilement en utilisant (b).

1 V2 U= ⋅ dx ∫ 2 ⋅ G L Ac V2 Ac = 2 ∫ τ ⋅ dA

(b)

(c)

A


72

5


Chapitre 14

Aire effective de cisaillement Exemple : Déterminer l’aire effective de cisaillement AC d’une poutre de section rectangulaire.

τ=

⎛h ⎞ b⎜ − y ⎟ ⎝2 ⎠

V y ⋅ Qz Iz ⋅b

h

z

y

Vy

y 1⎛h ⎞ ⎜ + y⎟ 2⎝2 ⎠

τ

x

b

b ⋅ h3 Iz = 12 1 h h ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ Qz = A ⋅ y = ⎢b ⋅ ( − y ) ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ ( + y )⎥ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣2 2

⎤ 6 ⋅V y ⎡⎛ h ⎞ 2 2 ⋅ −y ⎥ τ= 3 ⎢⎜ ⎟ b ⋅ h ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦


73

5


Chapitre 14

Aire effective de cisaillement Exemple (suite) : Section rectangulaire

∫τ A

h/2

2

⋅ dA = 2 ⋅ b ∫ 0

2

V2 Ac = 2 ∫ τ ⋅ dA

⎤ 36 ⋅V ⎡⎛ h ⎞ 2 ⎢⎜ ⎟ − y ⎥ ⋅ dy 2 b ⋅ h ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ 2 y 6

2

A

2 h/2 4 2 ⎤ ⎡ ⋅ 72 V h⎞ h⎞ ⎛ ⎛ y 2 4 2 ∫A τ ⋅ dA = b ⋅ h6 ∫0 ⎢⎣⎜⎝ 2 ⎟⎠ − 2 ⋅ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⋅ y + y ⎥⎦ ⋅ dy 2 5 5 5 ⎡ ⎤ 6 ⋅V 2 ⋅ 72 V h 2 h 1 h ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ y 2 ∫A τ ⋅ dA = b ⋅ h6 ⋅ ⎢⎣⎜⎝ 2 ⎟⎠ − 3 ⋅ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ + 5 ⋅ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥⎦ = 5 ⋅ b ⋅ h

5⋅b ⋅ h 5⋅ A Ac = = 6 6 Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

74

5


Chapitre 14

Aire effective de cisaillement (Ac) Exemples de section Tube rond à paroi mince y

Tube rectangulaire à paroi mince y t

A Ac = π ⋅ R ⋅ t = 2

z

R

Ac ≈ 2 ⋅ h ⋅ t

t h

z

b

Tube rond plein Ac =

9 ⋅π ⋅ R 2 10

Poutre en I R

Ac ≈ w ⋅ h

y t

w

z

h

b


75


5

Chapitre 14

Théorème de Castigliano Exemple : Déterminer la contribution de l’effort tranchant à la flèche au point d’application de la force P P P

V M AB

•o

A B

o

= 0 ⇒M AB = P ⋅ x

V =P

B

L

x

De A à B : 0 < x < L

∑M

W 200x52

E = 200 x103 MPa

; G = 77x103 MPa

I = 52,7 x106 mm 4 A c = w x h = 7,9mm x 206 mm = 1627 mm 2

∂U Selon Castigliano : δ B = ∂P Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

76


5

L

Chapitre 14

L

2 M AB V2 U =∫ dx + ∫ dx 2⋅ E ⋅ I 2 ⋅ G ⋅ Ac 0 0

δB =

MAB = P·x V=P

M (∂M AB / ∂P ) V (∂V / ∂P ) ∂U dx + ∫ dx = ∫ AB E⋅I G ⋅ Ac ∂P 0 0 L

L

L P ⋅ x( x ) P(1) P ⋅ L3 P⋅L δB = ∫ dx + ∫ dx = + E⋅I 3 ⋅ E ⋅ I G ⋅ Ac 0 0 G ⋅ Ac L

P⋅L ⎡ 3⋅ E ⋅ I ⎤ ⋅ ⎢1 + δB = 3 ⋅ E ⋅ I ⎣ G ⋅ Ac ⋅ L2 ⎥⎦ 3

P ⋅ L3 ⋅ [1 + α ] δB = 3⋅ E ⋅ I 253x103 α= L en mm L2

Plus la poutre est courte, plus la contribution de l’effort tranchant à la flèche est importante. L, mm

