U. de Lima
Geometría Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos
Clase 1
ULII2T1
Desarrollo Desarr ollo del Tema A
1. RA RAZONES ZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.
β
b
C
A. Triangulo rectángulo rectán gulo
C
α
B
A T
a
Hipotenusa
E
Senα =
T O
c Cat. op. = = Cosβ b Hip.
Ctgα =
c Cat. op. = = Tg Tgβ b Cat. ady.
Secα =
Hip. = b = Cscβ a Cat. ady.
Csc α =
Hip. = b = Sec β c Cat. op.
Cateto Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual igual al cuadrado de la hipotenusa”. hipotenu sa”. A
III. PROPIED PROPIEDADES ADES DE LAS RA RAZONES ZONES TRIGONOMETRICAS
a2 + b2 = c2
A. Razones Trigonométric as Recíprocas Recíproc as “Al comparar las seis razones razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Senα • Cscα = 1 Cos α • Sec α = 1 Tgα • Ctg α = 1
b
C
B
C a
Teorema “Los ángulos agudos de un rectángulo son complementarios”.
triángulo
Ejemplos: Indicar la verdad de las proposiciones. I. Sen20 Sen20º.Csc10º º.Csc10º =1 ( ) II. Tg35º Tg35º.Ctg50 .Ctg50ºº =1 ( ) III. Cos40º.Sec40º=1 ( )
A + B = 90º
II. DEFINICION DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ÁNGULO AGUDO
siguientes
B. Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios Complementario s "Al comparar las seis s eis R.T. R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios".
Dado el triángulo ABC, recto en "B", según la fgura, se establecen las sgts defniciones para el ángulo agudo "α":
U. de Lima - Regular 2017 2017 - II
C
1
Geometría - 1
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B. Triángulos Rectángulos Rectán gulos Aproximados Aproximad os 1. 37º y 53º
Nota: “Una razón trig trigonom onométri étrica ca de un ángul ángulo o al co-razón del ángulo complementario”. RAZON CO-RAZON → Seno Coseno → Tangente Cotangente → Secante Cosecante → Dado:
Notables
53° 5k
3k
x + y = 90º, entonces se verifca Senx = Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscy
37° 4k
Así por ejemplo: • Sen20º = Cos70º (20º + 70º = 90º) • Tg50º = Ctg40º (50º + 40º = 90º) • Sec80º = Csc10º (80º + 10º = 90º)
2. 16º y 74º
74°
IV. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES
25k
7k
A. Triá riángu ngulos los re rectá ctángu ngulo los s not notabl ables es ex exact actos os 1. 30º y 60º
16° 24k
60° Tabla de las r.t. de angulos notables
2k
1k
30° α
k 3
30°
60°
74°
37°
53°
16°
2/2
3/5
4/5
7/25 24/25
2/2
4/5
3/5
24/25 7/25
45°
RT Senα 1/2
2. 45º y 45º
45° k 2
k
Cos α
3/2
1/2
Tgα
3/3
3
1
3/4
4/3
7/24 24/7
Ctg α
3
3/3
1
4/3
3/4
24/7 7/24
Sec α 2 3/3 45°
Csc α
k
3/2
2
2
2
5/4
5/3
25/24 25/7
2 3/3
2
5/3
5/4
25/7 25/24
Problemas Resueltos
Problema 1 En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos
B
Luego: Sen α + Senβ = β
k.c = k c
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progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto Mayor = x Hipotenusa = x + r
Importante “A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando en la fgura tenemos:
Conocido “t” calcularemos: Senx =2( –1,1) –1,1)+ +3 Senx =0,8 Senx = ..... (I) Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; grafcando la condición (I) en un triángulo, tenemos:
Teorema de Pitágoras 4r
5r α
3r x
x + r
Nos piden calcular Tgα=
4r
=
4
3 3r Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1 Hallar Tgx
α
x – – r r (x – (x – r)2 + x2 = (x + r)2 x2 – 2xr + r2 + x2 = x2 + 2xr + r2
5
4
x
Resolución:
x2 – 2xr = 2xr
3
Dado: x+ x+y = 90º → Senx = Cosy Reemplazando 2t + 3 = 3t + 4, 4,1 1 –1,1 – 1,1 = t
x2 = 4xr x = 4r
Tg =
4r 3r
=
4 3
Problemas Clase
Nivel I
Nivel Ii
1. Si α es agudo además:
4. Siendo "θ" un ángulo agudo, para el cual se tien e
3Tg 3T gα – 2 = 0
que Cosθ = 3/4; calcule:
hallar: Senα Cosα A) 6 D) 1
B) 6/5 E) 12/13
calcular el valor de "x" en la igualdad:
A) 3/4 D) 12/5
xCosα + 7 = xSenα A) 9 D) 15
B) 8 E) 17
C) 13 6.
3.
Del gráfco morado: calcul calcule e el valor de "Tgθ" A) 1/2 B) 1/3 C) 1
B) 2 E) 5
C) 3
5. Los lados de de un triángulo rectángulo son: x; 2x+1; 2x–1; determine la tangente del mayor ángulo agudo.
2. Si: Senα = 15/17; 0° < α < 90°
A) 1 D) 4
C) 6/1 6/13 3
7 . Tgθ + 2Secθ
θ
B) 15/8 E) 5/7
C) 4/3
Del gráfco morado, calcul calcule e "T "Tg gθ" A) B) C) D)
1/3 1/2 2/3 3/2
2a
45°
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7.
Siendo "θ" un ángulo agudo, agudo, para el cual cual se tiene 5 que Senθ = ; calcule: 13 5Secθ – Tg Tgθ A) 1 D) 4
8.
C) 3
Si la secante de un ángulo agudo es igual a 3. Hallar la contangente de dicho ángulo: A) D)
9.
B) 2 E) 5
2
B) 2 2
2 /4
E) 2 2
2 /2
C)
Calcular Calcul ar la Tgθ; si ABCD es un cuadrado: A) B) C) D) E)
1/2 2/3 3/4 2/5 3/5
C
B
B)
3
C) 3
12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "C" se cumple que: 3SenA. SenB = 1, calcule el valor de: TgA + TgB + 2 A) 5 D) 2
B) 4 E) 1
C) 3
13. De la fgura morada, calcule: Tg Tgθ . Tg Tgφ A) B) C) D) E)
1 1/2 3 1/3 2
θ
φ
a
2a
Nivel III
37°
D
14. En la fgura morada, morada, hallar: Ctgα – Tg Tgθ A) B) C) D) E)
10. De la fgura, fgura, hallar Secθ 2
B) 2 E) 5
θ
A
A)
A) 1 D) 4
θ
3/4 4/3 2/3 3/2 1/7
θ
3
C) 2 D)
5
E)
6
α
4 15. Si los lados de un triángulo rectángulo rectángulo son:
11. En un triángulo ABC recto en A calcule el valor de la expresión: 2
2
(SenB + SenC) + (CosC – CosB)
a + 2b, 2a + 2b y 3a + 2b. Calcular la tangente del menor ángulo agudo. A) 3/4 D) 8/5
B) 4/3 E) N.A
C) 5/1 5/12 2
