Objectifs du TP : • Détermination et comparaison comparaison de la déformée et de la flèche d'une poutre droite dans le cas isostatique puis dans le cas hyperstatique. • Influence des liaisons externes. externes. • Etude des contraintes, et contraintes, et de leurs variations le long de la poutre hyperstatique.
Matériel Utilisés : • Bâti de Flexion. • Appuis dynamométriques. • Poutres d’essai de 19 mm de largeur et 1350 1350 mm de long : - 1 en acier. - 1 en laiton. - 1 en aluminium. • Pont d'extensométrie. • Comparateurs. Comparateurs. • Accroche-poids. • Masses marquées.
Hypothèses fondamentales : Les formules et propriétés établies dans la suite de ce compte rendu supposent que : 1) Les matériaux sont homogènes et isotropes. 2) Toutes les forces extérieures exercées exercées sur la poutre sont contenues dans le plan de symétrie de poutre. 3) Hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections droites, planes et p erpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformations. déformations. Il n’y a pas de gauchissement des sections droites. 4) On se place toujours dans le cas de petites déformations. Autrement dit, les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre
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La flexion est un mode de charge tel qu’il apparait dans les sections droites de la barre des moments fléchissons. Une poutre est sollicitée en flexion simple lorsque sa section S est soumise au point G (barycentre de la section) à une action composée d’une résultante T contenue dans le plan de symétrie et un moment
⃗ perpendiculaire à ce dernier. ⃗ est appelé Moment de flexion ou Moment Fléchissant. On dit qu'il y a flexion pure si, à une section donnée d'une poutre, seul le moment fléchissant
⃗ n'est pas nul.
Une poutre sollicitée en flexion pure est soumise seulement à des contraintes normales (tension et compression) car en fléchissant (pliant) une partie des fibres de la poutre (supérieures ou inférieures) est soumise à de la compression et l'autre partie à de la tension. Tandis qu'une poutre sollicitée en flexion simple est soumise aussi à des contraintes normales mais aussi à des contraintes de cisaillement (dû à l'effort tranchant). Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on effectue une coupure fictive (section S) à la d istance x de l’origine A. En isolant le tronçon E 1 (fig. 1), on obtient l’expression des efforts tranchants
fléchissant
⃗
le long de la poutre
En flexion simple
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⃗ 0 et ⃗y 0
⃗ et le moment
Position isostatique : L W1
R1
W2
R2
Dans la portion a+b de la figure, le moment fléchissant a tendance à faire fléchir (plier) la poutre vers le bas, de telle sorte que les fibres inférieures de la poutre sont sollicitées en tension tandis que les fibres supérieures sont sollicitées en compression. Il n'y a pas d'autres efforts que ceux-ci dans cette section. La figure montre qu'on peut assimiler le moment de flexion à deux efforts de tension et de compression.
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Position Hyperstatique
Etude des contraintes pour la flexion simple :
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Pendant la flexion, les fibres supérieures se compriment et les fibres inférieures se tendent, tandis que l'axe neutre ne change pas de longueur. La compression ou l'allongement des fibres est proportionnel à leur distance de l'axe neutre. Ici, pour les besoins de la démonstration nous avons exagéré la courbure, mais en réalité, la poutre ne subit pas une flexion aussi grande. Le rayon de courbure R est très grand et l'angle qu'on mesure θ est très petit. Si on mesure θ en radian on peut affirmer à partir de la définition du radian que:
et ∆x = Rθ.
En considérant que ∆x à l'axe neutre ne change pas de dimensions, nous pouvons définir la déformation unitaire par:
Et selon la loi de Hooke (σ = E.ε), on a:
Les formules d'intégration permettent de déterminer la rotation et la déformée à l’abscisse x :
Dans notre T .P. on va étudier le cas Hyperstatique : Poutre à appuis simples et appui central P qui doit vérifier la relation P=1.375W.
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Configuration isostatique : l=675mm a=b= 150 mm Δ=(R1 + R2) - (W1 + W2) %= 100 Δ/(W1+W2) Les mesures sont prises pour une poutre d’acier 1350x19x6 mm.
R1(N)
W1(N)
W2(N)
R2(N)
1 + R2 (
∆(N)
%
3 6,4 9,6 13 16,6 20,4 0,8 2 3,4 4,8 6 8 4,2 9,4 13,8 19 26 29
5 10 15 20 25 30 0 0 0 0 0 0 5 10 15 20 25 30
0 0 0 0 0 0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30
0,9 2,2 3,5 4,9 6,2 7,7 3,6 7 10,5 14,2 18 22,2 4,4 9,4 13,8 18,8 26,2 29,6
3,9 8,6 13,1 17,9 22,8 28,1 4,4 9 13,9 19 24 30,2 8,6 18,8 27 ,6 37,8 52,2 58,6
-1,1 -1,4 -1,9 -2,1 -2,2 -1,9 -0,6 -1 -1,1 -1 -1 0,2 -1,4 -1,2 -2,4 -2,2 2,2 -1,4
-22 -14 -12,67 -10,5 -8,8 -6,33 -12 -10 -7,33 -5 -4 0,67 -14 -6 -8 -5,5 4,4 -2,33
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Configuration Hyperstatique :
W(N)
Flèche Z (mm)
P(N)
P/W
5 10 15 20 25
13 28 40 54 66
8 11,2 22 30,8 40
1,6 1,12 1,46 1,54 1,6
P/W 1.8 1.6 1.4 1.2 1 P/W
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
5
10
15
20
25
30
∑ La valeur moyenne de P/W trouvé est : = 1.464 L’incertitude de mesure est ( ) Cette Erreur est due au erreur commises dans les mesures et ceux de matérielles.
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Partie Poutre-Console (à appui rigide).
Nous n’avons pas pu entamer la partie à cause de manque de matérielle.
Ce TP nous a permis de déterminer les caractéristiques d'une poutre connaissant la flèche et les déformations lors d'une sollicitation en flexion simple. De plus on a pu vérifier les Hypothèses théoriques lors de cette manipulation. On peut dire que les poutres étudié supportent les charges suivant les conditions de sécurité.
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