α

α

500

1,012

0,503

1000

0,253

0,202

2000

0,063

0,059

4000

0,016

0,016

1+α


77

5


Chapitre 14

Théorème de Castigliano Problème synthèse: Portique Déterminer les réactions aux appuis de ce portique

w, N / m

•

B

D

C L/2

L/2

L

Les joints en B et D sont rigides; les attaches en A et E sont des rotules E

A L


78


5

Chapitre 14

w, N / m B

w, N / m

D

C

•

B

D

C L/ 2

L/ 2

L

HA = R

HE = R

E

E

A L

A

VE • Quatre réactions inconnues et trois équations d ’équilibre disponibles

VA

∑F = 0 ;∑F x

y

= 0 ;∑M z = 0

•Problème hyperstatique du premier degré; on choisit une équation de compatibilité : δAH = δA = 0 • HA est la réaction surabondante Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

79

5

B

A


•

D

C

E

Chapitre 14

B

•

D

C

A


E

80


5

Chapitre 14

w, N / m B

w, N / m

D

C

•

B

D

C L/ 2

L/ 2

L

HA = R

E

HE = R

E

A L

A

VE

VA

Par symétrie, on peut poser VA=VE=(wL)/2. La valeur de HA et HE sera obtenue à l ’aide de :

∑F

x

= 0 ⇒ HA = HE

∂U δA = =0 ∂H A


81

5



Efforts internes B

De A à B : 0 < x < L De D à E : 0 < x < L

L

M AB = R ⋅ x

x

PAB

w⋅ L PAB = − 2 VAB = R

D

C

E

VAB

o•

HA = R A

M AB

VA =

x

w⋅ L 2

HE = R

VE

HA = R A

VA =

w⋅ L 2


82

5



Efforts internes

D

B

De B à D : 0 < x < L

x

w ⋅ x2 w⋅ L + R⋅L− M BD = ⋅x 2 2 VBD M w , N / m BD PBD = R VBD

w⋅ L = w⋅ x − 2

• o

B

x

PBD

HA = R

E

HE = R

A

w⋅ L VA = 2

VE

HA = R A

VA =

w⋅ L 2


83

5


w ⋅ x2 w⋅ L + R⋅L− M BD = ⋅x 2 2 PBD = R

M AB = R ⋅ x PAB = −

Chapitre 14

w⋅ L 2

VAB = R

VBD = w ⋅ x −

w⋅ L 2

Selon Castigliano:

∂U M i (∂M i / ∂R )dx Vi (∂Vi / ∂R )dx Pi (∂Pi / ∂R )L δA = = 0 = ∑∫ + ∑∫ +∑ ∂R E⋅I G ⋅ Ac E⋅A 0 0 L

L

A B et DE

1 − wL(0 )L ∂U Rx( x )dx R(1)dx = 2∫ + 2∫ +2 2 + ∂R E⋅I E⋅A 0 0 G ⋅ Ac L

L

⎛ RL + 1 wx 2 − 1 wLx ⎞( L )dx ⎛ wx − wL ⎞(0 )dx ⎟ ⎟ L⎜ L⎜ R(+ 1)L 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ +∫ + =0 ∫0 E⋅I G ⋅ Ac E⋅A 0 BD Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

84


5

Chapitre 14

4 4 wL wL RL3 + − 3 2 RL ∂U 2 RL 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 + RL = 0 = + + ∂R 3E ⋅ I G ⋅ Ac E⋅I E⋅A

R=

Si

alors

w⋅ L 4

1 ⎛ EI ⎞ ⎛ I ⎞ ⎟ + 3⎜ 2 ⎟ 5 + 6⎜⎜ 2⎟ ⎝ Ac GL ⎠ ⎝ AL ⎠

⎛ EI ⎞ ⎜⎜ ⎟ <<< 1 et 2 ⎟ ⎝ Ac GL ⎠

R≈

wL = R' 20

⎛ I ⎞ <<< 1 ⎜ 2⎟ ⎝ AL ⎠

Conclusion : L’effet de l’effort tranchant et de la force axiale sur l’énergie de déformation est négligeable


85


5

Chapitre 14

Pour un portique fabriqué d ’un profilé W200x52 : I = 52,7 x106 mm 4 , A = 6660mm 2 et Ac = 1350mm 2

R' =

wL 20

w⋅ L R= 4

1 ⎛ EI ⎞ ⎛ I ⎞ ⎟ + 3⎜ 2 ⎟ 5 + 6⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ Ac GL ⎠ ⎝ AL ⎠

L, mm

R/w x10-3

R’/w=L/20 x10-3

R’/R

500

16,596

25

1,506

1000

44,405

50

1,127

2000

96,974

100

1,032

4000

198,57

200

1,007


86

5


Chapitre 14

Dans un portique de faible dimension, L = 500 mm, l’effort tranchant contribue pour 50% de la réaction horizontale aux points A et E. Pour un portique aux dimensions plus normales, L = 4 m, cette contribution est de 0,7 %. L, mm

R/w x10-3

R’/w=L/20 x10-3

R’/R

500

16,596

25

1,506

1000

44,405

50

1,127

2000

96,974

100

1,032

4000

198,57

200

1,007


87

Cours RDM

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