– Dalles sur murs – Planchers-da Planchers-dalles lles •
θ
Méthode Métho de des bandes bandes de Hillerb Hillerborg org
b)mécanisme mécanismepour pour a) unepoutre dalle unidirectionnelle unidirection nelle une simple librement appuyée
Structures en béton
Fig. 7.74
Structures en béton
Théorème Théor ème d’unic d’unicité ité
Théorèmes Théor èmes fondam fondamentau entaux x “ Toute charge Qi
à laquelle correspond un mécanisme de ruine cinématiquement admissible est supérieure ou égale à la charge ultime exacte Q u ”
Mécanisme
Equilibre
“ Toute charge Qi à laquelle correspond un
M i stable et statiquement admissible est inférieure ou égale à la charge ultime exacte Qu ”
champ de moments
Structures en béton
Tab. 7.75
Résistance
Fig. 7.77 Structures en béton
1
Propriétés des deux méthodes Condition Explication
Méthode
Méthode
statique
cinématique
Satisfait
Satisfait
Satisfait
à vérifier
à vérifier
Satisfait
Essais de plancher-dalle (face sup.)
Toutes les forces extérieures (y compris les
Équilibre
réactions) appliquées au système doivent s’équilibrer Dans toutes les sections, les efforts internes (sollicitations) doivent être inférieurs ou égaux à
Résistance la résistance ultime, c’est–à–dire à la résistance correspondant à la plastification du béton et de l’acier Un nombre suffisant de rotules plastiques doit se
Mécanisme former afin que la structure puisse se transformer en un mécanisme
Résultat
La méthode donne des résultats qui sont
Structures en béton
du côté de la
du côté de
sécurité
l’insécurité
Tab. 7.77
Lignes de rupture – plancher-dalle
Fig. 7.70
Structures en béton
Lignes de rupture dans un plancher-dalle
a) panneau intérieur
b) champ de bord
Fig. 7.91 Structures en béton
c) porte-à-faux
Fig. 7.92 Structures en béton
Elément infinitésimal de dalle
∂m x ∂m xy + − v x = 0 ∂ x ∂ y m x ⋅ dy Moments dans une ligne de rupture ?
Fig. 7.6
m xy ⋅ dx
m xd + m xyd ≤
m xR γ R
Eq. 7.29 Structures en béton
Structures en béton
2
Critère de Johansen
Deux nappes orthogonales
m p 2 = µ ⋅ m p1 mα = m p ⋅ (cos 2 α 1 + µ ⋅ sin 2 α 2 ) mT α = m p (1 − µ ) ⋅ sin α 1 ⋅ cos α 1 mα = m p ⋅ cos 2 α
Armature isotrope : m p1 = m p2 µ = 1
mT α = m p ⋅ sin α ⋅ cos α
mα = m p
Fig. 7.49 Structures en béton
mT α = 0
Structures en béton
Définition des axes de rotation
Exemples de mécanismes
Fig. 7.80
Fig. 7.81 Structures en béton
Fig. 7.82 Structures en béton
Transformation affine
Mais c’est compliqué avec ces m et des mT … si on avait toujours
=1?
Fig. 7.83 Structures en béton
Structures en béton
3
Transformation affine
Travaux virtuels –
µ mp
µ mp
mp
r x
ξ r x
r x r
r
r
et
m p
Ai = m p ⋅ (a x + b x ) ⋅θ y + µ ⋅ m p ⋅ (a y + b y )⋅θ x
mp
mp
mp
m p
Ae = ∫∫ q ⋅ δ ⋅ dx ⋅ dy
r y
r y
r y
θ x
=
1
r x
; θ y
=
1
r y
Fig. 7.83 Structures en béton
Structures en béton
Travaux virtuels : égalité
Travaux virtuels – avec affinité , m p Ai m p ⋅⋅ξ (a⋅ x(a+ b+ x b) ⋅θ ) y⋅θ + + Aξ i == m p x x y
mp mp
m p ⋅ (a x + b x ) ⋅θ y + µ ⋅ m p ⋅ (a y + b y )⋅θ x = ∫∫ q ⋅ δ ⋅ dx ⋅ dy
θ
ξ r x
1 ⋅ (a + b )⋅ x m p⋅ m p y⋅ (a y y+ b y )⋅ θ x
r
ξ
ξ 2
Aee = ∫∫ q ⋅ δ ⋅ ξ ⋅ dx ⋅ dy = ∫∫ q ⋅ δ ⋅ dx ⋅ dy
r y
Ai = Ae
ξ
Structures en béton
m p ⋅ (a x + b x )⋅θ y +
µ =
ξ 2
1 ξ 2
⋅ m p ⋅ (a y + b y )⋅θ x = ∫∫ q ⋅ δ ⋅ dx ⋅ dy
ξ =
1 µ
Structures en béton
Travaux virtuels
Effet de l’affinité
Quantité
Opération
Dimension parallèle à l’armature qui engendre m p parallèle à l’armature qui engendre µ · m p
inchangée
Charge
inchangée
uniformément répartie
multipliée par 1/ m
Fig. 7.84 Structures en béton
1
Fig. 7.85 Structures en béton
4
Principe des travaux virtuels
Ae = ∫∫qδ ( x, y) ⋅ dx⋅ dy A
(
)
Eq. 7.35
(
Ai = ∑ mi ⋅ si ⋅θ i = ∑ si ⋅ mi ⋅θ i i
Dalle appuyée sur trois côtés mα = m p ⋅ (cos 2 α 1 + µ ⋅ sin 2 α 2 )
)
Eq. 7.36
i
Ae = Ai
Eq. 7.36
Minimiser la charge ultime ou maximiser le moment de rupture Structures en béton
Fig. 7.86 Structures en béton
Calcul des travaux virtuels
En l’an 2003 ? Fig. 7.87 Structures en béton
Structures en béton
Dalle encastrée à son pourtour
Exemple de dalle encastrée qu = 15.1 kN/m2
a b ≥ µ Fig. 7.88 Structures en béton
Fig. 7.89 Structures en béton
5
Théorème d’unicité Mécanisme
Et la précision ?
Equilibre
Résistance
Fig. 7.77 Structures en béton
Structures en béton
Annexe 7.8
Annexe 7.8
Structures en béton
Structures en béton
Annexe 7.8 0.030
1/43.8 0.025
Répartition de l’armature (A7.6) 1/37.7
1/48
0.020 0.015 0.010 0.005 0.000
Structures en béton
Structures en béton
6
Répartition de l’armature (A7.6)
Structures en béton
Annexe 7.8
Structures en béton
Position des lignes de rupture a 2
a 2
a a 2 2
a 2
a 2
a 2
a 2
45°
Application des lignes de rupture aux planchers-dalles
b
45°
a 2
a 2
a 2
dm 2 dm 2
a 2
a) dalle plate
b) champignon > 45°
45°
Fig. 7.90 c) champignon < 45° Structures en béton
Structures en béton
Lignes de rupture d’un champ intérieur
Surface des moments – plancher-dalle
Fig. 7.91 Structures en béton
Fig. 7.93 Structures en béton
7
Distribution des moments M x
Eventail circulaire
-
Moment négatif Mx , le long de l'axe des colonnes 20 %
20 % 15 %
15 %
30 %
0.1 l y 0.1 l y
0.6 l y
0.1 l y 0.1 l y
+
Moment positif Mx , au milieu du champ 50 % 25 % 0.1 l y 0.1 l y
