RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA ALPHA

TRIGONOMETRIA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

1. Simplifique: sen (15 + x ). cos x - cos (15 + x ).senx E = cos x . cos (15 - x ) - senx .sen (15 - x )

sen ( x ± y ) = senx .seny ± cos x .seny cos( x ± y ) = cos x . cos y m senx .seny

tg x ± tg y tg ( x ± y ) = ; 1 m tg x .tg y ctg ( x ± y ) =

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A) 2 - 3

tg x .tg y ¹ 1;-1

ctgx.ctgy m 1 ; ctgx ¹ m ctgy ctgy ± ctgy

3 6 2. Si: tg (3 x - 2 y ) = 4 D)

Halle: tg ( x + y )

1 21 1 D) 10 3. Si: A)

2. OTRAS IDENTIDADES

sen ( x + y ).sen ( x - y ) = sen 2 x - sen 2 y cos( x + y ). cos( x - y ) = cos 2 x - sen 2 y tg x ± tg y ± tg ( x ± y ).tg x .tg y = tg ( x ± y )

tg x ± tg y =

sen ( x ± y ) cos x . cos y

ctgx ± ctgy =

sen ( x ± y ) senx.seny

sen ( x + y + z ) = senx . cos y . cos z - seny . cos x . cos z + senz . cos x . cos y - senx .seny .senz cos( x + y + z ) = cos x . cos y . cos z - cos x .seny .senz

- cos y .senx.senz - cos z .senx.seny tg ( x + y + z ) =

tg x + tg y + tg z - tg x .tg y .tg z 1 - tg x .tg y - tg y .tg z - tg x .tg z

3. PROPIEDADES PARA 3 ÁNGULOS I. Si: x + y + z = n p ; n ϵ ℝ

tg x + tg y + tg z = tg x .tg y .tg z

ctgx.ctgy + ctgy.ctgz + ctgx.ctgz = 1

p II. Si: x + y + z = (2n + 1) ; n ϵ ℝ 2 ctgx + ctgy + ctgz = ctgx .ctgy .ctgz

tg x .tg y + tg y .tg z + tg x .tg z = 1

M(o). CARLOS KASELY VILLEGAS ROSALES

B) 2 + 3

B) -1

4 y 5 Halle: sen ( x - y ) sen ( x + y ) =

3

C)

3 2 tg (2 x - 3 y ) = 5 E)

1 21 1 E) 10 C) -

senx . cos y =

3 5

1 1 2 B) C) 5 6 5 3 4 E) D) 5 5 4. Los ángulos α y β son agudos con α menor que β, tales que la razón de sus tangentes es 7/18 y sen(α+β)=4/5. Calcule 25sen(β-α). A) 6,6 B) 4,8 C) 8,8 D) 7,6 E) 5,4 A)

5. Si a y b son ángulos complementarios, además: 3sena = 7senb. Halle: tg(a-b)

19 21 20 D) 21 A)

B)

17 21

23 21 22 E) 21

C)

6. Si: x+y+z=p y cosx-cosy.cosz=0. Hallar E=ctgy.ctgz A) 1/2 B) 1/4 C) -1/2 D) 1 E) 2 7. En un triángulo ABC, se reduce

E = A) 1 D) 4

cos( A - B ) cos( B - C ) cos(C - A ) + + senA.senB senB.senC senC .senA B) 2

C) 3 E) 5 CICLO SEMESTRAL 2011

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8. De la figura mostrada, calcular: tgα A) -5/3 B) -55/3 C) 4/3 D) 55/3 E) 5/3

15. Del gráfico, halle: tgq A) 10/11 B) 9/11 C) 12/11 D) 8/11 E) 7/11

a

9. Un triángulo de ángulos internos α, β y q, satisface la relación

tg a tg b = = 1. Calcule: Tgq. 3 5

A) 1/7 D) 4/7

B) 7/4

C) -1/2 E) -7/6

C) a

12. Simplifique:

6

D)

4 6 3

3 sen 7 º + 3 cos 7 º sen 8 º - cos 8 º B) - 6

C)

3 6 4

E) 5 6

13. Si: ctgx + 2 = tg y Halle: E = A) 1/2 D) -2

2 cos( x + y ) sen ( x + y ) + sen ( x - y ) B) 1

14. Si: a+b=c Simplifique: cos2a+cos2b-2cosa.cosb.cosc A) sen(a-b) B) cosc D) cos(a-b) M(o). CARLOS KASELY VILLEGAS ROSALES

C) 2 E) -1/2

C) cos2c E) sen2c

)

6 cos (a + b

E) 2 cos (a + b

11. Si: x+y+z=2p y cosx=-cosy.cosz. Calcule Tgy.Tgz A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 1/4 E) 4

A)

A) 1/8 D) 1

A) 2 sen (a + b

K =

tg 14 º tg 52 º - tg 38 º B) 1/6

E =

C) 1/4 E) 1/2

17. Simplifique la expresión sen (a + b + 75 º ) cos (a + b + 75 º ) + E = 3 -1 3 +1

10. En la figura mostrada, calcular: tgα A) 5/11 B) 5/3 C) 4/14 D) 55/3 E) 5/14

16. Calcule el valor de:

)

)

B)

2 cos (a + b

D)

2 sen (a + b

)

)

18. En un triángulo ABC se cumple: 3ctgB-7ctgC=2mtgA 8ctgA-9ctgB=ntgC 10ctgC-2ctgA=ptgB Determinar la relación que se cumple entre “m”, “n” y “p”. A) 2m-n=2p B) 2m+n+p=1 C) m+n=2p D) 2m+n+p=2 E) 2m+2n+p=1 19. –En la figura mostrada calcular Tgβ A) 1/2 B) 1/6 C) 3/2 D) 2 E) 5/2 20. Si ABCD es un cuadrado, hallar: Tgmáxq A) 3/4 B) 1 C) 5/4 D) 4/3 E) 4/5 CICLO SEMESTRAL 2011